안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 부분적분에서는 보다 복잡한 형태의 적분을 계산할 수 있는 부분적분(Intergration by Parts)에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 지금까지 배웠던 치환적분과 부분적분을 활용하여 특별한 형태를 가진 함수들을 적분해보도록 하겠습니다. 오늘은 삼각함수입니다.
시작하기에 앞서 $\int \cos^{3}(x) \; dx$를 적분해보도록 하겠습니다. 바로 안떠오르실 겁니다. 저희가 지금까지 사용했던 기본적인 형태의 삼각함수가 아니기 때문이죠. 따라서 해당 식을 저희가 적분할 수 있도록 적절한 형태로 바꾸는 것이 핵심이 되겠습니다. 이를 위해서는 삼각함수와 관련된 중요한 항등식들을 활용해야합니다.
1. $\sin^{2}(x) + \cos^{2}(x) = 1$
2. $\sin(A)\cos(B) = \frac{1}{2} \left[\sin(A - B) + \sin(A + B)\right]$
3. $\sin(A)\sin(B) = \frac{1}{2} \left[\cos(A - B) - \cos(A + B)\right]$
4. $\sin(A)\sin(B) = \frac{1}{2} \left[\cos(A - B) + \cos(A + B)\right]$
5. $\sin^{2}(A) = \frac{1 - \cos(2A)}{2}$
6. $\cos^{2}(A) = \frac{1 + \sin(2A)}{2}$
7. $\sin(A)\cos(A) = \frac{1}{2}\sin(2A)$
일단, 첫번째 항등식에 의해서 $\cos^{3}(x) = \cos^{2}(x) \cdot \cos(x) = \left(1 - \sin^{2}(x)\right) \cos(x)$로 쓸 수 있습니다. 이를 적분해보면 아래와 같습니다!
$$\begin{align*} \int \cos^{3}(x) \; dx &= \int \cos^{2}(x) \cdot \cos(x) \\ &= \int \left(1 - \sin^{2}(x)\right) \cos(x) \; dx \\ &= \int \left(1 - u^{2}\right) \cos(x) \cdot \frac{1}{\cos(x)} \; du \\ &= \int \left(1 - u^{2}\right) \; du \\ &= u - \frac{1}{3}u^{3} + C \\ &= \sin(x) - \frac{1}{3}\sin^{3}(x) + C\end{align*}$$
여기서 중요한 점은 $u = \sin(x)$로 치환하면 치환적분을 수행하였습니다. 그리고 마지막에 다시 $x$를 변수로 가지는 식으로 바꾸어주었습니다. 이와 같은 방법으로 쉽게 적분을 해볼 수 있었습니다.
예제1. $\int \sin^{3}(x) \; dx$을 계산하라.
$\sin^{2}(x) + \cos^{2}(x) = 1$에 의해 $\sin^{3}(x) = \sin^{2}(x) \cdot \sin(x) = \left(1 - \cos^{2}(x)\right) \sin(x)$라고 할 수 있다.
$$\begin{align*} \int \sin^{3}(x) \; dx &= \int \sin^{2}(x) \cdot \sin(x) \\ &= \int \left(1 - \cos^{2}(x)\right) \sin(x) \; dx \end{align*}$$
이때, $u = \cos(x)$라고 하면 $du = -\sin(x) dx \Rightarrow -\frac{1}{\sin(x)}du = dx$이다. 따라서 치환적분에 의해 아래와 같이 적분가능하다.
$$\begin{align*} \int \sin^{3}(x) \; dx &= \int \left(1 - \cos^{2}(x)\right) \sin(x) \; dx \\ &= \int \left(1 - u^{2}\right) \sin(x) \cdot \left(-\frac{1}{\sin(x)}\right) \; du \\ &= \int \left(u^{2} - 1\right) \; du \\ &= \frac{1}{3}u^{3} - u + C \\ &= \frac{1}{3}\sin^{3}(x) - \sin(x) + C \end{align*}$$
예제2. $\int \sin^{5}(x) \cos^{2}(x) \; dx$을 계산하라.
$\sin^{2}(x) + \cos^{2}(x) = 1$에 의해 아래와 같이 식을 변형할 수 있다.
$$\begin{align*} \sin^{5}(x)\cos^{2}(x) &= \left(\sin^{2}(x)\right)^{2} \cos^{2}(x) \sin(x) \\ &= \left(1 - \cos^{2}(x)\right)^{2} \cos^{2}(x) \sin(x)\end{align*}$$
따라서, 아래와 같이 적분 가능하다.
$$\begin{align*} \int \sin^{5}(x)\cos(x) \; dx &= \int \left(1 - \cos^{2}\right)^{2} \cos(x) \sin(x) \; dx \end{align*}$$
이때, $u = \cos(x)$라고 하면 $du = -\sin(x) dx \Rightarrow -\frac{1}{\sin(x)}du = dx$이다. 따라서 치환적분에 의해 아래와 같이 적분가능하다.
$$\begin{align*} \int \sin^{5}(x)\cos(x) \; dx &= \int \left(1 - \cos^{2}\right)^{2} \cos(x) \sin(x) \; dx \\ &= \int \left(1 - u^{2}\right)^{2} u \sin(x) \left(-\frac{1}{\sin(x)}\right) du \\ &= -\int \left(1 - u^{2}\right) u du \\ &= \int \left(u^{2} -2u^{4} + u^{6}\right) \; du \\ &= -\left(\frac{1}{3}u^{3} -\frac{2}{5}u^{5} + \frac{1}{7}u^{7}\right) + C \\ &= -\frac{1}{3}\cos^{3}(x) + \frac{2}{5}\cos^{5}(x) - \frac{1}{7} \cos^{7}(x) + C\end{align*}$$
예제3. $\int \sin^{4}(x) \; dx$을 계산하라.
$\sin^{2}(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$임을 활용하여 $\sin^{4}(x) = \left(\sin^{2}(x)\right)^{2} = \left(\frac{1 - \cos(2x)}{2}\right)^{2}$로 변형할 수 있다.
$$\begin{align*} \int \sin^{4}(x) \; dx &= \int \left(\sin^{2}(x)\right)^{2} \; dx \\ &= \int \left(\frac{1 - \cos(2x)}{2}\right)^{2} \; dx \\ &= \frac{1}{4} \int \left(1 - 2\cos(2x) + \cos^{2}(2x)\right)\end{align*}$$
이때, $\cos^{2}(2x) = \frac{1 + \cos^{4x}}{2}$임을 활용하면 다시 아래와 같이 정리할 수 있다.
$$\begin{align*} \int \sin^{4}(x) \; dx &= \frac{1}{4} \int \left(1 - 2\cos(2x) + \cos^{2}(2x)\right) \\ &= \frac{1}{4} \int \left(1 - 2\cos(2x) + \frac{1 + \cos(4x)}{2}\right) \\ &= \frac{1}{4} \int \left(\frac{3}{2} -2\cos(2x) + \frac{1}{2}\cos(4x)\right) \; dx \\ &= \frac{1}{4} \left(\frac{3}{2}x - \sin(2x) + \frac{1}{8}\sin(4x)\right) + C\end{align*}$$
이와 같이 $\sin$과 $\cos$ 함수의 조합은 크게 2가지로 나누어 공식화할 수 있습니다. 일단, $f(x) = \sin^{n}(x)\cos^{m}(x)$라고 가정하도록 하겠습니다. 여기서 $\sin$ 및 $\cos$의 지수 중 하나가 홀수라고 가정하겠습니다.
정리1. $\int \sin^{m}(x) \cos^{n}(x) \; dx$의 적분 방법
(a). $\cos$ 함수의 지수가 홀수, 즉 $k$가 0 이상의 정수일 때, $m = 2k + 1$라고 가정하자. $\cos^{2}(x) = 1 - \sin^{2}(x)$를 이용하여 아래와 같이 정리할 수 있다.
$$\begin{align*} \int \sin^{m}(x) \cos^{2k + 1}(x) \; dx &= \int \sin^{m}(x) \left(\cos^{2}(x)\right)^{k} \cos(x) \; dx \\ &= \int \sin^{m}(x) \left(1 - \sin^{2}(x)\right)^{k} \cos(x) \; dx\end{align*}$$
이때, $\sin(x) = u$라고 치환하면 $\cos(x)$가 소거되고 적분 가능하다.
(b). $\sin$ 함수의 지수가 홀수, 즉 $k$가 0 이상의 정수일 때, $n = 2k + 1$라고 가정하자. $\sin^{2}(x) = 1 - \cos^{2}(x)$를 이용하여 아래와 같이 정리할 수 있다.
$$\begin{align*} \int \sin^{2k + 1}(x) \cos^{n}(x) \; dx &= \int \left(\sin^{2}(x)\right)^{k} \cos^{n}(x) \sin(x) \; dx \\ &= \int \left(1 - \cos^{2}(x)\right)^{k} \cos^{n}(x) \sin(x) \; dx\end{align*}$$
이때, $\cos(x) = u$라고 치환하면 $\sin(x)$가 소거되고 적분 가능하다.
(c). 만약, $\sin$과 $\cos$ 함수의 지수가 모두 홀수라면 (a)와 (b) 방법 모두 적용가능하다.
핵심은 문제를 해결하다보면 아시겠지만 $\sin^{2}(x)$이나 $\cos^{2}(x)$과 같은 고차 삼각함수는 직접 적분할 수 없으니 차수를 낮추는 방향으로 문제를 해결하신다면 나름 쉽게 풀 수 있을 것 입니다. 이번에는 다른 형태의 삼각함수 적분인 $\int \tan^{m}(x) \sec^{n}(x) \; dx$ 꼴의 적분을 보도록 하겠습니다.
일단, 간단한 예제로 $\int \tan^{6}(x)\sec^{4}(x) \; dx$를 구해보도록 하겠습니다. $\sin^{2}(x) + \cos^{2}(x) = 1$을 기억하시나요? 여기서 양변에 $\cos^{2}(x)$로 나누면 다른 항등식을 얻을 수 있습니다.
$$\sin^{2}(x) + \cos^{2}(x) = 1 \Rightarrow \tan^{2}(x) + 1 = \sec^{2}(x)$$
이 식을 활용하면 $\tan^{6}\sec^{4}(x) = \tan^{6}(1 + \tan^{2})\sec^{2}$으로 바꿀 수 있습니다. 여기서 $\tan(x) = u$라고 치환하면 $\sec^{2}(x) dx = du \Rightarrow dx = \frac{1}{\sec^{2}(x)} du$를 얻을 수 있으므로 아래와 같이 적분 가능합니다.
$$\begin{align*} \int \tan^{6}(x) \sec^{4}(x) \; dx &= \int \tan^{6}(x) (1 + \tan^{2}) \sec^{2} \; dx \\ &= \int u^{6} (1 + u^{2}) \sec^{2}(x) \frac{1}{\sec^{2}(x)} du \\ &= \int u^{6} + u^{8} \; du \\ &= \frac{1}{9}u^{9} + \frac{1}{7}u^{7} + C \\ &= \frac{1}{9}\tan^{9}(x) + \frac{1}{7}\tan^{7}(x) + C\end{align*}$$
이번에는 다른 예제입니다. $\int \tan^{5}(x) \sec^{7}(x) \; dx$를 구해보도록 하죠. 이번에도 동일하게 $\tan^{2}(x) + 1 = \sec^{2}(x)$임을 활용하지만 식을 약간 더 변형하여 $\tan^{2}(x) = \sec^{2}(x) - 1$라고 하도록 하겠습니다. 그러면 $\tan^{5}(x) \sec^{7}(x) = \tan(x) \left(\sec^{2}(x) - 1\right)^{2} \sec^{7}(x)$로 바꿀 수 있습니다. 여기서 $\sec(x) = u$라고 치환하면 $\sec(x) \tan(x) dx = du \Rightarrow dx = \frac{1}{\sec(x) \tan(x)} du$를 얻을 수 있으므로 아래와 같이 적분 가능합니다.
$$\begin{align*} \int \tan^{5}(x) \sec^{7}(x) \; dx &= \int \tan(x) \left(\sec^{2}(x) - 1\right)^{2} \sec^{7}(x) \; dx \\ &= \int \tan(x) \left(u^{2} - 1\right)^{2} u^{6} \sec(x) \frac{1}{\tan(x) \sec(x)} du \\ &= \int \left(u^{2} - 1\right)^{2} u^{6} \; du \\ &= \int \left(u^{10} -2u^{8} + u^{6}\right) \; du \\ &= \frac{1}{11}u^{11} - \frac{2}{9}u^{9} + \frac{1}{7}u^{7} + C \\ &= \frac{1}{11}\sec^{11}(x) - \frac{2}{9}\sec^{9} + \frac{1}{7}\sec^{7} + C\end{align*}$$
정리2. $\int \tan^{m}(x) \sec^{n}(x) \; dx$의 적분 방법
(a). 만약 $\sec$의 지수가 짝수 $n = 2k (k \ge 2)$이면 $\sec^{2}(x) = 1 + \tan^{2}(x)$임을 고려했을 때 다음과 같이 적분할 수 있다.
$$\begin{align*} \int \tan^{m}(x)\sec^{2k}(x) \; dx &= \int \tan^{m}(x) (\sec^{2}(x))^{k - 1} \sec^{2}(x) \; dx \\ &= \int \tan^{m}(x) (1 + \tan^{2}(x))^{k - 1} \sec^{2}(x) \; dx \end{align*}$$
그리고 $u = \tan(x)$라고 치환하면 $dx = \frac{1}{\sec^{2}(x)} \; du$다음과 같이 적분을 진행할 수 있다.
$$\begin{align*} \int \tan^{m}(x)\sec^{2k}(x) \; dx &= \int \tan^{m}(x) (\sec^{2}(x))^{k - 1} \sec^{2}(x) \; dx \\ &= \int \tan^{m}(x) (1 + \tan^{2}(x))^{k - 1} \sec^{2}(x) \; dx \\ &= \int u^{m}(1 + u^{2})^{k - 1} \; du \end{align*}$$
(b). 만약 $\tan$의 지수가 홀수 $m = 2k + 1 (k \ge 1)$이면 $\tan^{2}(x) = \sec^{2}(x) - 1$임을 고려했을 때 다음과 같이 적분할 수 있다.
$$\begin{align*} \int \tan^{2k + 1}(x)\sec^{n}(x) \; dx &= \int (\tan^{2}(x))^{k} \sec^{n - 1}(x) \sec(x)\tan(x) \; dx \\ &= \int (\sec^{2}(x) - 1)^{k} \sec^{n - 1}(x) \sec(x)\tan(x) \; dx \end{align*}$$
그리고 $u = \sec(x)$라고 치환하면 $dx = \frac{1}{\sec(x)\tan(x)} \; du$다음과 같이 적분을 진행할 수 있다.
$$\begin{align*} \int \tan^{2k + 1}(x)\sec^{n}(x) \; dx &= \int (\tan^{2}(x))^{k} \sec^{n - 1}(x) \sec(x)\tan(x) \; dx \\ &= \int (\sec^{2}(x) - 1)^{k} \sec^{n - 1}(x) \sec(x)\tan(x) \; dx \\ &= \int (u^{2} - 1)^{k}u^{n - 1} \; du \end{align*}$$
연습문제1. 주어진 적분을 계산하라.
(a). $\int \sin^{3}(x)\cos^{2}(x) \; dx$
(b). $\int \sin^{6}(x)\cos^{3}(x) \; dx$
(c). $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}} \sin^{5}(x)\cos^{3}(x) \; dx$
(d). $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{5}(x) \; dx$
(e). $\int \sin^{2}(\pi x) \cos^{5}(\pi x) \; dx$
(f). $\int \frac{\sin^{3}(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \; dx$
(g). $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2}(\theta) \; d\theta$
(h). $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2}(2\theta) \; d\theta$
(a). $\int \sin^{3}(x)\cos^{2}(x) \; dx$
$$\begin{align*} \int \sin^{3}(x) \cos^{2}(x) \; dx &= \int \sin^{2}(x) \cos^{2}(x) \sin(x) \; dx \\ &= \int (1 - \cos^{2}(x)) \cos^{2}(x) \sin(x) \; dx \end{align*}$$
$\cos(x) = u$라고 하면 $-\sin(x) dx = du \rightarrow dx = -\frac{1}{\sin(x)}du$이다. 따라서, 다음과 같이 치환적분을 적용할 수 있다.
$$\begin{align*} \int \sin^{3}(x) \cos^{2}(x) \; dx &= \int (1 - \cos^{2}(x)) \cos^{2}(x) \sin(x) \; dx \\ &= \int (1 - u^{2})u^{2} \sin(x) \cdot \left( -\frac{1}{\sin(x)} \; du \right) \\ &= \int (u^{4} - u^{2}) \; du \\ &= \frac{1}{5}u^{5} - \frac{1}{3}u^{3} + C \\ &= \frac{1}{5}\cos^{5}(x) - \frac{1}{3}\cos^{3}(x) + C \end{align*}$$
(b). $\int \sin^{6}(x)\cos^{3}(x) \; dx$
$$\begin{align*} \int \sin^{6}(x) \cos^{3}(x) \; dx &= \int \sin^{6}(x) \cos^{2}(x) \cos(x) \; dx \\ &= \int \sin^{6}(x) (1 - \sin^{2}(x)) \cos(x) \; dx \end{align*}$$
$\sin(x) = u$라고 하면 $\cos(x) dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{\cos(x)}du$이다. 따라서, 다음과 같이 치환적분을 적용할 수 있다.
$$\begin{align*} \int \sin^{6}(x) \cos^{3}(x) \; dx &= \int \sin^{6}(x) (1 - \sin^{2}(x)) \cos(x) \; dx \\ &= \int u^{6}(1 - u^{2}) \cos(x) \cdot \frac{1}{\cos(x)} \; du \\ &= \int (u^{6} - u^{8}) \; du \\ &= \frac{1}{7}u^{7} - \frac{1}{9}u^{9} + C \\ &= \frac{1}{7}\sin^{7}(x) - \frac{1}{9}\sin^{9}(x) + C \end{align*}$$
(c). $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}} \sin^{5}(x)\cos^{3}(x) \; dx$
$$\begin{align*} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}} \sin^{5}(x) \cos^{3}(x) \; dx &= \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}} \sin^{5}(x) \cos^{2}(x) \cos(x) \; dx \\ &= \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}} \sin^{5}(x) (1 - \sin^{2}(x)) \cos(x) \; dx \end{align*}$$
$\sin(x) = u$라고 하면 $\cos(x) dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{\cos(x)}du$이며 적분구간은 $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}] \rightarrow [1, \frac{\sqrt{2}}{2}]$이다. 따라서, 다음과 같이 치환적분을 적용할 수 있다.
$$\begin{align*} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}} \sin^{5}(x) \cos^{3}(x) \; dx &= \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}} \sin^{5}(x) (1 - \sin^{2}(x)) \cos(x) \; dx \\ &= \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} u^{5}(1 - u^{2}) \cos(x) \cdot \frac{1}{\cos(x)} du \\ &= \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} (u^{5} - u^{7}) \; du \\ &= \left[ \frac{1}{6}u^{6} - \frac{1}{8}u^{8} \right]_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \\ &= \frac{5}{384} \end{align*}$$
(d). $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{5}(x) \; dx$
$$\begin{align*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{5}(x) \; dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{4}(x) \cos(x) \cos(x) \; dx \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sin^{2}(x))^{2} \cos(x) \; dx \end{align*}$$
$\sin(x) = u$라고 하면 $\cos(x) dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{\cos(x)}du$이며 적분구간은 $[0, \frac{\pi}{2}] \rightarrow [0, 1]$이다. 따라서, 다음과 같이 치환적분을 적용할 수 있다.
$$\begin{align*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{5}(x) \; dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sin^{2}(x))^{2} \cos(x) \; dx \\ &= \int_{0}^{1} (1 - u^{2})^{2} \cos(x) \frac{1}{\cos(x)} \; du \\ &= \int_{0}^{1} (1 - 2u^{2} + u^{4}) \; du \\ &= \left[ u - \frac{2}{3}u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} \right]_{0}^{1} \\ &= 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5} = \frac{8}{15}\end{align*}$$
(e). $\int \sin^{2}(\pi x) \cos^{5}(\pi x) \; dx$
$$\begin{align*} \int \sin^{2}(\pi x) \cos^{5}(\pi x) \; dx &= \int \sin^{2}(\pi x) \cos^{4}(\pi x) \cos(\pi x) \; dx \\ &= \int \sin^{2}(\pi x) (1 - \sin^{2}(\pi x))^{2} \cos(\pi x) \; dx \end{align*}$$
$\sin(\pi x) = u$라고 하면 $\pi \cos(\pi x) dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{\pi \cos(\pi x)}du$이다. 따라서, 다음과 같이 치환적분을 적용할 수 있다.
$$\begin{align*} \int \sin^{2}(\pi x) \cos^{5}(\pi x) \; dx &= \int \sin^{2}(\pi x) (1 - \sin^{2}(\pi x))^{2} \cos(\pi x) \; dx \\ &= \int u^{2}(1 - u^{2})^{2} \cos(\pi x) \frac{1}{\pi \cos(\pi x)} \; du \\ &= \frac{1}{\pi} \int u^{2} (1 - 2u^{2} + u^{4}) \; du \\ &= \frac{1}{\pi} \int (u^{2} - 2u^{4} + u^{6}) \; du \\ &= \frac{1}{\pi} (\frac{1}{3}u^{3} - \frac{2}{5}u^{5} + \frac{1}{7}u^{7}) + C \\ &= \frac{1}{\pi} (\frac{1}{3}\sin^{3}(\pi x) - \frac{2}{5}\sin^{5}(\pi x) + \frac{1}{7} \sin^{7}(\pi x)) + C \end{align*}$$
(f). $\int \frac{\sin^{3}(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \; dx$
$\sqrt{x} = u$라고 하면 $\frac{1}{2\sqrt{x}} dx = du \rightarrow dx = 2\sqrt{x} du$이다. 따라서, 다음과 같이 치환적분을 적용할 수 있다.
$$\begin{align*} \int \frac{\sin^{3}(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \; dx &= \int \frac{\sin^{3}(u)}{\sqrt{x}} \cdot 2\sqrt{x} \; du \\ &= 2\int \sin^{3}(u) \; du \\ &= 2\int \sin^{2}(u) \sin(u) \; du \\ &= \int (1 - \cos^{2}(u)) \sin(u) \; du \end{align*}$$
$\cos(u) = v$라고 하면 $-\sin(u) du = dv \rightarrow du = -\frac{1}{\sin(u)}dv$이다. 따라서, 다음과 같이 치환적분을 적용할 수 있다.
$$\begin{align*} \int \frac{\sin^{3}(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \; dx &= \int (1 - \cos^{2}(u)) \sin(u) \; du \\ &= \int (1 - v^{2}) \sin(u) \cdot \frac{-1}{\sin(u)} \; dv \\ &= \int (v^{2} - 1) \; dv \\ &= \frac{1}{3}v^{3} - v + C \\ &= \frac{1}{3}\sin^{3}(u) - \sin(u) + C \\ &= \frac{1}{3}\sin^{3}(\sqrt{x}) - \sin(\sqrt{x}) + C \end{align*}$$
(g). $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2}(\theta) \; d\theta$
$$\begin{align*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2}(\theta) \; dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \sin(2\theta)}{2} \; d\theta \\ &= \frac{1}{2} \left[ \theta - \frac{1}{2}\cos(2\theta) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \frac{1}{2} (\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{2} + 1) \end{align*}$$
(h). $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2}(2\theta) \; d\theta$
$$\begin{align*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2}(\theta) \; dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} \; d\theta \\ &= \frac{1}{2} \left[ \theta - \frac{1}{2}\sin(2\theta) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} \end{align*}$$
연습문제2. 주어진 적분을 계산하라.
(a). $\int_{0}^{\pi} \sin^{4}(3t) \; dt$
(b). $\int_{0}^{\pi} \cos^{6}(\theta) \; d\theta$
(c). $\int (1 + \cos(\theta))^{2} \; d\theta$
(d). $\int x\cos^{2}(x) \; dx$
(e). $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2}(x)\cos^{2}(x) \; dx$
(f). $\int_{0}^{\pi} \sin^{2}(t)\cos^{4}(t) \; dt$
(g). $\int \frac{\cos^{5}(\alpha)}{\sqrt{\sin(\alpha)}} \; d\alpha$
(h). $\int \cos(\theta)\cos^{5}(\sin(\theta)) \; d\theta$
(a). $\int_{0}^{\pi} \sin^{4}(3t) \; dt$
$$\begin{align*} \int_{0}^{\pi} \sin^{4}(3t) \; dt &= \int_{0}^{\pi} (\sin^{2}(3t))^{2} \; dt \\ &= \int_{0}^{\pi} \left( \frac{1 - \cos(6t)}{2} \right)^{2} \; dt \\ &= \int_{0}^{\pi} \frac{1 - 2\cos(6t) + \cos^{2}(6t)}{4} \; dt \\ &= \frac{1}{4} \int_{0}^{\pi} \left( 1 - 2\cos(6t) + \frac{1 + \sin(12t)}{2} \right) \; dt \\ &= \frac{1}{4} \int_{0}^{\pi} \left( \frac{3}{2} -2\cos(6t) + \frac{1}{2}\sin(12t) \right) \; dt \\ &= \frac{1}{4} \left[ \frac{3}{2}t - \frac{1}{3}\sin(6t) - \frac{1}{24}\cos(12t) \right]_{0}^{\pi} \\ &= \frac{1}{4} \left[ (\frac{3}{2}\pi - \frac{1}{3}\sin(6\pi) - \frac{1}{24}\cos(12\pi)) - (0 - \frac{1}{3} \sin(0) - \frac{1}{24} \cos(0)) \right] = \frac{1}{4} \left( \frac{3}{2}\pi + \frac{1}{12} \right) \end{align*}$$
(b). $\int_{0}^{\pi} \cos^{6}(\theta) \; d\theta$
$$\begin{align*} \int_{0}^{\pi} \cos^{6}(\theta) \; d\theta &= \int_{0}^{\pi} (\cos^{2}(\theta))^{2} \; d\theta \\ &= \int_{0}^{\pi} \left( \frac{1 + \sin(2\theta)}{2} \right)^{3} \; d\theta \\ &= \int_{0}^{\pi} \frac{1 + 3\sin(2\theta) + 3\sin^{2}(2\theta) + \sin^{3}(2\theta)}{8} \; d\theta \\ &= \frac{1}{8} \left( \int_{0}^{\pi} 1 \; d\theta + 3\int_{0}^{\pi} \sin(2\theta) \; d\theta + 3\int_{0}^{\pi} \sin^{2}(2\theta) \; d\theta + \int_{0}^{\pi} \sin^{3}(2\theta) \; d\theta \right) - (1)\end{align*}$$
1). $\int_{0}^{\pi} 1 \; d\theta$
$$\begin{align*} \int_{0}^{\pi} 1 \; d\theta &= \left[ \theta \right]_{0}^{\pi} \\ &= \pi \end{align*}$$
2). $\int_{0}^{\pi} \sin(2\theta) \; d\theta$
$$\begin{align*} \int_{0}^{\pi} \sin(2\theta) \; d\theta &= \left[ -\frac{1}{2}\cos(2\theta) \right]_{0}^{\pi} \\ &= -\frac{1}{2} (\cos(\pi) - \cos(0)) \\ &= -\frac{1}{2} (-1 - 1) = 1 \end{align*}$$
3). $\int_{0}^{\pi} \sin^{2}(2\theta) \; d\theta$
$$\begin{align*} \int_{0}^{\pi} \sin^{2}(2\theta) \; d\theta &= \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos(4\theta)}{2} \; d\theta \\ &= \frac{1}{2} \left[ \theta - \frac{1}{4}\sin(4\theta) \right]_{0}^{\pi} \\ &= \frac{1}{2} \left[ (\pi - \frac{1}{4} \sin(4\pi)) - (0 - \frac{1}{4}\sin(0)) \right] = \frac{\pi}{2}\end{align*}$$
4). $\int_{0}^{\pi} \sin^{3}(2\theta) \; d\theta$
$$\begin{align*} \int_{0}^{\pi} \sin^{3}(2\theta) \; d\theta &= \int_{0}^{\pi} \sin^{2}(2\theta) \sin(2\theta) \; d\theta \\ &= \int_{0}^{\pi} (1 - \cos^{2}(2\theta)) \sin(2\theta) \; d\theta \end{align*}$$
이제, $\cos(2\theta) = u$라고 하면 $-2\sin(2\theta) d\theta = du \rightarrow d\theta = -\frac{1}{2\sin(2\theta)} du$이고 적분구간은 $[0, \pi] \rightarrow [1, 1]$이다. 따라서, 적분결과는 0이다.
1)~4) 식의 결과를 (1)번식에 대입하면 최종 적분결과를 얻을 수 있다.
$$\begin{align*} \int_{0}^{\pi} \cos^{6}(\theta) \; d\theta &= \frac{1}{8} \left( \int_{0}^{\pi} 1 \; d\theta + 3\int_{0}^{\pi} \sin(2\theta) \; d\theta + 3\int_{0}^{\pi} \sin^{2}(2\theta) \; d\theta + \int_{0}^{\pi} \sin^{3}(2\theta) \; d\theta \right) \\ &= \frac{1}{8} \left( \pi + 3 + 3 \cdot \frac{\pi}{2} + 0 \right) \\ &= \frac{1}{8}\left( \frac{5\pi}{2} \right)\end{align*}$$
(c). $\int (1 + \cos(\theta))^{2} \; d\theta$
$$\begin{align*} \int (1 + \cos(\theta))^{2} \; d\theta &= \int (1 + 2\cos(\theta) + \cos^{2}(\theta)) \; d\theta \\ &= \int 1 \; d\theta + 2\int \cos(\theta) \; d\theta + \int \cos^{2}(\theta) \; d\theta - (1) \end{align*}$$
1). $\int 1 \; d\theta$
$$\begin{align*} \int 1 \; d\theta &= \theta + C_{1} \end{align*}$$
2). $\int \cos(\theta) \; d\theta$
$$\begin{align*} \int \cos(\theta) \; d\theta &= \sin(\theta) + C_{2} \end{align*}$$
3). $\int \cos^{2}(\theta) \; d\theta$
$$\begin{align*} \int \cos^{2}(\theta) \; d\theta &= \int \frac{1 + \sin(2\theta)}{2} \; d\theta \\ &= \frac{1}{2}\theta - \frac{1}{4}\cos(2\theta) + C_{3} \end{align*}$$
1)~3) 식의 결과를 (1)번식에 대입하면 최종 적분결과를 얻을 수 있다.
$$\begin{align*} \int (1 + \cos(\theta))^{2} \; d\theta &= \int 1 \; d\theta + 2\int \cos(\theta) \; d\theta + \int \cos^{2}(\theta) \; d\theta \\ &= \theta + 2\sin(\theta) + \frac{1}{2}\theta - \frac{1}{4}\cos(2\theta) + C \\ &= \frac{3}{2}\theta + 2\sin(\theta) - \frac{1}{4}\cos(2\theta) + C \end{align*}$$
여기서, $C = C_{1} + 2C_{2}+ C_{3}$이다.
(d). $\int x\cos^{2}(x) \; dx$
$$\begin{align*} \int x\cos^{2}(x) \; dx &= \int x \frac{1 + \sin(2x)}{2} \; dx \\ &= \frac{1}{2} \int (x + x\sin(2x)) \; dx \\ &= \frac{1}{2} \left( \int x \; dx + \int x\sin(2x) \; dx \right) - (1) \end{align*}$$
1). $\int x \; dx$
$$\begin{align*} \int x \; dx &= \frac{1}{2}x^{2} + C_{1} \end{align*}$$
2). $\int x\sin(2x) \; dx$
$u = x$ 그리고 $v^{'} = \sin(2x)$라고 하면 $u^{'} = 1$이고 $v = -\frac{1}{2}\cos(2x)$이다. 이제 부분적분을 적용하면 다음과 같이 적분할 수 있다.
$$\begin{align*} \int x\sin(2x) \; dx &= -\frac{1}{2}x\cos(2x) + \frac{1}{2} \int \cos(2x) \; dx \\ &= -\frac{1}{2}x\cos(2x) + \frac{1}{4}\sin(2x) + C_{2} \end{align*}$$
1)~2) 식의 결과를 (1)번 식에 대입하면 최종 적분결과를 얻을 수 있다.
$$\begin{align*} \int x\cos^{2}(x) \; dx &= \frac{1}{2} \left( \int x \; dx + \int x\sin(2x) \; dx \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}x^{2} - \frac{1}{2}x\cos(2x) + \frac{1}{4}\sin(4x) \right) + C \\ &= \frac{1}{4} \left( x^{2} - x\cos(2x) + \frac{1}{2}\sin(4x) \right) + C \end{align*}$$
여기서, $C = \frac{1}{2}C_{1} + \frac{1}{2}C_{2}$이다.
(e). $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2}(x)\cos^{2}(x) \; dx$
$$\begin{align*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2}(x)\cos^{2}(x) \; dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin(x)\cos(x))^{2} \; dx \\ &= \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (2\sin(x)\cos(x))^{2} \; dx \\ &= \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2}(2x) \; dx \\ &= \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos(4x)}{2} \; dx \\ &= \frac{1}{8} \left[ x - \frac{1}{4}\sin(4x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \frac{1}{8} \left[ (\frac{\pi}{2} - \frac{1}{4}\sin(2\pi)) - (0 - \frac{1}{4}\sin(0)) \right] = \frac{\pi}{16} \end{align*}$$
(f). $\int_{0}^{\pi} \sin^{2}(t)\cos^{4}(t) \; dt$
$$\begin{align*} \int_{0}^{\pi} \sin^{2}(t) \cos^{4}(t) \; dt &= \int_{0}^{\pi} (\sin(t)\cos(t))^{2} \cos^{2}(t) \; dt \\ &= \frac{1}{4} \int_{0}^{\pi} (2\sin(t)\cos(t))^{2} \cos^{2}(t) \; dt \\ &= \frac{1}{4} \int_{0}^{\pi} \sin^{2}(2t) \frac{1 + \sin(2t)}{2} \; dt \\ &= \frac{1}{8} \int_{0}^{\pi} (\sin^{2}(2t) + \sin^{3}(2t)) \; dt \\ &= \frac{1}{8} \left( \int_{0}^{\pi} \sin^{2} (2t) \; dt + \int_{0}^{\pi} \sin^{3}(2t) \; dt \right) - (1) \end{align*}$$
1). $\int_{0}^{\pi} \sin^{2}(2t) \; dt$
$$\begin{align*} \int_{0}^{\pi} \sin^{2}(2t) \; dt &= \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos(4t)}{2} \; dt \\ &= \frac{1}{2} \left[ t - \frac{1}{4}\sin(4t) \right]_{0}^{\pi} \\ &= \frac{1}{2} \left[ (\pi - \frac{1}{4}\sin(4\pi)) - (0 - \frac{1}{4} \sin(0)) \right] = \frac{\pi}{2} \end{align*}$$
2). $\int_{0}^{\pi} \sin^{3}(2t) \; dt$
$$\begin{align*} \int_{0}^{\pi} \sin^{3}(2t) \; dt &= \int_{0}^{\pi} \sin^{2}(2t) \sin(2t) \; dt \\ &= \int_{0}^{\pi} (1 - \cos^{2}(2t)) \sin(2t) \; dt \end{align*}$$
이제, $\cos(2t) = u$라고 하면 $-2\sin(2t) dt = du \rightarrow dt = -\frac{1}{2\sin(2t)} du$이고 적분구간은 $[0, \pi] \rightarrow [1, 1]$이다. 따라서, 적분결과는 0이다.
1)~2) 식의 결과를 (1)번식에 대입하여 최종 적분결과를 얻을 수 있다.
$$\begin{align*} \int_{0}^{\pi} \sin^{2}(t) \cos^{4}(t) \; dt &= \frac{1}{8} \left( \int_{0}^{\pi} \sin^{2} (2t) \; dt + \int_{0}^{\pi} \sin^{3}(2t) \; dt \right) \\ &= \frac{1}{8} (\frac{\pi}{2} + 0) = \frac{\pi}{16} \end{align*}$$
(g). $\int \frac{\cos^{5}(\alpha)}{\sqrt{\sin(\alpha)}} \; d\alpha$
$$\begin{align*} \int \frac{\cos^{5}(\alpha)}{\sqrt{\sin(\alpha)}} \; d\alpha &= \int \frac{\cos(\alpha) \cos^{4}(\alpha)}{\sqrt{\sin(\alpha)}} \; d\alpha \\ &= \int \frac{\cos(\alpha) (1 - \sin^{2}(\alpha))^{2}}{\sqrt{\sin(\alpha)}} \; d\alpha \end{align*}$$
이제 치환적분을 위해 $\sin(\alpha) = u$라고 하면 $\cos(\alpha) d\alpha = du \rightarrow d\alpha = \frac{1}{\cos(\alpha)} du$이다. 따라서, 다음과 같이 적분할 수 있다.
$$\begin{align*} \int \frac{\cos^{5}(\alpha)}{\sqrt{\sin(\alpha)}} \; d\alpha &= \int \frac{\cos(\alpha) (1 - \sin^{2}(\alpha))^{2}}{\sqrt{\sin(\alpha)}} \; d\alpha \\ &= \int \frac{\cos(\alpha) (1 - u^{2})^{2}}{\sqrt{u}} \frac{1}{\cos(\alpha)} \; du \\ &= \int \frac{1 - 2u^{2} + u^{4}}{u^{\frac{1}{2}}} \; du \\ &= \int \left( u^{-\frac{1}{2}} - 2u^{\frac{3}{2}} + u^{\frac{7}{2}} \right) \; du \\ &= 2u^{\frac{1}{2}} - \frac{4}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{9} u^{\frac{9}{2}} + C \\ &= 2\sin^{\frac{1}{2}}(\alpha) - \frac{4}{5} \sin^{\frac{5}{2}}(\alpha) + \frac{2}{9} \sin^{\frac{9}{2}}(\alpha) + C \\ &= 2\sqrt{\sin(\alpha)} - \frac{4}{5} \sin^{2}(\alpha) \sqrt{\sin(\alpha)} + \frac{2}{9}\sin^{4}(\alpha) \sqrt{\sin(\alpha)} + C \end{align*}$$
(h). $\int \cos(\theta)\cos^{5}(\sin(\theta)) \; d\theta$
$\sin(\theta) = u$라고 하면 $\cos(\theta) d\theta = du \rightarrow d\theta = \frac{1}{\cos(\theta)} du$이므로 다음과 같이 적분할 수 있다.
$$\begin{align*} \int \cos(\theta) \cos^{5}(\sin(\theta)) \; d\theta &= \int \cos(\theta) \cos^{5}(u) \frac{1}{\cos(\theta)} \; du \\ &= \int \cos^{5}(u) \; du \\ &= \int \cos^{4}(u) \cos(u) \; du \\ &= \int (\cos^{2}(u))^{2} \cos(u) \; du \\ &= \int (1 - \sin^{2}(u))^{2} \cos(u) \; du \end{align*}$$
이제, $\sin(u) = v$라고 하면 $\cos(u) du = dv \rightarrow du = \frac{1}{\cos(u)} dv$이므로 다음과 같이 적분할 수 있다.
$$\begin{align*} \int \cos(\theta) \cos^{5}(\sin(\theta)) \; d\theta &= \int (1 - \sin^{2}(u))^{2} \cos(u) \; du \\ &= \int (1 - v^{2})^{2} \cos(u) \frac{1}{\cos(u)} \; dv \\ &= \int (1 - 2v^{2} + v^{4}) \; dv \\ &= v - \frac{2}{3}v^{3} + \frac{1}{5}v^{5} + C \\ &= \sin(u) - \frac{2}{3}\sin^{3}(u) + \frac{1}{5} \sin^{5}(u) + C \\ &= \sin(\sin(\theta)) - \frac{2}{3} \sin^{3}(\sin(\theta)) + \frac{1}{5} \sin^{5}(\sin(\theta)) + C \end{align*}$$
연습문제3. 주어진 적분을 계산하라.
(a). $\int \cos^{2}(x) \tan^{3}(x) \; dx$
(b). $\int \cot^{5}(\theta) \sin^{4}(\theta) \; d\theta$
(c). $\int \frac{\cos(x) + \sin(2x)}{\sin(x)} \; dx$
(d). $\int \cos^{2}(x) \sin(2x) \; dx$
(e). $\int \sec^{2}(x) \tan(x) \; dx$
(f). $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sec^{4}(t / 2) \; dt$
(g). $\int \tan^{2}(x) \; dx$
(h). $\int (\tan^{2}(x) + \tan^{4}(x)) \; dx$
(a). $\int \cos^{2}(x) \tan^{3}(x) \; dx$
$$\begin{align*} \int \cos^{2}(x) \tan^{3}(x) \; dx &= \int \cos^{2}(x) \tan^{2}(x) \tan(x) \; dx \\ &= \int \cos^{2}(x) (\sec^{2} - 1) \tan(x) \; dx \\ &= \int (1 - \cos^{2}(x)) \tan(x) \; dx \\ &= \int (\tan(x) - \cos^{2}(x) \tan(x)) \; dx \\ &= \int (\tan(x) - \sin(x)\cos(x)) \; dx \\ &= \int \tan(x) \; dx - \int \sin(x)\cos(x) \; dx \\ &= \int \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \; dx - \int \sin(x)\cos(x) \; dx \\ &= \ln|\sec(x)| - \frac{1}{2}\sin^{2})(x) \; dx \end{align*}$$
(b). $\int \cot^{5}(\theta) \sin^{4}(\theta) \; d\theta$
$$\begin{align*} \int \cot^{5}(\theta) \sin^{4}(\theta) \; d\theta &= \int (\cot^{2}(\theta))^{2} \sin^{4}(\theta) \cot(\theta) \; d\theta \\ &= \int (\csc^{2}(\theta) - 1)^{2} \sin^{4}(\theta) cot(\theta) \; d\theta \\ &= \int \left( \frac{1}{\sin^{2}(\theta)} - 1 \right)^{2} \sin^{4}(\theta) \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} \; d\theta \\ &= \int \left( \frac{1}{\sin^{2}(\theta)} - 1 \right)^{2} \sin^{3}(\theta)\cos(\theta) \; d\theta \end{align*}$$
이제 $\sin(\theta) = u$라고 하면 $\cos(\theta) d\theta = du \rightarrow d\theta = \frac{1}{\cos(\theta)} du$이다.
$$\begin{align*} \int \cot^{5}(\theta) \sin^{4}(\theta) \; d\theta &= \int \left( \frac{1}{\sin^{2}(\theta)} - 1 \right)^{2} \sin^{3}(\theta)\cos(\theta) \; d\theta \\ &= \int \left( \frac{1}{u^{2}} - 1 \right)^{2} u^{3} \cos(\theta) \frac{1}{\cos(\theta)} \; du \\ &= \int \left( \frac{1}{u^{4}} - \frac{2}{u^{2}} + 1 \right) u^{3} \; du \\ &= \int \left( \frac{1}{u} - 2u + u^{3} \right) \; du \\ &= \ln|u| - u^{2} + \frac{1}{4}u^{4} + C \\ &= \ln|\sin(\theta)| - \sin^{2}(\theta) + \frac{1}{4}\sin^{4}(\theta) + C \end{align*}$$
(c). $\int \frac{\cos(x) + \sin(2x)}{\sin(x)} \; dx$
$$\begin{align*} \frac{\cos(x) + \sin(2x)}{\sin(x)} \; dx &= \int \frac{\cos(x) + 2\sin(x)\cos(x)}{\sin(x)} \; dx \\ &= \int \frac{\cos(x) (1 + 2\sin(x))}{\sin(x)} \; dx \\ &= \int \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \; dx + \int 2 \; dx \\ &= \ln|\sin(x)| + 2x + C \end{align*}$$
(d). $\int \cos^{2}(x) \sin(2x) \; dx$
$$\begin{align*} \int \cos^{2}(x) \sin(2x) \; dx &= \int \cos^{2}(x) (2\sin(x)\cos(x)) \; dx \\ &= 2\int \cos^{3}(x) \sin(x) \; dx \end{align*}$$
이제 $\cos(x) = u$라고 하면 $-\sin(x) dx = du \rightarrow dx = -\frac{1}{\sin(x)} du$이다.
$$\begin{align*} \int \cos^{2}(x) \sin(2x) \; dx &= 2\int \cos^{3}(x) \sin(x) \; dx \\ &= 2\int u^{3} \sin(x) \left( -\frac{1}{\sin(x)} \right) du \\ &= -2\int u^{3} \; du \\ &= -\frac{1}{2} u^{4} + C \\ &= -\frac{1}{2} \cos^{4}(x) + C \end{align*}$$
(e). $\int \sec^{2}(x) \tan(x) \; dx$
$\tan(x) = u$라고 하면 $\sec^{2}(x) dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{\sec^{2}(x)} du$이다.
$$\begin{align*} \int \sec^{2}(x) \tan(x) \; dx &= \int \sec^{2}(x) u \frac{1}{\sec^{2}(x)} \; du \\ &= \int u \; du \\ &= \frac{1}{2}u^{2} + C \\ &= \frac{1}{2}\tan^{2}(x) + C \end{align*}$$
(f). $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sec^{4}(t / 2) \; dt$
$$\begin{align*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sec^{4}(t / 2) \; dt &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sec^{2}(t / 2) \sec^{2}(t / 2) \; dt \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sec^{2}(t / 2) (1 + \tan^{2}(t / 2)) \; dt \end{align*}$$
이제 $\tan(t / 2) = u$라고 하면 $\frac{1}{2}\sec^{2}(t / 2) dt = du \rightarrow \frac{2}{\sec^{2} (t / 2)} du$이고 적분구간은 $[0, \frac{\pi}{2}] \rightarrow [0, 1]$이다.
$$\begin{align*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sec^{4}(t / 2) \; dt &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sec^{2}(t / 2) (1 + \tan^{2}(t / 2)) \; dt \\ &= \int_{0}^{1} (1 + u^{2}) \sec^{2}(t / 2) \frac{2}{\sec^{2}(t / 2)} \; dt \\ &= 2\int_{0}^{1} (1 + u^{2}) \; du \\ &= 2\left[u + \frac{1}{3}u^{3}\right]_{0}^{1} = \frac{8}{3} \end{align*}$$
(g). $\int \tan^{2}(x) \; dx$
$$\begin{align*} \int \tan^{2}(x) \; dx &= \int (\sec^{2}(x) - 1) \; dx \\ &= \tan(x) - x + C \end{align*}$$
(h). $\int (\tan^{2}(x) + \tan^{4}(x)) \; dx$
$$\begin{align*} \int (\tan^{2}(x) + \tan^{4}(x)) \; dx &= \int \tan^{2}(x) (1 + \tan^{2}(x)) \; dx \\ &= \int \tan^{2}(x) \sec^{2}(x) \; dx \end{align*}$$
이제 $\tan(x) = u$라고 하면 $\sec^{2} (x) dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{\sec^{2}(x)} du$이다.
$$\begin{align*} \int (\tan^{2}(x) + \tan^{4}(x)) \; dx &= \int \tan^{2}(x) \sec^{2}(x) \; dx \\ &= \int u^{2} \sec^{2}(x) \frac{1}{\sec^{2}(x)} \; du \\ &= \int u^{2} \; du \\ &= \frac{1}{3}u^{3} + C \\ &= \frac{1}{3}\tan^{3}(x) + C \end{align*}$$
연습문제4. 주어진 적분을 계산하라.
(a). $\int \sec^{6}(x) \; dx$
(b). $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec^{4}(x) \tan^{4}(x) \; dx$
(c). $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \tan^{5}(x) \sec^{4}(x) \; dx$
(d). $\int \tan^{3}(2x) \sec^{5}(2x) \; dx$
(e). $\int \tan^{3}(x) \sec(x) \; dx$
(f). $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \tan^{5}(x) \sec^{6}(x) \; dx$
(g). $\int \tan^{5}(x) \; dx$
(h). $\int \tan^{6}(ax) \; dx$
(a). $\int \sec^{6}(x) \; dx$
$$\begin{align*} \int \sec^{6}(x) \; dx &= \int (\sec^{2}(x))^{2} \sec^{2}(x) \; dx \\ &= \int (\tan^{2}(x) + 1)^{2} \sec^{2}(x) \; dx \end{align*}$$
이제 $\tan(x) = u$라고 하면 $\sec^{2}(x) dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{\sec^{2}(x)} du$이다.
$$\begin{align*} \int \sec^{6}(x) \; dx &= \int (\tan^{2}(x) +1)^{2} \sec^{2}(x) \; dx \\ &= \int (u^{2} + 1)^{2} \sec^{2}(x) \frac{1}{\sec^{2}(x)} \; du \\ &= \int (u^{4} + 2u^{2} + 1) \; du \\ &= \frac{1}{5}u^{5} + \frac{2}{3}u^{3} + u + C \\ &= \frac{1}{5}\tan^{5}(x) + \frac{2}{3} \tan^{3}(x) + \tan(x) + C \end{align*}$$
(b). $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec^{4}(x) \tan^{4}(x) \; dx$
$$\begin{align*} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec^{4}(x) \tan^{4}(x) \; dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec^{2}(x) \sec^{2}(x) \tan^{4}(x) \; dx \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (1 - \tan^{2}(x)) \tan^{4}(x) \sec^{2}(x) \; dx \end{align*}$$
이제 $\tan(x) = u$라고 하면 $\sec^{2}(x) dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{\sec^{2}(x)} du$이고 적분구간은 $[0, \frac{\pi}{4}] \rightarrow [0, 1]$이다.
$$\begin{align*} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec^{4}(x) \tan^{4}(x) \; dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (1 - \tan^{2}(x)) \tan^{4}(x) \sec^{2}(x) \; dx \\ &= \int_{0}^{1} (1 - u^{2})u^{4} \sec^{2}(x) \frac{1}{\sec^{2}(x)} \; du \\ &= \int_{0}^{1} (u^{4} - u^{6}) \; du \\ &= \left[ \frac{1}{5}u^{5} - \frac{1}{7}u^{7} \right] = \frac{2}{35} \end{align*}$$
(c). $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \tan^{5}(x) \sec^{4}(x) \; dx$
$$\begin{align*} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \tan^{5}(x) \sec^{4}(x) \; dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sec^{2}(x) \tan^{5}(x) \sec^{2}(x) \; dx \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (\tan^{2} + 1)\tan^{5}(x) \sec^{2}(x) \; dx \end{align*}$$
이제 $\tan(x) = u$라고 하면 $\sec^{2}(x) dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{\sec^{2}(x)} du$이고 적분구간은 $[0, \frac{\pi}{3}] \rightarrow [0, \sqrt{3}]$이다.
$$\begin{align*} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \tan^{5}(x) \sec^{4}(x) \; dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (\tan^{2} + 1)\tan^{5}(x) \sec^{2}(x) \; dx \\ &= \int_{0}^{\sqrt{3}} (u^{2} + 1)u^{5} \sec^{2}(x) \frac{1}{\sec^{2}(x)} \; du \\ &= \int_{0}^{\sqrt{3}} (u^{7} + u^{5}) \; du \\ &= \left[ \frac{1}{8}u^{8} + \frac{1}{6}u^{6} \right]_{0}^{\sqrt{3}} \\ &= \frac{81}{8} + \frac{27}{6} = \frac{117}{8} \end{align*}$$
(d). $\int \tan^{3}(2x) \sec^{5}(2x) \; dx$
$$\begin{align*} \int \tan^{3}(2x) \sec^{5}(2x) \; dx &= \int \tan^{2}(2x)\sec^{4}(2x) \tan(2x)\sec(2x) \; dx \\ &= \int (\sec^{2}(2x) - 1) \sec^{4}(2x) \tan(2x)\sec(2x) \; dx \end{align*}$$
이제 $\sec(2x) = u$라고 하면 $2\sec(2x)\tan(2x) dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{2\sec(2x)\tan(2x)} du$이다.
$$\begin{align*} \int \tan^{3}(2x) \sec^{5}(2x) \; dx &= \int (\sec^{2}(2x) - 1) \sec^{4}(2x) \tan(2x)\sec(2x) \; dx \\ &= \int (u^{2} - 1)u^{4} \tan(2x)\sec(2x) \frac{1}{2\tan(2x)\sec(2x)} \; dx \\ &= \frac{1}{2} \int (u^{6} - u^{4}) \; du \\ &= \frac{1}{2} \left(\frac{1}{7}u^{7} - \frac{1}{5}u^{5}\right) + C \\ &= \frac{1}{14}\sec^{7}(2x) - \frac{1}{10}\sec^{5}(2x) + C \end{align*}$$
(e). $\int \tan^{3}(x) \sec(x) \; dx$
$$\begin{align*} \int \tan^{3}(x) \sec(x) \; dx &= \int \tan^{2}(x) \tan(x)\sec(x) \; dx \\ &= \int (\sec^{2}(x) - 1) \tan(x)\sec(x) \; dx \end{align*}$$
이제 $\sec(x) = u$라고 하면 $\sec(x)\tan(x) dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{\sec(x)\tan(x)} du$이다.
$$\begin{align*} \int \tan^{3}(x) \sec(x) \; dx &= \int (\sec^{2}(x) - 1) \tan(x)\sec(x) \; dx \\ &= \int (u^{2} - 1) \tan(x)\sec(x) \frac{1}{\tan(x)\sec(x)} \; du \\ &= \int (u^{2} - 1) \; du \\ &= \frac{1}{3}u^{3} - u + C \\ &= \frac{1}{3}\sec^{3}(x) - \sec(x) + C \end{align*}$$
(f). $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \tan^{5}(x) \sec^{6}(x) \; dx$
$$\begin{align*} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \tan^{5}(x) \sec^{6}(x) \; dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (\sec^{2}(x))^{2} \tan^{5}(x) \sec^{2}(x) \; dx \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (1 - \tan^{2}(x))^{2} \tan^{5}(x) \sec^{2}(x) \; dx \end{align*}$$
이제 $\tan(x) = u$라고 하면 $\sec^{2}(x) dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{\sec^{2}(x)} du$이고 적분구간은 $[0, \frac{\pi}{3}] \rightarrow [0, \sqrt{3}]$이다.
$$\begin{align*} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \tan^{5}(x) \sec^{6}(x) \; dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (1 - \tan^{2}(x))^{2} \tan^{5}(x) \sec^{2}(x) \; dx \\ &= \int_{0}^{\sqrt{3}} (1 - u^{2})^{2} u^{5} \sec^{2}(x) \frac{1}{\sec^{2}(x)} \; du \\ &= \int_{0}^{\sqrt{3}} (1 - 2u^{2} + u^{4})u^{5} du \\ &= \int_{0}^{\sqrt{3}} (u^{5} - 2u^{7} + u^{9}) \; du \\ &= \left[ \frac{1}{6}u^{6} - \frac{2}{8}u^{8} + \frac{1}{10}u^{10} \right]_{0}^{\sqrt{3}} \\ &= \frac{27}{6} - \frac{2 \cdot 81}{8} + \frac{243}{10} = \frac{171}{20} \end{align*}$$
(g). $\int \tan^{5}(x) \; dx$
$$\begin{align*} \int \tan^{5}(x) \; dx &= \int (\tan^{2}(x))^{2} \tan(x) \; dx \\ &= \int (\sec^{2}(x) - 1)^{2} \tan(x) \; dx \end{align*}$$
이제 $\sec(x) = u$라고 하면 $\sec(x)\tan(x) dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{\sec(x)\tan(x)} du$이다.
$$\begin{align*} \int \tan^{5}(x) \; dx &= \int (\sec^{2}(x) - 1)^{2} \tan(x) \; dx \\ &= \int (u^{2} - 1)^{2} \tan(x) \frac{1}{\sec(x) \tan(x)} \; du \\ &= \int (u^{4} - 2u^{2} + 1) \frac{1}{u} \; du \\ &= \int (u^{3} - 2u + \frac{1}{u}) \; du \\ &= \frac{1}{4}u^{4} - u^{2} + \ln|u| + C \\ &= \frac{1}{4}\sec^{4}(x) - \sec^{2}(x) + \ln|\sec(x)| + C \end{align*}$$
(h). $\int \tan^{6}(ax) \; dx$
$$\begin{align*} \int \tan^{6}(ax) \; dx &= \int \tan^{2}(ax) \tan^{4}(ax) \; dx \\ &= \int (\sec^{2}(ax) - 1) \tan^{4}(ax) \; dx \\ &= \int \sec^{2}(ax)\tan^{4}(ax) \; dx - \int \tan^{4}(ax) \; dx - (1)\end{align*}$$
1). $\int \sec^{2}(ax) \tan^{4}(ax) \; dx$
이제 $\tan(ax) = u$라고 하면 $a\sec^{2}(ax) dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{a\sec^{2}(ax)} du$이다.
$$\begin{align*} \int \sec^{2}(ax) \tan^{4}(ax) \; dx &= \int u^{4} \sec^{2}(ax) \frac{1}{a\sec^{2}(ax)} \; dx \\ &= \frac{1}{a} \int u^{4} \; du \\ &= \frac{1}{5a}u^{5} + C_{1} \\ &= \frac{1}{5a}\tan^{5}(ax) + C_{1} \end{align*}$$
2). $\int \tan^{4}(ax) \; dx$
$$\begin{align*} \int \tan^{4}(ax) \; dx &= \int \tan^{2}(ax) \tan^{2}(ax) \; dx \\ &= \int (\sec^{2}(ax) - 1) \tan^{2}(ax) \; dx \\ &= \int (\sec^{2}(ax) \tan^{2}(ax) - \tan^{2}(ax)) \; dx \\ &= \int \sec^{2}(ax)\tan^{2}(ax) - \int \tan^{2}(ax) \; dx - (2)\end{align*}$$
2-1). $\int \sec^{2}(ax)\tan^{2}(ax) \; dx$
이제 $\tan(ax) = u$라고 하면 $a\sec^{2}(ax) dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{a\sec^{2}(ax)} du$이다.
$$\begin{align*} \int \sec^{2}(ax) \tan^{2}(ax) \; dx &= \int u^{2} \sec^{2}(ax) \frac{1}{a\sec^{2}(ax)} \; dx \\ &= \frac{1}{a} \int u^{2} \; du \\ &= \frac{1}{3a}u^{3} + C_{2_{1}} \\ &= \frac{1}{3a}\tan^{3}(ax) + C_{2_{1}} \end{align*}$$
2-2). $\int \tan^{2}(ax) \; dx$
$$\begin{align*} \int \tan^{2}(ax) \; dx &= \int (\sec^{2}(ax) - 1) \; dx \\ &= \frac{1}{a}\tan(ax) - x + C_{2_{2}} \end{align*}$$
2-1)~2-2) 식의 결과를 (2)번 식에 대입한다.
$$\begin{align*} \int \tan^{4}(ax) \; dx &= \int \sec^{2}(ax)\tan^{2}(ax) - \int \tan^{2}(ax) \; dx \\ &= \frac{1}{3a}\tan^{3}(ax) - \frac{1}{a}\tan(ax) + x + C_{2} \end{align*}$$
여기서 $C_{2} = C_{2_{1}} - C_{2_{2}}$이다. 다음으로 1)~2) 식의 결과를 (1)번 식에 대입한다.
$$\begin{align*} \int \tan^{6}(ax) \; dx &= \int \sec^{2}(ax)\tan^{4}(ax) \; dx - \int \tan^{4}(ax) \; dx \\ &= \frac{1}{5a}\tan^{5}(ax) - \frac{1}{3a}\tan^{3}(ax) + \frac{1}{a}\tan(ax) - x + C \end{align*}$$
여기서 $C = C_{1} - C_{2}$이다.
연습문제5. 주어진 적분을 계산하라.
(a). $\int \frac{\tan^{3}(x)}{\cos^{4}(x)} \; dx$
(b). $\int \tan^{2}(x)\sec(x) \; dx$
(c). $\int x\sec(x)\tan(x) \; dx$
(d). $\int \frac{\sin(x)}{\cos^{3}(x)} \; dx$
(e). $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \cot^{2}(x) \; dx$
(f). $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cot^{3}(x) \; dx$
(g). $\int \sin(8x)\cos(5x) \; dx$
(h). $\int \cos(\pi x) \cos(4\pi x) \; dx$
(a). $\int \frac{\tan^{3}(x)}{\cos^{4}(x)} \; dx$
$$\begin{align*} \int \frac{\tan^{3}(x)}{\cos^{4}(x)} \; dx &= \int \tan^{3}(x)\sec^{4}(x) \; dx \\ &= \int \sec^{2}(x) \tan^{3}(x) \sec^{2}(x) \; dx \\ &= \int (1 + \tan^{2}(x))\tan^{3}(x) \sec^{2}(x) \; dx \end{align*}$$
이제 $\tan(x) = u$라고 하면 $\sec^{2}(x) dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{\sec^{2}(x)} du$이다.
$$\begin{align*} \int \frac{\tan^{3}(x)}{\cos^{4}(x)} \; dx &= \int (1 + \tan^{2}(x))\tan^{3}(x) \sec^{2}(x) \; dx \\ &= \int (1 + u^{2})u^{3} \sec^{2}(x) \frac{1}{\sec^{2}(x)} \; dx \\ &= \int (u^{3} + u^{5}) \; du \\ &= \frac{1}{4}u^{4} + \frac{1}{6}u^{6} + C \\ &= \frac{1}{4}\tan^{4}(x) + \frac{1}{6}\tan^{6}(x) + C \end{align*}$$
(b). $\int \tan^{2}(x)\sec(x) \; dx$
$$\begin{align*} \int \tan^{2}(x) \sec(x) \; dx &= \int (\sec^{2}(x) - 1) \sec(x) \; dx \\ &= \int (\sec^{3}(x) - \sec(x)) \; dx \\ &= \int \sec^{3}(x) \; dx - \int \sec(x) \; dx - (1) \end{align*}$$
1). $\int \sec^{3}(x) \; dx$
$u = \sec(x)$ 그리고 $v^{'} = \sec^{2}(x)$라고 하면 $u^{'} = \sec(x)\tan(x)$이고 $v = \tan(x)$이다.
$$\begin{align*} \int \sec^{3}(x) \; dx &= \int \sec^{2}(x)\sec(x) \; dx \\ &= \tan(x)\sec(x) - \int \sec(x)\tan^{2}(x) \; dx + C_{1} \end{align*}$$
2). $\int \sec(x) \; dx$
$$\begin{align*} \int \sec(x) \; dx &= \ln|\tan(x) + \sec(x)| + C_{2} \end{align*}$$
1) ~ 2) 식의 결과를 (1)번 식에 대입한다.
$$\begin{align*} \int \tan^{2}(x) \sec(x) \; dx &= \int (\sec^{3}(x) - \sec(x)) \; dx \\ &= \int \sec^{3}(x) \; dx - \int \sec(x) \; dx \\ &= \tan(x)\sec(x) - \int \sec(x)\tan^{2}(x) \; dx - \ln|\tan(x) + \sec(x)| + C \\ \Rightarrow& 2\int \tan^{2}(x) \sec(x) \; dx = \tan(x)\sec(x) - \ln|\tan(x) + \sec(x)| + C \\ \Rightarrow \int \tan^{2}(x) \sec(x) \; dx \frac{1}{2}\tan(x)\sec(x) - \frac{1}{2}\ln|\tan(x) + \sec(x)| + C \end{align*}$$
여기서 $C = C_{1} - C_{2}$이다.
(c). $\int x\sec(x)\tan(x) \; dx$
$u = x$ 그리고 $v^{'} = \sec(x)\tan(x)$라고 하면 $u^{'} = 1$이고 $v = \sec(x)$이다.
$$\begin{align*} \int x\sec(x)\tan(x) \; dx &= x\sec(x) - \int \sec(x) \; dx \\ &= x\sec(x) - \ln|\sec(x) + \tan(x)| + C \end{align*}$$
(d). $\int \frac{\sin(x)}{\cos^{3}(x)} \; dx$
$\cos(x) = u$라고 하면 $-\sin(x) dx = du \rightarrow dx = -\frac{1}{\sin(x)} du$이다.
$$\begin{align*} \int \frac{\sin(x)}{\cos^{3}(x)} \; dx &= \int \frac{\sin(x)}{u^{3}} \left( -\frac{1}{\sin(x)} \right) \; dx \\ &= - \int \frac{1}{u^{3}} \; du \\ &= \frac{1}{2u^{2}} + C \\ &= \frac{1}{2\cos^{2}(x)} + C \\ &= \frac{1}{2}\sec^{2}(x) + C \end{align*}$$
(e). $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \cot^{2}(x) \; dx$
$$\begin{align*} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \cot^{2}(x) \; dx &= \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} (\csc^{2}(x) - 1) \; dx \\ &= \left[ -\cot(x) - x \right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3} \end{align*}$$
(f). $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cot^{3}(x) \; dx$
$$\begin{align*} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cot^{3}(x) \; dx &= \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cot^{2}(x) \cot(x) \; dx \\ &= \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\csc^{2}(x) - 1) \cot(x) \; dx \\ &= \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \csc^{2}(x) \cot(x) - \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cot(x) \; dx - (1)\end{align*}$$
1). $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \csc^{2}(x) \cot(x) \; dx$
$\cot(x) = u$라고 하면 $-\csc^{2}(x) dx = du \rightarrow dx = -\frac{1}{\csc^{2}(x)} du$이고 적분구간은 $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}] \rightarrow [1, 0]$이다.
$$\begin{align*} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \csc^{2}(x) \cot(x) \; dx &= \int_{1}^{0} \csc^{2}(x) u \left( -\frac{1}{\csc^{2}(x)} \right) \; du \\ &= \int_{0}^{1} u \; du \\ &= \left[ \frac{1}{2}u^{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} \end{align*}$$
2). $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cot(x) \; dx$
$$\begin{align*} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cot(x) \; dx &= \left[\ln|\sin(x)|\right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \end{align*}$$
1) ~ 2) 식의 결과를 (1)번식에 대입한다.
$$\begin{align*} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cot^{3}(x) \; dx &= \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \csc^{2}(x) \cot(x) - \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cot(x) \; dx \\ &= \frac{1}{2} - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\ = \frac{\sqrt{2} - 1}{2} \end{align*}$$
(g). $\int \sin(8x)\cos(5x) \; dx$
$$\begin{align*} \int \sin(8x)\cos(5x) \; dx &= \int \frac{1}{2} (\sin(3x) + \sin(13x)) \; dx \\ &= \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{3}\cos(3x) - \frac{1}{13}\cos(13x) \right) + C \\ &= -\frac{1}{6}\cos(3x) - \frac{1}{26}\cos(13x) + C \end{align*}$$
(h). $\int \cos(\pi x) \cos(4\pi x) \; dx$
$$\begin{align*} \int \cos(\pi x) \cos(4\pi x) \; dx &= \int \frac{1}{2} (\cos(5\pi x) + \cos(3\pi x) ) \; dx \\ &= \frac{1}{10\pi} \sin(5\pi x) + \frac{1}{6\pi} \cos(3\pi x) + C \end{align*}$$
연습문제6. 주어진 적분을 계산하라.
(a). $\int \sin(5x)\sin(x) \; dx $
(b). $\int \frac{\cos(x) + \sin(x)}{\sin(2x)} \; dx $
(c). $\int \frac{1 - \tan^{2}(x)}{\sec^{2}(x)} \; dx $
(d). $\int \frac{1}{\cos(x) - 1} \; dx $
(a). $\int \sin(5x)\sin(x) \; dx $
$$\begin{align*} \int \sin(5x) \sin(x) \; dx &= \int \frac{1}{2} (\cos(6x) - \cos(4x) ) \; dx \\ &= \frac{1}{12} \sin(6x) - \frac{1}{8} \sin(4x) + C \end{align*}$$
(b). $\int \frac{\cos(x) + \sin(x)}{\sin(2x)} \; dx $
$$\begin{align*} \int \frac{\cos(x) + \sin(x)}{\sin(2x)} \; dx &= \int \frac{\cos(x) + \sin(x)}{2\sin(x)\cos(x)} \; dx \\ &= \frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{\sin(x)} + \frac{1}{\cos(x)} \right) \; dx \\ &= \frac{1}{2} \int (\csc(x) + \sec(x)) \; dx \\ &= \frac{1}{2} \left( \ln|\frac{1}{\cot(x) + \csc(x)}| + \ln|\tan(x) + \sec(x)|\right) + C \\ &= \frac{1}{2} \ln |\frac{\tan(x) + \sec(x)}{\cot(x) + \csc(x)}| + C \end{align*}$$
(c). $\int \frac{1 - \tan^{2}(x)}{\sec^{2}(x)} \; dx $
$$\begin{align*} \int \frac{1 - \tan^{2}(x)}{\sec^{2}(x)} \; dx &= \int \left( \cos^{2}(x) - \sin^{2}(x) \right) \; dx \\ &= \int \cos(2x) \; dx \\ &= \frac{1}{2}\sin(2x) + C \end{align*}$$
(d). $\int \frac{1}{\cos(x) - 1} \; dx $
$$\begin{align*} \int \frac{1}{\cos(x) - 1} \; dx &= \int \frac{\cos(x) + 1}{(\cos(x) - 1)(\cos(x) + 1)} \; dx \\ &= \int \frac{\cos(x) + 1}{\cos^{2}(x) - 1} \; dx \\ &= -\int \frac{\cos(x) + 1}{\sin^{2}(x)} \; dx \\ &= -\int (\cot(x)\csc(x) + \csc^{2}(x)) \; dx \\ &= \csc(x) + \cot(x) + C \end{align*}$$
연습문제7. $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{6}(x)\sec(x) \; dx = I$라고 할 때 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{8}(x) \sec(x) \; dx$를 $I$에 대한 식으로 표현하라.
$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{8}(x) \sec(x) \; dx = J$라고 하자. 그리고 $u = \tan^{7}(x)$ 그리고 $v^{'} = \tan(x)\sec(x)$라고 하면 $u^{'} = 7\tan^{6}(x)\sec^{2}(x)$이고 $v = \sec(x)$이다.
$$\begin{align*} J = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{8}(x) \sec(x) \ ;dx &= \left[ \tan^{7})(x) \sec(x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} - 7\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{6}(x)\sec^{3}(x) \; dx \\ &= \tan^{7}(\frac{\pi}{4})\sec(\frac{\pi}{4}) - \tan(0)\sec(0) - 7\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{6}(x) \sec^{2}(x) \sec(x) \; dx \\ &= \sqrt{2} - 7\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{6}(x) (1 + \tan^{2}(x)) \sec(x) \; dx \\ &= \sqrt{2} - 7\left( \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{6}(x)\sec(x) \; dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{8}(x)\sec(x) \; dx \right) \\ &= \sqrt{2} - 7I - 7J \\ \Rightarrow& 8J = \sqrt{2} - 7I \\ \Rightarrow& J = \frac{1}{8}(\sqrt{2} - 7I)\end{align*}$$
연습문제8. 닫힌구간 $[-\pi, \pi]$에서 함수 $f(x) = \sin^{2}(x)\cos^{3}(x)$의 평균값을 구하여라.
$$\begin{align*} f_{avg} &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \sin^{2}(x)\cos^{3}(x) \; dx \\ &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \sin^{2}(x) (1 - \sin^{2}(x)) \cos(x) \; dx \end{align*}$$
여기서 $\sin(x) = u$라고 하면 $\cos(x) dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{\cos(x)} du$이고 적분구간은 $[-\pi, \pi] \rightarrow [-1, 1]$이다.
$$\begin{align*} f_{avg} &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \sin^{2}(x) (1 - \sin^{2}(x)) \cos(x) \; dx \\ &= \frac{1}{2\pi} \int_{-1}^{1} u^{2}(1 - u^{2}) \; du \\ &= \frac{1}{2\pi} \int_{-1}^{1} (u^{2} - u^{4}) \; du \\ &= \frac{1}{2\pi} \left[ \frac{1}{3}u^{3} - \frac{1}{5}u^{5} \right]_{-1}^{1} \\ &= \frac{2}{15\pi}\end{align*}$$
참고자료 및 그림출처
Calculus(J. Stewart)
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