미적분학 - 두 곡선 사이의 넓이

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 치환적분에서는 보다 복잡한 함수의 적분을 가능하게 하는 치환적분(Substitution Integration)에 대해서 알아보았습니다. 오늘부터는 적분을 활용하는 방법에 대해서 알아보겠습니다. 첫번째 활용은 임의의 두 곡선 사이의 넓이를 적분을 통해 구할 수 있습니다. 

 

미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다.  

 

 

먼저, 위와 같은 곡선 $y = f(x)$와 $y = g(x)$를 고려하겠습니다. 이제 저희가 하고 싶은 것은 구간 $[a, b]$에서 두 곡선 사이의 영역 $S$ 넓이인 $A$를 구하는 것입니다. 이때, 영역 $S$를 수학적으로 표현하면 아래와 같습니다. 

 

$$S = \{(x, y) | a \le x \le b, g(x) \le y \le f(x)\}$$

 

일단, 지금 저희가 할 수 있는 것은 정의대로 따라가는 방법밖에 없습니다. 적분을 정의하기 위해 했던 2가지 포스팅을 참고해주시길 바랍니다. 

미적분학 - 영역 문제

미적분학 - 적분 정의

따라서, 해볼 것은 해당 영역을 위의 왼쪽 그림과 같이 작은 직사각형으로 나누는 것입니다. 그리고 이 과정을 여러 번 반복하는 것이죠. 그 결과가 위의 오른쪽 그림입니다. 일단, 어떻게 나누는 지 보도록 하죠. 먼저, 총 $n$개의 동일한 길이를 가지는 구간으로 나눈다고 가정하겠습니다. 그러면 각 구간은 모두 $\Delta x$의 길이를 가지게 됩니다.  여기서 저희는 표본점 $x^{*}$을 구간의 중간점으로 정할 예정입니다. 왜냐하면 구간의 왼쪽이나 오른쪽으로 정하는 것보다 더욱 정확한 영역의 넓이를 얻을 수 있기 때문이죠. 따라서 각 직사각형의 높이는 $f(x^{*}) - g(x^{*})$가 됩니다. 이때, 오른쪽 그림의 넓이를 구하면 $\sum_{i}^{N} \left[f(x^{*}_{i}) - g(x^{*}_{i})\right] \Delta x$가 됩니다. 남은 일은 $n$을 무한히 늘리면 되겠죠. 따라서 영역 $S$의 넓이 $A$는 아래와 같습니다.  

 

$$A = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i = 1}^{n} \left[f(x^{*}_{i}) - g(x^{*}_{i})\right] \Delta x = \int_{a}^{b} \left[f(x) - g(x)\right] \; dx$$

 

예제1. 구간 $[0, 1]$에서 $y = e^{x}$와 $y = x$ 사이의 영역의 넓이를 구하여라.

먼저, 두 곡선의 그래프를 그리면 아래와 같다. 

 

이전에 얻은 결과를 통해 두 곡선 사이의 넓이를 구하면 아래와 같다. 

 

$$\begin{align*} A = \int_{0}^{1} \left[e^{x} - x\right] \; dx &= \int_{0}^{1} e^{x} \; dx - \int_{0}^{1} x \; dx \\ &= \left[e^{x}\right]_{0}^{1} - \left[\frac{1}{2} x^{2}\right]_{0}^{1} \\ &= \left(e - 1\right) - \frac{1}{2} = e - \frac{3}{2}\end{align*}$$

 

예제2. $y = x^{2}$와 $y = 2x - x^{2}$ 사이의 영역의 넓이를 구하여라.

구간이 정해져 있지 않으므로 두 곡선이 만나는 지점을 구한다. 

 

$$x^{2} = 2x - x^{2} \Rightarrow x = 0, 1$$

 

따라서, 구간 $[0, 1]$에서 두 영역 사이의 넓이를 구하면 된다. 이때, 두 곡선을 그림으로 표현하면 아래와 같다. 

 

이전에 얻은 결과를 통해 두 곡선 사이의 넓이를 구하면 아래와 같다. 

 

$$\begin{align*} A = \int_{0}^{1} \left[2x - x^{2} - x^{2}\right] \; dx &= \int_{0}^{1} \left[2x - 2x^{2}\right] \; dx \\ &= \left[x^{2} - \frac{2}{3} x^{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}\end{align*}$$

 

여기서 주의해야할 점은 항상 $f(x) \ge g(x)$는 아니라는 점입니다. 따라서 이를 확장하여 아래와 같이 쓸 수 있습니다. 

 

$$A = \int_{a}^{b} \left|f(x) - g(x)\right| \; dx$$

 

예제3. 구간 $[0, \frac{\pi}{2}]$에서 $y = \sin(x)$와 $y = \cos(x)$ 사이의 넓이를 구하여라.

먼저, 두 곡선의 그림을 그리면 아래와 같다. 

 

주의해야할 점은 $f(x) \ge g(x)$인 구간과 $f(x) \le g(x)$인 구간을 나누어 적분을 해야한다. 따라서 $\sin(x) = \cos(x)$인 지점을 구하면 $x = \frac{\pi}{4}$이다. 따라서 적분하면 아래와 같다. 

 

$$\begin{align*} A &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left|\sin(x) - \cos(x)\right| \; dx \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left[\cos(x) - \sin(x)\right] \; dx - \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \left[\sin(x) - \cos(x)\right] \\ &= \left[\sin(x) + \cos(x)\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} + \left[\cos(x) - \sin(x)\right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \left(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} - 0 - 1\right) + \left(-0 - 1+ \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 2\sqrt{2} - 2\end{align*}$$

마지막으로 확인해볼 것은 $x$ 축을 기준으로 영역의 넓이를 구할 수도 있지만 위와 같이 $y$ 축을 기준으로도 영역의 넓이를 구할 수도 있습니다. 이를 수학적으로 표기하면 아래와 같습니다. 

 

$$A = \int_{c}^{d} \left|f(y) - g(y)\right| dy$$

 

연습문제1. 주어진 함수들에 둘러쌓인 영역을 그리고 넓이를 구하여라.

 

(a). $y = x + 1, y = 9 - x^{2}, x = -1, x = 2$

(b). $y = \sin(x), y = e^{x}, x = 0, x = \frac{\pi}{2}$

(c). $y = x, y = x^{2}$

(d). $y = x^{2} - 2x, y = x + 4$

(e). $y = \frac{1}{x}, y = \frac{1}{x^{2}}, x = 2$

 

(a). $y = x + 1, y = 9 - x^{2}, x = -1, x = 2$

 

STEP1. 주어진 함수들에 둘러쌓인 영역을 그린다. 

 

 

STEP2. 주어진 영역의 넓이를 구한다. 

 

먼저, $f(x) = 9 - x^{2}$ 그리고 $g(x) = x + 1$이라고 하자. 구간 $[0, 2]$에서 $f(x) > g(x)$이므로 아래와 같이 적분을 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} A &= \int_{0}^{2} |f(x) - g(x)| \; dx \\ &= \int_{0}^{2} \left[ (9 - x^{2}) - (x + 1) \right] \; dx \\ &= \int_{0}^{2} (8 - x - x^{2}) \; dx \\ &= \left[ 8x - \frac{1}{2}x^{2} - \frac{1}{3}x^{3} \right]_{0}^{2} \\ &= 16 - 2 - \frac{8}{3} = \frac{44}{3} \end{align*}$$

 

(b). $y = \sin(x), y = e^{x}, x = 0, x = \frac{\pi}{2}$

 

STEP1. 주어진 함수들에 둘러쌓인 영역을 그린다. 

 

 

STEP2. 주어진 영역의 넓이를 구한다. 

 

먼저, $f(x) = \sin(x)$ 그리고 $g(x) = e^{x}$이라고 하자. 구간 $[0, \frac{\pi}{2}]$에서 $f(x) < g(x)$이므로 아래와 같이 적분을 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} A &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |f(x) - g(x)| \; dx \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left[ e^{x} - \sin(x) \right] \; dx \\ &= \left[ e^{x} + \cos(x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= (e^{\frac{\pi}{2}} + \cos(\frac{\pi}{2}) - (e^{0} + \cos(0)) = e^{\frac{\pi}{2}} - 2 \end{align*}$$

 

(c). $y = x, y = x^{2}$

 

STEP1. 주어진 함수들에 둘러쌓인 영역을 그린다. 

 

 

STEP2. 주어진 영역의 넓이를 구한다. 

 

먼저, $f(x) = x$ 그리고 $g(x) = x^{2}$이라고 하자. 두 함수가 만나는 점은 $(1, 1)$이므로 적분구간은 $[0, 1]$이다. 이때, 구간 $[0, 1]$에서 $f(x) > g(x)$이므로 아래와 같이 적분을 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} A &= \int_{0}^{1} |f(x) - g(x)| \; dx \\ &= \int_{0}^{1} \left[ x - x^{2} \right] \; dx \\ &= \left[ \frac{1}{2}x^{2} - \frac{1}{3}x^{3} \right]_{0}^{1} \\ &= \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \end{align*}$$

 

(d). $y = x^{2} - 2x, y = x + 4$

 

STEP1. 주어진 함수들에 둘러쌓인 영역을 그린다. 

 

 

STEP2. 주어진 영역의 넓이를 구한다. 

 

먼저, $f(x) = x^{2} - 2x$ 그리고 $g(x) = x + 4$이라고 하자. 두 함수가 만나는 점은 $(4, 8)$과 $(-1, 3)$이므로 적분구간은 $[-1, 3]$이다. 이때, 구간 $[-1, 3]$에서 $f(x) < g(x)$이므로 아래와 같이 적분을 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} A &= \int_{-1}^{3} |f(x) - g(x)| \; dx \\ &= \int_{-1}^{3} \left[ (x + 4) - (x^{2} - 2x) \right] \; dx \\ &= \int_{-1}^{3} \left[ 4 + 3x - x^{2} \right] \\ &= \left[ 4x + \frac{3}{2}x^{2} - \frac{1}{3}x^{3} \right]_{-1}^{3} \\ &= \left( 12 + \frac{27}{2} - 9 \right) - \left( -4 + \frac{3}{2} + \frac{1}{3} \right) = \frac{56}{3} \end{align*}$$

 

(e). $y = \frac{1}{x}, y = \frac{1}{x^{2}}, x = 2$

 

 

STEP1. 주어진 함수들에 둘러쌓인 영역을 그린다. 

 

 

STEP2. 주어진 영역의 넓이를 구한다. 

 

먼저, $f(x) = \frac{1}{x}$ 그리고 $g(x) = \frac{1}{x^{2}}$이라고 하자. 두 함수가 만나는 점은 $(1, 1)$이므로 적분구간은 $[1, 2]$이다. 이때, 구간 $[1, 2]$에서 $f(x) > g(x)$이므로 아래와 같이 적분을 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} A &= \int_{1}^{2} |f(x) - g(x)| \; dx \\ &= \int_{1}^{2} \left[ \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} \right] \; dx \\ &= \left[ \ln|x| + \frac{1}{x} \right]_{1}^{2} \\ &= \left( \ln(2) + \frac{1}{2} \right) - \left( \ln(1) + 1 \right) = \ln(2) - \frac{1}{2} \end{align*}$$

 

연습문제2. 주어진 함수들에 둘러쌓인 영역을 그리고 넓이를 구하여라.

 

(a). $y = 1 + \sqrt{x}, y = \frac{3 + x}{3}$

(b). $y = x^{2}, y^{2} = x$

(c). $y = x^{2}, y = 4x - x^{2}$

(d). $y = 12 - x^{2}, y = x^{2} - 6$

(e). $y = \cos(x), y = 2 - \cos(x), 0 \le x \le 2\pi$

 

(a). $y = 1 + \sqrt{x}, y = \frac{3 + x}{3}$

 

STEP1. 주어진 함수들에 둘러쌓인 영역을 그린다. 

 

 

STEP2. 주어진 영역의 넓이를 구한다. 

 

먼저, $f(x) = 1 + \sqrt{x}$ 그리고 $g(x) = \frac{3 + x}{3} = 1 + \frac{x}{3}이라고 하자. 두 함수가 만나는 점은 $(0, 1)$ 과 $(9, 4)$이므로 적분구간은 $[0, 9]$이다. 이때, 구간 $[0, 9]$에서 $f(x) \ge g(x)$이므로 아래와 같이 적분을 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} A &= \int_{0}^{9} |f(x) - g(x)| \; dx \\ &= \int_{0}^{9} \left[ (1 + \sqrt{x}) - (1 + \frac{x}{3}) \right] \; dx \\ &= \int_{0}^{9} \left[ \sqrt{x} - \frac{x}{3} \right]] \\ &= \left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{6}x^{2} \right]_{0}^{9} \\ &= \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{6} \cdot 9^{2} = \frac{1}{6} \end{align*}$$

 

(b). $y = x^{2}, y^{2} = x$

 

STEP1. 주어진 함수들에 둘러쌓인 영역을 그린다. 

 

 

STEP2. 주어진 영역의 넓이를 구한다. 

 

먼저, $f(x) = x^{2}$ 그리고 $g(x) = \sqrt{x}$이라고 하자. 두 함수가 만나는 점은 $(0, 0)$ 과 $(1, 1)$이므로 적분구간은 $[0, 1]$이다. 이때, 구간 $[0, 1]$에서 $f(x) \le g(x)$이므로 아래와 같이 적분을 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} A &= \int_{0}^{1} |f(x) - g(x)| \; dx \\ &= \int_{0}^{1} \left[ \sqrt{x} - x^{2} \right] \; dx \\ &= \left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3}x^{3} \right]_{0}^{1} \\ &= \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3} \cdot 1^{2} = \frac{1}{3} \end{align*}$$

 

(c). $y = x^{2}, y = 4x - x^{2}$

 

STEP1. 주어진 함수들에 둘러쌓인 영역을 그린다. 

 

 

 

STEP2. 주어진 영역의 넓이를 구한다. 

 

먼저, $f(x) = x^{2}$ 그리고 $g(x) = 4x - x^{2}$이라고 하자. 두 함수가 만나는 점은 $(0, 0)$ 과 $(2, 4)$이므로 적분구간은 $[0, 2]$이다. 이때, 구간 $[0, 2]$에서 $f(x) \le g(x)$이므로 아래와 같이 적분을 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} A &= \int_{0}^{2} |f(x) - g(x)| \; dx \\ &= \int_{0}^{2} \left[ (4x - x^{2}) - x^{2} \right] \; dx \\ &= \int_{0}^{2} \left[ 4x - 2x^{2} \right] \; dx \\ &= \left[ 2x^{2} - \frac{2}{3}x^{3} \right]_{0}^{2} \\ &= 2 \cdot 2^{2} - \frac{2}{3} \cdot 2^{3} = \frac{8}{3} \end{align*}$$

 

(d). $y = 12 - x^{2}, y = x^{2} - 6$

 

STEP1. 주어진 함수들에 둘러쌓인 영역을 그린다. 

 

 

STEP2. 주어진 영역의 넓이를 구한다. 

 

먼저, $f(x) = 12 - x^{2}$ 그리고 $g(x) = x^{2} - 6$이라고 하자. 두 함수가 만나는 점은 $(-3, 3)$ 과 $(3, 3)$이므로 적분구간은 $[-3, 3]$이다. 이때, 구간 $[-3, 3]$에서 $f(x) \ge g(x)$이므로 아래와 같이 적분을 구할 수 있다.

 

$$\begin{align*} A &= \int_{-3}^{3} |f(x) - g(x)| \; dx \\ &= \int_{-3}^{3} \left[ (12 - x^{2}) - (x^{2} - 6) \right] \; dx \\ &= 2\int_{0}^{3} \left[ 6 - 2x^{2} \right] \; dx \\ &= 2\left[ 18x - \frac{2}{3}x^{3} \right]_{0}^{3} \\ &= 2 \left( 18 \cdot 3 - \frac{2}{3} \cdot 3^{3} \right)= 72 \end{align*}$$

 

(e). $y = \cos(x), y = 2 - \cos(x), 0 \le x \le 2\pi$

 

STEP1. 주어진 함수들에 둘러쌓인 영역을 그린다. 

 

 

STEP2. 주어진 영역의 넓이를 구한다. 

 

먼저, $f(x) = \cos(x)$ 그리고 $g(x) = 2 - \cos(x)$이라고 하자. 이때, 구간 $[0, 2\pi]$에서 $f(x) \le g(x)$이므로 아래와 같이 적분을 구할 수 있다.

 

$$\begin{align*} A &= \int_{0}^{2\pi} |f(x) - g(x)| \; dx \\ &= \int_{0}^{2\pi} \left[ (2 - \cos(x)) - \cos(x) \right] \; dx \\ &= 2\int_{0}^{2\pi} \left[ 1 - \cos(x) \right] \; dx \\ &= 2\left[ x - \sin(x) \right]_{0}^{2\pi} \\ &= 2 \left[ \left( 2\pi - \sin(2\pi) \right) - \left( 0 - \sin(0) \right)\right]= 4\pi \end{align*}$$

 

연습문제3. 주어진 함수들에 둘러쌓인 영역을 그리고 넓이를 구하여라.

 

(a). $x = 2y^{2}, x = 4 + y^{2}$

(b). $y = x^{3} - x, y = 3x$

(c). $y = x^{2}, y = 4x - x^{2}$

(d). $y = \sqrt{x}, y = \frac{1}{2}x, x = 9$

(e). $y = 8 - x^{2}, y = x^{2}, x = -3, x = 3$

 

(a). $x = 2y^{2}, x = 4 + y^{2}$

 

STEP1. 주어진 함수들에 둘러쌓인 영역을 그린다. 

 

 

STEP2. 주어진 영역의 넓이를 구한다. 

 

먼저, $f(y) = 2y^{2}$ 그리고 $g(y) = 4 + y^{2}$이라고 하자. 두 함수가 만나는 점은 $(8, -2)$ 과 $(8, 2)$이므로 적분구간은 $[-2, 2]$이다. 이때, 구간 $[-2, 2]$에서 $f(y) \le g(y)$이므로 아래와 같이 적분을 구할 수 있다.

 

$$\begin{align*} A &= \int_{-2}^{2} |f(y) - g(y)| \; dy \\ &= 2\int_{0}^{2} \left[ (4 + y^{2}) - 2y^{2} \right] \; dy \\ &= 2\int_{0}^{2} \left[ 4 - y^{2} \right] \; dy \\ &= 2\left[ 4y - \frac{1}{3}y^{3} \right]_{0}^{2} \\ &= 2\left( 4 \cdot 2 - \frac{1}{3} \cdot 8 \right) = \frac{32}{3}\end{align*}$$

 

(b). $y = x^{3} - x, y = 3x$

 

STEP1. 주어진 함수들에 둘러쌓인 영역을 그린다. 

 

 

STEP2. 주어진 영역의 넓이를 구한다. 

 

먼저, $f(x) = x^{3} - x$ 그리고 $g(x) = 3x$이라고 하자. 두 함수가 만나는 점은 $(-2, -6), (0, 0)$ 과 $(2, 6)$이므로 적분구간은 $[-2, 2]$이다. 이때, 구간 $[-2, 0]$에서 $f(x) \ge g(x)$ 이고 $[0, 2]$에서 $f(x) \le g(x)$이므로 아래와 같이 적분을 구할 수 있다.

 

$$\begin{align*} A &= \int_{-2}^{2} |f(x) - g(x)| \; dx \\ &= 2\int_{0}^{2} \left[ 3x - (x^{3} - x) \right] \; dx \\ &= 2\int_{0}^{2} \left[ 4x - x^{3} \right] \; dx \\ &= 2\left[ 2x^{2} - \frac{1}{4}x^{4} \right]_{0}^{2} \\ &= 2\left( 2 \cdot 2^{2} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4} \right) = 8 \end{align*}$$

 

(c). $y = x^{2}, y = 4x - x^{2}$

 

STEP1. 주어진 함수들에 둘러쌓인 영역을 그린다. 

 

 

STEP2. 주어진 영역의 넓이를 구한다. 

 

먼저, $f(x) = x^{2}$ 그리고 $g(x) = 4x - x^{2}$이라고 하자. 두 함수가 만나는 점은 $(0, 0)$ 과 $(2, 4)$이므로 적분구간은 $[0, 2]$이다. 이때, 구간 $[0, 2]$에서 $f(x) \ge g(x)$이므로 아래와 같이 적분을 구할 수 있다.

 

$$\begin{align*} A &= \int_{0}^{2} |f(x) - g(x)| \; dx \\ &= \int_{0}^{2} \left[ (4 - x^{2}) - x^{2} \right] \; dx \\ &= \int_{0}^{2} \left[ 4 - 2x^{2} \right] \; dx \\ &= \left[ 4x - \frac{2}{3}x^{3} \right]_{0}^{2} \\ &= 4 \cdot 2 - \frac{2}{3} \cdot 2^{3} = \frac{8}{3} \end{align*}$$

 

(d). $y = \sqrt{x}, y = \frac{1}{2}x, x = 9$ 

 

STEP1. 주어진 함수들에 둘러쌓인 영역을 그린다. 

 

 

STEP2. 주어진 영역의 넓이를 구한다. 

 

먼저, $f(x) = \sqrt{x}$ 그리고 $g(x) = \frac{1}{2}x$이라고 하자. 두 함수가 만나는 점은 $(0, 0)$ 과 $(4, 2)$이므로 적분구간은 $[0, 4]$이다. 이때, 구간 $[0, 4]$에서 $f(x) \ge g(x)$이므로 아래와 같이 적분을 구할 수 있다.

 

$$\begin{align*} A &= \int_{0}^{4} |f(x) - g(x)| \; dx \\ &= \int_{0}^{4} \left[ \sqrt{x} - \frac{1}{2}x \right] \; dx \\ &= \left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{4}x^{2} \right]_{0}^{4} \\ &= \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{4} \cdot 4^{2} = \frac{4}{3} \end{align*}$$

 

연습문제4. 직선 $y = x^{2}$과 $y = 4$로 둘러쌓인 영역의 넓이를 동일한 넓이의 두 개의 영역으로 나누는 직선 $y = b$를 구하여라.

 

STEP1. 주어진 함수들에 둘러쌓인 영역을 그린다. 

 

 

STEP2. 주어진 영역의 넓이를 구한다. 

 

먼저, $f(x) = x^{2}$ 그리고 $g(x) = 4$이라고 하자. 두 함수가 만나는 점은 $(-2, 4)$ 과 $(2, 4)$이므로 적분구간은 $[-2, 2]$이다. 이때, 구간 $[-2, 2]$에서 $f(x) \le g(x)$이므로 아래와 같이 적분을 구할 수 있다.

 

$$\begin{align*} A &= \int_{-2}^{2} |f(x) - g(x)| \; dx \\ &= 2\int_{0}^{2} \left[ 4 - x^{2} \right] \; dx \\ &= 2\left[ 4x - \frac{1}{3}x^{3} \right]_{0}^{2} \\ &= 2 \left(4 \cdot 2 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} \right) = \frac{32}{3} \end{align*}$$

 

STEP3. $y = b$와 $y = x^{2}$으로 둘러쌓인 영역의 넓이를 구한다. 

 

먼저, $f(x) = x^{2}$ 그리고 $h(x) = b$이라고 하자. 두 함수가 만나는 점은 $(-\sqrt{b}, b)$ 과 $(\sqrt{b}, b)$이므로 적분구간은 $[-\sqrt{b}, \sqrt{b}]$이다. 이때, 구간 $[-\sqrt{b}, \sqrt{b}]$에서 $f(x) \le g(x)$이므로 아래와 같이 적분을 구할 수 있다.

 

$$\begin{align*} A &= \int_{-\sqrt{b}}^{\sqrt{b}} |f(x) - g(x)| \; dx \\ &= 2\int_{0}^{\sqrt{b}} \left[ b - x^{2} \right] \; dx \\ &= 2\left[ bx - \frac{1}{3}x^{3} \right]_{0}^{\sqrt{b}} \\ &= 2 \left(b\sqrt{b} - \frac{1}{3}\sqrt{b}^{3} \right) = \frac{16}{3} \end{align*}$$

 

마지막 식을 정리하면 $b = 2\sqrt[3]{2} \approx = 2.5198$이다. 

 

연습문제5. 두 곡선 $y  = x^{2} - c^{2}$과 $y = c^{2} - x^{2}$으로 둘러쌓인 영역의 넓이가 576이 되도록 하는 $c$를 구하여라.

 

먼저 두 곡선이 만나는 점을 구하면 $x^{2} - c^{2} = c^{2} - x^{2} \rightarow x = \pm c$이다. 따라서, 두 곡선으로 둘러쌓인 영역의 넓이는 아래와 같이 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} A &= \int_{-c}^{c} |f(x) - g(x)| \; dx \\ &= 2\int_{0}^{c} \left[ 2c^{2} - 2x^{2} \right] \; dx \\ &= 4\left[ c^{2}x - \frac{1}{3}x^{3} \right]_{0}^{c} \\ &= 4 \left(c^{3} - \frac{1}{3}c^{3} \right) = 576 \end{align*}$$

 

마지막 식을 정리하면 $c = 6$이다. 

 

 

참고자료 및 그림출처

Calculus(J. Stewart)