미적분학 - 치환적분

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 부정적분에서는 몇 가지 기본 함수들의 적분 결과를 테이블로 정리하였습니다. 오늘은 테이블에 나와있지 않는 함수들도 적분할 수 있도록 만들어주는 치환적분(Substitution Integration)에 대해서 설명하도록 하겠습니다. 

 

미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다.  

 

미적분학 - 미적분학 기본정리의 FTC 2에 따르면 정적분을 계산하기 위해서는 반드시 적분을 해야합니다. 하지만, 미분과는 다르게 적분은 쉽게 할 수 없습니다. 당장 예를 들어 $\int 2x\sqrt{1 + x^{2}} \; dx$ 같은 경우에는 지난 포스팅의 테이블에 나와있지 않기 때문에 저희가 알고 있는 지식으로는 적분할 수 없습니다. 하지만, 이러한 함수들도 적분 할 수 있도록 만든 기술 중 하나가 치환적분입니다. 말그대로 함수 $f(x)$의 어떤 요소를 치환하여 연쇄법칙과 함께 적분하기 쉬운 형태로 바꾸는 것이 목표입니다. 방금 보여드린 예시에서는 $u = 1  + x^{2} \Rightarrow du = 2x dx$로 치환하여 적분을 해볼 수 있습니다. 

 

$$\begin{align*} \int 2x \sqrt{1 + x^{2}} \; dx &= \int 2x \sqrt{u} \; \frac{1}{2x} du \\ &= \int \sqrt{u} \; du \\ &= \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3} \left(1 + x^{2}\right)^{\frac{3}{2}} + C\end{align*}$$

 

실제로 적분된 결과를 다시 미분해보면 다시 피적분함수가 나오는 것을 볼 수 있습니다. 

 

$$\begin{align*} \frac{d}{dx} \left(\frac{2}{3} \left(1 + x^{2}\right)^{\frac{3}{2}} + C\right) &= \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} (1 + x^{2})^{\frac{1}{2}} \cdot 2x \\ &= 2x\sqrt{1 +x^{2}}\end{align*}$$

 

 정리 1. 치환적분(Substitution Integration)

닫힌 구간 $I$에서 함수 $u = g(x)$가 미분 가능하고 함수 $f$가 연속이라고 하면 아래의 식이 성립한다. 

 

$$\int f(g(x)) g^{'}(x) \; dx = \int f(u) \; du$$

 

예제1. $\int x^{3} \cos(x^{4} + 2) \; dx$를 계산하라.

$u = x^{4} + 2$이라고 하면 $du = 4x^{3} dx \Rightarrow \frac{1}{4x^{3}} du = dx$이다. 따라서, 치환적분을 통해 계산하면 아래와 같다. 

 

$$\begin{align*} \int x^{3} \cos(x^{4} + 2) \; dx &= \int x^{3} \cos(u) \; \frac{1}{4x^{3}} du \\ &= \int \frac{1}{4} \cos(u) \; du \\ &= \frac{1}{4} \cos(u) + C = \frac{1}{4} \cos(x^{4} + 2) + C \end{align*}$$

 

예제2. $\int \sqrt{2x + 1} \; dx$를 계산하라.

$u = 2x + 1$이라고 하면 $du = 2 dx \Rightarrow \frac{1}{2} du = dx$이다. 따라서, 치환적분을 통해 계산하면 아래와 같다. 

 

$$\begin{align*} \int \sqrt{2x + 1} \; dx &= \int \sqrt(u) \; \frac{1}{2} du \\ &= \int \frac{1}{2} \sqrt(u) \; du \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} (2x + 1)^{\frac{3}{2}} + C \end{align*}$$

 

예제3. $\int \frac{x}{\sqrt{1 - 4x^{2}}} \; dx$를 계산하라.

$u = 1 - 4x^{2}$이라고 하면 $du = -8x dx \Rightarrow -\frac{1}{8x} du = dx$이다. 따라서, 치환적분을 통해 계산하면 아래와 같다. 

 

$$\begin{align*} \int \frac{x}{\sqrt{1 - 4x^{2}}} \; dx &= \int \frac{x}{\sqrt{u}} \; -\frac{1}{8x} du \\ &= \int -\frac{1}{8} \frac{1}{\sqrt{u}} \; du \\ &= -\frac{1}{8} \left(2 \sqrt{u}\right) + C = -\frac{1}{4} \sqrt{1 - 4x^{2}} + C\end{align*}$$

 

예제4. $\int \tan(x) \; dx$를 계산하라.

$\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$임을 고려한다. $u = \cos(x)$라고 하면 $du = -\sin(x) dx \Rightarrow -\frac{1}{\sin(x)} = dx$이다. 따라서, 치환적분을 통해 계산하면 아래와 같다. 

 

$$\begin{align*} \int \tan(x) \; dx &= \int \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \; dx \\ &= \int \frac{\sin(x)}{u} \; -\frac{1}{\sin(x)} du \\ &= \int -\frac{1}{u} \; du \\ &= -\ln(\left|u\right|) + C = -\ln(\left|\cos(x)\right|) + C = \ln(\left|\sec(x)\right|) + C\end{align*}$$

 

 정리 2. 정적분을 위한 치환적분(Substitution Integration for Definite Integral)

닫힌 구간 $I = [a, b]$에서 $g^{'}$와 $f$가 연속이면 다음 식이 성립한다. 

 

$$\int_{a}^{b} f(g(x)) g^{'}(x) \; dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) \; du$$

 

예제5. $\int_{0}^{4} \sqrt{2x + 1} \; dx$를 계산하라.

$u = 2x + 1$이라고 하면 $du = 2 dx \Rightarrow \frac{1}{2} du = dx$이고 아래끝은 $x = 0 \Rightarrow u = 1$, 윗끝은 $x = 4 \Rightarrow u = 9$이다. 예제 2의 결과를 활용하면 아래와 같이 계산가능하다. 

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{4} \sqrt{2x + 1} \; dx &= \int_{1}^{9} \sqrt{u} \; \frac{1}{2} du \\ &= \left[\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}}\right]_{1}^{9} \\ &= \frac{1}{3}\left(9^{\frac{3}{2}} - 1^{\frac{3}{2}}\right) = \frac{26}{3}\end{align*}$$

 

예제6. $\int_{1}^{e} \frac{ln(x)}{x} \; dx$를 계산하라.

$u = \ln(x)$라고 하면 $du = \frac{1}{x} dx \Rightarrow x du = dx$이고 아래끝은 $x = 1 \Rightarrow u = 0$, 윗끝은 $x = e \Rightarrow u = 1$이다. 따라서, 치환적분을 통해 계산하면 아래와 같다.

 

$$\begin{align*} \int_{1}^{e} \frac{\ln(x)}{x} \; dx &= \int_{0}^{1} \frac{u}{x} \; x du \\ &= \int_{0}^{1} u \; du \\ &= \left[\frac{1}{2}u^{2}\right]_{0}^{1} \\ &= \frac{1}{2} \left(1 - 0\right) = \frac{1}{2} \end{align*}$$

 

마지막으로 피적분함수가 대칭함수라면 적분을 쉽게 할 수 있습니다. 

 

 정리 3. 대칭함수의 적분

닫힌 구간 $I = [-a, a]$에서 함수 $f$가 연속이라고 하자. 

 

1. 함수 $f$가 우함수, 즉 $f(-x) = f(x)$라면 $\int_{-a}^{a} f(x) \; dx = 2\int_{0}^{a} f(x) \; dx$이다. 
2. 함수 $f$가 기함수, 즉 $f(-x) = -f(x)$라면 $\int_{-a}^{a} f(x) \; dx = 0$이다. 

 

증명

먼저, 적분 구간을 $x = 0$을 기준으로 2개로 나눈다. 

 

$$\begin{align*} \int_{-a}^{a} f(x) \; dx &= \int_{-a}^{0} f(x) \; dx + \int_{0}^{a} \; dx \\ &= -\int_{0}^{-a} f(x) \; dx + \int_{0}^{a} f(x) \; dx \end{align*}$$

 

이때, 첫번째 적분을 치환적분한다. $u = -x$라고 하면 $du = -dx \Rightarrow -du = dx$이고 아래끝은 $x = 0 \Rightarrow u = 0$, 위끝은 $x = -a \Rightarrow u = a$이다. 

 

1. 피적분함수 $f(x)$가 우함수라고 가정하자. 

 

$$-\int_{0}^{-a} f(x) \; dx + \int_{0}^{a} f(x) \; dx = \int_{0}^{a} f(-u) \; du + \int_{0}^{a} f(x) \; dx = 2\int_{0}^{a} f(x) \; dx$$

 

2. 피적분함수 $f(x)$가 기함수라고 가정하자. 

 

$$-\int_{0}^{-a} f(x) \; dx + \int_{0}^{a} f(x) \; dx = \int_{0}^{a} f(-u) \; du + \int_{0}^{a} f(x) \; dx = 0$$

 

 

연습문제1. 주어진 부정적분을 계산하라.

 

(a). $\int x\sin(x^{2}) \; dx$

(b). $\int x^{2}(x^{3} + 5)^{9} \; dx$

(c). $\int (3x - 2)^{20} \; dx$

(d). $\int (3t + 2)^{2.4} \; dx$

(e). $\int (x + 1)\sqrt{2x + x^{2}} \; dx$

(f). $\int \frac{x}{(x^{2} + 1)^{2}} \; dx$

 

(a). $\int x\sin(x^{2}) \; dx$

 

$x^{2} = u$라고 하자. 

 

$$2x dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{2x} du$$

 

이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다. 

 

$$\begin{align*} \int x\sin(x^{2}) \; dx &= \int x \sin(u) \; \left( \frac{1}{2x}du \right) \\ &= \frac{1}{2} \int \sin(u) \; du \\ &= -\frac{1}{2}\cos(u) + C = -\frac{1}{2}\cos(x^{2}) + C \end{align*}$$

 

따라서, $\int x\sin(x^{2}) \; dx = -\frac{1}{2}\cos(x^{2}) + C$이다. 

 

(b). $\int x^{2}(x^{3} + 5)^{9} \; dx$

 

$x^{3} + 5 = u$라고 하자. 

 

$$3x^{2} dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{3x^{2}} du$$

 

이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다. 

 

$$\begin{align*} \int x^{2}(x^{3} + 5)^{9} \; dx &= \int x^{2} u^{9} \; \left( \frac{1}{3x^{2}}du \right) \\ &= \frac{1}{3} \int u^{9} \; du \\ &= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{10}u^{10} + C = \frac{1}{30}(x^{3} + 5)^{10} + C \end{align*}$$

 

따라서, $\int x^{2}(x^{3} + 5) \; dx = \frac{1}{30}(x^{3} + 5)^{10} + C$이다. 

 

(c). $\int (3x - 2)^{20} \; dx$

 

$3x - 2 = u$라고 하자. 

 

$$3 dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{3} du$$

 

이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다. 

 

$$\begin{align*} \int (3x - 2)^{20} \; dx &= \int u^{20} \; \left( \frac{1}{3}du \right) \\ &= \frac{1}{3} \int u^{20} \; du \\ &= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{21} u^{21} + C = \frac{1}{63}(3x - 2)^{21} + C \end{align*}$$

 

따라서, $\int (3x - 2)^{20} \; dx = \frac{1}{63}(3x - 2)^{21} + C$이다. 

 

(d). $\int (3t + 2)^{2.4} \; dx$

 

$3t + 2 = u$라고 하자. 

 

$$3 dt = du \rightarrow dt = \frac{1}{3} du$$

 

이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다. 

 

$$\begin{align*} \int (3t + 2)^{2.4} \; dt &= \int u^{2.4} \; \left( \frac{1}{3}du \right) \\ &= \frac{1}{3} \int u^{2.4} \; du \\ &= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3.4} u^{3.4} + C = \frac{1}{10.2}(3t + 2)^{3.4} + C \end{align*}$$

 

따라서, $\int (3t + 2)^{2.4} \; dt = \frac{1}{10.2}(3t + 2)^{3.4} + C$이다. 

 

(e). $\int (x + 1)\sqrt{2x + x^{2}} \; dx$

 

$2x + x^{2} = u$라고 하자. 

 

$$(2 + 2x) dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{2(x + 1)} du$$

 

이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다. 

 

$$\begin{align*} \int (x + 1)\sqrt{2x + x^{2}} \; dx &= \int (x + 1)\sqrt{u} \; \left( \frac{1}{2(x + 1)}du \right) \\ &= \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} \; du \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3}(2x + x^{2})^{\frac{3}{2}} + C \end{align*}$$

 

따라서, $\int (x + 1)\sqrt{2x + x^{2}} \; dx = \frac{1}{3}(2x + x^{2})^{\frac{3}{2}} + C$이다. 

 

(f). $\int \frac{x}{(x^{2} + 1)^{2}} \; dx$

 

$x^{2} + 1 = u$라고 하자. 

 

$$2x dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{2x} du$$

 

이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다. 

 

$$\begin{align*} \int \frac{x}{(x^{2} + 1)^{2}} \; dx &= \int \frac{x}{u^{2}} \; \left( \frac{1}{2x}du \right) \\ &= \frac{1}{2} \int u^{-2} \; du \\ &= \frac{1}{2} \cdot \left( -u^{-1} \right) + C = -\frac{1}{2}(x^{2} + 1)^{-1} + C \end{align*}$$

 

따라서, $\int \frac{x}{(x^{2} + 1)^{2}} \; dx = -\frac{1}{2}(x^{2} + 1)^{-1} + C$이다. 

 

연습문제2. 주어진 부정적분을 계산하라.

 

(a). $\int \frac{1}{5 - 3x} \; dx$

(b). $\int e^{x}\sin(e^{x}) \; dx$

(c). $\int \sin(\pi t) \; dx$

(d). $\int \frac{x}{x^{2} + 1} \; dx$

(e). $\int \frac{a + bx^{2}}{\sqrt{3ax + bx^{3}}} \; dx$

(f). $\int \sec(2\theta)\tan(2\theta) \; d\theta$

 

(a). $\int \frac{1}{5 - 3x} \; dx$

 

$5 - 3x = u$라고 하자. 

 

$$-3 dx = du \rightarrow dx = -\frac{1}{3} du$$

 

이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다. 

 

$$\begin{align*} \int \frac{1}{5 - 3x} \; dx &= \int \frac{1}{u} \; \left( -\frac{1}{3}du \right) \\ &= -\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} \; du \\ &= -\frac{1}{3} \cdot \ln |u| + C = -\frac{1}{3}\ln|5 - 3x| + C \end{align*}$$

 

따라서, $\int \frac{1}{5 - 3x} \; dx = -\frac{1}{3}\ln|5 - 3x| + C$이다. 

 

(b). $\int e^{x}\sin(e^{x}) \; dx$

 

$e^{x} = u$라고 하자. 

 

$$e^{x} dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{e^{x}} du$$

 

이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다. 

 

$$\begin{align*} \int e^{x}\sin(e^{x}) \; dx &= \int e^{x}\sin(u) \; \left( \frac{1}{e^{x}}du \right) \\ &= \int \sin(u) \; du \\ &= -\cos(u) + C = -\cos(e^{x}) + C \end{align*}$$

 

따라서, $\int e^{x}\sin(e^{x}) \; dx = -\cos(e^{x}) + C$이다. 

 

(c). $\int \sin(\pi t) \; dx$

 

$\pi t = u$라고 하자. 

 

$$\pi dt = du \rightarrow dt = \frac{1}{\pi} du$$

 

이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다. 

 

$$\begin{align*} \int \sin(\pi t) \; dt &= \int \sin(u) \; \left( \frac{1}{\pi}du \right) \\ &= \frac{1}{\pi} \int \sin(u) \; du \\ &= \frac{1}{\pi} \cdot \left(-\cos(u)\right) + C = -\frac{1}{\pi}\cos(\pi t) + C \end{align*}$$

 

따라서, $\int \sin(\pi t) \; dt = -\frac{1}{\pi}\cos(\pi t) + C$이다. 

 

(d). $\int \frac{x}{x^{2} + 1} \; dx$

 

$x^{2} +1 = u$라고 하자. 

 

$$2x dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{2x} du$$

 

이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다. 

 

$$\begin{align*} \int \frac{x}{x^{2} + 1} \; dx &= \int \frac{x}{x^{2} + 1} \; \left( \frac{1}{2x}dx \right) \\ &= \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \; du \\ &= \frac{1}{2} \cdot \ln|u| + C = \frac{1}{2}\ln(x^{2} + 1) + C \end{align*}$$

 

따라서, $\int \frac{x}{x^{2} + 1} \; dx = \frac{1}{2}\ln(x^{2} + 1) + C$이다. 

 

(e). $\int \frac{a + bx^{2}}{\sqrt{3ax + bx^{3}}} \; dx$

 

$3ax + bx^{3} = u$라고 하자. 

 

$$(3a + 3bx^{2}) dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{3(a + bx^{2})} du$$

 

이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다. 

 

$$\begin{align*} \int \frac{a + bx^{2}}{\sqrt{3ax + bx^{3}}} \; dx &= \int \frac{a + bx^{2}}{\sqrt{u}} \; \left( \frac{1}{3(a + bx^{2})}du \right) \\ &= \frac{1}{3} \int u^{-\frac{1}{2}} \; du \\ &= \frac{1}{3} \cdot 2u^{\frac{1}{2}} + C = \frac{2}{3}(3ax + bx^{3})^{\frac{1}{2}} + C \end{align*}$$

 

따라서, $\int \frac{ax + bx^{2}}{\sqrt{3ax + bx^{3}}} \; dx = \frac{2}{3}(3ax + bx^{3})^{\frac{1}{2}} + C$이다. 

 

(f). $\int \sec(2\theta)\tan(2\theta) \; d\theta$

 

$\cos(2\theta) = u$라고 하자. 

 

$$-2\sin(2\theta) d\theta = du \rightarrow d\theta = \left(-\frac{1}{2\sin(2\theta)}\right) du$$

 

이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다. 

 

$$\begin{align*} \int \sec(2\theta)\tan(2\theta) \; d\theta &= \int \frac{\sin(2\theta)}{\cos^{2}(2\theta)} \; d\theta \\ &= \int \frac{\sin(2\theta)}{u^{2}} \; \left( -\frac{1}{2\sin(2\theta)} \right) \\ &= -\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{2}} \\ &= -\frac{1}{2} \int u^{-2} \; du \\ &= -\frac{1}{2} \cdot (-u^{-1}) + C = \frac{1}{2}\sec(2\theta) + C \end{align*}$$

 

따라서, $\int \sec(2\theta)\tan(2\theta) \; d\theta = \frac{1}{2}\sec(2\theta) + C$이다. 

 

연습문제3. 주어진 부정적분을 계산하라.

 

(a). $\int \frac{(\ln(x))^{2}}{x} \; dx$

(b). $\int \frac{1}{ax + b} \; dx$, ($a \neq 0$)

(c). $\int \frac{\cos(\sqrt{t})}{\sqrt{t}} \; dt$

(d). $\int \sqrt{x}\sin(1 + x^{\frac{3}{2}}) \; dx$

(e). $\int \cos(\theta)\sin^{6}(\theta) \; d\theta$

 

(a). $\int \frac{(\ln(x))^{2}}{x} \; dx$

 

$\ln(x) = u$라고 하자. 

 

$$\frac{1}{x} dx = du \rightarrow dx = x du$$

 

이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다. 

 

$$\begin{align*} \int \frac{(\ln(x))^{2}}{x} \; dx &= \int \frac{u^{2}}{x} \; \left( x du \right) \\ &= \int u^{2} \; du \\ &= \frac{1}{3} u^{3} + C = \frac{1}{3}(\ln(x))^{3} + C \end{align*}$$

 

따라서, $\int \frac{(\ln(x))^{2}}{x} \; dx = \frac{1}{3}(\ln(x))^{3} + C$이다. 

 

(b). $\int \frac{1}{ax + b} \; dx$, ($a \neq 0$)

 

$ax + b = u$라고 하자. 

 

$$a dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{a} du$$

 

이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다. 

 

$$\begin{align*} \int \frac{1}{ax + b} \; dx &= \int \frac{1}{u} \; \left( \frac{1}{a} du \right) \\ &= \frac{1}{a} \int \frac{1}{u} \; du \\ &= \frac{1}{a} \ln|u| + C = \frac{1}{a}\ln|ax + b| + C \end{align*}$$

 

따라서, $\int \frac{1}{ax + b} \; dx = \frac{1}{a}\ln|ax + b| + C$이다. 

 

(c). $\int \frac{\cos(\sqrt{t})}{\sqrt{t}} \; dt$

 

$\sqrt{t} = u$라고 하자. 

 

$$\frac{1}{2\sqrt{t}} dt = du \rightarrow dt = 2\sqrt{t} du = 2u du$$

 

이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다. 

 

$$\begin{align*} \int \frac{\cos(\sqrt{t})}{\sqrt{t}} \; dt &= \int \frac{\cos(u)}{u} \; \left( 2u du \right) \\ &= 2 \int \cos(u) \; du \\ &= 2\sin(u) + C = 2\sin(\sqrt{t}) + C \end{align*}$$

 

따라서, $\int \frac{\cos(\sqrt{t})}{\sqrt{t}} \; dt = 2\sin(\sqrt{t}) + C$이다.

 

(d). $\int \sqrt{x}\sin(1 + x^{\frac{3}{2}}) \; dx$

 

$1 + x^{\frac{3}{2}} = u$라고 하자. 

 

$$\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}} dx = du \rightarrow dx = \frac{2}{\sqrt{x}} du$$

 

이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다. 

 

$$\begin{align*} \int \sqrt{x}\sin(1 + x^{\frac{3}{2}}) \; dx &= \int \sqrt{x}\sin(u) \; \left( \frac{2}{\sqrt{x}} du \right) \\ &= 2 \int \sin(u) \; du \\ &= -2\cos(u) + C = -2\cos(1 + x^{\frac{3}{2}}) + C \end{align*}$$

 

따라서, $\int \sqrt{x}\sin(1 + x^{\frac{3}{2}}) \; dx = -2\cos(1 + x^{\frac{3}{2}}) + C$이다.

 

(e). $\int \cos(\theta)\sin^{6}(\theta) \; d\theta$

 

$\sin(\theta) = u$라고 하자. 

 

$$\cos(\theta) d\theta = du \rightarrow dx = \frac{1}{\cos(\theta)} du$$

 

이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다. 

 

$$\begin{align*} \int \cos(\theta)\sin^{6}(\theta) \; d\theta &= \int \cos(\theta)u^{6} \; \left( \frac{1}{\cos(\theta)} du \right) \\ &= \int u^{6} \; du \\ &= \frac{1}{7}u^{7} + C = \frac{1}{7}\sin^{7}(\theta) + C \end{align*}$$

 

따라서, $\int \cos(\theta)\sin^{6}(\theta) \; d\theta = \frac{1}{7}\sin^{7}(\theta) + C$이다.

 

연습문제4. 주어진 부정적분을 계산하라.

 

(a). $\int (1 + \tan(\theta))^{5}\sec^{2}(\theta) \; d\theta$

(b). $\int e^{x}\sqrt{1 + e^{x}} \; dx$

(c). $\int e^{\cos(t)}\sin(t) \; dt$

(d). $\int \frac{z^{2}}{\sqrt[3]{1 + z^{3}}} \; dz$

(e). $\int \frac{\arctan(x)}{1 + x^{2}} \; dx$

 

(a). $\int (1 + \tan(\theta))^{5}\sec^{2}(\theta) \; d\theta$

 

$1 + \tan(\theta) = u$라고 하자. 

 

$$\sec^{2}(\theta) d\theta = du \rightarrow dx = \cos^{2}(\theta) du$$

 

이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다. 

 

$$\begin{align*} \int (1 + \tan(\theta))^{5}\sec^{2}(\theta) \; d\theta &= \int u^{5}\sec^{2}(\theta) \; \left( \cos^{2}(\theta) du \right) \\ &= \int u^{5} \; du \\ &= \frac{1}{6}u^{6} + C = \frac{1}{6}(1 + \tan(\theta))^{6} + C \end{align*}$$

 

따라서, $\int (1 + \tan(\theta))^{5} \; d\theta = \frac{1}{6}(1 + \tan(\theta))^{6} + C$이다.

 

(b). $\int e^{x}\sqrt{1 + e^{x}} \; dx$

 

$1 + e^{x} = u$라고 하자. 

 

$$e^{x} dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{e^{x}} du$$

 

이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다. 

 

$$\begin{align*} \int e^{x}\sqrt{1 + e^{x}} \; dx &= \int e^{x}u^{\frac{1}{2}} \; \left( \frac{1}{e^{x}} du \right) \\ &= \int u^{\frac{1}{2}} \; du \\ &= \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}(1 + e^{x})^{\frac{2}{3}} + C \end{align*}$$

 

따라서, $\int e^{x}\sqrt{1 + e^{x}} \; dx = \frac{2}{3}(1 + e^{x})^{\frac{2}{3}} + C$이다.

 

(c). $\int e^{\cos(t)}\sin(t) \; dt$

 

$\cos(t) = u$라고 하자. 

 

$$-\sin(t) dt = du \rightarrow dt = -\frac{1}{\sin(t)} du$$

 

이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다. 

 

$$\begin{align*} \int e^{\cos(t)}\sin(t) \; dt &= \int e^{u}\sin(t) \; \left( -\frac{1}{\sin(t)} du \right) \\ &= -\int e^{u} \; du \\ &= -e^{u} + C = -e^{\cos(t)} + C \end{align*}$$

 

따라서, $\int e^{\cos(t)}\sin(t) \; dt = -e^{\cos(t)} + C$이다.

 

(d). $\int \frac{z^{2}}{\sqrt[3]{1 + z^{3}}} \; dz$

 

$1 + z^{3} = u$라고 하자. 

 

$$3z^{2} dz = du \rightarrow dz = \frac{1}{3z^{2}} du$$

 

이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다. 

 

$$\begin{align*} \int \frac{z^{2}}{\sqrt[3]{1 + z^{3}}} \; dz &= \int z^{2}u^{-\frac{1}{3}} \; \left( \frac{1}{3z^{2}} du \right) \\ &= \frac{1}{3}\int u^{-\frac{1}{3}} \; du \\ &= \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}u^{\frac{2}{3}} + C = \frac{1}{2}(1 + z^{3})^{\frac{2}{3}} + C \end{align*}$$

 

따라서, $\int \frac{z^{2}}{\sqrt[3]{1 + z^{3}}} \; dz = \frac{1}{2}(1 + z^{3})^{\frac{2}{3}} + C$이다.

 

(e). $\int \frac{\arctan(x)}{1 + x^{2}} \; dx$

 

$\arctan(x) = u$라고 하자. 

 

$$\frac{1}{1 + x^{2}} dx = du \rightarrow dx = (1 + x^{2}) du$$

 

이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다. 

 

$$\begin{align*} \int \frac{\arctan(x)}{1 + x^{2}} \; dx &= \int \frac{u}{1 + x^{2}} \; \left( (1 + x^{2}) du \right) \\ &= \int u \; du \\ &= \frac{1}{2}u^{2} + C = \frac{1}{2}\arctan^{2}(x) + C \end{align*}$$

 

따라서, $\int \frac{\arctan(x)}{1 + x^{2}} \; dx = \frac{1}{2}\arctan^{2}(x) + C$이다.

 

연습문제5. 주어진 부정적분을 계산하라.

 

(a). $\int e^{\tan(x)}\sec^{2}(x) \; dx$

(b). $\int \frac{\sin(\ln(x))}{x} \; dx$

(c). $\int \frac{\cos(x)}{\sin^{2}(x)} \; dx$

(d). $\int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} \; dx$

(e). $\int \sqrt{\cot(x)}\csc^{2}(x) \; dx$

(f). $\int \frac{\cos(\frac{\pi}{x})}{x^{2}} \; dx$

(g). $\int \frac{\sin(2x)}{1 + \cos^{2}(x)} \; dx$

(h). $\int \frac{\sin(x)}{1 + \cos^{2}(x)} \; dt$

(i). $\int \cot(x) \; dx$

(j). $\int \frac{1}{\cos^{2}(t)\sqrt{1 + \tan(t)}} \; dt$

 

(a). $\int e^{\tan(x)}\sec^{2}(x) \; dx$

 

$\tan(x) = u$라고 하자. 

 

$$\sec^{2}(x) dx = du \rightarrow dx = \cos^{2}(x) du$$

 

이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다. 

 

$$\begin{align*} \int e^{\tan(x)}\sec^{2}(x) \; dx &= \int e^{u}\sec^{2}(x) \; \left( \cos^{2}(x) du \right) \\ &= \int e^{u} \; du \\ &= e^{u} + C = e^{\tan(x)} + C \end{align*}$$

 

따라서, $\int e^{\tan(x)}\sec^{2}(x) \; dx = e^{\tan(x)} + C$이다.

 

(b). $\int \frac{\sin(\ln(x))}{x} \; dx$

 

$\ln(x) = u$라고 하자. 

 

$$\frac{1}{x} dx = du \rightarrow dx = x du$$

 

이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다. 

 

$$\begin{align*} \int \frac{\sin(\ln(x))}{x} \; dx &= \int \frac{\sin(u)}{x} \; \left( x du \right) \\ &= \int \sin(u) \; du \\ &= -\cos(u) + C = \cos(\ln(x)) + C \end{align*}$$

 

따라서, $\int \frac{\sin(\ln(x))}{x} \; dx = -\cos(\ln(x)) + C$이다.

 

(c). $\int \frac{\cos(x)}{\sin^{2}(x)} \; dx$

 

$\sin(x) = u$라고 하자. 

 

$$\cos(x) dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{\cos(x)} du$$

 

이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다. 

 

$$\begin{align*} \int \frac{\cos(x)}{\sin^{2}(x)} \; dx &= \int \frac{\cos(x)}{u^{2}} \; \left( \frac{1}{\cos(x)} du \right) \\ &= \int u^{-2} \; du \\ &= -\frac{1}{u} + C = -\sec(x) + C \end{align*}$$

 

따라서, $\int \frac{\cos(x)}{\sin^{2}(x)} \; dx = -\sec(x) + C$이다.

 

(d). $\int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} \; dx$

 

$e^{x} + 1 = u$라고 하자. 

 

$$e^{x} dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{e^{x}} du$$

 

이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다. 

 

$$\begin{align*} \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} \; dx &= \int \frac{e^{x}}{u} \; \left( \frac{1}{e^{x}} du \right) \\ &= \int \frac{1}{u} \; du \\ &= \ln|u| + C = \ln(1 + e^{x}) + C \end{align*}$$

 

따라서, $\int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} \; dx = \ln(1 + e^{x}) + C$이다.

 

(e). $\int \sqrt{\cot(x)}\csc^{2}(x) \; dx$

 

$\cot(x) = u$라고 하자. 

 

$$-\csc^{2}(x) dx = du \rightarrow dx = -\frac{1}{\csc^{2}(x)} du$$

 

이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다. 

 

$$\begin{align*} \int \sqrt{\cot(x)}\csc^{2}(x) \; dx &= \int u^{\frac{1}{2}}\csc^{2}(x) \; \left( -\frac{1}{\csc^{2}(x)} du \right) \\ &= -\int u^{\frac{1}{2}} \; du \\ &= -\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} + C = -\frac{2}{3}\cot^{\frac{3}{2}}(x) + C \end{align*}$$

 

따라서, $\int \sqrt{\cot(x)}\csc^{2}(x) \; dx = -\frac{2}{3}\cot^{\frac{3}{2}}(x) + C$이다.

 

(f). $\int \frac{\cos(\frac{\pi}{x})}{x^{2}} \; dx$

 

$\frac{\pi}{x} = u$라고 하자. 

 

$$-\frac{\pi}{x^{2}} dx = du \rightarrow dx = -\frac{x^{2}}{\pi} du$$

 

이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다. 

 

$$\begin{align*} \int \frac{\cos(\frac{\pi}{x})}{x^{2}} \; dx &= \int \frac{\cos(u)}{x^{2}} \; \left( -\frac{x^{2}}{\pi} du \right) \\ &= -\frac{1}{\pi}\int \cos(u) \; du \\ &= -\frac{1}{\pi} \sin(u) + C = -\frac{1}{\pi}\sin(\frac{\pi}{x}) + C \end{align*}$$

 

따라서, $\int \frac{\cos(\frac{\pi}{x})}{x^{2}} \; dx = -\frac{1}{\pi}\sin(\frac{\pi}{x}) + C$이다.

 

(g). $\int \frac{\sin(2x)}{1 + \cos^{2}(x)} \; dx$

 

$1 + \cos^{2}(x) = u$라고 하자. 

 

$$2\sin(x)\cos(x) dx = \sin(2x) dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{\sin(2x)} du$$

 

이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다. 

 

$$\begin{align*} \int \frac{\sin(2x)}{1 + \cos^{2}(x)} \; dx &= \int \frac{\sin(2x)}{u} \; \left( \frac{1}{\sin(2x)} du \right) \\ &= \int \frac{1}{u} \; du \\ &= \ln|u| + C = \ln(1 + \cos^{2}(x)) + C \end{align*}$$

 

따라서, $\int \frac{\sin(2x)}{1 + \cos^{2}(x)} \; dx = \ln(1 + \cos^{2}(x)) + C$이다.

 

(h). $\int \frac{\sin(x)}{1 + \cos^{2}(x)} \; dt$

 

$\cos(x) = u$라고 하자. 

 

$$-\sin(x) dx = du \rightarrow dx = -\frac{1}{\sin(x)} du$$

 

이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다. 

 

$$\begin{align*} \int \frac{\sin(x)}{1 + \cos^{2}(x)} \; dx &= \int \frac{\sin(x)}{1 + u^{2}} \; \left( -\frac{1}{\sin(x)} du \right) \\ &= -\int \frac{1}{1 + u^{2}} \; du \\ &= -\arctan(u) + C = -\arctan(\cos(x)) + C \end{align*}$$

 

따라서, $\int \frac{\sin(x)}{1 + \cos^{2}(x)} \; dx = -\arctan(\cos(x)) + C$이다.

 

(i). $\int \cot(x) \; dx$

 

$\sin(x) = u$라고 하자. 

 

$$\cos(x) dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{\cos(x)} du$$

 

이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다. 

 

$$\begin{align*} \int \cot(x) \; dx &= \int \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \; dx \\ &= \int \frac{\cos(x)}{u} \; \left( \frac{1}{\cos(x)} du \right) \\ &= \int \frac{1}{u} \; du \\ &= \ln|u| + C = \ln|\sin(x)| + C \end{align*}$$

 

따라서, $\int \cot(x) \; dx = \ln|\sin(x)| + C$이다.

 

(j). $\int \frac{1}{\cos^{2}(t)\sqrt{1 + \tan(t)}} \; dt$

 

$1 + \tan(t) = u$라고 하자. 

 

$$\sec^{2}(t) dt = du \rightarrow dt = \cos^{2}(t) du$$

 

이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다. 

 

$$\begin{align*} \int \frac{1}{\cos^{2}(t)\sqrt{1 + \tan(t)}} \; dt &= \int \frac{1}{\cos^{2}(t) u^{\frac{1}{2}}} \; \left( \cos^{2}(t) du \right) \\ &= \int u^{-\frac{1}{2}} \; du \\ &= 2u^{\frac{1}{2}} + C = 2\sqrt{1 + \tan(t)}  + C \end{align*}$$

 

따라서, $\int \frac{1}{\cos^{2}(t)\sqrt{1 + \tan(t)}} \; dt = 2\sqrt{1 + \tan(t)} + C$이다.

 

연습문제6. 주어진 부정적분을 계산하라.

 

(a). $\int \sec^{3}(x)\tan(x) \; dx$

(b). $\int \sin(t)\sec^{2}(\cos(t)) \; dt$

(c). $\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}\arcsin(x)} \; dx$

(d). $\int \frac{x}{1 + x^{4}} \; dx$

(e). $\int \frac{1 + x}{1 + x^{2}} \; dx$

(f). $\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x}} \; dx$

(g). $\int \frac{x}{\sqrt[4]{x + 2}} \; dx$

(h). $\int x^{3}\sqrt{x^{2} + 1} \; dx$

 

(a). $\int \sec^{3}(x)\tan(x) \; dx$

 

$\cos(x) = u$라고 하자. 

 

$$-\sin(x) dx = du \rightarrow dx = -\frac{1}{\sin(x)} du$$

 

이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다. 

 

$$\begin{align*} \int \sec^{3}(x)\tan(x) \; dx &= \int \frac{\sin(x)}{\cos^{4}(x)} \; dx \\ &= \int \frac{\sin(x)}{u^{4}} \; \left( -\frac{1}{\sin(x)} du \right) \\ &= -\int \frac{1}{u^{4}} \; du \\ &= \frac{1}{3u^{3}} + C = \frac{1}{3\cos^{3}(x)} + C \end{align*}$$

 

따라서, $\int \sec^{3}(x)\tan(x) \; dx = \frac{1}{3\cos^{3}(x)} + C$이다.

 

(b). $\int \sin(t)\sec^{2}(\cos(t)) \; dt$

 

$\cos(t) = u$라고 하자. 

 

$$-\sin(t) dt = du \rightarrow dt = -\frac{1}{\sin(t)} du$$

 

이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다. 

 

$$\begin{align*} \int \sin(t)\sec^{2}(\cos(t)) \; dt &= \int \sin(t)\sec^{2}(u) \; \left( -\frac{1}{\sin(t)} du \right) \\ &= -\int \sec^{2}(u) \; du \\ &= -\tan(u) + C = -\tan(\cos(t)) + C \end{align*}$$

 

따라서, $\int \sin(t)\sec^{2}(\cos(t)) \; dt = -\tan(\cos(t)) + C$이다.

 

(c). $\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}\arcsin(x)} \; dx$

 

$\arcsin(x) = u$라고 하자. 

 

$$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} dx = du \rightarrow dx = \sqrt{1 - x^{2}} du$$

 

이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다. 

 

$$\begin{align*} \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}\arcsin(x)} \; dx &= \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}u} \; \left( \sqrt{1 - x^{2}} du \right) \\ &= \int \frac{1}{u} \; du \\ &= \ln|u| + C = \ln|\arcsin(x)| + C \end{align*}$$

 

따라서, $\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}\arcsin(x)} \; dx = \ln|\arcsin(x)| + C$이다.

 

(d). $\int \frac{x}{1 + x^{4}} \; dx$

 

$x^{2} = u$라고 하자. 

 

$$2x dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{2x} du$$

 

이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다. 

 

$$\begin{align*} \int \frac{x}{1 + x^{4}} \; dx &= \int \frac{x}{1 + u^{2}} \; \left( \frac{1}{2x} du \right) \\ &= \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + u^{2}} \; du \\ &= \frac{1}{2}\arctan(u) + C = \frac{1}{2}\arctan(x^{2}) + C \end{align*}$$

 

따라서, $\int \frac{x}{1 + x^{4}} \; dx = \frac{1}{2}\arctan(x^{2}) + C$이다.

 

(e). $\int \frac{1 + x}{1 + x^{2}} \; dx$

 

$x^{2} = u$라고 하자. 

 

$$2x dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{2x} du$$

 

이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다. 

 

$$\begin{align*} \int \frac{1 + x}{1 + x^{2}} \; dx &= \int \left(\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{x}{1 + x^{2}}\right) \; dx \\ &= \int \frac{1}{1 +x^{2}} \; dx + \int \frac{x}{1 + x^{2}} \; dx \\ &= \arctan(x) + \int \frac{x}{1 + x^{2}} \; dx \\ &= \arctan(x) + \int \frac{x}{1 + u} \; \left( \frac{1}{2x} du \right) \\ &= \arctan(x) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + u} \; du \\ &= \arctan(x) + \frac{1}{2}\ln|u + 1| + C = \arctan(x) + \frac{1}{2}\ln(1 +x^{2}) + C \end{align*}$$

 

따라서, $\int \frac{1 + x}{1 + x^{2}} \; dx = \arctan(x) + \frac{1}{2}\ln(1 + x^{2}) + C$이다.

 

(f). $\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x}} \; dx$

 

$\sqrt{1 - x} = u \rightarrow x = 1 - u^{2}$라고 하자. 

 

$$dx = -2u du$$

 

이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다. 

 

$$\begin{align*} \int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x}} \; dx &= \int \frac{(1 - u^{2})^{2}}{u} \; \left( -2u du \right) \\ &= -2\int (u^{4} - 2u^{2} + 1) \; du \\ &= -2(\frac{1}{5}u^{5} - \frac{2}{3}u^{3} + u) + C = -\frac{2}{5}\sqrt{(1 - x)^{5}} + \frac{4}{3}\sqrt{(1 - x)^{3}} - 2\sqrt{1 - x} + C \end{align*}$$

 

따라서, $\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x}} \; dx = -\frac{2}{5}\sqrt{(1 - x)^{5}} + \frac{4}{3}\sqrt{(1 - x)^{3}} - 2\sqrt{1 - x} + C$이다.

 

(g). $\int \frac{x}{\sqrt[4]{x + 2}} \; dx$

 

$\sqrt[4]{x + 2} = u \rightarrow x = u^{4} - 2$라고 하자. 

 

$$dx = 4u^{3} du$$

 

이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다. 

 

$$\begin{align*} \int \frac{x}{\sqrt[4]{x + 2}} \; dx &= \int \frac{u^{4} - 2}{u} \; \left( 4u^{3} du \right) \\ &= 4\int (u^{6} - 2u^{2}) \; du \\ &= 4(\frac{1}{7}u^{7} - \frac{2}{3}u^{3}) + C = \frac{4}{7}\sqrt[4]{(x + 2)^{7}} - \frac{8}{3}\sqrt[4]{(x + 2)^{3}} + C \end{align*}$$

 

따라서, $\int \frac{x}{\sqrt[4]{x + 2}} \; dx = \frac{4}{7}\sqrt[4]{(x + 2)^{7}} - \frac{8}{3}\sqrt[4]{(x + 2)^{3}} + C$이다.

 

(h). $\int x^{3}\sqrt{x^{2} + 1} \; dx$

 

$\sqrt{x^{2} + 1} = u \rightarrow x^{2} = u^{2} - 1$라고 하자. 

 

$$2x dx = 2u du \rightarrow dx = \frac{u}{x} du$$

 

이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다. 

 

$$\begin{align*} \int x^{3}\sqrt{x^{2} + 1} \; dx &= \int x^{3}u \; \left( \frac{u}{x} du \right) \\ &= \int x^{2}u^{2} \; du \\ &= \int (u^{2} - 1)u^{2} \; du \\ &= \int (u^{4} - u^{2}) \; du \\ &= \frac{1}{5}u^{5} - \frac{1}{3}u^{3} + C = \frac{1}{5}\sqrt{(x^{2} + 1)^{5}} - \frac{1}{3}\sqrt{(x^{2} + 1)^{3}} + C \end{align*}$$

 

따라서, $\int x^{3}\sqrt{x^{2} + 1}\; dx = \frac{1}{5}\sqrt{(x^{2} + 1)^{5}} - \frac{1}{3}\sqrt{(x^{2} + 1)^{3}} + C$이다.

 

연습문제7. 주어진 정적분을 계산하라.

 

(a). $\int_{0}^{\pi} \sec^{2} \left( \frac{t}{4} \right) \; dt$

(b). $\int_{\frac{1}{6}}^{\frac{1}{2}} \csc(\pi t)\cot(\pi t) \; dt$

(c). $\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} \tan^{3}(\theta) \; d\theta$

(d). $\int_{0}^{1} xe^{-x^{2}} \; dx$

(e). $\int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \; dx$

(f). $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^{2}\sin(x)}{1 + x^{6}} \; dx$

 

(a). $\int_{0}^{\pi} \sec^{2} \left( \frac{t}{4} \right) \; dt$

 

$\frac{t}{4} = u$라고 하자. 

 

$$\frac{1}{4} dt = du \rightarrow dt = 4 du$$

 

그리고 윗끝과 아래끝은 아래와 같다. 

 

$$\begin{cases} &x = \pi \rightarrow u = \frac{\pi}{4} \\ &x = 0 \rightarrow u = 0 \end{cases}$$

 

이제 주어진 정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다. 

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{\pi} \sec^{2} \left( \frac{t}{4} \right) \; dt &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec^{2}(u) \; \left( 4 du \right) \\ &= 4\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec^{2}(u) \; du \\ &= \left[ \tan(u) \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \tan \left( \frac{\pi}{4} \right) - \tan(0) = 1 \end{align*}$$

 

따라서, $\int_{0}^{\pi} \sec^{2} \left( \frac{t}{4} \right)\; dt = 1$이다.

 

(b). $\int_{\frac{1}{6}}^{\frac{1}{2}} \csc(\pi t)\cot(\pi t) \; dt$

 

$\pi t = u$라고 하자. 

 

$$\pi dt = du \rightarrow dt = \frac{1}{\pi} du$$

 

그리고 윗끝과 아래끝은 아래와 같다. 

 

$$\begin{cases} &x = \frac{1}{6} \rightarrow u = \frac{\pi}{6} \\ &x = \frac{1}{2} \rightarrow u = \frac{\pi}{2} \end{cases}$$

 

이제 주어진 정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다. 

 

$$\begin{align*} \int_{\frac{1}{6}}^{\frac{1}{2}} \csc(\pi t)\cot(\pi t) \; dt &= \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \csc(u)\cot(u) \; \left( \frac{1}{\pi} du \right) \\ &= \frac{1}{\pi} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \csc(u)\cot(u) \; du \\ &= \frac{1}{\pi}\left[ -\csc(u) \right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \frac{1}{\pi} \left( -\csc \left( \frac{\pi}{2} \right) + \csc \left( \frac{\pi}{6} \right) \right) = \frac{1}{\pi} (-1 + 2) = \frac{1}{\pi}\end{align*}$$

 

따라서, $\int_{\frac{1}{6}}^{\frac{1}{2}} \csc(\pi t)\cot(\pi t)\; dt = \frac{1}{\pi}$이다.

 

(c). $\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} \tan^{3}(\theta) \; d\theta$

 

$\cos(\theta) = u$라고 하자. 

 

$$-\sin(\theta) dt = du \rightarrow dt = -\frac{1}{\sin(\theta)} du$$

 

그리고 윗끝과 아래끝은 아래와 같다. 

 

$$\begin{cases} &\theta = -\frac{\pi}{6} \rightarrow u = \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &x = \frac{\pi}{6} \rightarrow u = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\end{cases}$$

 

정적분의 윗끝과 아랫끝이 동일하므로 $\int_{-\frac{\pi}{6}}^{-\frac{\pi}{2}} \tan^{3}(\theta)\; d\theta = 0$이다.

 

(d). $\int_{0}^{1} xe^{-x^{2}} \; dx$

 

$-x^{2} = u$라고 하자. 

 

$$-2x dx = du \rightarrow dx = -\frac{1}{2x} du$$

 

그리고 윗끝과 아래끝은 아래와 같다. 

 

$$\begin{cases} &x = 0 \rightarrow u = 0 \\ &x = 1 \rightarrow u = -1 \end{cases}$$

 

이제 주어진 정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다. 

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{1} xe^{-x^{2}} \; dx &= \int_{-1}^{0} xe^{u} \; \left( -\frac{1}{2x} du \right) \\ &= \frac{1}{2} \int_{-1}^{0} e^{u} \; du \\ &= \frac{1}{2}\left[ e^{u} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} \left( e - 1 \right)\end{align*}$$

 

따라서, $\int_{0}^{1} xe^{-x^{2}} \; dx = \frac{1}{2} (e - 1)$이다. 

 

(e). $\int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \; dx$

 

$\frac{1}{x} = u$라고 하자. 

 

$$-\frac{1}{x^{2}} dx = du \rightarrow dx = -x^{2} du$$

 

그리고 윗끝과 아래끝은 아래와 같다. 

 

$$\begin{cases} &x = 1 \rightarrow u = 1 \\ &x = 2 \rightarrow u = \frac{1}{2} \end{cases}$$

 

이제 주어진 정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다. 

 

$$\begin{align*} \int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \; dx &= \int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{e^{u}}{x^{2}} \; \left( -x^{2} du \right) \\ &= \int_{\frac{1}{2}}^{1} e^{u} \; du \\ &= \left[ e^{u} \right]_{\frac{1}{2}}^{1} = e - e^{\frac{1}{2}} \end{align*}$$

 

따라서, $\int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \; dx = e - e^{\frac{1}{2}}$이다. 

 

(f). $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^{2}\sin(x)}{1 + x^{6}} \; dx$

 

$f(x) = \frac{x^{2}\sin(x)}{1 + x^{2}}$이라고 하자. 이때, 함수 $f$는 아래의 성질을 만족한다. 

 

$$f(-x) = \frac{(-x)^{2}\sin(-x)}{1 + (-x)^{2}} = -\frac{x^{2}\sin(x)}{1 + x^{2}} = -f(x)$$

 

따라서, 함수 $f$는 기함수이다. 정리3에 의해 함수 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^{2}\sin(x)}{1 + x^{6}} \; dx = 0$이다. 

 

연습문제8. 아래의 조건에 주어졌을 때 정적분을 구하여라.

 

(a). 함수 $f$가 연속이고 $\int_{0}^{4} f(x) \; dx  = 10$일 때 $\int_{0}^{2} f(2x) \; dx$를 구하여라.

(b). 함수 $f$가 연속이고 $\int_{0}^{9} f(x) \; dx  = 4$일 때 $\int_{0}^{3} xf(x^{2}) \; dx$를 구하여라.

 

(a). 함수 $f$가 연속이고 $\int_{0}^{4} f(x) \; dx  = 10$일 때 $\int_{0}^{2} f(2x) \; dx$를 구하여라.

 

$2x = u$라고 하자.

 

$$2 dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{2} du$$

 

그리고 윗끝과 아래끝은 아래와 같다. 

 

$$\begin{cases} &x = 0 \rightarrow u = 0 \\ &x = 2 \rightarrow u = 4 \end{cases}$$

 

이제 주어진 정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다. 

 

$$\begin{cases} \int_{0}^{2} f(2x) \; dx &= \int_{0}^{4} f(u) \; \left( \frac{1}{2} du \right) \\ &= \frac{1}{2} \int_{0}^{4} f(u) \; du = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 \end{cases}$$

 

따라서, $\int_{0}^{2} f(2x) \; dx = 5$이다.

 

(b). 함수 $f$가 연속이고 $\int_{0}^{9} f(x) \; dx  = 4$일 때 $\int_{0}^{3} xf(x^{2}) \; dx$를 구하여라.

 

$x^{2} = u$라고 하자.

 

$$2x dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{2x} du$$

 

그리고 윗끝과 아래끝은 아래와 같다. 

 

$$\begin{cases} &x = 0 \rightarrow u = 0 \\ &x = 3 \rightarrow u = 9 \end{cases}$$

 

이제 주어진 정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다. 

 

$$\begin{cases} \int_{0}^{3} xf(x^{2}) \; dx &= \int_{0}^{9} xf(u) \; \left( \frac{1}{2x} du \right) \\ &= \frac{1}{2} \int_{0}^{9} f(u) \; du = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2 \end{cases}$$

 

따라서, $\int_{0}^{3} xf(x^{2}) \; dx = 2$이다. 

 

 

연습문제9. $a$와 $b$가 양수일 때 $\int_{0}^{1} x^{a}(1 - x)^{b} \; dx = \int_{0}^{1} x^{b}(1 - x)^{a} \; dx$임을 보여라.

 

$1 - x = u$라고 하자. 

 

$$-dx = du \rightarrow dx  = -du$$

 

그리고 윗끝과 아래끝은 아래와 같다. 

 

$$\begin{cases} &x = 0 \rightarrow u = 1 \\ &x = 1 \rightarrow u = 0 \end{cases}$$

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{1} x^{a}(1 - x)^{b} &= \int_{1}^{0} (1 - u)^{a}u^{b} \; (-du) \\ &= \int_{0}^{1} u^{b}(1 - u)^{a} \; du \\ &= \int_{0}^{1} x^{b}(1 - x)^{a} \end{align*}$$

 

연습문제10. 함수 $f$가 연속이라고 할 때 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos(x)) \; dx  = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin(x)) \; dx$임을 보이고 이를 활용하여 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2}(x)$와 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2}(x)$를 구하여라.

 

$\frac{\pi}{2} - x = u$라고 하자. 

 

$$-dx = du \rightarrow dx  = -du$$

 

그리고 윗끝과 아래끝은 아래와 같다. 

 

$$\begin{cases} &x = 0 \rightarrow u = \frac{\pi}{2} \\ &x = \frac{\pi}{2} \rightarrow u = 0 \end{cases}$$

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos(x)) \; dx &= \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} f(\cos(\frac{\pi}{2} - x)) \; (-du) \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin(u)) \; du = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin(x)) \; dx \end{align*}$$

 

따라서, $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos(x)) \; dx  = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin(x)) \; dx$이다. 

 

다음으로 $f(x) = x^{2}$이라고 할 때 아래와 같이 쓸 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2}(x) \; dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sin^{2}(x)) \; dx \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \; dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2}(x) \; dx \\ &= \frac{\pi}{2} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2}(x) \; dx \end{align*}$$

 

따라서, $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2}(x) \; dx = \frac{\pi}{4}$이다. 동일한 방법으로 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2}(x) \; dx = \frac{\pi}{4}$임을 알 수 있다. 

참고자료 및 그림출처

Calculus(J. Stewart)