안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 원통껍질을 이용한 회전체 부피 구하기 에서는 보다 복잡한 형태의 회전체의 부피를 구하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 적분을 이용해서 함수가 주어졌을 때 평균적인 함수의 값을 구하는 방법에 대해서 알아보겠습니다.
미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다.
일단, 기본적으로 $n$개의 표본 $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}$이 주어졌을 때, 산술 평균은 $y_{avg} = \frac{y_{1} + y_{2} + \cdots + y_{n}}{n}$으로 구할 수 있습니다. 따라서, 저희가 함수의 평균을 구하기 위해서는 표본점을 선택해야합니다. 이전과 마찬가지로 $n$개의 등구간으로 나누고 각 구간의 표본점 $x^{*}_{i}$을 중간점으로 했다고 가정하겠습니다. 그러면, 각 구간의 $\Delta x = \frac{b - a}{n}$의 길이를 가지게 되고 각 표본점에 대응되는 $n$개의 함수값 $f(x_{1}^{*}), \dots, f(x_{n}^{*})$을 가지게 됩니다.
$$\begin{align*} \frac{f(x_{1}^{*}) + \cdots + f(x_{n}^{*})}{n} &= \frac{f(x_{1}^{*}) + \cdots + f(x_{n}^{*})}{\frac{b - 1}{\Delta x}} \\ &= \frac{1}{b - a} \left(f(x_{1}^{*}) \Delta x + \cdots + f(x_{n}^{*}) \Delta x \right) \\ &= \frac{1}{b - a} \sum_{i = 1}^{n} f(x_{i}^{*}) \Delta x \end{align*}$$
이제 남은 일은 $n \rightarrow \infty$로의 극한을 취해주어 실제로 저희가 원하는 함수의 평균값을 구하는 것입니다.
$$f_{avg} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{b - a} \sum_{i = 1}^{n} f(x_{i}^{*}) \Delta x = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f(x) \; dx$$
예제1. 구간 $[-1, 2]$에서 함수 $f(x) = 1 +x^{2}$의 평균값을 구하여라.
$$ f_{ave} = \frac{1}{2 + 1} \int_{-1}^{2} (1 + x^{2}) \; dx = \frac{1}{3} \left[ x + \frac{x^{3}}{3} \right]_{-1}^{3} = 2$$
정리1. 적분에 대한 평균값 정리(MVT for Integrals)
함수 $f$가 닫힌 구간 $[a, b]$에서 연속이라고 하면 $f(c) = f_{avg} = \int_{a}^{b} f(x) \; dx$를 만족하는 $c$가 구간 $[a, b]$ 사이에 존재한다.
설명
정리1은 미적분학 - 평균값 정리의 적분버전이라고 생각하시면 됩니다. 그림으로 그리면 다음과 같죠.
즉, 함수의 평균값 $f_{ave}$과 함수 $f(x)$가 일치하는 점 $x = c$가 적어도 하나 이상 존재한다는 정리입니다. 따라서 예제1의 경우에는 구간 $[-1, 2]$에서 함수 $f(x) = 1 + x^{2}$이 함수의 평균값인 $f_{ave} = 2$와 일치하는 점 $x = c$이 존재하게 됩니다. 실제로 구해보면 $f(c) = 1 + c^{2} = 2 \rightarrow c = \pm 1$으로 두 점에서 만난다는 것을 확인할 수 있죠.
연습문제1. 주어진 구간에서 함수들의 평균을 구하여라.
(a). $f(x) = 4x - x^{2}, [0, 4]$
(b). $f(x) = \sin(4x), [-\pi, \pi]$
(c). $g(x) = \sqrt[3]{x}, [1, 8]$
(d). $g(x) = x^{2}\sqrt{1 + x^{3}}, [0, 2]$
(a). $f(x) = 4x - x^{2}, [0, 4]$
$$\begin{align*} A &= \frac{1}{4 - 0} \int_{0}^{4} \left( 4x - x^{2} \right) \; dx \\ &= \frac{1}{4} \left[ 2x^{2} - \frac{1}{3}x^{3} \right]_{0}^{4} \\ &= \frac{1}{4} \cdot \left( 2 \cdot 4^{2} - \frac{1}{3} \cdot 4^{3} \right) = \frac{8}{3} \end{align*}$$
(b). $f(x) = \sin(4x), [-\pi, \pi]$
$$\begin{align*} A &= \frac{1}{\pi + \pi} \int_{-\pi}^{\pi} \sin(4x) \; dx = 0 \end{align*}$$
(c). $g(x) = \sqrt[3]{x}, [1, 8]$
$$\begin{align*} A &= \frac{1}{8 - 1} \int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} \; dx \\ &= \frac{1}{7} \left[ \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} \right]_{1}^{8} \\ &= \frac{3}{28} \cdot \left( 8^{\frac{4}{3}} - 1^{\frac{4}{3}}\right)= \frac{28}{3} \end{align*}$$
(d). $g(x) = x^{2}\sqrt{1 + x^{3}}, [0, 2]$
$$\begin{align*} A &= \frac{1}{2 - 0} \int_{0}^{2} x^{2}\sqrt{1 + x^{3}} \; dx \end{align*}$$
$1 + x^{3} = u$라고 하자.
$$3x^{2} dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{3x^{2}} du$$
그리고 윗끝과 아래끝은 아래와 같다.
$$\begin{cases} &x = 2 \rightarrow u = 9 \\ &x = 0 \rightarrow u = 9 \end{cases}$$
이제 주어진 정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} A &= \frac{1}{2} \int_{0}^{2} x^{2}\sqrt{1 + x^{3}} \; dx \\ &= \frac{1}{2} \int_{0}^{8} \frac{1}{3}\sqrt{u} \; du \\ &= \frac{1}{6} \left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{9} \\ &= \frac{1}{9} \cdot \left( 9^{\frac{3}{2}} - 1^{\frac{3}{2}} \right) = \frac{26}{9} \end{align*}$$
연습문제2. 주어진 구간에서 함수들의 평균을 구하여라.
(a). $f(t) = te^{-t^{2}}, [0, 5]$
(b). $f(\theta) = \sec^{2} \left( \frac{\theta}{2} \right), [0, \frac{\pi}{2}]$
(c). $h(x) = \cos^{4}(x)\sin(x), [0, \pi]$
(d). $h(u) = \frac{1}{3 - 2u}, [-1, 1]$
(a). $f(t) = te^{-t^{2}}, [0, 5]$
$$\begin{align*} A &= \frac{1}{5 - 0} \int_{0}^{5} te^{-t^{2}} \; dt \end{align*}$$
$-t^{2} = u$라고 하자.
$$-2t dt = du \rightarrow dt = -\frac{1}{2t} du$$
그리고 윗끝과 아래끝은 아래와 같다.
$$\begin{cases} &t = 5 \rightarrow u = -25 \\ &x = 0 \rightarrow u = 0 \end{cases}$$
이제 주어진 정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} A &= \frac{1}{5} \int_{0}^{5} te^{-t^{2}} \; dt \\ &= \frac{1}{5} \int_{-25}^{0} \frac{1}{2} e^{u} \; du \\ &= \frac{1}{10} \left[ e^{u} \right]_{-25}^{0} \\ &= \frac{1}{10} \left( 1 - e^{-25} \right) \end{align*}$$
(b). $f(\theta) = \sec^{2} \left( \frac{\theta}{2} \right), [0, \frac{\pi}{2}]$
$$\begin{align*} A &= \frac{1}{\frac{\pi}{2} - 0} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sec^{2}\left( \frac{\theta}{2} \right) \; d\theta \\ &= \frac{2}{\pi} \left[ 2\tan \left( \frac{\theta}{2} \right) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \frac{4}{\pi} \cdot \left( \tan \left( \frac{\pi}{4} \right) - \tan(0) \right) = \frac{4}{\pi} \end{align*}$$
(c). $h(x) = \cos^{4}(x)\sin(x), [0, \pi]$
$$\begin{align*} A &= \frac{1}{\pi - 0} \int_{0}^{\pi} \cos^{4}(x)\sin(x) \; dx \end{align*}$$
$cos(x) = u$라고 하자.
$$-\sin(x) dx = du \rightarrow dx = -\frac{1}{\sin(x)} du$$
그리고 윗끝과 아래끝은 아래와 같다.
$$\begin{cases} &x = \pi \rightarrow u = -1 \\ &x = 0 \rightarrow u = 1 \end{cases}$$
이제 주어진 정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} A &= \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos^{4}(x)\sin(x) \; dx \\ &= \frac{1}{\pi} \int_{-1}^{1} u^{4} \; du \\ &= \frac{2}{\pi} \int_{0}^{1} u^{4} \; du \\ &= \frac{2}{\pi} \left[ \frac{1}{5}u^{5} \right]_{0}^{1} \\ &= \frac{2}{5\pi} \end{align*}$$
(d). $h(u) = \frac{1}{3 - 2u}, [-1, 1]$
$$\begin{align*} A &= \frac{1}{1 + 1} \int_{-1}^{1} \frac{1}{3 - 2u} \; du \end{align*}$$
$3 - 2u = t$라고 하자.
$$-2 du = dt \rightarrow du = -\frac{1}{2} dt$$
그리고 윗끝과 아래끝은 아래와 같다.
$$\begin{cases} &u = 1 \rightarrow t = 1 \\ &u = -1 \rightarrow t = 5 \end{cases}$$
이제 주어진 정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} A &= \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \frac{1}{3 - 2u} \; du \\ &= \frac{1}{2} \int_{1}^{5} \frac{1}{2} \frac{1}{t} \; dt \\ &= \frac{1}{4} \left[ \ln(t) \right]_{1}^{5} \\ &= \frac{\ln(5)}{4} \end{align*}$$
연습문제3. 주어진 구간에서 함수들의 평균을 구하여라.
(a). $f(x) = (x - 3)^{2}, [2, 5]$
(b). $f(x) = \sqrt{x}, [0, 4]$
(c). $f(x) = 2\sin(x) - \sin(2x), [0, \pi]$
(d). $f(x) = \frac{2x}{(1 + x^{2})^{2}}, [0, 2]$
(a). $f(x) = (x - 3)^{2}, [2, 5]$
$$\begin{align*} A &= \frac{1}{5 - 2} \int_{2}^{5} (x - 3)^{2} \; dx \end{align*}$$
$x - 3 = u$라고 하자.
$$dx = du \rightarrow dx = du$$
그리고 윗끝과 아래끝은 아래와 같다.
$$\begin{cases} &x = 5 \rightarrow u = 2 \\ &x = 2 \rightarrow u = -1 \end{cases}$$
이제 주어진 정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} A &= \frac{1}{3} \int_{2}^{5} (x - 3)^{2} \; dx \\ &= \frac{1}{3} \int_{-1}^{2} u^{2} \; du \\ &= \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{3}u^{3} \right]_{-1}^{2} \\ &= \frac{1}{9} \left( 8 + 1 \right) = 1 \end{align*}$$
(b). $f(x) = \sqrt{x}, [0, 4]$
$$\begin{align*} A &= \frac{1}{4 - 0} \int_{0}^{4} \sqrt{x} \; dx \\ &= \frac{1}{4} \left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{4} \\ &= \frac{1}{6} \cdot 4^{\frac{3}{2}} = \frac{4}{3} \end{align*}$$
(c). $f(x) = 2\sin(x) - \sin(2x), [0, \pi]$
$$\begin{align*} A &= \frac{1}{\pi - 0} \int_{0}^{\pi} \left( 2\sin(x) - \sin(2x) \right) \; dx \\ &= \frac{1}{\pi} \left[ -\cos(x) - \frac{1}{2}\cos(2x) \right]_{0}^{\pi} \\ &= \frac{1}{\pi} \cdot \left[ \left( -\cos(\pi) - \frac{1}{2}\cos(2\pi) \right) - \left( -\cos(0) - \frac{1}{2}\cos(0) \right) \right] = \frac{4}{\pi} \end{align*}$$
(d). $f(x) = \frac{2x}{(1 + x^{2})^{2}}, [0, 2]$
$$\begin{align*} A &= \frac{1}{2 - 0} \int_{0}^{2} \frac{2x}{(1 + x^{2})^{2}} \; dx \end{align*}$$
$1 + x^{2} = u$라고 하자.
$$2x dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{2x} du$$
그리고 윗끝과 아래끝은 아래와 같다.
$$\begin{cases} &x = 2 \rightarrow u = 5 \\ &x = 0 \rightarrow u = 1 \end{cases}$$
이제 주어진 정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} A &= \frac{1}{2} \int_{0}^{2} \frac{2x}{(1 + x^{2})^{2}} \; dx \\ &= \frac{1}{2} \int_{1}^{5} \frac{1}{u^{2}} \; du \\ &= \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{u} \right]_{1}^{5} \\ &= \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{5} \right) = \frac{2}{5} \end{align*}$$
연습문제4. 함수 $f$가 연속함수이고 $\int_{1}^{3} f(x) \; dx = 8$일 때 함수 $f(c) = 4$를 만족하는 $c$가 닫힌 구간 $[1, 3]$에 적어도 하나 이상 존재함을 증명하라.
구간 $[1, 3]$에서 함수 $f$의 평균은 다음과 같다.
$$f_{ave} = \frac{1}{3 - 1} \int_{1}^{3} f(x) \; dx = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$$
따라서, 적분에 대한 MVT에 의해 $f(c) = 4$를 만족하는 $x = c$가 닫힌 구간 $[1, 3]$에 적어도 하나 이상 존재한다.
연습문제5. 닫힌 구간 $[0, b]$에서 함수 $f(x) = 2 + 6x - 3x^{2}$의 평균이 3을 만족하는 $b$를 구하여라.
구간 $[0, b]$에서 함수 $f$의 평균은 다음과 같다.
$$f_{ave} = \frac{1}{b} \int_{0}^{b} \left( 2 + 6x - x^{2} \right) \; dx = 2 + 3b - b^{2}$$
따라서, $2 + 3b - b^{2} = 3$을 만족하는 $b$를 찾아야하므로 근의공식을 사용하면 $b = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$임을 알 수 있다.
참고자료 및 그림출처
Calculus(J. Stewart)
'수학 > 미적분학' 카테고리의 다른 글
| 미적분학 - 복잡한 삼각함수 적분 (0) | 2022.03.16 |
|---|---|
| 미적분학 - 부분적분 (0) | 2022.03.14 |
| 미적분학 - 원통껍질을 이용한 회전체 부피 구하기 (0) | 2022.03.07 |
| 미적분학 - 입체 부피 구하기 (0) | 2022.03.05 |
| 미적분학 - 두 곡선 사이의 넓이 (0) | 2022.03.04 |
