미적분학 - 부정적분

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 미적분학 기본정리에서는 미분과 적분 사이의 관계와 정적분을 계산하는 방법에 대한 내용을 설명하였습니다. 오늘은 윗끝과 아래끝이 정해지지 않은 부정적분에 대해 알아보도록 하겠습니다. 

 

미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다.  

 

저희는 지난 포스팅의 FTC 1에 의해 적분은 미분의 역임을 알게 되었습니다. 따라서, $\frac{d}{dx} \left(F(x)\right) = f(x)$와 같은 식이 성립한다면 $\int f(x) \; dx = F(x) + C$도 성립하게 됩니다. 이때, $C$를 적분 상수(integral constant)라 부릅니다. $C$는 상수이기 때문에 미분할 때 없어지고 $\frac {d}{dx} \left(F(x) + C\right) = f(x)$가 성립하게 됩니다. 예를 들어 $\frac {d}{dx} \left(\frac {x^{3}}{3} + C\right) = x^{2}$이 성립하기 때문에 $\int x^{2} \; dx = \frac {x^{3}}{3} + C$를 얻을 수 있습니다. 

 

여기서 주의해야할 점 한 가지는 정적분과 부정적분의 차이입니다. 정적분은 윗끝과 아래끝이 존재하며 결과가 숫자로 나오지만 부정적분은 윗끝과 아래끝이 존재하지 않고 결과가 함수로 나오게 됩니다. 

 

또한, 부정적분은 편의를 위해 아래와 같이 결과 테이블을 많이 참고하게 됩니다. 

예제1. $\int \left(10x^{4} - 2 \sec^{2}{(x)}\right) \; dx$

$$\begin{align*} \int \left(10x^{4} - 2 \sec^{2}{(x)}\right) \; dx &= \int 10x^{4} \; dx - \int 2\sec^{2}{(x)} \; dx \\ &= 10\int x^{2} \; dx - 2\int \sec^{2}{(x)} \; dx \\ &= 2x^{5} - 2\tan{(x)} + C \end{align*}$$

 

예제2. $\int \frac{\cos{(\theta)}}{\sin^{2}{(\theta)}} \; dx$

$$\begin{align*} \int \frac{\cos{(\theta)}}{\sin^{2}{(\theta)}} &= \int \frac{\cos{(\theta)}}{\sin{(\theta)}} \cdot \frac{1}{\sin{(\theta)}} \\ &= \int \cot{(x)}\csc{(x)} \; dx \\ &= -csc{(x)} + C \end{align*}$$

 

적분은 미분보다 복잡한 계산이 훨씬 많습니다. 따라서, 무조건 계산연습만이 적분을 잘하는 방법이죠. 또한, 적분을 통해서 계산하는 과정 중에 한 가지 방법에 있는 것이 아닙니다. 어렵게 풀수도 있지만 나중에 배울 극좌표변환 및 구좌표 변환을 통해 쉽게 바꿔서 계산할 수도 있죠. 따라서, 다양한 접근방법으로 적분을 해보는 것이 중요합니다. 

 

연습문제1. 주어진 식이 미분을 통하여 성립함을 보여라. 여기서 $C$는 적분상수이다. 

 

(a). $\int \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \; dx = \sqrt{x^{2} + 1} + C$

(b). $\int x\cos(x) \; dx = x\sin(x) + \cos(x) + C$

(c). $\int \cos^{3}(x) \; dx = \sin(x) - \frac{1}{3}\sin^{3}(x) + C$

 

(a). $\int \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \; dx = \sqrt{x^{2} + 1} + C$

 

$$\begin{align*} \frac{d}{dx} \left[ \sqrt{x^{2} + 1} + C \right] &= \frac{2x}{2\sqrt{x^{2} + 1}} \\ &= \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{d}{dx} \left[ \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \; dx\right]\end{align*}$$

 

따라서, $\int \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \; dx = \sqrt{x^{2} + 1} + C$이다. 

 

(b). $\int x\cos(x) \; dx = x\sin(x) + \cos(x) + C$

 

$$\begin{align*} \frac{d}{dx} \left[ x\sin(x) + \cos(x) + C \right] &= \sin(x) + x\cos(x) - \sin(x) \\ &= x\cos(x) = \frac{d}{dx} \left[ \int x\cos(x) \; dx\right]\end{align*}$$

 

따라서, $\int x\cos(x) \; dx = x\sin(x) + \cos(x) + C$이다. 

 

(c). $\int \cos^{3}(x) \; dx = \sin(x) - \frac{1}{3}\sin^{3}(x) + C$

 

$$\begin{align*} \frac{d}{dx} \left[ \sin(x) - \frac{1}{3}\sin^{3}(x) + C \right] &= \cos(x) - \sin^{2}(x)\cos(x) \\ &= (1 - \sin^{2}(x))\cos(x) \\ &= \cos^{3}(x) = \frac{d}{dx} \left[ \int \cos^{3}(x) \; dx\right]\end{align*}$$

 

따라서, $\int \cos^{3}(x) \; dx = \sin(x) - \frac{1}{3}\sin^{3}(x) + C$이다. 

 

연습문제2. 주어진 부정적분을 위의 부정적분 표를 이용하여 계산하라.

 

(a). $\int (x^{2} + x^{-2}) \; dx$

(b). $\int (\sqrt{x^{3}} + \sqrt[3]{x^{2}}) \; dx$

(c). $\int (x^{4} - \frac{1}{2}x^{3} + \frac{1}{4}x - 2) \; dx$

(d). $\int (y^{3} + 1.8y^{2} - 2.4y) \; dy$

(e). $\int (1 - t)(2 + t^{2}) \; dt$

(f). $\int v(v^{2} + 2)^{2} \; dv$

(g). $\int \frac{x^{3} - 2\sqrt{x}}{x} \; dx$

 

(a). $\int (x^{2} + x^{-2}) \; dx$

 

1). 적분의 선형성 적용 : $\int (x^{2} + x^{-2}) \; dx = \int x^{2} \; dx + \int x^{-2} \; dx$

2). 단항식 적분 적용 : $\int x^{2} \; dx + \int x^{-2} \; dx = \left(\frac{1}{1 + 2}x^{1 + 2} + C_{1} \right) + \left( \frac{1}{1 - 2}x^{1 - 2} + C_{2} \right) = \frac{1}{3}x^{3} - x^{-1} + (C_{1} + C_{2}) $

 

따라서,  $\int (x^{2} + x^{-2}) \; dx = \frac{1}{3}x^{3} - x^{-1} + C$이다. 여기서, $C = C_{1} + C_{2}$이다. 

 

(b). $\int (\sqrt{x^{3}} + \sqrt[3]{x^{2}}) \; dx$

 

1). 적분의 선형성

 

$$\begin{align*} \int (\sqrt{x^{3}} + \sqrt[3]{x^{2}}) \; dx &= \int (x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{2}{3}}) \; dx \\ &= \int x^{\frac{3}{2}} \; dx + \int x^{\frac{2}{3}} \; dx \end{align*}$$

 

2). 단항식 적분

 

$$\begin{align*} \int x^{\frac{3}{2}} \; dx + \int x^{\frac{2}{3}} \; dx &= \left(\frac{1}{1 + \frac{3}{2}}x^{1 + \frac{3}{2}} + C_{1} \right) + \left(\frac{1}{1 + \frac{2}{3}}x^{1 + \frac{2}{3}} + C_{2} \right) \\ &= \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} + \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + (C_{1} + C_{2})\end{align*}$$

 

따라서, $\int (\sqrt{x^{3}} + \sqrt[3]{x^{2}}) \; dx = \frac{2}{5}x^{\frac{2}{5}} + \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}} + C$이다. 여기서, $C = C_{1} + C_{2}$이다. 

 

(c). $\int (x^{4} - \frac{1}{2}x^{3} + \frac{1}{4}x - 2) \; dx$

 

1). 적분의 선형성 적용

 

$$\begin{align*} \int (x^{4} - \frac{1}{2}x^{3} + \frac{1}{4}x - 2) \; dx &= \int x^{4} \; dx - \frac{1}{2}\int x^{3} \; dx + \frac{1}{4}\int x \; dx - 2 \int 1 \; dx \end{align*}$$

 

2). 단항식 적분

 

$$\begin{align*} \int x^{4} \; dx - \frac{1}{2}\int x^{3} \; dx + \frac{1}{4}\int x \; dx - 2 \int 1 \; dx &= \left( \frac{1}{1 + 4}x^{1 + 4} + C_{1} \right) - \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1 + 3}x^{1 + 3} + C_{2}\right) + \frac{1}{4}\left(\frac{1}{1 + 1}x^{1 + 1} + C_{3}\right) -2 (\frac{1}{1 + 0}x^{1 + 0} + C_{4}) \\ &= \frac{1}{5}x^{5} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} x^{2} - 2x + (C_{1} - \frac{1}{2}C_{2} + \frac{1}{4}C_{3} - 2C_{4}) \\ &= \frac{1}{5}x^{5} - \frac{1}{8}x^{4} + \frac{1}{8}x^{2} - 2x + (C_{1} - \frac{1}{2}C_{2} + \frac{1}{4}C_{3} - 2C_{4})\end{align*}$$

 

따라서, $\int (x^{4} - \frac{1}{2}x^{3} + \frac{1}{4}x - 2) \; dx = \frac{1}{5}x^{5} + \frac{1}{8}x^{4} + \frac{1}{8}x^{2} - 2x + C$이다. 여기서, $C = C_{1} - \frac{1}{2}C_{2} + \frac{1}{4}C_{3} - 2C_{4}$이다. 

 

(d). $\int (y^{3} + 1.8y^{2} - 2.4y) \; dy$

 

1). 적분의 선형성 적용

 

$$\begin{align*} \int (y^{3} + 1.8y^{2} - 2.4y) \; dy &= \int y^{3} \; dy + 1.8\int y^{2} \; dy - 2.4 \int y \; dy \end{align*}$$

 

2). 단항식 적분

 

$$\begin{align*} \int y^{3} \; dy + 1.8\int y^{2} \; dy - 2.4 \int y \; dy &= \left( \frac{1}{4}y^{4} + C_{1} \right) + 1.8\left( \frac{1}{1 + 2}y^{1 + 2}  + C_{2}\right) - 2.4 \left( \frac{1}{1 + 1}y^{1 + 1} + C_{3} \right) \\ &= \frac{1}{4}y^{4} + 0.6y^{3} - 1.2y^{2} + (C_{1} + 1.8C_{2} - 2.4C_{3}) \end{align*}$$

 

따라서, $\int (y^{3} + 1.8y^{2} - 2.4y) \; dy = \frac{1}{4}y^{4} + 0.6y^{3} - 1.2y^{2} + C$이다. 여기서, $C = C_{1} + 1.8C_{2} - 2.4C_{3}$이다. 

 

(e). $\int (1 - t)(2 + t^{2}) \; dt$

 

1). 적분의 선형성 적용

 

$$\begin{align*} \int (1 - t)(2 + t^{2}) \; dt &= \int (2 - 2t + t^{2} - t^{3}) \; dt \\ &= 2\int 1 \; dt - 2\int t \; dt + \int t^{2} \; dt - \int t^{3} \; dt \end{align*}$$

 

2). 단항식 적분

 

$$\begin{align*} 2\int 1 \; dt - 2\int t \; dt + \int t^{2} \; dt - \int t^{3} \; dt &= 2(t + C_{1}) - 2(\frac{1}{1 + 1}t^{1 + 1} + C_{2}) + \left( \frac{1}{2 + 1}t^{2 + 1} + C_{3} \right) - \left(\frac{1}{3 + 1}t^{3 + 1} + C_{4} \right) \\ &= 2t -t^{2} + \frac{1}{3}t^{3} - \frac{1}{4}t^{4} + (2C_{1} - 2C_{2} + C_{3} - C_{4})\end{align*}$$

 

따라서, $\int (1 - t)(2 + t^{2}) \; dt = 2t - t^{2} + \frac{1}{3}t^{3} - \frac{1}{4}t^{4} + C$이다. 여기서, $C = 2C_{1} - 2C_{2} + C_{3} - C_{4}$이다. 

 

(f). $\int v(v^{2} + 2)^{2} \; dv$

 

1). 적분의 선형성 적용

 

$$\begin{align*} \int v(v^{2} + 2)^{2} \; dv &= \int (v^{5} + 4v^{3} + 4v) \; dv \\ &= \int v^{5} \; dv + 4\int v^{3} \; dv + 4 \int v \; dv \end{align*}$$

 

2). 단항식 적분

 

$$\begin{align*} \int v^{5} \; dv + 4\int v^{3} \; dv + 4 \int v \; dv &= \left( \frac{1}{5 + 1} v^{5 + 1} + C_{1} \right) + 4\left( \frac{1}{3 + 1} v^{3 + 1} + C_{2}\right) + 4\left( \frac{1}{1 + 1}v^{1 + 1} + C_{3} \right) \\ &= \frac{1}{6}v^{6} + v^{4} + 2v^{2} + (C_{1} + 4C_{2} + 4C_{3})\end{align*}$$

 

따라서, $\int v(v^{2} + 2)^{2} \; dv = \frac{1}{6}v^{6} + v^{4} + 2v^{2} + C$이다. 여기서, $C = C_{1} + 4C_{2} + 4C_{3}$이다. 

 

(g). $\int \frac{x^{3} - 2\sqrt{x}}{x} \; dx$

 

1). 적분의 선형성 적용

 

$$\begin{align*} \int \frac{x^{3} - 2\sqrt{x}}{x} \; dx &= \int (x^{2} - 2x^{-\frac{1}{2}}) \; dx \\ &= \int x^{2} \; dx - 2\int x^{-\frac{1}{2}} \; dx \end{align*}$$

 

2). 단항식 적분

 

$$\begin{align*} \int x^{2} \; dx - 2\int x^{-\frac{1}{2}} \; dx &= \left( \frac{1}{3}x^{3} + C_{1} \right) - 2\left( \frac{1}{-\frac{1}{2} + 1} x^{-\frac{1}{2} + 1} + C_{2} \right) \\ &= \frac{1}{3}x^{3} -4x^{\frac{1}{2}} + (C_{1} - 2C_{2}) \end{align*}$$

 

따라서, $\int \frac{x^{3} - 2\sqrt{x}}{x} \; dx = \frac{1}{3}x^{3} - 4x^{\frac{1}{2}} + C$이다. 여기서, $C = C_{1} - 2C_{2}$이다. 

 

 

연습문제3. 주어진 부정적분을 위의 부정적분 표를 이용하여 계산하라.

 

(a). $\int (x^{2} + 1 + \frac{1}{1 + x^{2}}) \; dx$

(b). $\int (\sin(x) + \sinh(x)) \; dx$

(c). $\int (\csc^{2}(t) - 2e^{t}) \; dt$

(d). $\int (\theta - \csc(\theta)\cot(\theta)) \; d\theta$

(e). $\int \sec(t)(\sec(t) + \tan(t)) \; dt$

(f). $\int (1 + \tan^{2}(\alpha)) \; d\alpha$

(g). $\int \frac{\sin(2x)}{\sin(x)} \; dx$

 

(a). $\int (x^{2} + 1 + \frac{1}{1 + x^{2}}) \; dx$

 

1). 적분의 선형성 적용

 

$$\begin{align*} \int (x^{2} + 1 + \frac{1}{1 +x^{2}}) &= \int x^{2} \; dx + \int 1 \; dx + \int \frac{1}{1 + x^{2}} \; dx \end{align*} $$

 

2). 단항식 적분

 

$$\begin{align*} \int x^{2} \; dx + \int 1 \; dx &= \left( \frac{1}{2 + 1}x^{2 + 1} + C_{1} \right) + \left( x + C_{2} \right) \\ &= \frac{1}{3}x^{3} + x + (C_{1} + C_{2}) \end{align*} $$

 

3). 역삼각함수 적분

 

$$\begin{align*} \int \frac{1}{1 + x^{2}} \; dx = \arctan(x) + C_{3} \end{align*}$$ 

 

따라서, $\int (x^{2} + 1 + \frac{1}{1 + x^{2}}) \; dx = \frac{1}{3}x^{3} + x + \arctan(x) + C$이다. 여기서, $C = C_{1} + C_{2} + C_{3}$이다. 

 

(b). $\int (\sin(x) + \sinh(x)) \; dx$

 

1). 적분의 선형성 적용

 

$$\begin{align*} \int (\sin(x) + \sinh(x)) \; dx &= \int \sin(x) \; dx + \int \sinh(x) \; dx \end{align*}$$

 

2). 삼각함수 적분

 

$$\begin{align*} \int \sin(x) \; dx  &= -\cos(x) + C_{1} \end{align*}$$

 

3). 쌍곡함수 적분

 

$$\begin{align*} \int \sinh(x) \; dx  &= \cosh(x) + C_{2} \end{align*}$$

 

따라서, $\int (\sin(x) + \sinh(x)) \; dx = -\cos(x) + \cosh(x) + C$이다. 여기서, $C = C_{1} + C_{2}$이다. 

 

(c). $\int (\csc^{2}(t) - 2e^{t}) \; dt$

 

1). 적분의 선형성 적용

 

$$\begin{align*} \int (\csc^{2}(t) - 2e^{t}) \; dt &= \int \csc^{2}(t) \; dt - 2\int e^{t} \; dt  \end{align*}$$

 

2). 삼각함수 적분

 

$$\begin{align*} \int \csc^{2}(t) \; dt  &= -\cot(t) + C_{1} \end{align*}$$

 

3). 지수함수 적분

 

$$\begin{align*} -2\int e^{t} \; dt  &= -2(e^{t} + C_{2}) \\ &= -2e^{t} - 2C_{2} \end{align*}$$

 

따라서, $\int (\csc^{2}(t) - 2e^{t}) \; dt = -\cot(t) - 2e^{t} + C$이다. 여기서, $C = C_{1} - 2C_{2}$이다. 

 

(d). $\int (\theta - \csc(\theta)\cot(\theta)) \; d\theta$

 

1). 적분의 선형성 적용

 

$$\begin{align*} \int (\theta - \csc(\theta)\cot(\theta)) \; d\theta &= \int \theta \; d\theta - \int \csc(\theta)\cot(\theta) \; d\theta \end{align*}$$

 

2). 단항식 적분

 

$$\begin{align*} \int \theta \; d\theta &= \frac{1}{1 + 1} \theta^{1 + 1} + C_{1} \\ &= \frac{1}{2}\theta^{2} + C_{1}  \end{align*}$$

 

3). 삼각함수 적분

 

$$\begin{align*} -\int \csc(\theta)\cot(\theta) \; d\theta &= -(\csc(\theta) + C_{2}) \\ &= -\csc(\theta) - C_{2} \end{align*}$$

 

따라서, $\int (\theta - \csc(\theta)\cot(\theta)) \; d\theta = \frac{1}{2}\theta^{2} - \csc(\theta) + C$이다. 여기서, $C = C_{1} - C_{2}$이다. 

 

(e). $\int \sec(t)(\sec(t) + \tan(t)) \; dt$

 

1). 적분의 선형성 적용

 

$$\begin{align*} \int \sec(t)(\sec(t) + \tan(t)) \; dt &= \int (\sec^{2}(t) + \sec(t)\tan(t)) \; dt \\ &= \int \sec^{2}(t) \; dt + \int \sec(t)\tan(t) \; dt \end{align*}$$

 

2). 삼각함수 적분

 

$$\begin{align*} \int \sec^{2}(t) \; dt + \int \sec(t)\tan(t) \; dt &= (\tan(t) + C_{1}) + (\sec(t) + C_{2}) \\ &= \tan(t) + \sec(t) + (C_{1} + C_{2})\end{align*}$$

 

따라서, $\int \sec(t)(\sec(t) + \tan(t)) \; dt = \tan(t) + \sec(t) + C$이다. 여기서, $C = C_{1} + C_{2}$이다. 

 

(f). $\int (1 + \tan^{2}(\alpha)) \; d\alpha$

 

1). 피적분함수 수식 정리

 

$$\begin{align*} \int (1 + \tan^{2}(\alpha)) \; d\alpha&= \int \left(1 + \frac{\sin^{2}(\alpha)}{\cos^{2}(\alpha)}\right) \; d\alpha \\ &= \int \frac{\cos^{2}(\alpha) + \sin^{2}(\alpha)}{\cos^{2}(\alpha)} \; d\alpha \\ &= \int \frac{1}{\cos^{2}(\alpha)} \; d\alpha \\ &= \int \sec^{2}(\alpha) \; d\alpha\end{align*}$$

 

2). 삼각함수 적분

 

$$\begin{align*} \int \sec^{2}(\alpha) \; d\alpha = \tan(\alpha) + C_{1} \end{align*}$$

 

따라서, $\int (1 + \tan^{2}(\alpha)) \; d\alpha = \tan(\alpha) + C$이다. 여기서, $C = C_{1}$이다. 

 

(g). $\int \frac{\sin(2x)}{\sin(x)} \; dx$

 

1). 피적분함수 수식 정리

 

$$\begin{align*} \int \frac{\sin(2x)}{\sin(x)} \; dx &= \int \frac{2\sin(x)\cos(x)}{\sin(x)} \; dx \\ &= \int 2\cos(x) \; dx \\ &= 2\int \cos(x) \; dx\end{align*}$$

 

2). 삼각함수 적분

 

$$\begin{align*} 2\int \cos(x) \; dx &= 2(\sin(x) + C_{1}) \\ &= 2\sin(x) + 2C_{1} \end{align*}$$

 

따라서, $\int \frac{\sin(2x)}{\sin(x)} \; dx = 2\sin(x) + C$이다. 여기서, $C = 2C_{1}$이다. 

 

참고자료 및 그림출처

Calculus(J. Stewart)