미적분학 - 부분적분

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 함수의 평균에서는 적분을 이용해서 실제 함수의 평균을 구하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 더욱 복잡한 형태의 함수를 적분하기 위한 부분적분(Intergration by Parts)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 

 

기본적으로 모든 적분은 FTC에 의해 대응되는 미분 규칙이 존재합니다. 예를 들어, 치환 적분에 대응되는 미분 규칙은 연쇄 법칙인 것처럼 말입니다. 부분 적분에 대응되는 미분 규칙은 함수의 곱셈을 미분할 때 얻는 결과를 활용하게 됩니다. 아래의 연산 결과를 보시면 쉽게 이해할 수 있습니다. 

 

$$\frac{d}{dx} \left[f(x) \cdot g(x)\right] = f^{'}(x) g(x) + f(x) g^{'}(x)$$

 

위 연산은 곱셈 형태의 함수에 미분을 적용한 것입니다. 이제 양변에 적분을 취해볼까요?

 

$$\begin{align*} &\int \frac{d}{dx} \left[f(x) \cdot g(x)\right] = \int \left[f^{'}(x) g(x) + f(x) g^{'}(x)\right] \; dx\\ \Rightarrow &f(x) g(x) = \int f^{'}(x) g(x) \; dx + \int f(x) g^{'}(x) \; dx \\ \Rightarrow &\int f(x) g^{'}(x) \; dx = f(x) g(x) - \int f^{'}(x) g(x) \; dx\end{align*}$$

 

저희가 얻은 마지막 결과가 보이시나요? 이 결과를 저희는 앞으로 부분적분(Intergration by Parts)라고 부르도록 하겠습니다. 여기서 주의할 점은 $g^{'}(x)$를 설정할 때는 적분하기 쉬운 함수들로 정해야한다는 점입니다. 간단한 예제들을 통해 적용해보도록 하겠습니다. 

 

예제1. $\int x\sin(x) \; dx$를 구하라.

$f(x) = x$ 그리고 $g^{'} = \sin(x)$라고 하자. 따라서 $f^{'}(x) = 1$ 이고 $g(x) = -\cos(x)$이다. 부분적분을 통해 아래와 같이 적분할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int x \sin(x) \; dx &= \int f(x) g^{'}(x) \; dx \\ &= f(x) g(x) - \int f^{'}(x) g(x) \; dx \\ &= -x\cos(x) + \int \cos(x) \; dx \\ &= -x\cos(x) + \sin(x) + C\end{align*}$$

 

예제2. $\int \ln(x) \; dx$를 구하라.

$f(x) = \ln(x)$ 그리고 $g^{'} = 1$라고 하자. 따라서 $f^{'}(x) = \frac{1}{x}$ 이고 $g(x) = x$이다. 부분적분을 통해 아래와 같이 적분할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int \ln(x) \; dx &= \int f(x) g^{'}(x) \; dx \\ &= f(x) g(x) - \int f^{'}(x) g(x) \; dx \\ &= x\ln(x) - \int \frac{1}{x} \cdot x \; dx \\ &= x\ln(x) - x + C\end{align*}$$

 

예제3. $\int x^{2}e^{x} \; dx$를 구하라.

$f(x) = x^{2}$ 그리고 $g^{'} = e^{x}$라고 하자. 따라서 $f^{'}(x) = 2x$ 이고 $g(x) = e^{x}$이다. 부분적분을 통해 아래와 같이 적분할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int x^{2} e^{x} \; dx &= \int f(x) g^{'}(x) \; dx \\ &= f(x) g(x) - \int f^{'}(x) g(x) \; dx \\ &= x^{2}e^{x} - \int 2x e^{x} \; dx\end{align*}$$

 

이때, $\int 2x e^{x} \; dx$ 역시 $f(x) = 2x$ 그리고 $g(x) = e^{x}$라고 했을 때, $f^{'}(x) = 2$ 이고 $g(x) = e^{x}$이므로 부분적분을 통해 아래와 같이 적분할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int 2x e^{x} \; dx &= \int f(x) g^{'}(x) \; dx \\ &= f(x) g(x) - \int f^{'}(x) g(x) \; dx \\ &= 2xe^{x} - \int 2 e^{x} \; dx \\ &= 2xe^{x} - 2e^{x} + C\end{align*}$$

 

이제 처음으로 부분적분한 결과에 대입하여 아래와 같은 결과를 얻을 수 있다.

 

$$\begin{align*} \int x^{2} e^{x} \; dx &= \int f(x) g^{'}(x) \; dx \\ &= f(x) g(x) - \int f^{'}(x) g(x) \; dx \\ &= x^{2}e^{x} - \int 2x e^{x} \; dx \\ &= x^{2}e^{x} - (2xe^{x} - 2e^{x}) + C \\ &= x^{2}e^{x} -2xe^{x} + 2e^{x} + C\end{align*}$$

 

이와 같이 부분적분을 통해 보다 복잡한 형태의 함수를 적분할 수 있었습니다. 이를 위해서는 수많은 문제들을 직접 풀어봐야 감을 잡으실 수 있으니 꼭 다른 예제들도 확인해보시길 바랍니다. 

 

연습문제1. 주어진 적분을 계산하라.

 

(a). $\int x\cos(5x) \; dx$

(b). $\int xe^{-x} \; dx$

(c). $\int re^{r/2} \; dr$

(d). $\int t\sin(2t) \; dt$

(e). $\int x^{2}\sin(\pi x) \; dx$

(f). $\int x^{2}\cos(mx) \; dx$

(g). $\int \ln (2x + 1) \; dx$

(h). $\int \arcsin(x) \; dx$

 

(a). $\int x\cos(5x) \; dx$

 

$u = x$ 그리고 $v^{'} = \cos(5x)$라고 하자. 그러면 $u^{'} = 1$이고 $v = \frac{1}{5}\sin(5x)$이다. 부분적분을 통해 아래와 같이 적분할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \int x\cos(5x) \; dx &= \frac{x}{5}\sin(5x) - \int \frac{1}{5}\sin(5x) \; dx \\ &= \frac{x}{5} \sin(5x) + \frac{1}{25}\cos(5x) + C\end{align*}$$

 

(b). $\int xe^{-x} \; dx$

 

$u = x$ 그리고 $v^{'} = e^{-x}$라고 하자. 그러면 $u^{'} = 1$이고 $v = -e^{-x}$이다. 부분적분을 통해 아래와 같이 적분할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \int xe^{-x} \; dx &= -xe^{-x} + \int e^{-x} \; dx \\ &= -(x + 1)e^{-x} + C\end{align*}$$

 

(c). $\int re^{r/2} \; dr$

 

$u = r$ 그리고 $v^{'} = e^{r/2}$라고 하자. 그러면 $u^{'} = 1$이고 $v = 2e^{r/2}$이다. 부분적분을 통해 아래와 같이 적분할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \int re^{r/2} \; dr &= 2re^{r/2} - \int 2e^{r/2} \; dr \\ &= 2re^{r/2} - 4e^{r/2} + C \\ &= 2e^{r/2}(r - 2)\end{align*}$$

 

(d). $\int t\sin(2t) \; dt$

 

$u = t$ 그리고 $v^{'} = \sin(2t)$라고 하자. 그러면 $u^{'} = 1$이고 $v = -\frac{1}{2}\cos^{2t}$이다. 부분적분을 통해 아래와 같이 적분할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \int t\sin(2t) \; dt &= -\frac{t}{2}\cos(2t) + \int \frac{1}{2}cos(2t) \; dt \\ &= -\frac{t}{2}\cos(2t) + \frac{1}{4}\sin(2t) + C \end{align*}$$

 

(e). $\int x^{2}\sin(\pi x) \; dx$

 

$u_{1} = x^{2}$ 그리고 $v_{1}^{'} = \sin(\pi x)$라고 하자. 그러면 $u_{1}^{'} = 2x$이고 $v_{1} = -\frac{1}{\pi} \cos(\pi x)$이다. 부분적분을 통해 아래와 같이 적분할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \int x^{2} \sin(\pi x) \; dx &= -\frac{x^{2}}{\pi} \cos(\pi x) + \frac{2}{\pi} \int xcos(\pi x) \; dx \end{align*}$$

 

다음으로 $\int x\cos(\pi x) \; dx$에 부분적분을 한번 더 적용하기 위해 $u_{2} = x$ 그리고 $v_{2}^{'} = \cos(\pi x)$라고 하자. 그러면 $u_{2}^{'} = 1$이고 $v_{2} = \frac{1}{\pi} \sin(\pi x)$이다. 이제 부분적분을 적용하면 다음과 같다. 

 

$$\begin{align*} \int x^{2} \sin(\pi x) \; dx &= -\frac{x^{2}}{\pi} \cos(\pi x) + \frac{2}{\pi}\int xcos(\pi x) \; dx \\ &= -\frac{x^{2}}{\pi} \cos(\pi x) + \frac{2}{\pi} \left( \frac{x}{\pi} \sin(\pi x) - \frac{1}{\pi} \int \sin(\pi x) \; dx \right) \\ &= -\frac{x^{2}}{\pi} \cos(\pi x) + \frac{2}{\pi} \left( \frac{x}{\pi} \sin(\pi x) + \frac{1}{\pi^{2}} \cos(\pi x)\right) + C \\ &= -\frac{x^{2}}{\pi} \cos(\pi x) + \frac{2x}{\pi^{2}} \sin(\pi x) + \frac{2}{\pi^{3}} \cos(\pi x) + C \end{align*}$$

 

(f). $\int x^{2}\cos(mx) \; dx$

 

$u_{1} = x^{2}$ 그리고 $v_{1}^{'} = \cos(mx)$라고 하자. 그러면 $u_{1}^{'} = 2x$이고 $v_{1} = \frac{1}{m} \sin(mx)$이다. 부분적분을 통해 아래와 같이 적분할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \int x^{2} \cos(mx) \; dx &= \frac{x^{2}}{m} \sin(mx) - \frac{2}{m} \int xsin(mx) \; dx \end{align*}$$

 

다음으로 $\int x\sin(mx) \; dx$에 부분적분을 한번 더 적용하기 위해 $u_{2} = x$ 그리고 $v_{2}^{'} = \sin(mx)$라고 하자. 그러면 $u_{2}^{'} = 1$이고 $v_{2} = -\frac{1}{m} \cos(mx)$이다. 이제 부분적분을 적용하면 다음과 같다. 

 

$$\begin{align*} \int x^{2} \sin(mx) \; dx &= \frac{x^{2}}{m} \sin(mx) - \frac{2}{m}\int xsin(mx) \; dx \\ &= \frac{x^{2}}{m} \sin(mx) - \frac{2}{m} \left( \frac{x}{m} \cos(mx) + \frac{1}{m} \int \cos(mx) \; dx \right) \\ &= \frac{x^{2}}{\pi} \sin(mx) - \frac{2}{m} \left( -\frac{x}{m} \cos(mx) + \frac{1}{m^{2}} \sin(mx)\right) + C \\ &= \frac{x^{2}}{m} \sin(mx) + \frac{2x}{m^{2}} \cos(mx) - \frac{2}{m^{3}} \sin(mx) + C \end{align*}$$

 

(g). $\int \ln (2x + 1) \; dx$

 

$u_{1} = \ln (2x + 1)$ 그리고 $v_{1}^{'} = 1$라고 하자. 그러면 $u_{1}^{'} = \frac{2}{2x + 1}$이고 $v_{1} = x$이다. 부분적분을 통해 아래와 같이 적분할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \int \ln(2x + 1) \; dx &= x\ln(2x + 1) - \int \frac{2x}{2x + 1} \; dx \\ &= x\ln(2x + 1) - \lnt \left( 1 - \frac{1}{2x + 1} \right) \; dx \\ &= x\ln(2x + 1) - x + \frac{1}{2} \ln (2x + 1) + C \\ &= \left(x + \frac{1}{2}\right)\ln (2x + 1) - x + C\end{align*}$$

 

(h). $\int \arcsin(x) \; dx$

 

$u_{1} = \arcsin(x)$ 그리고 $v_{1}^{'} = 1$라고 하자. 그러면 $u_{1}^{'} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$이고 $v_{1} = x$이다. 부분적분을 통해 아래와 같이 적분할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \int \arcsin(x) \; dx &= x\arcsin(x) - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} \; dx\end{align*}$$

 

이제 $\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} \; dx$를 치환적분을 통해 풀기위해 $1 - x^{2} = k$라고 하면 $-2x dx = dk \rightarrow dx = -\frac{1}{2x} dk$이다. 따라서, 다음과 같이 적분을 계산할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int \arcsin(x) \; dx &= x\arcsin(x) - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} \; dx \\ &= x\arcsin(x) + \int \frac{x}{\sqrt{k}} \; \frac{1}{2x} \; dk \\ &= x\arcsin(x) + \frac{1}{2} \cdot 2k^{\frac{1}{2}} + C \\ &= x\arcsin(x) + \sqrt{1 - x^{2}} + C \end{align*}$$

 

연습문제2. 주어진 적분을 계산하라.

 

(a). $\int \arctan(4t) \; dt$

(b). $\int p^{5}\ln(p) \; dp$

(c). $\int t\sec^{2}(2t) \; dt$

(d). $\int s2^{s} \; ds$

(e). $\int (\ln(x))^{2} \; dx$

(f). $\int t\sinh(mt) \; dt$

(g). $\int e^{2\theta}\sin(3\theta) \; d\theta$

(h). $\int e^{-\theta}\cos(2\theta) \; d\theta$

 

(a). $\int \arctan(4t) \; dt$

 

$u_{1} = \arctan(4t)$ 그리고 $v_{1}^{'} = 1$라고 하자. 그러면 $u_{1}^{'} = \frac{1}{1 + 16t^{2}}$이고 $v_{1} = t$이다. 부분적분을 통해 아래와 같이 적분할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \int \arctan(4t) \; dt &= x\arctan(4t) - \int \frac{t}{1 + 16t^{2}} \; dt\end{align*}$$

 

이제 $\int \frac{t}{1 + 16t^{2}} \; dt$를 치환적분을 통해 풀기위해 $1 + 16t^{2} = k$라고 하면 $32t dt = dk \rightarrow dt = \frac{1}{32t} dk$이다. 따라서, 다음과 같이 적분을 계산할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int \arctan(4t) \; dt &= t\arctan(4t) - \int \frac{t}{1 + 16t^{2}} \; dt \\ &= t\arctan(4t) + \int \frac{t}{k} \; \frac{1}{32t} \; dk \\ &= t\arctan(4t) + \frac{1}{32}\ln|k| + C \\ &= t\arctan(4t) + \frac{1}{32}\ln(1 + 16t^{2}) + C \end{align*}$$

 

(b). $\int p^{5}\ln(p) \; dp$

 

$u_{1} = \ln(p)$ 그리고 $v_{1}^{'} = p^{5}$라고 하자. 그러면 $u_{1}^{'} = \frac{1}{p}$이고 $v_{1} = \frac{1}{6}p^{6}$이다. 부분적분을 통해 아래와 같이 적분할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \int p^{5}\ln(p) \; dp &= \frac{1}{6}p^{6}\ln(p) - \frac{1}{6} \int p^{5} \; dp \\ &= \frac{1}{6} p^{6}\ln(p) - \frac{1}{36} p^{6} + C \end{align*}$$

 

(c). $\int t\sec^{2}(2t) \; dt$

 

$u_{1} = t$ 그리고 $v_{1}^{'} = \sec^{2}(2t)$라고 하자. 그러면 $u_{1}^{'} = 1$이고 $v_{1} = \frac{1}{2}\tan(2t)$이다. 부분적분을 통해 아래와 같이 적분할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \int t\sec^{2}(2t) \; dt &= \frac{1}{2}t\tan(2t) - \frac{1}{2} \int \tan(2t) \; dt \\ &= \frac{1}{2}t\tan(2t) - \frac{1}{2} \int \frac{\sin(2t)}{\cos(2t)} \; dt \end{align*}$$

 

이제 $\int \frac{\sin(2t)}{\cos(2t)} \; dt$를 치환적분을 통해 풀기위해 $\cos(2t) = k$라고 하면 $-2\sin(2t) dt = dk \rightarrow dt = -\frac{1}{2sin(2t)} dk$이다. 따라서, 다음과 같이 적분을 계산할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int t\sec^{2}(2t) \; dt &= \frac{1}{2}t\tan(2t) - \frac{1}{2} \int \tan(2t) \; dt \\ &= \frac{1}{2}t\tan(2t) - \frac{1}{2} \int \frac{\sin(2t)}{\cos(2t)} \; dt \\ &= \frac{1}{2}t\tan(2t) - \frac{1}{2} \int \frac{\sin(2t)}{k} \cdot \left( -\frac{1}{2\sin(2t)} \; dk \right) \\ &= \frac{1}{2}t\tan(2t) + \frac{1}{4} \ln |k| + C \\ &= \frac{1}{2} t\tan(2t) + \frac{1}{4} \ln |\cos(2t)| + C \end{align*}$$

 

(d). $\int s2^{s} \; ds$

 

$u_{1} = s$ 그리고 $v_{1}^{'} = 2^{s}$라고 하자. 그러면 $u_{1}^{'} = 1$이고 $v_{1} = \frac{1}{\ln(2)}2^{s}$이다. 부분적분을 통해 아래와 같이 적분할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \int s2^{s} \; ds &= \frac{1}{\ln(2)}s2^{s} - \frac{1}{\ln(2)} \int 2^{s} \; ds \\ &= \frac{1}{\ln(2)} s2^{s} - \frac{1}{(\ln2)^{2}} 2^{s} + C \end{align*}$$

 

(e). $\int (\ln(x))^{2} \; dx$

 

$u_{1} = (\ln(x))^{2}$ 그리고 $v_{1}^{'} = 1$라고 하자. 그러면 $u_{1}^{'} = \frac{2\ln(x)}{x}$이고 $v_{1} = x$이다. 부분적분을 통해 아래와 같이 적분할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \int (\ln(x))^{2} \; dx &= x(\ln(x))^{2} - \int 2\ln(x) \; dx \\ &= x(\ln(x))^{2} - 2(x\ln(x) - x) + C \\ &= x(\ln(x))^{2} - 2x\ln(x) + 2x + C \end{align*}$$

 

(f). $\int t\sinh(mt) \; dt$

 

$u_{1} = t$ 그리고 $v_{1}^{'} = \sinh(mt)$라고 하자. 그러면 $u_{1}^{'} = 1$이고 $v_{1} = \frac{1}{m}\cosh(mt)$이다. 부분적분을 통해 아래와 같이 적분할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \int t\sinh(mt) \; dt &= \frac{1}{m}t\cosh(mt) - \frac{1}{m} \int \cosh(mt) \; dt \\ &= \frac{1}{m}t\cosh(mt) - \frac{1}{m^{2}} \sinh(mt) + C \end{align*}$$

 

(g). $\int e^{2\theta}\sin(3\theta) \; d\theta$

 

$u_{1} = \sin(3\theta)$ 그리고 $v_{1}^{'} = e^{2\theta}$라고 하자. 그러면 $u_{1}^{'} = 3\cos(3\theta)$이고 $v_{1} = \frac{1}{2}e^{2\theta}$이다. 부분적분을 통해 아래와 같이 적분할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \int e^{2\theta}\sin(3\theta) \; dt &= \frac{1}{2}e^{2\theta}\sin(3\theta) - \frac{3}{2} \int e^{2\theta}\cos(3\theta) \; d\theta \end{align*}$$

 

$u_{2} = \cos(3\theta)$ 그리고 $v_{2}^{'} = e^{2\theta}$라고 하자. 그러면 $u_{2}^{'} = -3\sin(3\theta)$이고 $v_{2} = \frac{1}{2}e^{2\theta}$이다. 부분적분을 통해 아래와 같이 적분할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \int e^{2\theta}\sin(3\theta) \; dt &= \frac{1}{2}e^{2\theta}\sin(3\theta) - \frac{3}{2} \int e^{2\theta}\cos(3\theta) \; d\theta \\ &= \frac{1}{2}e^{2\theta} \sin(3\theta) - \frac{3}{2} \left( \frac{1}{2}e^{2\theta}\cos(3\theta) + \frac{3}{2} \int e^{2\theta} \sin(3\theta) \; d\theta \right) \\ &= \frac{1}{2} e^{2\theta} \sin(3\theta) - \frac{3}{4} e^{2\theta} \cos(3\theta) - \frac{9}{4} \int e^{2\theta} \sin(3\theta) \; d\theta \\ \Rightarrow& \frac{13}{4} \int e^{2\theta} \sin(3\theta) \; d\theta = \frac{1}{2} e^{2\theta} \sin(3\theta) - \frac{3}{4} e^{2\theta} \cos(3\theta) + C \\ \Rightarrow& \int e^{2\theta} \sin(3\theta) \; d\theta = \frac{1}{13}e^{2\theta} \left( \sin(3\theta) - \cos(3\theta) \right) + C \end{align*}$$

 

(h). $\int e^{-\theta}\cos(2\theta) \; d\theta$

 

$u_{1} = \cos(2\theta)$ 그리고 $v_{1}^{'} = e^{-\theta}$라고 하자. 그러면 $u_{1}^{'} = -2\sin(2\theta)$이고 $v_{1} = -e^{-\theta}$이다. 부분적분을 통해 아래와 같이 적분할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \int e^{-\theta}\cos(2\theta) \; dt &= e^{-\theta}\cos(2\theta) - 2 \int e^{-\theta}\sin(2\theta) \; d\theta - (1) \end{align*}$$

 

(1)번식을 다시 한번 적분하기 위해 $u_{2} = \sin(2\theta)$ 그리고 $v_{2}^{'} = e^{-x}$라고 하자. 그러면 $u_{2}^{'} = 2 \cos(2\theta)$이고 $v_{2} = -e^{-x}$이다. 부분적분을 통해 아래와 같이 적분할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \int e^{-\theta}\sin(2\theta) \; d\theta &= -e^{-\theta}\sin(2\theta) + 2 \int e^{-x} \cos(2\theta) \; d\theta \end{align*}$$

 

이 결과를 (1)번식에 대입하면 최종 적분결과를 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int e^{-\theta}\cos(2\theta) \; dt &= e^{-\theta}\cos(2\theta) - 2 \int e^{-\theta}\sin(2\theta) \; d\theta \\ &= e^{-\theta} \cos(2\theta) - 2\left( -e^{-\theta} \sin(2\theta) + 2 \int e^{-x} \cos(2\theta) \; d\theta \right) \\ \Rightarrow& 5\int e^{-\theta} \cos(2\theta) \; d\theta = e^{-\theta} (2\sin(2\theta) -\cos(2\theta)) + C \\ \Rightarrow& \int e^{-\theta} \cos(2\theta) \; d\theta = \frac{1}{5} e^{-\theta} (2\sin(2\theta) - \cos(2\theta)) + C \end{align*}$$

 

연습문제3. 주어진 적분을 계산하라.

 

(a). $\int_{0}^{\pi} t \sin(3t) \; dt $

(b). $\int_{0}^{1} (x^{2} + 1) e^{-x} \; dx$

(c). $\int_{0}^{1} t\cosh(t) \; dt$

(d). $\int_{4}^{9} \frac{\ln (y)}{\sqrt{y}} \; dy$

(e). $\int_{1}^{2} \frac{\ln (x)}{x^{2}} \; dx$

(f). $\int_{0}^{\pi} x^{3} \cos(x) \; dx$

 

(a). $\int_{0}^{\pi} t \sin(3t) \; dt $

 

$u_{1} = t$ 그리고 $v_{1}^{'} = \sin(3t)$라고 하자. 그러면 $u_{1}^{'} = 1$이고 $v_{1} = -\frac{1}{3}\cos(3t)$이다. 부분적분을 통해 아래와 같이 적분할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{\pi} t \sin(3t) \; dt &= \left[ -\frac{1}{3}t\cos(3t) \right]_{0}^{\pi} + \frac{1}{3} \int_{0}^{\pi} \cos(3t) \; dt \\ &= -\frac{1}{3} (\cos(3\pi) - \cos(0)) + \frac{1}{9} \left[ \sin(3t) \right]_{0}^{\pi} \\ &= \frac{1}{3} \end{align*}$$

 

(b). $\int_{0}^{1} (x^{2} + 1) e^{-x} \; dx$

 

$u_{1} = x^{2} + 1$ 그리고 $v_{1}^{'} = e^{-x}$라고 하자. 그러면 $u_{1}^{'} = 2x$이고 $v_{1} = -e^{-x}$이다. 부분적분을 통해 아래와 같이 적분할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{1} (x^{2} + 1) e^{-x} \; dx &= \left[ -(x^{2} + 1) e^{-x} \right]_{0}^{1} + 2\int_{0}^{1} xe^{-x} \; dx \\ &= \left(-2e^{-1} + 1 \right) + 2\int_{0}^{1} xe^{-x} \; dx \end{align*}$$

 

$u_{2} = x$ 그리고 $v_{2}^{'} = e^{-x}$라고 하자. 그러면 $u_{2}^{'} = 1$이고 $v_{2} = -e^{-x}$이다. 부분적분을 통해 아래와 같이 적분할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{1} xe^{-x} \; dx &= \left[ -xe^{-x} \right]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{-x} \; dx \\ &= -e^{-1} + \left[ -e^{-x} \right]_{0}^{1} \\ &= -e^{-1} + \left(-e^{-1} + 1\right) = 1 - 2e^{-1}  \end{align*}$$

 

따라서, 이를 기존의 식에 대입하면 정적분 결과를 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{1} (x^{2} + 1) e^{-x} \; dx &= \left[ -(x^{2} + 1) e^{-x} \right]_{0}^{1} + 2\int_{0}^{1} xe^{-x} \; dx \\ &= \left(-2e^{-1} + 1 \right) + 2\int_{0}^{1} xe^{-x} \; dx \\ &= (-2e^{-1} + 1) + 2 (1 - 2e^{-1}) = 3( 1 - 2e^{-1}) \end{align*}$$

 

(c). $\int_{0}^{1} t\cosh(t) \; dt$

 

$u_{1} = t$ 그리고 $v_{1}^{'} = \cosh(t)$라고 하자. 그러면 $u_{1}^{'} = 1$이고 $v_{1} = \sinh(t)$이다. 부분적분을 통해 아래와 같이 적분할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{1} t\cosh(t) \; dt &= \left[ t\sinh(t) \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \sinh(t) \; dt \\ &= \sinh(1) - \left[ \cosh(t) \right]_{0}^{1} \\ &= \sinh(1) - (\cosh(1) - \cosh(0)) \\ &= \frac{e - e^{-1}}{2} - \left( \frac{e + e^{-1}}{2} - 1 \right) = 1 - e^{-1} \end{align*}$$

 

(d). $\int_{4}^{9} \frac{\ln (y)}{\sqrt{y}} \; dy$

 

$u_{1} = \ln(y)$ 그리고 $v_{1}^{'} = y^{-\frac{1}{2}}$라고 하자. 그러면 $u_{1}^{'} = \frac{1}{y}$이고 $v_{1} = 2y^{\frac{1}{2}}$이다. 부분적분을 통해 아래와 같이 적분할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \int_{4}^{9} \frac{\ln (y)}{\sqrt{y}} \; dy &= \left[ 2y^{\frac{1}{2}}\ln(y) \right]_{4}^{9} - 2\int_{4}^{9} y^{-\frac{1}{2}} \; dy \\ &= 2(9^{\frac{1}{2}} \ln (9) - 4^{\frac{1}{2}} \ln (4)) - 2 \left[ 2y^{\frac{1}{2}} \right]_{4}^{9} \\ &= 4 (3 \ln(3) - 2 \ln (2)) - 4 ( 9^{\frac{1}{2}} - 4^{\frac{1}{2}} ) \\ &= 4 (3 \ln (3) - 2\ln(2)) - 4 (3 - 2) = 4 (\ln \left( \frac{27}{4}\right) - 1) \end{align*}$$

 

(e). $\int_{1}^{2} \frac{\ln (x)}{x^{2}} \; dx$

 

$u_{1} = \ln (x)$ 그리고 $v_{1}^{'} = \frac{1}{x^{2}}$라고 하자. 그러면 $u_{1}^{'} = \frac{1}{x}$이고 $v_{1} = - \frac{1}{x}$이다. 부분적분을 통해 아래와 같이 적분할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \int_{1}^{2} \frac{\ln (x)}{x^{2}} \; dx &= \left[ -\frac{\ln (x)}{x} \right]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} \; dx \\ &= -\frac{\ln (2)}{2} + \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{2} \\ &= -\frac{\ln (2)}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1 - \ln(2)}{2} \end{align*}$$

 

(f). $\int_{0}^{\pi} x^{3} \cos(x) \; dx$

 

$u_{1} = x^{3}$ 그리고 $v_{1}^{'} = \cos(x)$라고 하자. 그러면 $u_{1}^{'} = 3x^{2}$이고 $v_{1} = \sin(x)$이다. 부분적분을 통해 아래와 같이 적분할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{\pi} x^{3} \cos(x) \; dx &= \left[ x^{3}\sin(x) \right]_{0}^{\pi} - 3\int_{0}^{\pi} x^{2}\sin(x) \; dx \\ &= -3\int_{0}^{\pi} x^{2}\sin(x) \; dx - (1) \end{align*}$$

 

(1)번식을 다시 한번 적분하기 위해 $u_{2} = x^{2}$ 그리고 $v_{2}^{'} = \sin(x)$라고 하자. 그러면 $u_{2}^{'} = 2x$이고 $v_{2} = -\cos(x)$이다. 부분적분을 통해 아래와 같이 적분할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{\pi} x^{2}\sin(x) \; dx &= \left[ -x^{2}\cos(x) \right]_{0}^{\pi} + 2\int_{0}^{\pi} x\cos(x) \; dx \\ &= \pi^{2} +  2\int_{0}^{\pi} x\cos(x) \; dx - (2) \end{align*}$$

 

(2)번식을 다시 한번 적분하기 위해 $u_{3} = x$ 그리고 $v_{3}^{'} = \cos(x)$라고 하자. 그러면 $u_{3}^{'} = 1$이고 $v_{3} = \sin(x)$이다. 부분적분을 통해 아래와 같이 적분할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{\pi} x\cos(x) \; dx &= \left[ x\sin(x) \right]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} \sin(x) \; dx \\ &= \left[ \cos(x) \right]_{0}^{\pi} = 0 \end{align*}$$

 

이 결과를 (1)번식에 다시 대입하여 식을 정리하면 최종 결과를 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{\pi} x^{3} \cos(x) \; dx &= \left[ x^{3}\sin(x) \right]_{0}^{\pi} - 3\int_{0}^{\pi} x^{2}\sin(x) \; dx \\ &= -3\int_{0}^{\pi} x^{2}\sin(x) \; dx \\ &= -3 \left( \pi^{2} + 2\int_{0}^{\pi} x\cos(x) \; dx \right) \\ &= -3 \left( \pi^{2} + 2 \cdot 0 \right) = -3\pi^{2} \end{align*}$$

 

연습문제4. 주어진 적분을 계산하라.

 

(a). $\int_{0}^{1} \frac{y}{e^{2y}} \; dy$

(b). $\int_{1}^{\sqrt{3}} \arctan(1/x) \; dx$

(c). $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \arccos(x) \; dx$

(d). $\int_{1}^{2} \frac{(\ln(x))^{2}}{x^{3}} \; dx$

(e). $\int_{0}^{1} \frac{r^{3}}{\sqrt{4 + r^{2}}} \; dr$

(f). $\int_{1}^{2} x^{4} (\ln(x))^{2} \; dx$

 

(a). $\int_{0}^{1} \frac{y}{e^{2y}} \; dy$

 

$u_{1} = y$ 그리고 $v_{1}^{'} = e^{-2y}$라고 하자. 그러면 $u_{1}^{'} = 1$이고 $v_{1} = -\frac{1}{2}e^{-2y}$이다. 부분적분을 통해 아래와 같이 적분할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{1} \frac{y}{e^{2y}} \; dy &= \left[ -\frac{1}{2}ye^{-2y} \right]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{-2y} \; dy \\ &= -\frac{1}{2}e^{-2} + \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2}e^{-2y} \right]_{0}^{1} \; dy \\ &= -\frac{1}{2}e^{-2} - \frac{1}{4} (e^{-2} - 1) = \frac{1}{4} (1 - 3e^{-2}) \end{align*}$$

 

(b). $\int_{1}^{\sqrt{3}} \arctan(1/x) \; dx$

 

$u_{1} = \arctan(1 / x)$ 그리고 $v_{1}^{'} = 1$라고 하자. 그러면 $u_{1}^{'} = -\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{x^{2}}} = -\frac{1}{1 + x^{2}}$이고 $v_{1} = x$이다. 부분적분을 통해 아래와 같이 적분할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \int_{1}^{\sqrt{3}} \arctan (1 / x) \; dx &= \left[ x\arctan(1 / x) \right]_{1}^{\sqrt{3}} + \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{x}{1 + x^{2}} \; dx \\ &= \sqrt{3}\arctan(1 / \sqrt{3}) - \arctan(1) + \int_{1}^{\sqrt{3}} + \frac{x}{1 + x^{2}} \; dx \\ &= \frac{\sqrt{3}\pi}{6} - \frac{\pi}{4} +  \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{x}{1 + x^{2}} \; dx \end{align*} - (1)$$

 

(1)번식을 다시 한번 적분하기 위해 $1 + x^{2} = u$라고 하면 $2x dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{2x} du$이고 적분구간은 $[1, \sqrt{3}] \rightarrow [2, 4]$가 된다. 

 

$$\begin{align*} \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{x}{1 + x^{2}} \; dx &= \int_{2}^{4} \frac{x}{u} \cdot \frac{1}{2x} du \\ &= \frac{1}{2} \int_{2}^{4} \frac{1}{u} \; du \\ &= \frac{1}{2} \left[ \ln|u| \right]_{2}^{4} = \frac{1}{2} \ln(2) \end{align*}$$

 

이 결과를 (1)번식에 대입하면 최종 정적분 결과를 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{1}^{\sqrt{3}} \arctan(1 / x) \; dx &= \frac{\sqrt{3}\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{x}{1 + x^{2}} \; dx \\ &= \frac{\sqrt{3}\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \ln (2) \end{align*}$$

 

(c). $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \arccos(x) \; dx$

 

$u_{1} = \arccos(x)$ 그리고 $v_{1}^{'} = 1$라고 하자. 그러면 $u_{1}^{'} = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$이고 $v_{1} = x$이다. 부분적분을 통해 아래와 같이 적분할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \arccos(x) \; dx &= \left[ x\arccos(x) \right]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} \; dx \\ &= \frac{1}{2}\arccos(1 / 2) + \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} \\ &= \frac{\pi}{6} + \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} \; dx - (1)\end{align*}$$

 

(1)번식을 다시 한번 적분하기 위해 $1 - x^{2} = u$라고 하면 $-2x dx = du \rightarrow dx = -\frac{1}{2x} du$이고 적분구간은 $[0, \frac{1}{2}] \rightarrow [1, \frac{3}{4}]$이다. 

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} \; dx &= \int_{1}^{\frac{3}{4}} xu^{-\frac{1}{2}} \frac{-1}{2x} \; du  \\ &= \frac{1}{2} \int_{\frac{3}{4}}^{1} u^{-\frac{1}{2}} \; du \\ &= \frac{1}{2} \left[ 2u^{\frac{1}{2}} \right]_{\frac{3}{4}}^{1} \\ &= 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \end{align*}$$

 

이 결과를 (1)번식에 대입하면 최종 정적분 결과를 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \arccos(x) \; dx &= \frac{\pi}{6} + \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} \; dx \\ &= \frac{\pi}{6} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \end{align*}$$

 

(d). $\int_{1}^{2} \frac{(\ln(x))^{2}}{x^{3}} \; dx$

 

$u_{1} =(\ln(x))^{2}$ 그리고 $v_{1}^{'} = \frac{1}{x^{3}}$라고 하자. 그러면 $u_{1}^{'} = \frac{2\ln(x)}{x}$이고 $v_{1} = -\frac{1}{2x^{2}}$이다. 부분적분을 통해 아래와 같이 적분할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \int_{1}^{2} \frac{(ln(x))^{2}}{x^{3}} \; dx &= \left[ -\frac{(\ln(x))^{2}}{2x^{2}} \right]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} \frac{\ln(x)}{x^{3}} \; dx \\ &= -\frac{(\ln(x))^{2}}{8} + \int_{1}^{2} \frac{\ln(x)}{x^{3}} \; dx - (1)\end{align*}$$

 

(1)번식을 다시 한번 적분하기 위해 $u_{2} = \ln(x)$ 그리고 $v_{2}^{'} = \frac{1}{x^{3}}$이라고 하자. 그러면 $u_{2}^{'} = \frac{1}{x}$이고 $v_{2} = -\frac{1}{2x^{2}}$이다. 부분적분을 통해 아래와 같이 적분할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{1}^{2} \frac{ln(x)}{x^{3}} \; dx &=\left[ -\frac{\ln(x){2x^{2}} \right]_{1}^{2} + \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{3}} \; dx \\ &= -\frac{\ln(2)}{8} + \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2x^{2}} \right]_{1}^{2} \\ &= -\frac{\ln(2)}{8} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} - 1) \\ &= \frac{3}{16} - \frac{\ln(2)}{8} \end{align*}$$

 

이 결과를 (1)번식에 대입하면 최종 정적분 결과를 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{1}^{2} \frac{(ln(x))^{2}}{x^{3}} \; dx &= -\frac{(\ln(x))^{2}}{8} + \int_{1}^{2} \frac{\ln(x)}{x^{3}} \; dx \\ &= \frac{3}{16} - \frac{\ln(2)}{8} - \frac{(\ln(2))^{2}}{8} \end{align*}$$

 

(e). $\int_{0}^{1} \frac{r^{3}}{\sqrt{4 + r^{2}}} \; dr$

 

$4 + r^{2} = k$라고 하면 $2r dr = dk \rightarrow dr = \frac{1}{2r} dk$이며 적분구간은 $[0, 1] \rightarrow [4, 5]$이다. 

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{1} \frac{r^{3}}{\sqrt{4 + r^{2}}} \; dr &= \int_{4}^{5} \frac{r^{3}}{k^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2r} dk \\ &= \frac{1}{2} \int_{4}^{5} \frac{r^{2}}{k^{\frac{1}{2}}} \; dk \\ &= \frac{1}{2} \int_{4}^{5} \frac{k - 4}{k^{\frac{1}{2}}} \; dk \\ &= \frac{1}{2} \int_{4}^{5} (k^{\frac{1}{2}} - 4k^{-\frac{1}{2}}) \\ &= \frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3}k^{\frac{3}{2}} - 8k^{\frac{1}{2}} \right]_{4}^{5} \\ &= \frac{1}{2} \left[ (\frac{2}{3} \cdot 5\sqrt{5} - 8 \cdot \sqrt{5}) - (\frac{2}{3} \cdot 8 - 8 \cdot 2)\right] \\ &= \frac{2}{3} (\sqrt{5} + 1) \end{align*}$$

 

(f). $\int_{1}^{2} x^{4} (\ln(x))^{2} \; dx$

 

$u_{1} = (\ln(x))^{2}$ 그리고 $v_{1}^{'} = x^{4}$라고 하자. 그러면 $u_{1}^{'} = 2\frac{\ln(x)}{x}$이고 $v_{1} = \frac{1}{5}x^{5}$이다. 부분적분을 통해 아래와 같이 적분할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \int_{1}^{2} x^{4} (\ln(x))^{2} \; dx &= \left[ \frac{1}{5}x^{5}(\ln(x))^{2} \right]_{1}^{2} - \frac{2}{5} \int_{1}^{2} x^{4}\ln(x) \; dx \\ &= \frac{32(\ln(2))^{2}}{5} - \frac{2}{5} \int_{0}^{2} x^{4} \ln(x) \; dx - (1)\end{align*}$$

 

(1)번식을 다시 한번 적분하기 위해 $u_{2} = \ln(x)$ 그리고 $v_{2}^{'} = x^{4}$라고 하자. 그러면 $u_{2}^{'} = \frac{1}{x}$ 이고 $v_{2} = \frac{1}{5}x^{5}$이다. 부분적분을 통해 아래와 같이 적분할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{1}^{2} x^{4} \ln(x) \; dx &= \left[ \frac{1}{5}x^{5}\ln(x) \right]_{1}^{2} - \frac{1}{5} \int_{1}^{2} x^{4} \; dx \\ &= \frac{32}{5} \ln(2) - \frac{1}{25} \left[ x^{5} \right]_{1}^{2} \\ &= \frac{32}{5} \ln(2) - \frac{31}{25}\end{align*}$$

 

이 결과를 (1)번식에 대입하면 최종 정적분 결과를 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{1}^{2} x^{4} (\ln(x))^{2} \; dx &= \frac{32(\ln(2))^{2}}{5} - \frac{2}{5} \int_{0}^{2} x^{4} \ln(x) \; dx = \frac{32(\ln(2))^{2}}{5} - \frac{32\ln(2)}{5} + \frac{31}{25}\end{align*}$$

 

연습문제5. 주어진 적분을 계산하라.

 

(a). $\int \cos(\sqrt{x}) \; dx$

(b). $\int t^{3}e^{-t^{2}} \; dt$

(c). $\int_{\sqrt{\frac{\pi}{2}}}^{\sqrt{\pi}} \theta^{3} \cos(\theta^{2}) \; d\theta$

(d). $\int_{0}^{\pi} e^{\cos(t)} \sin(2t) \; dt$

(e). $\int x\ln(1 + x) \; dx$

(f). $\int \sin(\ln(x)) \; dx$

 

(a). $\int \cos(\sqrt{x}) \; dx$

 

$\sqrt{x} = k$라고 하면 $\frac{1}{2\sqrt{x}} dx = dk \rightarrow dx = 2\sqrt{x} dk = 2kdk$이다. 

 

$$\begin{align*} \int \cos(\sqrt{x}) \; dx &= \int \cos(k) 2k \; dk \\ &= 2\int k\cos(k) \; dk - (1) \end{align*}$$

 

이제 (1)번 식을 적분하기 위해 $u_{1} = k$ 그리고 $v_{1}^{'} = \cos(k)$라고 하면 $u_{1}^{'} = 1$이고 $v_{1} = \sin(k)$이다. 부분적분을 통해 아래와 같이 적분할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int \cos(\sqrt{x}) \; dx &= 2\int k\cos(k) \; dk \\ &= 2\left( k\sin(k) - \int \sin(k) \; dk \right) \\ &= 2 (k\sin(k) + \cos(k)) + C \\ &= 2\sqrt{x}\sin(\sqrt{x}) + 2\cos(\sqrt{x}) + C\end{align*}$$

 

(b). $\int t^{3}e^{-t^{2}} \; dt$

 

$t^{2} = k$라고 하면 $2t dt = dk \rightarrow dx = \frac{1}{2t} dk$이다. 

 

$$\begin{align*} \int t^{3}e^{-t^{2}} \; dt &= \int t^{3}e^{-k} \frac{1}{2t} \; dk \\ &= \frac{1}{2} \int t^{2} e^{-k} \; dk \\ &= \frac{1}{2} \int ke^{-k} \; dk - (1) \end{align*}$$

 

이제 (1)번 식을 적분하기 위해 $u_{1} = k$ 그리고 $v_{1}^{'} = e^{-k}$라고 하면 $u_{1}^{'} = 1$이고 $v_{1} = -e^{-k}$이다. 부분적분을 통해 다음과 같이 적분할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int t^{3} e^{-t^{2}} \; dt &= \frac{1}{2} \int ke^{-k} \; dk \\ &= \frac{1}{2} ( -ke^{-k} + \int e^{-k} \; dk ) \\ &= \frac{1}{2} (-ke^{-k} - e^{-k}) + C \\ &= -\frac{1}{2}(t^{2} + 1)e^{-t^{2}} + C \end{align*}$$

 

(c). $\int_{\sqrt{\frac{\pi}{2}}}^{\sqrt{\pi}} \theta^{3} \cos(\theta^{2}) \; d\theta$

 

$\theta^{2} = k$라고 하면 $2\theta d\theta = dk \rightarrow d\theta = \frac{1}{2\theta} dk$ 이고 적분구간은 $[\sqrt{\frac{\pi}{2}}, \sqrt{\pi}] \rightarrow [\frac{\pi}{2}, \pi]$이다. 

 

$$\begin{align*} \int_{\sqrt{\frac{\pi}{2}}}^{\sqrt{\pi}} \theta^{3} \cos(\theta^{2}) \; d\theta &= \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \theta^{3} \cos(k) \; \frac{1}{2\theta} dk \\ &= \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \theta^{2} \cos(k) \; dk\\ &= \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} k \cos(k) \; dk - (1) \end{align*}$$

 

이제 (1)번 식을 적분하기 위해 $u_{1} = k$ 그리고 $v_{1}^{'} = \cos(k)$ 라고 하면 $u_{1}^{'} = 1$ 이고 $v_{1} = \sin(k)$이다. 부분적분을 통해 다음과 같이 적분할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{\sqrt{\frac{\pi}{2}}}^{\sqrt{\pi}} \theta^{3} \cos(\theta^{2}) \; d\theta &= \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} k \cos(k) \; dk \\ &= \frac{1}{2} ( \left[ k\sin(k) \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} - \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin(k) \; dk ) \\ &= \frac{1}{2} ( \pi \sin(\pi) - \frac{\pi}{2} \sin( \frac{\pi}{2} ) + \left[ \cos(k) \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} ) \\ &= \frac{1}{2} (-\frac{\pi}{2} + \cos(\pi) - \cos(\frac{\pi}{2})) \\ &= \frac{1}{2} (-\frac{\pi}{2} - 1) \\ &= -\frac{1}{4} (\pi + 2) \end{align*}$$

 

(d). $\int_{0}^{\pi} e^{\cos(t)} \sin(2t) \; dt$

 

$\cos(t) = k$라고 하면 $-\sin(t) dt = dk \rightarrow dt = -\frac{1}{\sin(t)} dk$ 이고 적분구간은 $[0, \pi] \rightarrow [1, -1]$이다.

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{\pi} e^{\cos(t)} \sin(2t) \; dt &= \int_{1}^{-1} e^{k} 2\sin(t)\cos(t) \; \frac{-1}{\sin(t)} dk \\ &= 2\int_{-1}^{1} ke^{k} \; dk - (1) \end{align*}$$ 

 

이제 (1)번 식을 적분하기 위해 $u_{1} = k$ 그리고 $v_{1}^{'} = e^{k}$라고 하면 $u_{1}^{'} = 1$ 이고 $v_{1} = e^{k}$이다. 부분적분을 통해 다음과 같이 적분할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{\pi} e^{\cos(t)} \sin(2t) \; dt &= 2\int_{-1}^{1} ke^{k} \; dk \\ &= 2 (\left[ ke^{k} \right]_{-1}^{1} - \int_{-1}^{1} e^{k} \; dk ) \\ &= 2 (e + e^{-1} - \left[ e^{k} \right]_{-1}^{1}) \\ &= 2 (e + e^{-1} - (e - e^{-1})) \\ &= 4e^{-1} \end{align*}$$

 

(e). $\int x\ln(1 + x) \; dx$

 

$1 + x = k$라고 하면 $dx = dk$이다. 

 

$$\begin{align*} \int x\ln(1 + x) \; dx &= \int (k - 1) \ln (k) \; dk - (1)\end{align*}$$

 

이제 (1)번 식을 적분하기 위해 $u_{1} = \ln(k)$ 그리고 $v_{1}^{'} = k - 1$라고 하면 $u_{1}^{'} = \frac{1}{k}$ 이고 $v_{1} = \frac{1}{2} k^{2} - k$이다. 이제 부분적분을 통해 다음과 같이 적분할 수 있다.  

 

$$\begin{align*} \int x\ln(1 + x) \; dx &= \int (k - 1) \ln (k) \; dk \\ &= (\frac{1}{2} k^{2} - k)\ln(k) - \int (\frac{1}{2} k - 1) \; dk \\ &= (\frac{1}{2} k^{2} - k)\ln(k) - ( \frac{1}{4}k^{2} - k ) + C \\ &= (\frac{1}{2} (1 + x)^{2} - (1 + x))\ln(1 + x) - (\frac{1}{4} (1 + x)^{2} - (1 + x)) + C \end{align*}$$

 

(f). $\int \sin(\ln(x)) \; dx$

 

$\ln(x) = k$라고 하면 $\frac{1}{x} dx = dk \rightarrow dx = xdk$이다.

 

$$\begin{align*} \int \sin(\ln(x)) \; dx &= \int e^{k}\sin(k) \; dk - (1) \end{align*}$$

 

이제 (1)번 식을 적분하기 위해 $u_{1} = \sin(k)$ 그리고 $v_{1}^{'} = e^{k}$라고 하면 $u_{1}^{'} = \cos(k)$ 이고 $v_{1}^{'} = e^{k}$이다. 이제 부분적분을 통해 다음과 같이 적분할 수 있다.  

 

$$\begin{align*} \int \sin(\ln(x)) \; dx &= \int e^{k}\sin(k) \; dk \\ &= e^{k}\sin(k) - \int e^{k}\cos(k) \; dk - (2) \end{align*}$$

 

이제 (2)번 식을 적분하기 위해 $u_{2} = \cos(k)$ 그리고 $v_{2}^{'} = e^{k}$라고 하면 $u_{2}^{'} = -\sin(k)$ 이고 $v_{2}^{'} = e^{k}$이다. 이제 부분적분을 통해 다음과 같이 적분할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int e^{k} \cos(k) \; dk &= e^{k}\cos(k) + \int e^{k}\sin(k) \; dk \end{align*}$$

 

이제 이 결과를 (2)번 식에 대입하면 최종 적분결과를 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int \sin(\ln(x)) \; dx &= \int e^{k}\sin(k) \; dk \\ &= e^{k}\sin(k) - \int e^{k}\cos(k) \; dk \\ &= e^{k}\sin(k) - e^{k}\cos(k) - \int e^{k}\sin(k) \; dk \\ \Rightarrow& \frac{1}{2} \int e^{k}\sin(k) \; dk = e^{k} (\sin(k) - \cos(k)) + C \\ \Rightarrow& \int e^{k} \sin(k) \; dk = \frac{1}{2} e^{k} (\sin(k) - \cos(k)) + C = \frac{1}{2}x (\sin(\ln(x)) - \cos(\ln(x))) \end{align*}$$

 

연습문제6. 주어진 적분의 차수를 감소시키는 공식을 구하여라. 이때, $n \ge 2$이다. 

 

(a). $\int \sin^{n} (x) \; dx$

(b). $\int \cos^{n} (x) \; dx$

 

(a). $\int \sin^{n} (x) \; dx$

 

$u_{1} = \sin^{n - 1}(x)$ 그리고 $v_{1}^{'} = \sin(x)$라고 하자. 그러면 $u_{1}^{'} = (n - 1)\sin^{n - 2}(x)\cos(x)$이고 $v_{1} = -\cos(x)$이다. 부분적분을 통해 아래와 같이 적분할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \int \sin^{n}(x) \; dx &= -\cos(x)\sin^{n - 1}(x) + (n - 1)\int \sin^{n - 2}(x)\cos^{2}(x) \; dx \\ &= -\cos(x)\sin^{n - 1}(x) + (n - 1) \int \sin^{n - 2}(x) (1 - \sin^{2}(x)) \; dx \\ &= -\cos(x)\sin^{n - 1}(x) + (n - 1) \left( \int \sin^{n - 2} (x) \; dx - \int \sin^{n}(x) \; dx \right) \\ &= -\cos(x)\sin^{n - 1}(x) + (n - 1) \int \sin^{n - 2}(x) \; dx - (n - 1) \int \sin^{n}(x) \; dx \\ \Rightarrow& n\int \sin^{n}(x) \; dx = -\cos(x)\sin^{n - 1}(x) + (n - 1) \int \sin^{n - 2}(x) \; dx \\ \Rightarrow& \int \sin^{n}(x) \; dx = -\frac{1}{n}\cos(x)\sin^{n - 1}(x) + \frac{n - 1}{n} \int \sin^{n - 2} (x) \; dx \end{align*}$$

 

(b). $\int \cos^{n} (x) \; dx$

 

$u_{1} = \cos^{n - 1}(x)$ 그리고 $v_{1}^{'} = \cos(x)$라고 하자. 그러면 $u_{1}^{'} = -(n - 1)\cos^{n - 2}(x)\sin(x)$이고 $v_{1} = \sin(x)$이다. 부분적분을 통해 아래와 같이 적분할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \int \cos^{n}(x) \; dx &= \sin(x)\cos^{n - 1}(x) + (n - 1)\int \cos^{n - 2}(x)\sin^{2}(x) \; dx \\ &= \sin(x)\cos^{n - 1}(x) + (n - 1) \int \cos^{n - 2}(x) (1 - \cos^{2}(x)) \; dx \\ &= \sin(x)\cos^{n - 1}(x) + (n - 1) \left( \int \cos^{n - 2} (x) \; dx - \int \cos^{n}(x) \; dx \right) \\ &= \sin(x)\cos^{n - 1}(x) + (n - 1) \int \cos^{n - 2}(x) \; dx - (n - 1) \int \cos^{n}(x) \; dx \\ \Rightarrow& n\int \cos^{n}(x) \; dx = \sin(x)\cos^{n - 1}(x) + (n - 1) \int \cos^{n - 2}(x) \; dx \\ \Rightarrow& \int \cos^{n}(x) \; dx = \frac{1}{n}\sin(x)\cos^{n - 1}(x) + \frac{n - 1}{n} \int \cos^{n - 2} (x) \; dx \end{align*}$$

 

연습문제7. 연습문제 6을 사용하여 주어진 적분을 계산하라.

 

(a). $\int \sin^{2} (x) \; dx$

(b). $\int \sin^{4} (x) \; dx$

(c). $\int \cos^{2} (x) \; dx$

(d). $\int \cos^{4} (x) \; dx$

 

(a). $\int \sin^{2} (x) \; dx$

 

연습문제 6. (a)에 의해 다음과 같이 적분할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int \sin^{2} (x) \; dx &= -\frac{1}{2}\cos(x)\sin(x) + \frac{1}{2}\int 1 \; dx \\ &= -\frac{1}{2}\cos(x)\sin(x) + \frac{1}{2}x + C \end{align*}$$

 

(b). $\int \sin^{4} (x) \; dx$

 

연습문제 6. (a)와 연습문제 7. (a)에 의해 다음과 같이 적분할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int \sin^{4} (x) \; dx &= -\frac{1}{4}\cos(x)\sin^{3}(x) + \frac{3}{4}\int \sin^{2} \; dx \\ &= -\frac{1}{4}\cos(x)\sin^{3}(x) + \frac{3}{4} \left( -\frac{1}{2}\cos(x)\sin(x) + \frac{1}{2}x \right) + C \\ &= -\frac{1}{4}\cos(x)\sin^{3}(x) - \frac{3}{8} \cos(x)\sin(x) + \frac{3}{8}x + C \end{align*}$$

 

(c). $\int \cos^{2} (x) \; dx$

 

연습문제 6. (b)에 의해 다음과 같이 적분할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int \cos^{2} (x) \; dx &= \frac{1}{2}\cos(x)\sin(x) + \frac{1}{2}\int 1 \; dx \\ &= \frac{1}{2}\cos(x)\sin(x) + \frac{1}{2}x + C \end{align*}$$

 

(d). $\int \cos^{4} (x) \; dx$

 

연습문제 6. (b)와 연습문제 7. (b)에 의해 다음과 같이 적분할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int \cos^{4} (x) \; dx &= \frac{1}{4}\cos^{3}(x)\sin(x) + \frac{3}{4}\int \cos^{2} \; dx \\ &= \frac{1}{4}\cos^{3}(x)\sin(x) + \frac{3}{4} \left( \frac{1}{2}\cos(x)\sin(x) + \frac{1}{2}x \right) + C \\ &= \frac{1}{4}\cos^{3}(x)\sin(x) + \frac{3}{8} \cos(x)\sin(x) + \frac{3}{8}x + C \end{align*}$$

 

연습문제8. 주어진 문제를 증명하라.

 

(a). $n \ge 2$일 때 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n}(x) = \frac{n - 1}{n} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n - 2}(x)$임을 보여라. 

(b). $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{3}(x)$을 계산하라.

(c). $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{5}(x)$을 계산하라.

(d). 1보다 큰 $k$에 대해서 $n = 2k + 1$이 홀수 일 때, $\int \sin^{2k + 1}(x) \; dx = \Pi_{i = 1}^{k} \frac{2i}{2i + 1}$임을 증명하라.

(e). 1과 같거나 큰 $k$에 대해서 $n = 2k$이 짝수 일 때, $\int \sin^{2k}(x) \; dx = \frac{\pi}{2} \Pi_{i = 1}^{k} \frac{2i - 1}{2i}$임을 증명하라.

 

(a). $n \ge 2$일 때 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n}(x) = \frac{n - 1}{n} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n - 2}(x)$임을 보여라. 

 

연습문제 6.(a)에 의해 다음과 같이 정적분이 가능하다. 

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n}(x) \; dx &= \left[ -\frac{1}{n}\cos(x)\sin^{n - 1}(x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} + \frac{n - 1}{n} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n - 2}(x) \; dx \\ &= \frac{n - 1}{n} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n - 2}(x) \; dx \end{align*}$$

 

(b). $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{3}(x)$을 계산하라.

 

연습문제 8.(a)에 의해 다음과 같이 정적분이 가능하다. 

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{3}(x) \; dx &= \frac{2}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \; dx \\ &= \frac{2}{3} \left[-\cos(x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{2}{3} \end{align*}$$

 

(c). $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{5}(x)$을 계산하라.

 

연습문제 8.(a)과 (b)에 의해 다음과 같이 정적분이 가능하다. 

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{5}(x) \; dx &= \frac{4}{5}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{3}(x) \; dx \\ &= \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 5} \end{align*}$$

 

(d). 1보다 큰 $k$에 대해서 $n = 2k + 1$이 홀수 일 때, $\int \sin^{2k + 1}(x) \; dx = \Pi_{i = 1}^{k} \frac{2i}{2i + 1}$임을 증명하라.

 

연습문제 8.(a)를 반복적으로 적용하면 다음과 같이 정적분이 가능하다. 

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2k + 1}(x) \; dx &= \frac{2k}{2k + 1}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2k - 1}(x) \; dx \\ &= \frac{2k}{2k + 1} \cdot \frac{2k - 2}{2k - 1} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2k - 3} (x) \; dx \\ &= \cdots \\ &= \frac{2k}{2k + 1} \cdot \frac{2k - 2}{2k - 1} \cdot \cdots \cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{5}(x) \; dx \\ &= \frac{2 \cdot 4 \cdot \cdots \cdot 2k}{3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot (2k + 1)} = \Pi_{i = 1}^{k} \frac{2i}{2i + 1} \end{align*}$$

 

(e). 1과 같거나 큰 $k$에 대해서 $n = 2k$이 짝수 일 때, $\int \sin^{2k}(x) \; dx = \frac{\pi}{2} \Pi_{i = 1}^{k} \frac{2i - 1}{2i}$임을 증명하라.

 

연습문제 8.(a)를 반복적으로 적용하면 다음과 같이 정적분이 가능하다. 

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2k}(x) \; dx &= \frac{2k - 1}{2k}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2k - 2}(x) \; dx \\ &= \frac{2k - 1}{2k} \cdot \frac{2k - 3}{2k - 2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2k - 4} (x) \; dx \\ &= \cdots \\ &= \frac{2k - 1}{2k} \cdot \frac{2k - 3}{2k - 2} \cdot \cdots \cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2}(x) \; dx \\ &= \frac{1 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot (2k - 1)}{2 \cdot 4 \cdot \cdots \cdot 2k} \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} \Pi_{i = 1}^{k} \frac{2i - 1}{2i} \end{align*}$$

 

연습문제 9. 주어진 등식을 증명하라. 

 

(a). $\int (\ln(x))^{n} \; dx = x(\ln(x))^{n} - n\int (\ln(x))^{n - 1} \; dx$

(b). $\int x^{n}e^{x} \; dx = x^{n}e^{x} - n\int x^{n - 1}e^{x} \; dx$

(c). $\int \tan^{n}(x) \; dx = \frac{\tan^{n - 1}(x)}{n - 1} - \int \tan^{n - 2}(x) \; dx$

(d). $\int \sec^{n}(x) \; dx = \frac{\tan(x)\sec^{n - 2}(x)}{n - 1} + \frac{n - 2}{n - 1} \int \sec^{n - 2} (x) \; dx$

 

 

(a). $\int (\ln(x))^{n} \; dx = x(\ln(x))^{n} - n\int (\ln(x))^{n - 1} \; dx$

 

$u_{1} = (\ln(x))^{n}$ 그리고 $v_{1}^{'} = 1$라고 하자. 그러면 $u_{1}^{'} = n\frac{(\ln(x))^{n - 1}}{x}$이고 $v_{1} = x$이다. 부분적분을 통해 아래와 같이 적분할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int (\ln(x))^{n} \; dx &= x(\ln(x))^{n} - n\int (\ln(x))^{n - 1} \; dx \end{align*}$$

 

(b). $\int x^{n}e^{x} \; dx = x^{n}e^{x} - n\int x^{n - 1}e^{x} \; dx$

 

$u_{1} = x^{n}$ 그리고 $v_{1}^{'} = e^{x}$라고 하자. 그러면 $u_{1}^{'} = nx^{n - 1}$이고 $v_{1} = e^{x}$이다. 부분적분을 통해 아래와 같이 적분할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int x^{n}e^{x} \; dx &= x^{n}e^{x} - n\int x^{n - 1}e^{x} \; dx \end{align*}$$

 

(c). $\int \tan^{n}(x) \; dx = \frac{\tan^{n - 1}(x)}{n - 1} - \int \tan^{n - 2}(x) \; dx$

 

먼저, $\tan^{2}(x) = \sec^{2}(x) - 1$임을 이용하여 좌항을 다음과 같이 정리한다. 

 

$$\begin{align*} \int \tan^{n}(x) \; dx &= \int \tan^{n - 2}(x) \cdot \tan^{2}(x) \; dx \\ &= \int \tan^{n - 2}(x) (\sec^{2}(x) - 1) \; dx \\ &= \int (\tan^{n - 2}(x) \sec^{2}(x) - \tan^{n - 2}(x)) \; dx \\ &= \int \tan^{n - 2}(x) \sec^{2}(x) \; dx - \int \tan^{n - 2}(x) \; dx - (1)\end{align*}$$

 

$u_{1} = \tan^{n - 2}(x)$ 그리고 $v_{1}^{'} = \sec^{2}(x)$라고 하자. 그러면 $u_{1}^{'} = (n - 2)\tan^{n - 3}(x)\sec^{2}(x)$이고 $v_{1} = \tan(x)$이다. 부분적분을 통해 아래와 같이 적분할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int \tan^{n - 2}(x) \sec^{2}(x) \; dx &= \tan^{n - 1}(x) - (n - 2)\int \tan^{n - 2}(x) \sec^{2}(x) \; dx \\ \Rightarrow& \int \tan^{n - 2}(x) \sec^{2}(x) \; dx = \frac{\tan(n - 1)}{n - 1} \end{align*}$$

 

이 결과를 (1)번식에 대입한다. 

 

$$\begin{align*} \int \tan^{n}(x) \; dx &= \int \tan^{n - 2}(x) \sec^{2}(x) \; dx - \int \tan^{n - 2}(x) \; dx \\ &= \frac{\tan^{n - 1}(x)}{n - 1} - \int \tan^{n - 2}(x) \; dx  \end{align*}$$

 

(d). $\int \sec^{n}(x) \; dx = \frac{\tan(x)\sec^{n - 2}(x)}{n - 1} + \frac{n - 2}{n - 1} \int \sec^{n - 2} (x) \; dx$

 

$u_{1} = \sec^{n - 2}(x)$ 그리고 $v_{1}^{'} = \sec^{2}(x)$라고 하자. 그러면 $u_{1}^{'} = (n - 2)\sec^{n - 3} \sec(x)\tan(x) = (n - 2)\sec^{n - 2}\tan(x)$이고 $v_{1} = \tan(x)$이다. 부분적분을 통해 아래와 같이 적분할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int \sec^{n}(x) \; dx &= \tan(x)\sec^{n - 2}(x) - (n - 2)\int \tan^{2}(x) \sec^{n - 2}(x) \; dx \\ &= \tan(x)\sec^{n - 2}(x) - (n - 2) \int (\sec^{2}(x) - 1) \sec^{n - 2}(x) \; dx \\ &= \tan(x)\sec^{n - 2}(x) - (n - 2) \int (\sec^{n}(x) - \sec^{n - 2}(x)) \; dx \\ &= \tan(x)\sec^{n - 2}(x) - (n - 2)\int \sec^{n}(x) \; dx + (n - 2)\int \sec^{n - 2}(x) \; dx \\ \Rightarrow& (n - 1) \int \sec^{n} (x) \; dx = \tan(x)\sec^{n - 2}(x) + (n - 2) \int \sec^{n - 2} (x) \; dx \\ \Rightarrow& \int \sec^{n} (x) \; dx = \frac{\tan(x)\sec^{n - 2}}{n - 1} + \frac{n - 2}{n - 1} \int \sec^{n - 2}(x) \; dx  \end{align*}$$

 

연습문제10. 연습문제9를 이용하여 다음 적분을 구하여라. 

 

(a). $\int (\ln (x))^{3} \; dx$

(b). $\int x^{4}e^{x} \; dx$

 

(a). $\int (\ln (x))^{3} \; dx$

 

연습문제9.(a)에 의해 다음과 같이 적분할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int (\ln(x))^{3} \; dx &= 3x(\ln(x))^{3} - 3 \int (\ln(x))^{2} \; dx \\ &= 3x(\ln(x))^{3} - 3\left( 2x(\ln(x))^{2} - 2\int \ln(x) \; dx  \right) \\ &= 3x(\ln(x))^{3} - 3\left( 2x(\ln(x))^{2} - 2\left( x\ln(x) - x \right) \right) + C \\ &= 3x(\ln(x))^{3} - 3(2x(\ln(x))^{2} - 2x\ln(x) + 2x) + C \\ &= 3x(\ln(x))^{3} - 6x(\ln(x))^{2} + 6x\ln(x) - 6x + C \end{align*}$$

 

(b). $\int x^{4}e^{x} \; dx$

 

연습문제9.(b)에 의해 다음과 같이 적분할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int x^{4} e^{x} \; dx &= x^{4}e^{x} - 4\int x^{3}e^{x} \; dx \\ &= x^{4}e^{x} - 4\left( x^{3}e^{x} - 3\int x^{2}e^{x} \; dx \right) \\ &= x^{4}e^{x} - 4 \left( x^{3}e^{x} - 3\left( x^{2}e^{x} - 2\int xe^{x} \right) \right) \\ &= x^{4}e^{x} - 4\left( x^{3}e^{x} - 3 \left( x^{2}e^{x} - 2\left(xe^{x} - \int e^{x} \; dx \right) \right) \right) + C \\ &= (x^{4} - 4x^{3} + 12x^{2} - 24x + 24) e^{x} + C \end{align*}$$

 

참고자료 및 그림출처

Calculus(J. Stewart)