미적분학 - 입체 부피 구하기

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 두 곡선 사이의 넓이에서는 적분을 통해 복잡한 형태의 영역의 넓이를 구할 수 있엇습니다. 오늘은 넓이뿐만 아니라 부피도 구할 수 있음을 보여드리도록 하겠습니다. 

 

미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다.  

 

기본적으로 부피를 구하는 공식은 아래와 같습니다. 

 

$$V = Ah$$

 

여기서 $A$는 입체의 밑넓이, $h$는 높이입니다. 

 

 

이때, 핵심은 간단합니다. 기존에 저희가 넓이를 구할 때는 영역을 $n$개의 직사각형으로 잘게 쪼갠 뒤 각 직사각형의 넓이를 모두 더한 뒤 $n \rightarrow \infty$로의 극한을 취하였습니다. 부피를 구할 때도 마찬가지입니다. 위의 왼쪽 그림과 같이 $n$개의 작은 높이를 가지는 영역으로 잘게 쪼갭니다. 이때, 각 입체의 높이는 $\Delta x$입니다. 그리고 각 구간의 표본점 $x^{*}_{i}$을 중간점이라고 했을 때, $i$번째 입체의 밑넓이는 $A(x^{*}_{i})$입니다. 따라서, 해당 구간의 부피는 $V_{i} = A(x^{*}_{i}) \Delta x$입니다. 이제 각 구간에 해당하는 모든 입체 부피의 합을 구한 뒤 극한을 취해주면 저희가 원하는 결과를 얻을 수 있습니다. 

 

$$V = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i = 1}^{n} A(x^{*}_{i}) \Delta x = \int_{a}^{b} A(x) \; dx$$

 

위의 식을 보시면 입체의 부피를 구하는 핵심 요소는 밑넓이 $A(x)$를 구하는 것입니다. 간단한 예시로 구의 부피를 구해보도록 하겠습니다. 중심이 원점 $O$에 있고 반지름이 $r$인 구의 부피를 어떻게 구할 수 있을까요?

밑넓이 $A(x)$를 구할 때 가장 먼저 유의해야할 점은 $x$ 축에 수직인 방향으로 잘라야한다는 점입니다. 따라서 구의 경우에는 위의 그림에서 빨간색 영역의 원의 넓이가 구의 밑넓이가 됩니다. 피타고라스 정리에 의해 원의 넓이는 $A(x) = \pi y^{2} = \pi \left(r^{2} - x^{2}\right)$이 됩니다. 그러므로 이 결과를 수식에 집어넣으면 됩니다. 

 

$$\begin{align*} V = \int_{-r}^{r} A(x) \; dx &= \int_{-r}^{r} \pi \left(r^{2} - x^{2}\right) \; dx \\ &= 2\pi \int_{0}^{r} \left(r^{2} - x^{2}\right) \; dx \\ &= 2\pi \left[r^{2}x - \frac{1}{3}x^{3}\right]_{0}^{r} = \frac{4}{3}\pi r^{3} \end{align*}$$

 

예제1. 닫힌 구간 $[0, 1]$과 곡선 $y = \sqrt{x}$에 둘러쌓인 영역을 $x$ 축을 중심으로 회전시켰을 때 얻어지는 회전체의 부피를 구하라. 

 

문제를 그림으로 그리면 위와 같다. 즉, 왼쪽과 같은 영역이 있을 때 오른쪽 그림과 같이 회전시켰을 때 얻어지는 회전체의 부피를 구하면 된다. 따라서, 작은 입체의 밑넓이는 $\sqrt{x}$를 반지름으로 하는 원이 되므로 $A(x) = \pi \left(\sqrt{x}\right)^{2} = \pi x$가 된다. 그러므로 구간 $[0, 1]$에서의 부피는 아래와 같다. 

 

$$\begin{align*} V = \int_{0}^{1} A(x) \; dx &= \int_{0}^{1} \pi x \; dx \\ &= \pi \left[\frac{1}{2}x^{2}\right]_{0}^{1} = \frac{\pi}{2}\end{align*}$$

 

예제2. $y = x^{3}, y = 8, x = 0$으로 둘러쌓은 영역을 $y$ 축을 중심으로 회전시켰을 때 얻는 회전체의 부피를 구하라. 

 

문제를 그림으로 그리면 위와 같다. 즉, 왼쪽과 같은 영역이 있을 때 오른쪽 그림과 같이 회전시켰을 때 얻어지는 회전체의 부피를 구하면 된다. 다만, 이전 예제와의 차이점은 $y$ 축으로 회전시킨다는 것이다. 따라서, 밑넓이는 $A(y)$로 $y$로 이루어진 식을 찾아야한다. 

 

$$A(y) = \pi x^{2} = \pi y^{\frac{2}{3}}$$

 

그러므로 구간 $[0, 8]$에서의 부피를 구하면 아래와 같다. 

 

$$\begin{align*} V = \int_{0}^{8} A(y) \; dy &= \int_{0}^{8} \pi y^{\frac{2}{3}} \; dy \\ &= \pi \left[\frac{3}{5} y^{\frac{5}{3}}\right]_{0}^{8} = \frac{96}{5} \pi\end{align*}$$

 

연습문제1. 주어진 함수들에 둘러쌓인 영역을 주어진 축을 기준으로 회전했을 때 얻을 수 있는 회전체의 부피를 구하시오.

 

(a). $y = 2 - \frac{1}{2}x, y = 0, x = 1, x = 2$으로 둘러쌓인 영역을 $x$축 기준으로 회전

(b). $y = 1 - x^{2}$으로 둘러쌓인 영역을 $x$축 기준으로 회전

(c). $y = \frac{1}{x}, y = 0, x = 1, x = 2$으로 둘러쌓인 영역을 $x$축 기준으로 회전

(d). $y = \sqrt{25 - x^{2}}, y = 0, x = 2, x = 4$으로 둘러쌓인 영역을 $x$축 기준으로 회전

(e). $x = 2\sqrt{y}, x = 0, y = 9$으로 둘러쌓인 영역을 $y$축 기준으로 회전

 

(a). $y = 2 - \frac{1}{2}x, y = 0, x = 1, x = 2$으로 둘러쌓인 영역을 $x$축 기준으로 회전

 

 

주어진 함수로 둘러쌓인 영역을 그림으로 그리면 위와 같이 그릴 수 있다. 여기서, 점 $x$에서 $x$축을 기준으로 회전했을 때 얻을 수 있는 회전체 단면의 반지름은 $2 - \frac{1}{2}x$이다. 이제, 구간 $1 \le x \le 2$에서 주어진 영역을 $x$축으로 회전시켰을 때 얻을 수 있는 회전체의 부피를 다음과 같이 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} V &= \int_{1}^{2} \pi \left( 2 - \frac{x}{2} \right)^{2} \; dx \\ &= \pi \int_{1}^{2} \left( 4 - 2x + \frac{1}{4}x^{2} \right) \; dx \\ &= \pi \left[ 4x - x^{2} + \frac{1}{12}x^{3} \right]_{1}^{2} \\ &= \pi \left[ \left( 4 \cdot 2 - 2^{2} + \frac{1}{12} \cdot 2^{3} \right) - \left( 4 \cdot 1 - 1^{2} + \frac{1}{12} \cdot 1^{3} \right) \right] = \frac{19}{12}\pi \end{align*}$$

 

(b). $y = 1 - x^{2}$으로 둘러쌓인 영역을 $x$축 기준으로 회전

 

 

주어진 함수로 둘러쌓인 영역을 그림으로 그리면 위와 같이 그릴 수 있다. 여기서, 점 $x$에서 $x$축을 기준으로 회전했을 때 얻을 수 있는 회전체 단면의 반지름은 $1 - x^{2}$이다. 이제, 구간 $-1 \le x \le 1$에서 주어진 영역을 $x$축으로 회전시켰을 때 얻을 수 있는 회전체의 부피를 다음과 같이 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} V &= \int_{-1}^{1} \pi \left( 1 - x^{2} \right)^{2} \; dx \\ &= 2\int_{0}^{1} \pi \left( 1 - x^{2} \right)^{2} \; dx \\ &= 2\pi \int_{0}^{1} \left( 1 - 2x^{2} + x^{4} \right) \; dx \\ &= 2\pi \left[ x - \frac{2}{3}x^{3} + \frac{1}{5}x^{5} \right]_{0}^{1} \\ &= 2\pi \left( 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5} \right) = \frac{16}{5}\pi \end{align*}$$

 

(c). $y = \frac{1}{x}, y = 0, x = 1, x = 2$으로 둘러쌓인 영역을 $x$축 기준으로 회전

 

 

주어진 함수로 둘러쌓인 영역을 그림으로 그리면 위와 같이 그릴 수 있다. 여기서, 점 $x$에서 $x$축을 기준으로 회전했을 때 얻을 수 있는 회전체 단면의 반지름은 $\frac{1}{x}$이다. 이제, 구간 $1 \le x \le 2$에서 주어진 영역을 $x$축으로 회전시켰을 때 얻을 수 있는 회전체의 부피를 다음과 같이 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} V &= \int_{1}^{2} \frac{\pi}{x^{2}} \; dx \\ &= \pi \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} \; dx \\ &= \pi \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{2} \\ &= \pi \left[ -\frac{1}{2} + 1 \right] = \frac{\pi}{2} \end{align*}$$

 

(d). $y = \sqrt{25 - x^{2}}, y = 0, x = 2, x = 4$으로 둘러쌓인 영역을 $x$축 기준으로 회전

 

 

주어진 함수로 둘러쌓인 영역을 그림으로 그리면 위와 같이 그릴 수 있다. 여기서, 점 $x$에서 $x$축을 기준으로 회전했을 때 얻을 수 있는 회전체 단면의 반지름은 $\sqrt{25 - x^{2}}$이다. 이제, 구간 $2 \le x \le 4$에서 주어진 영역을 $x$축으로 회전시켰을 때 얻을 수 있는 회전체의 부피를 다음과 같이 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} V &= \int_{2}^{4} \pi (25 - x^{2})\; dx \\ &= \pi \left[ 25x - \frac{1}{3}x^{3} \right]_{2}^{4} \\ &= \pi \left[ \left( 25 \cdot 4 - \frac{1}{3} \cdot 4^{3} \right) - \left( 25 \cdot 2 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} \right) \right] = \frac{94}{3}\pi \end{align*}$$

 

(e). $x = 2\sqrt{y}, x = 0, y = 9$으로 둘러쌓인 영역을 $y$축 기준으로 회전

 

 

주어진 함수로 둘러쌓인 영역을 그림으로 그리면 위와 같이 그릴 수 있다. 여기서, 점 $y$에서 $y$축을 기준으로 회전했을 때 얻을 수 있는 회전체 단면의 반지름은 $2\sqrt{y}$이다. 이제, 구간 $0 \le y \le 9$에서 주어진 영역을 $y$축으로 회전시켰을 때 얻을 수 있는 회전체의 부피를 다음과 같이 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} V &= \int_{0}^{9} 4\pi y \; dy \\ &= 4\pi \left[ \frac{1}{2}y^{2} \right]_{0}^{9} \\ &= \pi \left[ \frac{1}{2} \cdot 9^{2} \right] = \frac{81}{2}\pi \end{align*}$$

 

연습문제2. 주어진 함수들에 둘러쌓인 영역을 주어진 축을 기준으로 회전했을 때 얻을 수 있는 회전체의 부피를 구하시오.

 

(a). $y = \ln(x), y = 1, y = 2, x = 0$으로 둘러쌓인 영역을 $y$축 기준으로 회전

(b). $y = x^{3}, y = x$으로 둘러쌓인 영역을 $x$축 기준으로 회전

(c). $y = \frac{1}{4}x^{2}, y = 5 - x^{2}$으로 둘러쌓인 영역을 $x$축 기준으로 회전

(d). $y^{2} = x, x = 2y$으로 둘러쌓인 영역을 $y$축 기준으로 회전

(e). $y = \frac{1}{4}x^{2}, y = 0, x = 2$으로 둘러쌓인 영역을 $y$축 기준으로 회전

 

(a). $y = \ln(x), y = 1, y = 2, x = 0$으로 둘러쌓인 영역을 $y$축 기준으로 회전

 

주어진 함수로 둘러쌓인 영역을 그림으로 그리면 위와 같이 그릴 수 있다. 여기서, 점 $y$에서 $y$축을 기준으로 회전했을 때 얻을 수 있는 회전체 단면의 반지름은 $e^{y}$이다. 이제, 구간 $1 \le y \le 2$에서 주어진 영역을 $y$축으로 회전시켰을 때 얻을 수 있는 회전체의 부피를 다음과 같이 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} V &= \int_{1}^{2} \pi e^{2y} \; dy \\ &= \pi \left[ \frac{1}{2}e^{2y} \right]_{1}^{2} = \frac{\pi}{2} \left( e^{4} - e^{2} \right) \end{align*}$$

 

(b). $y = x^{3}, y = x$으로 둘러쌓인 영역을 $x$축 기준으로 회전

 

주어진 함수로 둘러쌓인 영역을 그림으로 그리면 위와 같이 그릴 수 있다. 여기서, 점 $x$에서 $x$축을 기준으로 회전했을 때 얻을 수 있는 회전체 단면은 반지름이 $x$인 원에서 반지름이 $x^{3}$인 원을 뺀 것과 동일하다. 따라서, 해당 구간의 단면은 $x^{2} \pi - x^{6} \pi = (x^{2} - x^{6})\pi$의 넓이를 가진다.  이제, 구간 $-1 \le x \le 1$에서 주어진 영역을 $x$축으로 회전시켰을 때 얻을 수 있는 회전체의 부피를 다음과 같이 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} V &= \int_{-1}^{1} \pi (x^{2} - x^{6}) \; dx \\ &= 2\int_{0}^{1} \pi (x^{2} - x^{6}) \; dx \\ &= 2\pi \left[ frac{1}{3}x^{3} - \frac{1}{7}x^{7} \right]_{0}^{1} \\ &= 2\pi \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{6} \right) = \frac{\pi}{3} \end{align*}$$

 

(c). $y = \frac{1}{4}x^{2}, y = 5 - x^{2}$으로 둘러쌓인 영역을 $x$축 기준으로 회전

 

 

주어진 함수로 둘러쌓인 영역을 그림으로 그리면 위와 같이 그릴 수 있다. 여기서, 점 $x$에서 $x$축을 기준으로 회전했을 때 얻을 수 있는 회전체 단면은 반지름이 $5 - x^{2}$인 원에서 반지름이 $\frac{1}{4}x^{2}$인 원을 뺀 것과 동일하다. 따라서, 해당 구간의 단면은 $(4 - x^{2})^{2} \pi - \left( \frac{x^{2}}{4} \right)^{2} \pi = \left( 15x^{4} - 128x^{2} + 256 \right) \frac{\pi}{16}$의 넓이를 가진다.  이제, 구간 $-2 \le x \le 2$에서 주어진 영역을 $x$축으로 회전시켰을 때 얻을 수 있는 회전체의 부피를 다음과 같이 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} V &= \int_{-2}^{2} \frac{\pi}{16} \left( 15x^{4} - 128x^{2} + 256x \right) \; dx \\ &= 2\int_{0}^{2} \pi (15x^{4} - 128x^{2} + 256x) \; dx \\ &= 2\pi \left[ 3x^{5} - \frac{128}{3}x^{3} + 128x^{2} \right]_{0}^{2} \\ &= 2\pi \left( 3 \cdot 2^{5} - \frac{128}{3} \cdot 2^{3} + 128 \cdot 2^{2} \right) = \frac{1600\pi}{3} \end{align*}$$

 

(d). $y^{2} = x, x = 2y$으로 둘러쌓인 영역을 $y$축 기준으로 회전

 

 

주어진 함수로 둘러쌓인 영역을 그림으로 그리면 위와 같이 그릴 수 있다. 여기서, 점 $y$에서 $y$축을 기준으로 회전했을 때 얻을 수 있는 회전체 단면은 반지름이 $2y$인 원에서 반지름이 $\sqrt{y}$인 원을 뺀 것과 동일하다. 따라서, 해당 구간의 단면은 $4y^{2} \pi - y \pi$의 넓이를 가진다.  이제, 구간 $0 \le y \le 2$에서 주어진 영역을 $y$축으로 회전시켰을 때 얻을 수 있는 회전체의 부피를 다음과 같이 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} V &= \int_{0}^{2} \pi (4y^{2} - y) \; dy \; dy \\ &= \pi \left[ \frac{4}{3}y^{3} - \frac{1}{2}y^{2} \right]_{0}^{2} \\ &= \pi \left( \frac{4}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} \right) =\frac{26\pi}{3}  \end{align*}$$

 

(e). $y = \frac{1}{4}x^{2}, y = 0, x = 2$으로 둘러쌓인 영역을 $y$축 기준으로 회전

 

 

주어진 함수로 둘러쌓인 영역을 그림으로 그리면 위와 같이 그릴 수 있다. 여기서, 점 $y$에서 $y$축을 기준으로 회전했을 때 얻을 수 있는 회전체 단면은 반지름이 $2$인 원에서 반지름이 $2\sqrt{y}$인 원을 뺀 것과 동일하다. 따라서, 해당 구간의 단면은 $4 \pi - 4y \pi$의 넓이를 가진다.  이제, 구간 $0 \le y \le 1$에서 주어진 영역을 $y$축으로 회전시켰을 때 얻을 수 있는 회전체의 부피를 다음과 같이 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} V &= \int_{0}^{1} \pi (4 - 4y) \; dy \\ &= \pi \left[ 4y - 2y^{2} \right]_{0}^{1} \\ &= \pi \left( 4 - 2 \right) = 2\pi \end{align*}$$

 

연습문제3. 주어진 함수들에 둘러쌓인 영역을 주어진 축을 기준으로 회전했을 때 얻을 수 있는 회전체의 부피를 구하시오.

 

(a). $y = e^{-x}, y = 1, x = 2$으로 둘러쌓인 영역을 $y = 2$ 기준으로 회전

(b). $y = x, y = \sqrt{x}$으로 둘러쌓인 영역을 $y = 1$ 기준으로 회전

(c). $y = \frac{1}{x}, y = 0, x = 1, x = 3$으로 둘러쌓인 영역을 $y = -1$축 기준으로 회전

 

(a). $y = e^{-x}, y = 1, x = 2$으로 둘러쌓인 영역을 $y = 2$ 기준으로 회전

 

 

주어진 함수로 둘러쌓인 영역을 그림으로 그리면 위와 같이 그릴 수 있다. 여기서, 점 $x$에서 $y = 2$을 기준으로 회전했을 때 얻을 수 있는 회전체 단면은 반지름이 $2 - e^{-x}$인 원에서 반지름이 $1$인 원을 뺀 것과 동일하다. 따라서, 해당 구간의 단면은 $(2 - e^{-x})^{2} \pi - 1 \pi = \left( e^{-2x} - 4e^{-x} + 3 \right) \pi$의 넓이를 가진다.  이제, 구간 $0 \le y \le 1$에서 주어진 영역을 $y  = 2$축으로 회전시켰을 때 얻을 수 있는 회전체의 부피를 다음과 같이 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} V &= \int_{0}^{2} \pi (e^{-2x} - 4e^{-x} + 3) \; dx \\ &= \pi \left[ -\frac{1}{2}e^{-2x} + 4e^{-x} + 3x \right]_{0}^{2} \\ &= \pi \left[ \left( -\frac{1}{2}e^{-4} + 4e^{-2} + 6 \right) - \left( -\frac{1}{2}e^{0} + 4e^{0} \right)\right]= \left( \frac{5}{2} - \frac{1}{2e^{4}} + \frac{4}{e^{2}} \right) \pi \end{align*}$$

 

(b). $y = x, y = \sqrt{x}$으로 둘러쌓인 영역을 $y = 1$ 기준으로 회전

 

 

주어진 함수로 둘러쌓인 영역을 그림으로 그리면 위와 같이 그릴 수 있다. 여기서, 점 $x$에서 $y = 1$을 기준으로 회전했을 때 얻을 수 있는 회전체 단면은 반지름이 $1 - x$인 원에서 반지름이 $1 - \sqrt{x}$인 원을 뺀 것과 동일하다. 따라서, 해당 구간의 단면은 $(1 - x)^{2} \pi - (1 - \sqrt{x})^{2} \pi = \left( x^{2} - 3x + 2\sqrt{x} \right) \pi$의 넓이를 가진다.  이제, 구간 $0 \le x \le 1$에서 주어진 영역을 $y = 1$으로 회전시켰을 때 얻을 수 있는 회전체의 부피를 다음과 같이 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} V &= \int_{0}^{1} \pi \left( x^{2} - 3x + 2\sqrt{x} \right) \; dx \\ &= \pi \left[ \frac{1}{3}x^{3} - \frac{3}{2}x^{2} + \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{1} \\ &= \pi \left( \frac{1}{3} - \frac{2}{3} + \frac{4}{3} \right) = \pi \end{align*}$$

 

(c). $y = \frac{1}{x}, y = 0, x = 1, x = 3$으로 둘러쌓인 영역을 $y = -1$축 기준으로 회전

 

 

주어진 함수로 둘러쌓인 영역을 그림으로 그리면 위와 같이 그릴 수 있다. 여기서, 점 $x$에서 $y = -1$을 기준으로 회전했을 때 얻을 수 있는 회전체 단면은 반지름이 $1 + \frac{1}{x}$인 원에서 반지름이 $1$인 원을 뺀 것과 동일하다. 따라서, 해당 구간의 단면은 $\left(1 + \frac{1}{x} \right)^{2} \pi - 1 \pi = \left( \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x} \right) \pi$의 넓이를 가진다.  이제, 구간 $1 \le x \le 3$에서 주어진 영역을 $y = -1$으로 회전시켰을 때 얻을 수 있는 회전체의 부피를 다음과 같이 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} V &= \int_{1}^{3} \pi (\frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x}) \; dx \\ &= \pi \left[ -\frac{1}{x} + 2\ln(x) \right]_{1}^{3} \\ &= \pi \left[ \left( \frac{1}{3} + 2\ln(3) \right) - \left( \frac{1}{1} + \ln(1) \right)\right]= \left( 3\ln(3) - 1 \right) \frac{2\pi}{3} \end{align*}$$

 

연습문제4. 주어진 함수들에 둘러쌓인 영역을 주어진 축을 기준으로 회전했을 때 얻을 수 있는 회전체의 부피를 구하시오.

 

(a). $x = y^{2}, x = 1$으로 둘러쌓인 영역을 $x = 1$ 기준으로 회전

(b). $y = x, y = \sqrt{x}$으로 둘러쌓인 영역을 $x = 2$축 기준으로 회전

(c). $y = x^{2}, x = y^{2}$으로 둘러쌓인 영역을 $x = -1$축 기준으로 회전

 

(a). $x = y^{2}, x = 1$으로 둘러쌓인 영역을 $x = 1$ 기준으로 회전

 

 

주어진 함수로 둘러쌓인 영역을 그림으로 그리면 위와 같이 그릴 수 있다. 여기서, 점 $y$에서 $x = 1$을 기준으로 회전했을 때 얻을 수 있는 회전체 단면은 반지름이 $1 - y^{2}$인 원의 넓이이다. 따라서, 해당 구간의 단면은 $\left(1 - y^{2} \right)^{2} \pi$의 넓이를 가진다.  이제, 구간 $-1 \le y \le 1$에서 주어진 영역을 $x = 1$으로 회전시켰을 때 얻을 수 있는 회전체의 부피를 다음과 같이 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} V &= \int_{-1}^{1} \pi \left(1 - y^{2}\right)^{2} \; dy \\ &= 2\int_{0}^{1} \pi \left( 1 - y^{2} \right)^{2} \; dy \\ &= 2\int_{0}^{1} \pi (y^{4} - 2y^{2} + 1) \; dy \\ &= 2\pi \left[ \frac{1}{5}y^{5} - \frac{2}{3}y^{3} + y \right]_{0}^{1} \\ &= 2\pi \left[ \frac{1}{5} - \frac{2}{3} + 1 \right]= \frac{16\pi}{15} \end{align*}$$

 

(b). $y = x, y = \sqrt{x}$으로 둘러쌓인 영역을 $x = 2$축 기준으로 회전

 

 

주어진 함수로 둘러쌓인 영역을 그림으로 그리면 위와 같이 그릴 수 있다. 여기서, 점 $y$에서 $x = 2$을 기준으로 회전했을 때 얻을 수 있는 회전체 단면은 반지름이 $2 - y^{2}$인 원에서 반지름이 $2 - y$인 원을 뺀 것과 동일하다. 따라서, 해당 구간의 단면은 $\left(2 - y^{2} \right)^{2} \pi - (2 - y)^{2} \pi = \left( y^{4} - 5y^{2} + 4y \right) \pi$의 넓이를 가진다.  이제, 구간 $0 \le y \le 1$에서 주어진 영역을 $x = 2$으로 회전시켰을 때 얻을 수 있는 회전체의 부피를 다음과 같이 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} V &= \int_{0}^{1} \pi (4y - 5y^{2} + y^{4}) \; dy \\ &= \pi \left[ 2y^{2} - \frac{5}{3}y^{3} + \frac{1}{5}y^{5} \right]_{0}^{1} \\ &= \pi \left[ 2 - \frac{5}{3} + \frac{1}{5} \right] =  \frac{8\pi}{15} \end{align*}$$

 

(c). $y = x^{2}, x = y^{2}$으로 둘러쌓인 영역을 $x = -1$축 기준으로 회전

 

 

주어진 함수로 둘러쌓인 영역을 그림으로 그리면 위와 같이 그릴 수 있다. 여기서, 점 $y$에서 $x = -1$을 기준으로 회전했을 때 얻을 수 있는 회전체 단면은 반지름이 $1 + \sqrt{y}$인 원에서 반지름이 $1 + y^{2}$인 원을 뺀 것과 동일하다. 따라서, 해당 구간의 단면은 $\left(1 + \sqrt{y} \right)^{2} \pi - \left(1 + y^{2}\right)^{2} \pi = \left( -y^{4} - 2y^{2} + y + 2\sqrt{y} \right) \pi$의 넓이를 가진다.  이제, 구간 $0 \le y \le 1$에서 주어진 영역을 $x = 2$으로 회전시켰을 때 얻을 수 있는 회전체의 부피를 다음과 같이 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} V &= \int_{0}^{1} \pi (-y^{4} - 2y^{2} + y + 2\sqrt{y}) \; dy \\ &= \pi \left[ -\frac{1}{5}y^{5} - \frac{2}{3}y^{3} + \frac{1}{2}y^{2} + \frac{4}{3}y^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{1} \\ &= \pi \left[ -\frac{1}{5} - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} + \frac{4}{3} \right] =  \frac{29\pi}{30} \end{align*}$$

 

연습문제5.  주어진 입체도형의 부피를 구하시오.

 

(a). 높이가 $h$이고 반지름이 $r$인 원을 밑면으로 가지는 원뿔

(b). 높이가 $h$이고  밑면의 반지름이 $R$이고 윗면의 반지름이 $r$인 잘린 원뿔

(c). 반지름이 $r$인 구에서 높이가 $h$인 구의 부분

 

(a). 높이가 $h$이고 반지름이 $r$인 원을 밑면으로 가지는 원뿔

 

 

원뿔의 단면을 그림으로 그리면 위와 같이 그릴 수 있다. 원뿔의 높이를 $x$축에 두고 밑면의 반지름을 $y$축에 두면 각 점은 $(h, 0)$과 $(0, r)$이다. 두 점을 지나는 직선의 방정식은 $\frac{x}{h} + \frac{y}{r} = 1 \rightarrow y = -\frac{r}{h}x + r$이다. 따라서, 점 $x = a$에서 $x$축을 기준으로 회전했을 때 얻을 수 있는 회전체 단면의 반지름은 $-\frac{r}{h}a + r$이다. 이제, 구간 $0 \le x \le h$에서 주어진 직선의 방정식을 $x$축으로 회전시켰을 때 얻을 수 있는 회전체의 부피를 다음과 같이 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} V &= \int_{0}^{h} \pi \left( -\frac{r}{h}x + r \right)^{2} \; dx \\ &= \int_{0}^{h} \pi \left( \frac{r^{2}}{h^{2}}x^{2} - \frac{2r^{2}}{h}x + r^{2} \right) \\ &= \pi \left[ \frac{r^{2}}{3h^{2}}x^{3} - \frac{r^{2}}{h}x^{2} + r^{2}x \right]_{0}^{h} \\ &= \pi \left( \frac{r^{2}}{3h^{2}} \cdot h^{3} - \frac{r^{2}}{h} \cdot h^{2} + r^{2}h\right) = \frac{1}{3}rh^{2}\pi \end{align*}$$ 

 

(b). 높이가 $h$이고  밑면의 반지름이 $R$이고 윗면의 반지름이 $r$인 잘린 원뿔

 

 

잘린 원뿔의 단면을 그림으로 그리면 위와 같이 그릴 수 있다. 잘린 원뿔의 높이를 $x$축에 두고 밑면의 반지름을 $y$축에 두면 각 점은 $(h, 0)$과 $(0, r)$이다. 이때, 직선이 점 $(h, r)$을 지나므로 두 점을 지나는 직선의 방정식은 $y = -\frac{R - r}{h}x + R$이다. 따라서, 점 $x = a$에서 $x$축을 기준으로 회전했을 때 얻을 수 있는 회전체 단면의 반지름은 $-\frac{R - r}{h}a + R$이다. 이제, 구간 $0 \le x \le h$에서 주어진 직선의 방정식을 $x$축으로 회전시켰을 때 얻을 수 있는 회전체의 부피를 다음과 같이 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} V &= \int_{0}^{h} \pi \left( -\frac{R - r}{h}x + R \right)^{2} \; dx \\ &= \int_{0}^{h} \pi \left( \frac{(R - r)^{2}}{h^{2}}x^{2} - \frac{2R(R - r)}{h}x \right) + R^{2} \\ &= \pi \left[ \frac{(R - r)^{2}}{3h^{2}}x^{3} - \frac{R(R - r)}{h}x^{2} + R^{2}x \right]_{0}^{h} \\ &= \pi \left( \frac{(R - r)^{2}}{3h^{2}} \cdot h^{3} - \frac{R(R - r)}{h} \cdot h^{2} + R^{2}h\right) \\ &= \pi \left( \frac{h(R - r)^{2}}{3} - hR(R - r) + R^{2}h \right) \\ &=  \frac{h}{3}\pi \left( R^{2} - 2Rr + r^{2} + 3Rr  \right) = \frac{h(R^{2} + Rr + r^{2})}{3}\pi\end{align*}$$ 

 

(c). 반지름이 $r$인 구에서 높이가 $h$인 구의 부분

 

구의 부분의 단면을 그림으로 그리면 위와 같이 그릴 수 있다. 해당 영역은 구의 방정식 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$의 $y \ge 0$이고 $r - h \le x \le r$인 영역이므로 해당 영역을 점 $x = a$에서 $x$축을 기준으로 회전했을 때 얻을 수 있는 회전체의 단면의 반지름은 $\sqrt{r^{x} - x^{2}}$이다. 이제, 구간 $r - h \le x \le r$에서 주어진 구의 방정식을 $x$축으로 회전시켰을 때 얻을 수 있는 회전체의 부피를 다음과 같이 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} V &= \int_{r - h}^{r} \pi \left( \sqrt{r^{2} - x^{2}} \right)^{2} \; dx \\ &= \int_{r - h}^{r} \pi \left( r^{2} - x^{2} \right) \\ &= \pi \left[ r^{2}x - \frac{1}{3}x^{3} \right]_{r - h}^{r} \\ &= \pi \left[ \left( r^{3} - \frac{1}{3}r^{3} \right) - \left( r^{2}(r - h) - \frac{1}{3}(r - h)^{3} \right) \right] \\ &= \pi \left[ \frac{2}{3}r^{3} - \left( r^{3} - r^{2}h - \frac{1}{3}(r^{3} - 3r^{2}h + rh^{2} - h^{3}) \right) \right] \\ &= \pi \left[ \frac{2}{3}r^{3} - \left( \frac{2}{3}r^{3} - \frac{rh^{2}}{3} + \frac{h^{3}}{3} \right) \right] \\ &= \left( \frac{rh^{2}}{3} - \frac{h^{3}}{3} \right) = \frac{h^{2}(r - h)\pi}{3}\end{align*}$$ 

 

연습문제6. 주어진 입체도형의 부피를 구하시오.

 

(a). 밑면과 윗면이 각각 $b$와 $a$의 길이를 가지는 정사각형으로 이루어진 높이 $h$의 잘린 피라미드

(b). 한변의 길이가 $a$와 높이 $h$로 이루어진 정사면체

(c). 밑면 $S$가 반지름이 $r$인 원이라고 하자. 밑면에서 수직인 단면이 정사각형인 입체도형

 

(a). 밑면과 윗면이 각각 $b$와 $a$의 길이를 가지는 정사각형으로 이루어진 높이 $h$의 잘린 피라미드

 

 

잘린 피라미드의 단면을 그림으로 그리면 다음과 같다. 주의할 점은 연습문제 6과 다르게 $x$축을 중심으로 회전을 해서 얻은 회전체가 아니기 때문에 $x$축에서 수직인 선을 기준으로 자를 때 얻을 수 있는 단면은 정사각형이다. 따라서, $x = c$에서 단면의 한 변의 길이는 $2\left( -\frac{b - a}{h}c + b \right)$이다. 이제, 구간 $0 \le x \le h$에서 주어진 정사각형의 면적 $A(x) = 4\left( -\frac{b - a}{h}x + b \right)^{2}$을 적분하면 부피를 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} V &= \int_{0}^{h} 4 \left( -\frac{b - a}{h}x + b \right)^{2} \; dx \\ &= \int_{0}^{h} 4 \left( \frac{(b - a)^{2}}{h^{2}}x^{2} - \frac{2b(b - a)}{h}x \right) + b^{2} \\ &= 4 \left[ \frac{(b - a)^{2}}{3h^{2}}x^{3} - \frac{b(b - a)}{h}x^{2} + b^{2}x \right]_{0}^{h} \\ &= 4 \left( \frac{(b - a)^{2}}{3h^{2}} \cdot h^{3} - \frac{b(b - a)}{h} \cdot h^{2} + b^{2}h\right) \\ &= 4 \left( \frac{h(b - a)^{2}}{3} - hb(b - a) + b^{2}h \right) \\ &=  \frac{4h}{3} \left( b^{2} - 2ab + a^{2} + 3ab  \right) = \frac{4h(a^{2} + ab + b^{2})}{3} \end{align*}$$ 

 

(b). 한변의 길이가 $a$와 높이 $h$로 이루어진 정사면체

 

 

정사면체의 상단 꼭지점을 원점에 고정한 뒤 단면을 그림으로 그리면 다음과 같다. $x$축에 수직인 선을 기준으로 자를 때 얻을 수 있는 단면은 정삼각형이다. 이제, 정삼각형의 넓이를 구하기 위해 비례식을 이용해서 원점에서 $x$만큼 떨어진 위치에서 단면으로 잘랐을 때 정삼각형의 높이 $y$를 구한다. 

 

$$\frac{x}{h} = \frac{y}{\frac{\sqrt{3}}{2}a} \rightarrow y = \frac{x}{h} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}x}{2h}a$$

 

이때, 정삼각형의 높이는 한변의 길이가 $a$라고 할 때, $\frac{\sqrt{3}a}{2}$가 되므로 원점에서 $x$만큼 떨어진 위치에서 단면으로 잘랐을 때 정삼각형의 한변의 길이는 $\frac{x}{h}a$이다. 마지막으로 정삼각형의 넓이는 $A(x) = \frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{x}{h}a\right)^{2}$이므로 구간 $0 \le x h$에서 주어진 정삼각형의 면적을 적분하면 부피를 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} V &= \int_{0}^{h} \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \frac{x}{h}a \right)^{2} \; dx \\ &= \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4h^{2}} \int_{0}^{h} x^{2} \; dx \\ &= \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4h^{2}} \left[ \frac{1}{3}x^{3} \right]_{0}^{h} \\ &= \frac{a^{2}\sqrt{3}}{12h^{2}} \cdot h^{3} = \frac{a^{2}h\sqrt{3}}{12} \end{align*}$$ 

 

(c). 밑면 $S$가 반지름이 $r$인 원이라고 하자. 밑면에서 수직인 단면이 정사각형인 입체도형

 

 

주어진 입체도형을 밑면을 기준으로 보면 다음과 같이 그릴 수 있다. 이때, $x$축에 수직인 면은 정사각형이므로 원의 성질을 이용하면 정사각형의 한변의 길이는 $2\sqrt{r^{2} - x^{2}}$임을 알 수 있다. 따라서, 원점에서 $x$만큼 떨어진 위치의 $x$축에서 수직으로 잘랐을 때의 단면의 넓이는 $A(x) = \left(2\sqrt{r^{2} - x^{2}}\right)^{2} = 4(r^{2} - x^{2})$이다. 따라서, 구간 $-r \le x \le r$에서 주어진 정사각형의 면적을 적분하면 부피를 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} V &= \int_{-r}^{r} 4(r^{2} - x^{2})\; dx \\ &= 8 \int_{0}^{r} \left(r^{2} - x^{2}) \; dx \\ &= 8 \left[ r^{2}x - \frac{1}{3}x^{3} \right]_{0}^{r} \\ &= 8 \cdot \left( r^{3} - \frac{1}{3}r^{3} \right) = \frac{16r^{3}}{3} \end{align*}$$ 

 

연습문제7. 아래의 그림과 같이 토러스 (torus)가 주어졌을 때 부피를 구하여라. 단, 최종계산은 하지 않고 적분식까지만 작성한다. 

 

 

 

주어진 입체도형의 단면을 그리면 위와 같이 그릴 수 있다. 여기서, 점 $y$에서 $y$축을 기준으로 회전했을 때 얻을 수 있는 회전체 단면은 반지름이 $R + \sqrt{r^{2} - y^{2}}$인 원에서 반지름이 $R - \sqrt{r^{2} - y^{2}}$인 원을 뺀 것과 동일하다. 따라서, 해당 구간의 단면은 $\left( R + \sqrt{r^{2} - y^{2}} \right)^{2} \pi - \left( R - \sqrt{r^{2} - y^{2}}\right)^{2} \pi = 4R\pi \sqrt{r^{2} - y^{2}}$의 넓이를 가진다.  이제, 구간 $-r \le y \le r$에서 주어진 영역을 $y$축으로 회전시켰을 때 얻을 수 있는 회전체의 부피를 다음과 같이 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} V &= \int_{-r}^{r} 4R\pi \sqrt{r^{2} - y^{2}}\; dy \\ &= 8R\pi \int_{0}^{r} \sqrt(r^{2} - y^{2}) \; dy \end{align*}$$ 

 

참고자료 및 그림출처

Calculus(J. Stewart)