미적분학 - 적분 정의와 계산 그리고 정적분의 성질

 안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 영역 문제에서는 어떤 곡선이 주어졌을 때 밑넓이를 구하는 간단한 과정을 보여드렸습니다. 기본적으로 같은 밑변의 길이를 가지도록 $n$개의 직사각형으로 쪼갠다음에 각 넓이를 전부 합하고 $n \rightarrow \infty$에 대한 극한값을 계산하면 저희는 곡선의 밑넓이 값을 얻을 수 있었습니다. 오늘은 좀 더 자세한 적분의 정의에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 

 

미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다.  

 

 정의1. 적분 (Integral)

닫힌구간 $I = [a, b]$에서 정의된 함수 $f$가 주어졌다고 하자. 이때, 닫힌구간 $I$를 동일한 길이 $\Delta x = \frac{b - a}{n}$를 가지는 $n$개의 구간으로 나누도록 한다. 이때, 각 구간의 마지막 점을 각각 $x_{0}(= a), x_{1}, \dots, x_{n}(= b)$, 그리고 각 구간의 임의의 점을 $x_{1}^{*}, x_{2}^{*}, \dots, x_{n}^{*}$을 표본점(sample point)라고 하자. 따라서, $x_{i}^{*}$는 $i$번째 구간 $[x_{i - 1}, x_{i}]$에 놓여있다. 이때, 닫힌구간 $I$에서 함수 $f$의 적분은 아래와 같이 정의된다. 

 

$$\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i = 1}^{n} f(x_{i}^{*}) \Delta x$$

 

여기서, 좌항의 극한이 존재한다면 이를 함수 $f$는 닫힌구간 $I = [a, b]$에서 적분가능(integrable)이라고 한다. 

 

설명

여기서 적분의 정의를 구성하는 각 요소는 아래와 같이 불립니다. 

 

• $\int$ : 적분 기호(integral sign)
• $f(x)$ : 피적분함수(integrand)
• $a$와 $b$ : 아랫끝(lower limit)과 윗끝(upper limit)
• $\int_{a}^{b} f(x) dx$ : 적분(integration)

 

이때, 한 가지 중요한 점은 $\int_{a}^{b} f(x) dx$는 변수 $x$에 의존하지 않고 단순하게 숫자로 결과가 나옵니다. 따라서, $x$는 고정되는 것이 아니라 다른 적분 변수로도 바꿀 수 있습니다. 

 

$$\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(r) dr = \int_{a}^{b} f(z) dz$$

 

그리고 이와 같은 적분의 정의를 저희는 리만 적분(Riemman Integral)이라고 부릅니다. 이에 대한 자세한 설명은 이후에 해석학 관련 포스팅에 추가하도록 하겠습니다. 여러분들은 단순히 적분에는 한 가지 방법만 있다는 것이 아니라는 것만 이해하시면 됩니다. 

따라서, 적분은 위와 같이 곡선의 밑넓이를 구하는 것으로 해석할 수 있습니다. 하지만, 만약에 $f(x) < 0$인 구간이 있다면 어떤 식으로 받아들어야 할까요? 

 

바로 위 그림과 같은 경우입니다. 이때, 리만 합을 하게 되면 $f(x) < 0$인 부분은 음수가 나오게 되겠죠. 저희는 이와 같은 경우에 $x$ 축을 기점으로 했을 때 $f(x) \ge 0$인 구간의 적분 $A_{1}$과 $f(x) < 0$인 구간의 적분 $A_{2}$ 사이의 차이 $A_{1} - A_{2}$로 해석할 수 있습니다. 

 

 정리1.

닫힌구간 $I = [a, b]$에서 정의된 함수 $f$가 연속함수이거나 유한개의 불연속점이 존재한다면 $f$는 닫힌구간 $I$에서 리만적분 가능하다.

 

 정리2.

닫힌구간 $I = [a, b]$에서 정의된 함수 $f$가 리만적분 가능하다고 하자. $\Delta x = \frac{b - a}{n}$ 그리고 $x_{i}  = a + i\Delta x$라고 할 때, $\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i = 1}^{n} f(x_{i}) \Delta x$가 성립한다. 

 

 

예제1. $\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i = 1}^{n} \left(x_{i}^{3} + x_{i}\sin{x_{i}}\right)$를 닫힌구간 $[0, \pi]$에서의 리만적분 형태로 표현하라.

정리2에 의해 우리가 $f(x) = x^{3} + x\sin{x}$라고 하면 아래와 같이 표현할 수 있다. 

 

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i = 1}^{n} \left(x^{3}_{i} + x_{i}\sin{x_{i}}\right) = \int_{0}^{\pi} \left(x^{3} + x\sin{x}\right) dx$$ 

 

즉, 이산적인 극한에서 연속적인 적분으로 바꾸기 위해서 $\lim \sum \rightarrow \int$, $x^{*}_{i} \rightarrow x$, $\Delta x \rightarrow dx$로 바꾸어주기만 하면 됩니다. 

 

이번에는 실제로 적분의 정의를 활용해서 간단한 계산을 해보도록 하겠습니다. 

 

이를 위해서 아래의 3개의 식을 이해할 필요가 있습니다. 

 

• $\sum_{i = 1}^{n} i = \frac{n(n + 1)}{2}$

 

• $\sum_{i = 1}^{n} i^{2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$

 

• $\sum_{i = 1}^{n} i^{3} = \left[\frac{n(n + 1)}{2}\right]^{2}$

 

또한 아래의 몇 가지 성질도 성립하게 됩니다. 

 

• $\sum_{i = 1}^{n} c = nc$
• $\sum_{i = 1}^{n} ca_{i} = c\sum_{i = 1}^{n} a_{i}$
• $\sum_{i = 1}^{n} \left(a_{i} \pm b_{i}\right) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} \pm \sum_{i = 1} b_{i}$

 

위의 성질들을 활용해서 이제 실제 적분값을 얻어보도록 하겠습니다. 

 

예제2. $\int_{0}^{3} \left(x^{3} - 6x\right) \; dx$를 계산하라.

우리는 리만적분 표현을 $f(x_{i}) = x_{i}^{3} - 6x_{i}$라고 했을 때, 아래와 같이 변형할 수 있다. 

 

$$\int_{0}^{3} \left(x^{3} - 6x\right) \; dx = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i = 1}^{n} f(x_{i}) \Delta x$$

 

여기서 총 $n$개의 구간이 존재하기 때문에 $\Delta x = \frac{3}{n}$이 되고 표본점은 일반적으로 $x_{i} = \frac{3i}{n}$으로 쓸 수 있다. 따라서, 각 결과를 위 식에 대입하면 아래와 같다.

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{3} \left(x^{3} - 6x\right) \; dx &= \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i = 1}^{n} f(x_{i}) \Delta x \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i = 1}^{n} f(\frac{3i}{n}) \frac{3}{n} \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{3}{n} \sum_{i = 1}^{n} \left[\left(\frac{3i}{n}\right)^{3} - 6\left(\frac{3i}{n}\right)\right] \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{3}{n} \sum_{i = 1}^{n} \left[\frac{27i^{3}}{n^{3}} - \frac{18i}{n}\right] \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \left(\frac{81}{n^{4}} \sum_{i}^{n} i^{3} + \frac{54}{n^{2}} \sum_{i = 1}^{n} i \right) \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \left[\frac{81}{n^{4}} \cdot \left(\frac{n(n + 1)}{2}\right)^{2} + \frac{54}{n^{2}} \cdot \frac{n(n + 1)}{2}\right] \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \left[\frac{81}{4} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{2} - 27 \left(1 + \frac{1}{n}\right)\right] = \frac{81}{4} - 27 = -\frac{27}{4} = -6.75\end{align*}$$

 

지금까지는 표본점을 오른쪽 점으로 선택했다면 오차율을 더욱 낮추기 위해서 중간점 규칙(Midpoint Rule)을 적용해보도록 하겠습니다. 

 

 정의2. 중간점 규칙(Midpoint Rule)

닫힌구간 $I = [a, b]$에서 정의된 함수 $f$가 주어졌다고 하자. 이때, 닫힌구간 $I$를 동일한 길이 $\Delta x = \frac{b - a}{n}$를 가지는 $n$개의 구간으로 나누도록 한다. 그러면 $\Delta x = \frac{b - a}{n}$이고 각 표본점을 해당 구간의 중간점이라고 했을 때, $i$번째 표본점은 $\bar{x}_{i} = \frac{1}{2}\left(x_{i - 1} + x_{i}\right)$라고 할 수 있다. 중간점을 표본점으로 했을 때, 함수 $f$의 적분은 아래와 같이 정의된다. 

$$\int_{a}^{b} f(x) \; dx \approx \sum_{i = 1}^{n} f(\bar{x}_{i}) \Delta x = \Delta x \left(f(\bar{x}_{1}) + \cdots + f(\bar{x}_{n})\right)$$

 

설명

 중간점 규칙은 위의 그림으로 간단하게 설명할 수 있습니다. 기존에 근사 방법은 각 구간의 오른쪽 점 또는 왼쪽 점을 표본점으로 정했지만 중간점 규칙은 각 구간의 중간점을 표본점으로 삼는 방법입니다. 이 방법은 실제로 다른 점을 선택하는 것보다 더욱 정확한 근사가 가능합니다. 실제로 예를 들어서 설명해보도록 하겠습니다. 

 

예제3. 중간점 규칙과 오른쪽 점을 표본점으로 했을 때 $\int_{1}^{2} \frac{1}{x} \; dx$의 근사 결과를 구하여라. 이때, 구간의 개수 $n = 5$이다. 

 

CASE 1. 중간점을 표본점으로 했을 때, 5개의 표본점은 $x_{i} = 1.1, 1.3, 1.5, 1.7, 1.9$가 된다. 그리고 $\Delta x = \frac{2 - 1}{5} = \frac{1}{5}$이다. 따라서, 아래와 같은 근사 결과를 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{1}^{2} \frac{1}{x} \; dx &\approx \sum_{i=1}^{5} f(\bar{x}_{i}) \Delta x \\ &= \frac{1}{5} \left[f(\bar{x}_{1}) + f(\bar{x}_{2}) + f(\bar{x}_{3}) + f(\bar{x}_{4}) + f(\bar{x}_{5})\right] \approx 0.6919 \end{align*} $$

 

CASE 2. 오른쪽 점을 표본점으로 했을 때, 5개의 표본점은 $x_{i} = 1.2, 1.4, 1.6, 1.8, 2.0$가 된다. 그리고 $\Delta x = \frac{2 - 1}{5} = \frac{1}{5}$이다. 따라서, 아래와 같은 근사 결과를 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{1}^{2} \frac{1}{x} \; dx &\approx \sum_{i=1}^{5} f(x_{i}) \Delta x \\ &= \frac{1}{5} \left[f(x_{1}) + f(x_{2}) + f(x_{3}) + f(x_{4}) + f(x_{5})\right] \approx 0.6456 \end{align*} $$

 

이때, $\int_{1}^{2} \frac{1}{x} \; dx = 0.6932$로 중간점을 표본점으로 삼았을 때, 오차율이 더 적은 것을 관찰할 수 있다. 

 

마지막으로 정적분의 간단한 성질에 대해서 요약해보도록 하겠습니다. 

 

 정리 3

닫힌 구간 $I = [a, b]$에서 정의된 함수 $f$가 주어지면 아래와 같은 성질이 성립한다. 

 

1. $\int_{a}^{b} f(x) \; dx = -\int_{b}^{a} f(x) \; dx$
2. $\int_{a}^{a} f(x) \; dx = 0$

설명

해당 성질은 직관적으로 이해할 수 있습니다. 예를 들어서 1번 성질은 우리가 구간을 $n$개의 등 구간으로 나눌 때, $\frac {b - a}{n}$으로 나누고 항상 $b > a$이기 때문에 양수입니다. 하지만, $\int_{b}^{a} f(x) \; dx$의 경우에는 이를 반대로 하는 것이기 때문에 $\frac {a - b}{n} < 0$이기 때문에 원래대로 하는 적분의 반대 부호가 됩니다. 

 

이와 유사한 방식으로 2번째 성질 역시 동일합니다. $a = b$이기 때문에 등 구간으로 나누더라도 $\frac {a - a}{n} = 0$이기 때문에 해당 정적분은 0이 되는 것이죠. 

 

 정리 4

닫힌 구간 $I = [a, b]$에서 정의된 함수 $f$가 주어지면 아래와 같은 성질이 성립한다. 이때, $c$는 임의의 상수이다. 

 

1. $\int_{a}^{b} c \; dx = c(b - a)$
2. $\int_{a}^{b} \left [f(x) + g(x)\right] \; dx = \int_{a}^{b} f(x) \; dx + \int_{a}^{b} g(x) \; dx$
3. $\int_{a}^{b} cf(x) \; dx = c\int_{a}^{b} f(x) \; dx$
4. $\int_{a}^{b} \left[f(x) - g(x)\right] \; dx = \int_{a}^{b} f(x) \; dx - \int_{a}^{b} g(x) \; dx$

설명

 

왼쪽 그림은 1번 성질을 설명하는 데 필요한 그림입니다. 아마도 다들 직관적으로 이해할 수 있을 텐데요. 닫힌 구간 $I$에서 $f(x) = c$의 기하학적 의미는 그래프 상으로 왼쪽 그림과 같이 밑변이 $b - a$이고 높이가 $c$인 직사각형이 있다는 것과 같은 뜻입니다. 이때, 해당 구간의 적분이란 곧 넓이를 의미하는 것이기 때문에 직사각형의 넓이 공식인 "밑변 $\times$ 높이"를 이용해서 $\int_{a}^{b} c \; dx = c(b - a)$임을 알 수 있습니다. 

 

 

2 ~ 4번 성질은 정적분의 정의를 이용해서 아주 쉽게 증명할 수 있습니다. $\int_{a}^{b} f(x) \; dx$와 $\int_{a}^{b} g(x) \; dx$가 존재한다고 가정하겠습니다. 

 

2). $$\begin{align*} \int_{a}^{b} \left [f(x) + g(x)\right] \; dx &= \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i = 1}^{n} \left [f(x_{i}) + g(x_{i})\right] \Delta x \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \left [\sum_{i =1}^{n} f(x_{i}) \Delta x + \sum_{i = 1}^{n} g(x_{i}) \Delta x \right] \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i = 1}^{n} f(x_{i}) \Delta x + \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i = 1}^{n} g(x_{i}) \Delta x \\ &= \int_{a}^{b} f(x) \; dx + \int_{a}^{b} g(x) \; dx \end {align*}$$

 

3). $$\begin {align*} \int_{a}^{b} cf(x) \; dx &= \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i = 1}^{n} cf(x_{i}) \Delta x \\ &= \\ &= c\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i = 1}^{n} f(x_{i}) \Delta x \\ &= c\int_{a}^{b} f(x) \; dx \end {align*}$$

 

4). $h(x) = -g(x)$라고 하겠습니다. 

 

$$\begin {align*} \int_{a}^{b} \left [f(x) - g(x)\right] \; dx &= \int_{a}^{b} \left[f(x) + h(x)\right] \; dx \\ &= \int_{a}^{b} f(x) \; dx + \int_{a}^{b} h(x) \; dx \\ &= \int_{a}^{b} f(x) \; dx - \int_{a}^{b} g(x) \; dx \end {align*}$$

 

 정리 5

닫힌 구간 $I = [a, b]$에서 정의된 함수 $f$가 주어지면 아래와 같은 성질이 성립한다. 이때, $c$는 닫힌 구간 $I$ 내의 임의의 상수이다. 

 

$$\int_{a}^{c} f(x) \; dx + \int_{c}^{b} f(x) \; dx = \int_{a}^{b} f(x) \; dx$$

 

설명

해당 정리의 증명은 일반적으로 증명하기에 까다롭습니다. 따라서 증명은 생략하고 그림으로 설명해보도록 하겠습니다. 저희의 목표는 닫힌 구간 $I$에서 $f(x)$의 정적분이지만 왼쪽의 그림과 같이 2개의 구간 $[a, c]$ 그리고 $[c, b]$로 나누어서 각 구간에서 정적분을 수행한 뒤 더해도 같은 결과를 얻을 수 있습니다. 

 

 

 

 

 정리 6

닫힌 구간 $I = [a, b]$에서 정의된 함수 $f$가 주어지면 아래와 같은 성질이 성립한다.

 

1. 닫힌 구간 $I$에서 $f(x) \ge 0$이라면 $\int_{a}^{b} f(x) \ge 0$이다. 
2. 닫힌 구간 $I$에서 $f(x) \ge g(x)$라면 $\int_{a}^{b} f(x) \ge \int_{a}^{b} g(x)$이다. 
3. 닫힌 구간 $I$에서 $m \le f(x) \le M$이라면 $m(b - a) \le \int_{a}^{b} f(x) \; dx \le M(b - a)$이다. 

 

참고자료 및 그림출처

Calculus(J. Stewart)