안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 치환적분을 통한 삼각함수 적분에서는 치환적분을 통해 복잡한 형태의 삼각함수의 적분을 해보았습니다. 오늘은 복잡한 형태의 유리함수를 보다 간단하게 만들 수 있는 부분분수를 활용하여 적분하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 이를 위해 몇 가지 케이스로 나누어 설명드리도록 하겠습니다. 일단, 기본적인 가정은 피적분함수 $f(x)$가 유리함수 꼴, 즉 $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$의 형태를 가지고 있다고 가정하겠습니다. 이때, $Q(x) \neq 0$입니다.
CASE1. $Q(x)$를 인수분해 했을 때, 각 인수가 선형적이고 독립적으로 존재하는 경우
$$Q(x) = (a_{1}x + b_{1})(a_{2}x + b_{2}) \cdots (a_{n}x + b_{n})$$
여기서 가정에 의해 각 인수는 반복되지 않습니다. 이 경우에는 부분분수에 의해서 아래와 같이 쪼개질 수 있습니다.
$$\frac{R(x)}{Q(x)} = \frac{A_{1}}{a_{1}x + b_{1}} + \frac{A_{2}}{a_{2}x + b_{2}} + \cdots + \frac{A_{k}}{a_{k}x + b_{k}}$$
간단한 예제를 통해 어떤 식으로 분해될 수 있는 지 알아보도록 하죠. $f(x) = \frac{x^{2} + 2x - 1}{2x^{3} + 3x^{2} - 2x}$이라고 가정하겠습니다. 그러면 $Q(x) = 2x^{3} + 3x^{2} - 2x = x(2x - 1)(x + 2)$가 됩니다. 그러므로 아래와 같이 쓸 수 있겠네요.
$$f(x) = \frac{x^{2} + 2x - 1}{2x^{3} + x^{2} - 2x} = \frac{A_{1}}{x} + \frac{A_{2}}{2x - 1} + \frac{A_{3}}{x + 2}$$
이제, 해야할 일은 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$를 구해야합니다. 이를 위해서 양변에 $x(2x - 1)(x + 2)$를 곱해보도록 하겠습니다.
$$\begin{align*} x^{2} + 2x - 1 &= A_{1}(2x - 1)(x + 2) + A_{2}x(x + 2) + A_{3}x(2x - 1) \\ &= A_{1}(2x^{2} + 3x - 2) + A_{2}(x^{2} + 2x) + A_{3}(2x^{2} - x) \\ &= (2A_{1} + A_{2} + 2A_{3})x^{2} + (3A_{1} + 2A_{2} - A_{3})x - 2A_{1} \end{align*}$$
그러므로 아래의 연립방정식을 얻을 수 있습니다.
$$\begin{cases} 2A_{1} + A_{2} + 2A_{3} &= 1 \\ 3A_{1} + 2A_{2} - A_{3} &= 2 \\ -2A_{1} &= -1\end{cases}$$
이 방정식을 풀면 $A_{1} = \frac{1}{2}, A_{2} = \frac{1}{5}, A_{3} = -\frac{1}{10}$을 얻을 수 있습니다. 그러므로 $f(x)$를 아래와 같이 적분할 수 있습니다.
$$\begin{align*} \int \frac{x^{2} + 2x - 1}{2x^{3} + x^{2} - 2x} \; dx &= \int \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2x - 1} - \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{x + 2} \; dx \\ &= \frac{1}{2} \int \frac{1}{x} \; dx + \frac{1}{5} \int \frac{1}{2x - 1} \; dx - \frac{1}{10} \int \frac{1}{x + 2} \; dx \\ &= \frac{1}{2} \ln|x| + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} \ln|2x - 1| - \frac{1}{10} \ln|x + 2| + C \\ &= \frac{1}{2} \ln|x| + \frac{1}{10} \ln|2x - 1| - \frac{1}{10} \ln|x + 2| + C\end{align*}$$
예제1. $\int \frac{1}{x^{2} - a^{2}} \; dx$를 구하라.
$Q(x) = x^{2} - a^{2} = (x - a)(x + a)$라고 할 때, 부분분수에 의해 아래와 같이 $f(x)$를 표현할 수 있다.
$$f(x) = \frac{1}{x^{2} - a^{2}} = \frac{1}{(x - a)(x + a)} = \frac{A_{1}}{x - a} + \frac{A_{2}}{x + a}$$
양변에 $(x - a)(x + a)$를 곱하면 아래의 식을 얻을 수 있다.
$$1 = A_{1}(x + a) + A_{2}(x - a) = (A_{1} + A_{2})x + a(A_{1} - A_{2})$$
따라서 아래의 연립방정식을 얻을 수 있다.
$$\begin{cases} A_{1} + A_{2} &= 0 \\ a(A_{1} - A_{2}) &= 1\end{cases}$$
이를 정리하면 $A_{1} = \frac{1}{2a}, A_{2} = -\frac{1}{2a}$를 얻을 수 있으므로 아래와 같이 적분 가능하다.
$$\begin{align*} \int \frac{1}{x^{2} - a^{2}} \; dx &= \int \frac{1}{2a} \cdot \frac{1}{x - a} - \frac{1}{2a} \cdot \frac{1}{x + a} \; dx \\ &= \frac{1}{2a} \int \frac{1}{x - a} \; dx - \frac{1}{2a} \int \frac{1}{x + a} \; dx \\ &= \frac{1}{2a} \ln|x - a| - \frac{1}{2a} \ln|x + a| + C \\ &= \frac{1}{2a} \left(\ln|x - a| - \ln|x + a|\right) + C \\ &= \frac{1}{2a} \ln\left|\frac{x - a}{x + a}\right| + C\end{align*}$$
CASE2. $Q(x)$를 인수분해 했을 때, 각 인수가 선형적이고 몇 인수가 중복되는 경우
$Q(x)$의 $i$번째 인수가 $r$번 반복된다는 것은 $Q(x)$에 $(a_{i}x + b_{i})^{r}$을 인수로 가진다는 것과 동일한 말입니다. 이 경우에 $i$번째 인수에 대해 부분분수를 적용하면 아래와 같이 분해가능합니다.
$$\frac{A_{1}}{a_{i}x + b_{i}} + \frac{A_{2}}{\left(a_{i}x + b_{i}\right)^{2}} + \cdots + \frac{A_{r}}{\left(a_{i}x + b_{i}\right)^{r}}$$
즉, $r$번 반복되는 인수에 대해서는 동일하게 $r$번 부분분수를 적용해주면 됩니다. 간단한 예제를 통해서 더 자세히 알아보도록 하겠습니다.
예제2. $\int \frac{x^{4} - 2x^{2} + 4x + 1}{x^{3} - x^{2} - x + 1} \; dx$를 구하라.
$Q(x) = x^{3} - x^{2} - x + 1 = (x - 1)^{2}(x + 1)$라고 할 때, 부분분수에 의해 아래와 같이 $f(x)$를 표현할 수 있다.
$$f(x) = \frac{x^{4} - 2x^{2} + 4x + 1}{x^{3} - x^{2} - x + 1} = x + 1 + \frac{4x}{(x - 1)^{2}(x + 1)} = x + 1 + \frac{A_{1}}{x - 1} + \frac{A_{2}}{(x - 1)^{2}} + \frac{A_{3}}{x + 1}$$
이제, $\frac{4x}{(x - 1)^{2}(x + 1)} = \frac{A_{1}}{x - 1} + \frac{A_{2}}{(x - 1)^{2}} + \frac{A_{3}}{x + 1}$에 대해서 양변에 $(x - 1)^{2}(x + 1)$을 곱하면 아래의 식을 얻을 수 있다.
$$\begin{align*} 4x &= A_{1}(x - 1)(x + 1) + A_{2}(x + 2) + A_{3}(x - 1)^{2} \\ &= A_{1}(x^{2} - 1) + A_{2}(x + 2) + A_{3}(x^{2} - 2x + 1) \\ &= (A_{1} + A_{3})x^{2} - 2A_{3}x - A_{1} + 2A_{2} + A_{3}\end{align*}$$
따라서 아래의 연립방정식을 얻을 수 있다.
$$\begin{cases} A_{1} + A_{3} &= 0 \\ -2A_{3} &= 4 \\ A_{1} + 2A_{2} + A_{3} = 0\end{cases}$$
이를 정리하면 $A_{1} = 1, A_{2} = 2, A_{3} = -1$를 얻을 수 있으므로 아래와 같이 적분 가능하다.
$$\begin{align*} \int \frac{x^{4} - 2x^{2} + 4x + 1}{x^{3} - x^{2} - x + 1} \; dx &= \int \left(x + 1 + \frac{4x}{(x - 1)^{2}(x + 1)}\right) \; dx \\ &= \int \left(x + 1 + \frac{1}{x - 1} + \frac{2}{(x - 1)^{2}} - \frac{1}{x + 2}\right) \\ &= \frac{x^{2}}{2} + x + \ln|x - 1| - \frac{2}{x - 1} - \ln|x + 1| + C \\ &= \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{2}{x - 1} + \ln\left|\frac{x - 1}{x + 1}\right| + C\end{align*}$$
CASE3. $Q(x)$를 인수분해 했을 때, 인수에 2차식이 포함되고 중복되지 않는 경우
$Q(x)$에 $ax^{2} + bx + c$와 같은 식이 포함되어 있다고 가정하겠습니다. 그리고 해당 식은 더 이상 인수분해 되지 않기 때문에 $b^{2} - 4ac < 0$이 되고 $f(x)$는 $\frac{Ax + B}{ax^{2} + bx + c}$를 포함하게 될 겁니다. 간단한 예를 들어보도록 하겠습니다. $f(x) = \frac{2x^{2} - x + 4}{x^{3}+ 4x}$가 주어졌다고 가정하겠습니다. 이때, $Q(x) = x^{3} + 4x = x(x^{2} + 4)$라고 할 수 있기 때문에 부분분수를 사용할 수 있습니다.
$$f(x) = \frac{2x^{2} - x + 4}{x^{3} + 4x} = \frac{2x^{2} - x + 4}{x(x^{2} + 4)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^{2} + 4}$$
이제, 저희가 해야할 일은 $A, B, C$를 위의 항등식을 통해 결정하는 것입니다. 이를 위해 양변에 $x(x^{2} + 4)$를 곱해주도록 하겠습니다.
$$\begin{align*} 2x^{2} - x + 4 &= A(x^{2} + 4) + (Bx + C)x \\ &= (Ax^{2} + 4A) + (Bx^{2} + Cx) \\ &= (A + B)x^{2} + Cx + 4A\end{align*}$$
따라서, 아래의 연립방정식을 얻을 수 있습니다.
$$\begin{cases} A + B &= 2 \\ C &= -1 \\ 4A &= 4\end{cases}$$
이를 정리하면 $A = 1, B = 1, C = -1$을 얻을 수 있기 때문에 이제 아래와 같이 적분식을 정리할 수 있습니다.
$$\begin{align*} \int \frac{2x^{2} - x + 4}{x^{3} + 4x} \; dx &= \int \left(\frac{1}{x} + \frac{x - 1}{x^{2} + 4}\right) \; dx \\ &= \int \frac{1}{x} \; dx + \int \frac{x}{x^{2} + 4} \; dx - \int \frac{1}{x^{2} + 4} \; dx\end{align*}$$
일단, 첫번째 적분인 $\int \frac{1}{x} \; dx = \ln|x| + C_{1}$로 쉽게 얻을 수 있습니다. 다음으로 $\int \frac{x}{x^{2} + 4} \; dx$는 $x^{2} + 4 = u$로 치환하면 $2x dx = du \Rightarrow dx = \frac{1}{2x} du$이기 때문에 치환적분을 통해 계산할 수 있습니다.
$$\int \frac{x}{x^{2} + 4} \; dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln|u| + C_{2} = \frac{1}{2} \ln|x^{2} + 4| + C_{2}$$
문제는 마지막 적분입니다. 치환적분을 사용할 수 없기 때문에 다른 적절한 방법을 찾아야합니다. 하지만, 저희는 이와 같은 형태의 적분을 이미 알고 있습니다. 바로 $\frac{d}{dx} \left(\arctan(\frac{x}{a})\right) = \frac{a}{x^{2} + a^{2}}$이라는 것을 이용하면 $\int \frac{1}{x^{2} + a^{2}} \; dx = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C$를 얻을 수 있습니다. 따라서, 마지막 적분은 $\int \frac{1}{x^{2} + 4} \; dx = \frac{1}{2} \arctan \left(\frac{x}{2}\right) + C_{3}$입니다. 이제 모든 식을 정리하면 결과는 아래와 같습니다.
$$\begin{align*} \int \frac{2x^{2} - x + 4}{x^{3} + 4x} \; dx &= \int \left(\frac{1}{x} + \frac{x - 1}{x^{2} + 4}\right) \; dx \\ &= \int \frac{1}{x} \; dx + \int \frac{x}{x^{2} + 4} \; dx - \int \frac{1}{x^{2} + 4} \; dx \\ &= \ln|x| + \frac{1}{2} \ln|x^{2} + 4| + \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C\end{align*}$$
이때, $C = C_{1} + C_{2} + C_{3}$로 적분상수를 의미합니다.
예제3. $\int \frac{4x^{2} - 3x + 2}{4x^{2} - 4x + 3} \; dx$를 구하라.
$f(x) = \frac{4x^{2} - 3x + 2}{4x^{2} - 4x + 3} = 1 + \frac{x - 1}{4x^{2} - 4x + 4} = 1 + \frac{x - 1}{(2x - 1)^{2} + 2}$이기 때문에 아래와 같이 식을 정리할 수 있다.
$$\int \frac{4x^{2} - 3x + 2}{4x^{2} - 4x + 3} \; dx= \int \left(1 + \frac{x - 1}{(2x - 1)^{2} + 2}\right) \; dx = \int 1 \; dx + \int \frac{x - 1}{(2x - 1)^{2} + 2} \; dx$$
이제, 첫번째 적분식은 $\int 1 \; dx = x + C_{1}$로 쉽게 적분 가능하다. 다음으로 $2x - 1 = u$라고 치환하면 $2dx = du \Rightarrow dx = \frac{1}{2}du$이기 때문에 아래와 같이 치환적분할 수 있다.
$$\begin{align*} \int \frac{x - 1}{(2x - 1)^{2} + 2} \; dx &= \frac{1}{2} \int \frac{\frac{1}{2}(u + 1) - 1}{u^{2} + 2} \; du \\ &= \frac{1}{4} \int \frac{u - 1}{u^{2} + 4} \; du \\ &= \frac{1}{4} \int \frac{u}{u^{2} + 2} \; du - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{2} + 2} \; du\end{align*}$$
이제, 다시 위의 식의 $\int \frac{u}{u^{2} + 2} \; dx$은 $u^{2} + 2 = v$라고 치환하면 $2u du = dv \Rightarrow du = \frac{1}{2u} dv$이기 때문에 아래와 같이 적분가능하다.
$$\begin{align*} \frac{1}{4}\int \frac{u}{v} \cdot \left(\frac{1}{2u}\right) \; dv &= \frac{1}{8} \int \frac{1}{v} \; dv \\ &= \frac{1}{8} \ln|v| + C_{2} \\ &= \frac{1}{8} \ln|u^{2} + 2| + C_{2} \\ &= \frac{1}{8} \ln|(2x - 1)^{2} + 2| + C_{2} \\ &= \frac{1}{8} \ln\left(4x^{2} - 4x + 3\right) + C_{2}\end{align*}$$
마지막으로 $\frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{2} + 2} \; du = \frac{1}{4\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right) + C_{3} = \frac{1}{4\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{2x - 1}{\sqrt{2}}\right) + C_{3}$이다. 이제 모든 식을 정리하면 아래와 같다.
$$\begin{align*} \int \frac{4x^{2} - 3x + 2}{4x^{2} - 4x + 3} \; dx &= \int \left(1 + \frac{x - 1}{(2x - 1)^{2} + 2}\right) \; dx \\ &= x + \frac{1}{8} \ln\left(4x^{2} - 4x + 3\right) + \frac{1}{4\sqrt{2}} \arctan \left(\frac{2x - 1}{\sqrt{2}}\right) + C\end{align*}$$
이때, $C = C_{1} + C_{2} + C_{3}$로 적분상수를 의미한다.
CASE4. $Q(x)$를 인수분해 했을 때, 인수에 2차식이 포함되고 중복되는 경우
$Q(x)$에 $(ax^{2} + bx + c)^{r}$와 같은 식이 포함되어 있다고 가정하겠습니다. 그리고 해당 식은 더 이상 인수분해 되지 않기 때문에 $b^{2} - 4ac < 0$이 되고 $f(x)$는 $\frac{Ax + B}{(ax^{2} + bx + c)^{r}}$를 포함하게 될 겁니다. 지난 포스팅에서 중복되는 경우와 마찬가지로 동일하게 해결할 수 있습니다. 간단한 예제로 알아보도록 하겠습니다. $\int \frac{1 - x + 2x^{2} - x^{3}}{x(x^{2} + 1)^{2}} \; dx$를 구해보도록 하죠. $Q(x) = x(x^{2} + 1)^{2}$이기 때문에 더 이상 인수분해할수는 없습니다. 따라서 부분분수를 활용하면 아래와 같이 정리할 수 있습니다.
$$f(x) = \frac{1 - x + 2x^{2} - x^{3}}{x(x^{2} + 1)^{2}} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^{2} + 1} + \frac{Dx + E}{(x^{2} + 1)^{2}}$$
이제 양변에 $x(x^{2} + 1)^{2}$를 곱해보도록 하겠습니다.
$$\begin{align*} 1 - x + 2x^{2} - x^{3} &= A(x^{2} + 1)^{2} + (Bx + C)x(x^{2} + 1) + (Dx + E)x \\ &= A(x^{4} + 2x^{2} + 1) + B(x^{4} + x^{2}) + C(x^{3} + x) + Dx^{2} + Ex \\ &= (A + B)x^{4} + Cx^{3} + (2A + B + D)x^{2} + (C + E)x + A\end{align*}$$
그러면 저희는 아래의 연립방정식을 얻을 수 있습니다.
$$\begin{cases} A + B &= 0 \\ C &= -1 \\ 2A + B + D &= 2 \\ C + E &= -1 \\ A &= 1 \end{cases}$$
이제 이 식을 정리하면 $A = 1, B = -1, C = -1, D = 1, E = 0$을 얻을 수 있습니다. 이제 저희는 주어진 적분식을 부분분수를 통해 정리할 수 있습니다.
$$\begin{align*} \int \frac{1 - x + 2x^{2} - x^{3}}{x(x^{2} + 1)^{2}} \; dx &= \int \left(\frac{1}{x} + \frac{-x - 1}{x^{2} + 1} + \frac{x}{(x^{2} + 1)^{2}}\right) \; dx \\ &= \int \frac{1}{x} \; dx + \int \frac{-x - 1}{x^{2} + 1} \; dx + \int \frac{x}{(x^{2} + 1)^{2}} \; dx \\ &= \int \frac{1}{x} \; dx - \int \frac{x}{x^{2} + 1} \; dx- \int \frac{1}{x^{2} + 1} \; dx + \int \frac{x}{(x^{2} + 1)^{2}} \; dx\end{align*}$$
1. $\int \frac{1}{x} \; dx = \ln|x| + C_{1}$
2. $x^{2} + 1 = u$라고 치환하면 $2x dx = du \Rightarrow dx = \frac{1}{2x} du$이기 때문에 아래와 같이 치환적분 할 수 있습니다.
$$\begin{align*} \int \frac{x}{x^{2} + 1} \; dx &= \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du \\ &= \frac{1}{2} \ln|u| + C_{2} \\ &= \frac{1}{2} \ln\left(x^{2} + 1\right) + C_{2}\end{align*}$$
3. $\int \frac{1}{x^{2} + 1} \; dx = \arctan \left(x\right) + C_{3}$
4. $x^{2} + 1 = u$라고 치환하면 $2x dx = du \Rightarrow dx = \frac{1}{2x} du$이기 때문에 아래와 같이 치환적분 할 수 있습니다.
$$\begin{align*} \int \frac{x}{(x^{2} + 1)^{2}} &= \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{2}} \; du \\ &= -\frac{1}{2u} + C_{4} \\ &= -\frac{1}{2x^{2} + 2} + C_{4}\end{align*}$$
이제, 1 ~ 4의 모든 결과를 하나의 식으로 합치면 적분 결과를 얻을 수 있습니다.
$$\begin{align*} \int \frac{1 - x + 2x^{2} - x^{3}}{x(x^{2} + 1)^{2}} \; dx &= \int \left(\frac{1}{x} + \frac{-x - 1}{x^{2} + 1} + \frac{x}{(x^{2} + 1)^{2}}\right) \; dx \\ &= \int \frac{1}{x} \; dx + \int \frac{-x - 1}{x^{2} + 1} \; dx + \int \frac{x}{(x^{2} + 1)^{2}} \; dx \\ &= \int \frac{1}{x} \; dx - \int \frac{x}{x^{2} + 1} \; dx- \int \frac{1}{x^{2} + 1} \; dx + \int \frac{x}{(x^{2} + 1)^{2}} \; dx \\ &= \ln|x| - \frac{1}{2} \ln \left(x^{2} + 1\right) - \arctan(x) - \frac{1}{2x^{2} + 2} + C\end{align*}$$
이때, $C = C_{1} + C_{2} + C_{3} + C_{4}$로 적분상수를 의미합니다.
CASE5. $R(x)$ 또는 $Q(x)$에 무리함수가 존재하는 경우
이 경우에는 부분분수를 활용해서 해결할 수 없기 때문에 무리함수를 유리함수로 바꿔주는 유리화(Rationalization)을 이용해야합니다. 간단한 예로 $\int \frac{\sqrt{x + 4}}{x} \; dx$를 구한다고 가정하겠습니다. $u = \sqrt{x + 4}$라고 치환하면 $u^{2} = x + 4 \Rightarrow x = u^{2} - 4$입니다. 또한, $2udu = dx$이기 때문에 아래와 같이 치환적분이 가능합니다.
$$\begin{align*} \int \frac{\sqrt{x + 4}}{x} \; dx &= \int \frac{u}{u^{2} - 4} 2u \; du \\ &= \int \frac{2u^{2}}{u^{2} - 4} \; du \\ &= 2\int \left(1 + \frac{4}{u^{2} - 4}\right) \; du \\ &= 2 \left( \int 1 \; du + \int \frac{4}{u^{2} - 4} \; du \right) \end{align*}$$
1. $\int u \; du = u + C_{1} = \sqrt{x + 4} + C_{1}$
2. $\frac{4}{u^{2} - 4} = \frac{4}{(u - 2)(u + 2)} = \frac{1}{u - 2} - \frac{1}{u + 2}$이기 때문에 아래와 같이 적분할 수 있습니다.
$$\begin{align*} \int \frac{4}{u^{2} - 4} \; du &= \int \left(\frac{1}{u - 2} - \frac{1}{u + 2}\right) \; du \\ &= \int \frac{1}{u - 2} \; du - \int \frac{1}{u + 2} \; du \\ &= \ln |u - 2| - \ln|u + 2| + C_{2} = \ln\left|\frac{u - 2}{u + 2}\right| + C_{2} \\ &= \ln \left|\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{\sqrt{x + 4} + 2}\right| + C_{2}\end{align*}$$
이제, 1 ~ 2의 모든 결과를 하나의 식으로 합치면 적분 결과를 얻을 수 있습니다.
$$\begin{align*} \int \frac{\sqrt{x + 4}}{x} \; dx &= \int \frac{u}{u^{2} - 4} 2u \; du \\ &= \int \frac{2u^{2}}{u^{2} - 4} \; du \\ &= 2\int \left(1 + \frac{4}{u^{2} - 4}\right) \; du \\ &= 2 \left( \int 1 \; du + \int \frac{4}{u^{2} - 4} \; du \right) \\ &= 2 \left(\sqrt{x + 4} + \ln\left|\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{\sqrt{x + 4} + 2}\right|\right) + C \\ &= 2\sqrt{x + 4} + \ln \left|\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{\sqrt{x + 4} + 2}\right| + C\end{align*}$$
여기서 $C = C_{1} + C_{2}$로 적분상수를 의미합니다. 유리화의 핵심은 무리함수가 계산하기 복잡하기 때문에 치환적분을 통해 유리함수로 바꾸어줌으로써 계산을 쉽게 하는 데 있습니다.
연습문제1. 주어진 적분을 계산하라.
(a). $\int \frac{x}{x - 6} \; dx$
(b). $\int \frac{x^{2}}{x + 4} \; dx$
(c). $\int \frac{x - 9}{(x + 5)(x - 2)} \; dx$
(d). $\int \frac{1}{(x + 4)(x - 1)} \; dx$
(a). $\int \frac{x}{x - 6} \; dx$
분자의 차수가 분모의 차수보다 같으므로 먼저 분자를 분모로 나누어준다.
$$\begin{align*} \frac{x}{x - 6} = 1 + \frac{6}{x - 6} \end{align*}$$
이제 이 식을 적분한다.
$$\begin{align*} \int \frac{x}{x - 6} \; dx &= \int \left( 1 + \frac{6}{x - 6} \right) \; dx \\ &= x + 6\ln|x - 6| + C \end{align*}$$
(b). $\int \frac{x^{2}}{x + 4} \; dx$
분자의 차수가 분모의 차수보다 크므로 먼저 분자를 분모로 나누어준다.
$$\begin{align*} \frac{x^{2}}{x + 4} = x - 4+ \frac{16}{x + 4} \end{align*}$$
이제 이 식을 적분한다.
$$\begin{align*} \int \frac{x^{2}}{x + 4} \; dx &= \int \left( x - 4 + \frac{16}{x + 4} \right) \; dx \\ &= \frac{1}{2}x^{2} - 4x + 16\ln|x + 4| + C \end{align*}$$
(c). $\int \frac{x - 9}{(x + 5)(x - 2)} \; dx$
분자의 차수가 분모의 차수보다 작으므로 먼저 부분분수법을 이용해서 주어진 유리함수를 분해한다.
$$\begin{align*} \frac{x - 9}{(x + 5)(x - 2)} &= \frac{A}{x + 5} + \frac{B}{x - 2} \Rightarrow& x - 9 = A(x - 2) + B(x + 5) = (A + B)x + (-2A + 5B) \end{align*}$$
따라서, 두 상수 $A$와 $B$에 대해 다음의 연립방정식을 얻을 수 있다.
$$\begin{cases} A + B &= 1 \\ -2A + 5B &= -9 \end{cases}$$
위 연립방정식을 풀면 $A = 2$이고 $B = -1$을 얻을 수 있으므로 주어진 유리함수는 다음과 같이 분해하여 적분한다.
$$\begin{align*} \int \frac{x - 9}{(x + 5)(x - 2)} \; dx &= \int \left( \frac{2}{x + 5} - \frac{1}{x - 2} \right) \; dx \\ &= 2\ln|x + 5| - \ln|x - 2| + C \end{align*}$$
(d). $\int \frac{1}{(x + 4)(x - 1)} \; dx$
분자의 차수가 분모의 차수보다 작으므로 먼저 부분분수법을 이용해서 주어진 유리함수를 분해한다.
$$\begin{align*} \frac{1}{(x + 4)(x - 1)} &= \frac{A}{x + 4} + \frac{B}{x - 1} \Rightarrow& 1 = A(x - 1) + B(x + 4) = (A + B)x + (-A + 4B) \end{align*}$$
따라서, 두 상수 $A$와 $B$에 대해 다음의 연립방정식을 얻을 수 있다.
$$\begin{cases} A + B &= 0 \\ -A + 4B &= 1 \end{cases}$$
위 연립방정식을 풀면 $A = -\frac{1}{5}$이고 $B = \frac{1}{5}$을 얻을 수 있으므로 주어진 유리함수는 다음과 같이 분해하여 적분한다.
$$\begin{align*} \int \frac{1}{(x + 4)(x - 1)} \; dx &= \int \left( -\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x + 4} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x - 1} \right) \; dx \\ &= \frac{1}{5} \left( -\ln|x + 4| + \ln|x - 1| \right) + C \\ &= \frac{1}{5} \ln |\frac{x - 1}{x + 4}| + C\end{align*}$$
연습문제2. 주어진 적분을 계산하라.
(a). $\int_{2}^{3} \frac{1}{x^{2} - 1} \; dx$
(b). $\int_{0}^{1} \frac{x - 1}{x^{2} + 3x + 2} \; dx$
(c). $\int \frac{ax}{x^{2} - bx} \; dx$
(d). $\int \frac{1}{(x + a)(x + b)} \; dx$
(e). $\int_{3}^{4} \frac{x^{3} - 2x^{2} - 4}{x^{3} - 2x^{2}} \; dx$
(f). $\int_{0}^{1} \frac{x^{3} - 4x - 10}{x^{2} - x - 6} \; dx$
(g). $\int_{1}^{2} \frac{4x^{2} - 7x - 12}{x(x + 2)(x - 3)} \; dx$
(h). $\int \frac{x^{2} + 2x - 1}{x^{3} - x} \; dx$
(a). $\int_{2}^{3} \frac{1}{x^{2} - 1} \; dx$
분자의 차수가 분모의 차수보다 작으므로 먼저 부분분수법을 이용해서 주어진 유리함수를 분해한다.
$$\begin{align*} \frac{1}{x^{2} - 1} &= \frac{1}{(x + 1)(x - 1)} \\ &= \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1} \Rightarrow& 1 = A(x - 1) + B(x + 1) = (A + B)x + (-A + B) \end{align*}$$
따라서, 두 상수 $A$와 $B$에 대해 다음의 연립방정식을 얻을 수 있다.
$$\begin{cases} A + B &= 0 \\ -A + B &= 1 \end{cases}$$
위 연립방정식을 풀면 $A = -\frac{1}{2}$이고 $B = \frac{1}{2}$을 얻을 수 있으므로 주어진 유리함수는 다음과 같이 분해하여 적분한다.
$$\begin{align*} \int_{2}^{3} \frac{1}{x^{2} - 1} \; dx &= \int_{2}^{3} \left( -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1} \right) \; dx \\ &= \frac{1}{2} \left[ -\ln|x + 1| + \ln|x - 1| \right]_{2}^{3} \\ &= \frac{1}{2} \left[ \ln |\frac{x - 1}{x + 1}| \right]_{2}^{3} \\ &= \frac{1}{2} \left( \ln \frac{2}{4} - \ln \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{2} \ln \frac{3}{2} \end{align*}$$
(b). $\int_{0}^{1} \frac{x - 1}{x^{2} + 3x + 2} \; dx$
분자의 차수가 분모의 차수보다 작으므로 먼저 부분분수법을 이용해서 주어진 유리함수를 분해한다.
$$\begin{align*} \frac{x - 1}{x^{2} + 3x + 2} &= \frac{x - 1}{(x + 2)(x + 1)} \\ &= \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x + 1} \Rightarrow& x - 1 = A(x + 1) + B(x + 2) = (A + B)x + (A + 2B) \end{align*}$$
따라서, 두 상수 $A$와 $B$에 대해 다음의 연립방정식을 얻을 수 있다.
$$\begin{cases} A + B &= 1 \\ A + 2B &= -1 \end{cases}$$
위 연립방정식을 풀면 $A = -2$이고 $B = 3$을 얻을 수 있으므로 주어진 유리함수는 다음과 같이 분해하여 적분한다.
$$\begin{align*} \int_{0}^{1} \frac{x - 1}{x^{2} + 3x + 2} \; dx &= \int_{0}^{1} \left( \frac{-2}{x + 1} + \frac{3}{x + 2} \right) \; dx \\ &=\left[ -2\ln|x + 1| + 3\ln|x + 2| \right]_{0}^{1} \\ &= \left( -2\ln2 + 3\ln3 \right) - (-2\ln2 + 3\ln2) = 3\ln3 - 5\ln2 \end{align*}$$
(c). $\int \frac{ax}{x^{2} - bx} \; dx$
분자가 분모의 인수에 의해 약분되므로 다음과 같이 적분할 수 있다.
$$\begin{align*} \int \frac{ax}{x^{2} - bx} \; dx \\ &= \int \frac{ax}{x(x - b)} \; dx \\ &= \int \frac{a}{x - b} \; dx \\ &= a\ln|x - b| + C \end{align*}$$
(d). $\int \frac{1}{(x + a)(x + b)} \; dx$
분자의 차수가 분모의 차수보다 작으므로 먼저 부분분수법을 이용해서 주어진 유리함수를 분해한다.
$$\begin{align*} \frac{x - 1}{(x + a)(x + b)} &= \frac{A}{x + a} + \frac{B}{x + b} \Rightarrow& 1 = A(x + b) + B(x + a) = (A + B)x + (bA + aB) \end{align*}$$
따라서, 두 상수 $A$와 $B$에 대해 다음의 연립방정식을 얻을 수 있다.
$$\begin{cases} A + B &= 0 \\ bA + aB &= 1 \end{cases}$$
위 연립방정식을 풀면 $A = \frac{1}{b - a}$이고 $B = -\frac{1}{b - a}$을 얻을 수 있으므로 주어진 유리함수는 다음과 같이 분해하여 적분한다.
$$\begin{align*} \int \frac{1}{(x + a)(x + b)} \; dx &= \int \left( \frac{1}{b - a} \cdot \frac{1}{x + a} + \frac{1}{b - a} \cdot \frac{1}{x + b} \right) \; dx \\ &=\frac{\ln|x + a| + \ln|x - b|}{b-a} = \frac{\ln|(x - a)(x - b)|}{b - a} \end{align*}$$
(e). $\int_{3}^{4} \frac{x^{3} - 2x^{2} - 4}{x^{3} - 2x^{2}} \; dx$
분자의 차수가 분모의 차수와 같으므로 먼저 분자를 분모로 나누어준다.
$$\frac{x^{3} - 2x^{2} - 4}{x^{3} - 2x^{2}} = 1 - \frac{4}{x^{3} - 2x^{2}} = 1 - \frac{4}{x^{2}(x - 2)}$$
이제, 유리함수 $\frac{4}{x^{2}(x - 2)}$를 부분분수법을 이용해서 더 낮은 차수의 분수로 분해할 수 있다.
$$\begin{align*} \frac{4}{x^{2}(x - 2)} &= \frac{Ax + B}{x^{2}} + \frac{C}{x - 2} \\ \Rightarrow& 1 = (Ax + B)(x - 2) + Cx^{2} \\ &= Ax^{2} - 2Ax + Bx - 2B + Cx^{2} \\ &= (A + C)x^{2} + (-2A + B)x - 2B \end{align*}$$
따라서, 세 상수 $A, B, C$에 대해 다음의 연립방정식을 얻을 수 있다.
$$\begin{cases} A + C &= 0 \\ -2A + B &= 1 \\ -2B = 4 \end{cases}$$
위 연립방정식을 풀면 $(A, B, C) = (-1, -2, 1)$이므로 주어진 유리함수에 대해서 다음과 같이 분해하여 적분할 수 있다.
$$\begin{align*} \int_{3}^{4} \frac{x^{3} - 2x^{2} - 4}{x^{3} - 2x^{2}} \; dx &= \int_{3}^{4} \left( 1 - \frac{4}{x^{2}(x - 2)} \right) \; dx \\ &= \int_{3}^{4} \left(1 + \frac{x + 2}{x^{2}} - \frac{1}{x - 2} \right) \; dx \\ &= \int_{3}^{4} \left( 1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{x - 2} \right) \; dx \\ &= \left[ x + \ln|x| - \frac{2}{x} - \ln|x - 2| \right]_{3}^{4} \\ &= \left(4 + \ln 4 - \frac{1}{2} - \ln 2 \right) - \left( 3 + \ln 3 - \frac{2}{3} - \ln 1 \right) = \frac{7}{6} + \ln \frac{2}{3} \end{align*}$$
(f). $\int_{0}^{1} \frac{x^{3} - 4x - 10}{x^{2} - x - 6} \; dx$
분자의 차수가 분모의 차수보다 크므로 먼저 분자를 분모로 나누어준다.
$$\frac{x^{3} - 4x - 10}{x^{2} - x - 6} = (x + 1) + \frac{3x - 4}{x^{2} - x - 6} = (x + 1) + \frac{3x - 4}{(x - 3)(x + 2)}$$
이제, 유리함수 $\frac{3x - 4}{(x - 3)(x + 2)}$를 더 낮은 차수의 분수로 분해할 수 있다.
$$\begin{align*} \frac{3x - 4}{(x - 3)(x + 2)} &= \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x + 2} \\ \Rightarrow& 3x - 4 = A(x + 2) + B(x - 3) \\ &= (A + B)x + (2A - 3B) \end{align*}$$
따라서, 두 상수 $A, B$에 대해 다음의 연립방정식을 얻을 수 있다.
$$\begin{cases} A + B &= 3 \\ 2A - 3B &= -4 \end{cases}$$
위 연립방정식을 풀면 $(A, B) = (1, 2)$이므로 주어진 유리함수에 대해 다음과 같이 분해하여 적분할 수 있다.
$$\begin{align*} \int_{0}^{1} \frac{x^{3} - 4x - 10}{x^{2} - x - 6} \; dx &= \int_{0}^{1} \left( x + 1 + \frac{3x - 4}{(x - 3)(x + 2)} \right) \; dx \\ &= \int_{0}^{1} \left( x + 1 + \frac{1}{x - 3} + \frac{2}{x + 2} \right) \; dx \\ &= \left[ \frac{1}{2}x^{2} + x + \ln|x - 3| + 2\ln|x + 2| \right]_{0}^{1} \\ &= \left( \frac{1}{2} + 1 + \ln 2 + 2\ln 3 \right) - \left(0 + 0 + \ln 3 + 2\ln 2\right) \\ &= \frac{3}{2} + \ln \frac{3}{2} \end{align*}$$
(g). $\int_{1}^{2} \frac{4x^{2} - 7x - 12}{x(x + 2)(x - 3)} \; dx$
분자의 차수가 분모의 차수보다 작으므로 바로 부분분수법을 적용하여 식을 분해할 수 있다. 먼저, $f(x) = \frac{4x^{2} - 7x - 12}{x(x + 2)(x - 3)}$이라고 할 때 3개의 상수 $A, B, C$에 대해 우리는 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$f(x) = \frac{4x^{2} - 7x - 12}{x(x + 2)(x - 3)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x + 2} + \frac{C}{x - 3}$$
이제, 양변에 $x(x + 2)(x - 3)$을 곱한 뒤 식을 정리한다.
$$\begin{align*} 4x^{2} - 7x - 12 &= A(x + 2)(x - 3) + Bx(x - 3) + Cx(x + 2) \\ &= A(x^{2} - x - 6) + B(x^{2} - 3x) + C(x^{2} + 2x) \\ &= (A + B + C) x^{2} + (-A - 3B + 2C)x - 6A \end{align*}$$
따라서, 우리는 3개의 상수 $A, B, C$에 대해 다음의 연립방정식을 얻을 수 있다.
$$\begin{cases} A + B + C &= 4 \\ -A - 3B + 2C &= -7 \\ -6A = -12 \end{cases}$$
위 연립방정식을 풀면 $(A, B, C) = (2, -9, 11)$이므로 주어진 유리함수에 대해서 다음과 같이 분해하여 적분할 수 있다.
$$\begin{align*} \int_{1}^{2} \frac{4x^{2} - 7x - 12}{x(x + 2)(x - 3)} \; dx &= \int_{1}^{2} \left( \frac{2}{x} - \frac{9}{x + 2} + \frac{11}{x - 3} \right) \\ &= \left[ 2\ln|x| - 9\ln|x + 2| + 11\ln|x - 3| \right]_{1}^{2} \\ &= \left( 2\ln 2 - 9\ln 4 + 11\ln 1 \right) - \left( 2\ln 1 - 9\ln 3 + 11 \ln 2 \right) = 9\ln 3 - 27\ln 2 \end{align*}$$
(h). $\int \frac{x^{2} + 2x - 1}{x^{3} - x} \; dx$
분자의 차수가 분모의 차수보다 작으므로 바로 부분분수법을 적용하여 식을 분해할 수 있다. 먼저, $f(x) = \frac{x^{2} + 2x - 1}{x^{3} - x} = \frac{x^{2} + 2x - 1}{x(x + 1)(x - 1)}$이라고 할 때, 3개의 상수 $A, B, C$에 대해 우리는 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$f(x) = \frac{x^{2} + 2x - 1}{x(x + 1)(x - 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 1}$$
이제, 양변에 $x(x + 1)(x - 1)$을 곱한 뒤 식을 정리한다.
$$\begin{align*} x^{2} + 2x - 1 &= A(x + 1)(x - 1) + Bx(x - 1) + Cx(x + 1) \\ &= A(x^{2} - 1) + B(x^{2} - x) + C(x^{2} + x) \\ &= (A + B + C) x^{2} + (-B + C)x - A\end{align*}$$
위 연립방정식을 풀면 $(A, B, C) = (1, -1, 1)$이므로 주어진 유리함수에 대해서 다음과 같이 분해하여 적분할 수 있다.
$$\begin{align*} \int \frac{x^{2} + 2x - 1}{x^{3} - x} \; dx &= \int \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1} \right) \; dx \\ &= \ln|x| - \ln|x + 1| + \ln|x - 1| + C = \ln \left| \frac{x(x - 1)}{x + 1} \right| + C \end{align*}$$
연습문제3. 주어진 적분을 계산하라.
(a). $\int \frac{1}{(x + 5)^{2}(x - 1)} \; dx$
(b). $\int \frac{x^{2} - 5x + 16}{(2x + 1)(x - 2)^{2}} \; dx$
(c). $\int \frac{x^{3} + 4}{x^{2} + 4} \; dx$
(d). $\int \frac{5x^{2} + 3x - 2}{x^{3} + 2x^{2}} \; dx$
(e). $\int \frac{x^{2} - x + 6}{x^{3} + 3x} \; dx$
(f). $\int \frac{10}{(x - 1)(x^{2} + 9)} \; dx$
(g). $\int \frac{x^{2} + x + 1}{(x^{2} + 1)^{2}} \; dx$
(h). $\int \frac{x^{3} + x^{2} + 2x + 1}{(x^{2} + 1)(x^{2} + 2)} \; dx$
(i). $\int \frac{x^{2} - 2x - 1}{(x - 1)^{2}(x^{2} + 1)} \; dx$
(a). $\int \frac{1}{(x + 5)^{2}(x - 1)} \; dx$
분자의 차수가 분모의 차수보다 작으므로 바로 부분분수법을 적용해서 식을 분해할 수 있다. 먼저, $f(x) = \frac{1}{(x + 5)^{2}(x - 1)}$이라고 하면 3개의 상수 $A, B, C$에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$f(x) = \frac{1}{(x + 5)^{2}(x - 1)} = \frac{A}{x + 5} + \frac{B}{(x + 5)^{2}} + \frac{C}{x - 1}$$
이제 양변에 $(x + 5)^{2}(x - 1)$을 곱한 뒤 식을 정리한다.
$$\begin{align*} 1 &= A(x + 5)(x - 1) + B(x - 1) + C(x + 5)^{2} \\ &= A(x^{2} + 4x - 5) + B(x - 1) + C(x^{2} + 10x + 25) \\ &= (A + C)x^{2} + (4A + B + 10C)x + (-5A - B + 25C) \end{align*}$$
따라서, 우리는 3개의 상수 $A, B, C$에 대해 다음과 같은 연립방정식을 얻을 수 있다.
$$\begin{cases} A + C &= 0 \\ 4A + B - 10C &= 0 \\ 4A - B + 25C &= 1 \end{cases}$$
위 연립방정식을 풀면 $(A, B, C) = (-\frac{1}{15}, \frac{14}{15}, \frac{1}{15})$이므로 주어진 유리함수에 대해서 다음과 같이 분해하여 적분할 수 있다.
$$\begin{align*} \int \frac{1}{(x + 5)^{2}(x - 1)} \; dx &= \int \left( -\frac{1}{15} \cdot \frac{1}{x + 5} + \frac{14}{15} \cdot \frac{1}{(x + 5)^{2}} + \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{x - 1} \right) \; dx \\ &= -\frac{1}{15} \ln|x + 5| - \frac{14}{15} \cdot \frac{1}{x + 5} + \frac{1}{15} \ln|x - 1| + C\\ &= \frac{1}{15} \ln \left| \frac{x - 1}{x + 5} \right| -\frac{14}{15} \cdot \frac{1}{x + 5} + C \end{align*}$$
(b). $\int \frac{x^{2} - 5x + 16}{(2x + 1)(x - 2)^{2}} \; dx$
분자의 차수가 분모의 차수보다 작으므로 바로 부분분수법을 적용해서 식을 분해할 수 있다. 먼저, $f(x) = \frac{x^{2} - 5x + 16}{(2x + 1)(x - 2)^{2}}$이라고 하면 3개의 상수 $A, B, C$에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$f(x) = \frac{x^{2} - 5x + 16}{(2x + 1)(x - 2)^{2}} = \frac{A}{2x + 1} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{(x - 2)^{2}}$$
이제 양변에 $(2x + 1)(x - 2)^{2}$을 곱한 뒤 식을 정리한다.
$$\begin{align*} x^{2} - 5x + 16 &= A(x - 2)^{2} + B(2x + 1)(x - 2) + C(2x + 1) \\ &= A(x^{2} - 4x + 4) + B(2x^{2} - 3x - 2) + C(2x + 1) \\ &= (A + 2B)x^{2} + (-4A - 3B + 2C)x + (4A - 2B + C) \end{align*}$$
따라서, 우리는 3개의 상수 $A, B, C$에 대해 다음과 같은 연립방정식을 얻을 수 있다.
$$\begin{cases} A + 2B &= 1 \\ -4A - 3B + 2C &= -5 \\ 4A - 2B + C &= 16 \end{cases}$$
위 연립방정식을 풀면 $(A, B, C) = (3, -1, -2)$이므로 주어진 유리함수에 대해서 다음과 같이 분해하여 적분할 수 있다.
$$\begin{align*} \int \frac{x^{2} - 5x + 16}{(2x + 1)(x - 2)^{2}} \; dx &= \int \left( \frac{3}{2x + 1} - \frac{1}{x - 2} - \frac{2}{(x - 2)^{2}} \right) \; dx \\ &= 3\ln|2x + 1| - 2\ln|x - 2| + \frac{2}{x - 2} + C \end{align*}$$
(c). $\int \frac{x^{3} + 4}{x^{2} + 4} \; dx$
분자의 차수가 분모의 차수보다 크므로 먼저 분자를 분모로 나누어 식을 정리하면 $\frac{x^{3} + 4}{x^{2} + 4} = x - 4\frac{x}{x^{2} + 4} + \frac{4}{x^{2} + 4}$이다. 이때, $x^{2} + 4$는 인수분해가 되지 않으므로 부분분수법을 쓸 수 없으므로 $\int \frac{1}{x^{2} + a^{2}} \; dx = \frac{1}{a}\arctan(\frac{x}{a}) + C$를 이용해서 적분해야한다.
$$\begin{align*} \int \frac{x^{3} + 4}{x^{2} + 4} \; dx &= \int \left( x - 4\frac{x}{x^{2} + 4} + \frac{4}{x^{2} + 4} \right) \; dx \\ &= \frac{1}{2}x^{2} - 2\ln|x^{2} + 4| + 2\arctan\left( \frac{x}{2} \right) + C \end{align*}$$
(d). $\int \frac{5x^{2} + 3x - 2}{x^{3} + 2x^{2}} \; dx$
분자의 차수가 분모의 차수보다 작으므로 바로 부분분수법을 적용해서 식을 분해할 수 있다. 먼저, $f(x) = \frac{5x^{2} + 3x - 2}{x^{3} + 2x^{2}} = \frac{5x^{2} + 3x - 2}{x^{2}(x + 2)}$이라고 하면 4개의 상수 $A, B, C$에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$f(x) = \frac{5x^{2} + 3x - 2}{x^{2}(x + 2)} = \frac{Ax + B}{x^{2}} + \frac{C}{x + 2}$$
이제 양변에 $x^{2}(x + 2)$을 곱한 뒤 식을 정리한다.
$$\begin{align*} 5x^{2} + 3x - 2 &= (Ax + B)(x + 2) + Cx^{2} \\ &= (Ax^{2} +2Ax + Bx + 2B) + Cx^{2} \\ &= (A + C)x^{2} + (2A + B)x + 2B \end{align*}$$
따라서, 우리는 3개의 상수 $A, B, C$에 대해 다음과 같은 연립방정식을 얻을 수 있다.
$$\begin{cases} A + C &= 5 \\ 2A + B &= 3 \\ 2B &= -2 \end{cases}$$
위 연립방정식을 풀면 $(A, B, C) = (2, -1, 3)$이므로 주어진 유리함수에 대해서 다음과 같이 분해하여 적분할 수 있다.
$$\begin{align*} \int \frac{5x^{2} + 3x - 2}{x^{2}(x + 2)} \; dx &= \int \left( \frac{2x - 1}{x^{2}} + \frac{3}{x + 2} \right) \; dx \\ &= \int \left( \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{x + 2} \right) \; dx \\ &= 2\ln|x| + \frac{1}{x} + 3\ln|x + 2| + C \end{align*}$$
(e). $\int \frac{x^{2} - x + 6}{x^{3} + 3x} \; dx$
분자의 차수가 분모보다 작으므로 바로 부분분수법을 적용해서 식을 분해할 수 있다. 먼저, $f(x) = \frac{x^{2} - x + 6}{x^{3} + 3x} = \frac{x^{2} - x + 6}{x(x^{2} + 3)}$이라고 하면 3개의 상수 $A, B, C$에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$f(x) = \frac{x^{2} - x + 6}{x(x^{2} + 3)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^{2} + 3}$$
이제 양변에 $x(x^{2} + 3)$을 곱한 뒤 식을 정리한다.
$$\begin{align*} x^{2} - x + 6 &= A(x^{2} + 3) + (Bx + C)x \\ &= (Ax^{2} + 3A) + (Bx^{2} + Cx) \\ &= (A + B)x^{2} + Cx + A \end{align*}$$
따라서, 우리는 3개의 상수 $A, B, C$에 대해 다음과 같은 연립방정식을 얻을 수 있다.
$$\begin{align*} A + B &= 1 \\ C &= -1 \\ 3A &= 6 \end{align*}$$
위 연립방정식을 풀면 $(A, B, C) = (2, -1, -1)$이므로 주어진 유리함수에 대해서 다음과 같이 분해하여 적분할 수 있다.
$$\begin{align*} \in \frac{x^{2} - x + 6}{x^{3} + 3x} \; dx &= \int \left( \frac{2}{x} - \frac{x + 1}{x^{2} + 3} \right) \; dx \\ &= \int \left( \frac{2}{x} - \frac{x}{x^{2} + 3} - \frac{1}{x^{2} + 3} \right) \; dx \\ &= 2\ln|x| - \frac{1}{2}\ln|x^{2} + 3| - \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan \left( \frac{x}{\sqrt{3}} \right) \end{align*}$$
(f). $\int \frac{10}{(x - 1)(x^{2} + 9)} \; dx$
분자의 차수가 분모보다 작으므로 바로 부분분수법을 적용해서 식을 분해할 수 있다. 먼저, $f(x) = \frac{10}{(x - 1)(x^{2} + 9)}$이라고 하면 3개의 상수 $A, B, C$에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$f(x) = \frac{10}{(x - 1)(x^{2} + 9)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{Bx + C}{x^{2} + 9}$$
이제 양변에 $(x - 1)(x^{2} + 9)$을 곱한 뒤 식을 정리한다.
$$\begin{align*} 10 &= A(x^{2} + 9) + (Bx + C)(x - 1) \\ &= (Ax^{2} + 9A) + (Bx^{2} - Bx + Cx - C) \\ &= (A + B)x^{2} + (-B + C)x + (9A - C) \end{align*}$$
따라서, 우리는 3개의 상수 $A, B, C$에 대해 다음과 같은 연립방정식을 얻을 수 있다.
$$\begin{align*} A + B &= 0 \\ -B + C &= 0 \\ 9A - C &= 10 \end{align*}$$
위 연립방정식을 풀면 $(A, B, C) = (1, -1, -1)$이므로 주어진 유리함수에 대해서 다음과 같이 분해하여 적분할 수 있다.
$$\begin{align*} \in \frac{10}{(x - 1)(x^{2} + 9)} \; dx &= \int \left( \frac{1}{x - 1} - \frac{x + 1}{x^{2} + 9} \right) \; dx \\ &= \int \left( \frac{1}{x - 1} - \frac{x}{x^{2} + 9} - \frac{1}{x^{2} + 9} \right) \; dx \\ &= \ln|x - 1| - \frac{1}{2}\ln|x^{2} + 9| - \frac{1}{3}\arctan \left( \frac{x}{3} \right) \end{align*}$$
(g). $\int \frac{x^{2} + x + 1}{(x^{2} + 1)^{2}} \; dx$
분자의 차수가 분모보다 작으므로 바로 부분분수법을 적용해서 식을 분해할 수 있다. 먼저, $f(x) = \frac{x^{2} + x + 1}{(x^{2} + 1)^{2}}$이라고 하면 4개의 상수 $A, B, C, D$에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$f(x) = \frac{x^{2} + x + 1}{(x^{2} + 1)^{2}} = \frac{Ax + B}{x^{2} + 1} + \frac{Cx + D}{(x^{2} + 1)^{2}}$$
이제 양변에 $(x^{2} + 1)^{2}$을 곱한 뒤 식을 정리한다.
$$\begin{align*} x^{2} + x + 1 &= (Ax + B)(x^{2} + 1) + (Cx + D) \\ &= (Ax^{3} + Ax + Bx^{2} + B) + (Cx + D) \\ &= Ax^{3} + Bx^{2} + (A + C)x + (B + D) \end{align*}$$
따라서, 우리는 4개의 상수 $A, B, C, D$에 대해 다음과 같은 연립방정식을 얻을 수 있다.
$$\begin{align*} A &= 0 \\ B &= 1 \\ A + C &= 1 \\ B + D &= 1 \end{align*}$$
위 연립방정식을 풀면 $(A, B, C, D) = (0, 1, 1, 0)$이므로 주어진 유리함수에 대해서 다음과 같이 분해하여 적분할 수 있다.
$$\begin{align*} \in \frac{x^{2} + x + 1}{(x^{2} + 1)^{2}} \; dx &= \int \left( \frac{1}{x^{2} + 1} + \frac{x}{(x^{2} + 1)^{2}} \right) \; dx \\ &= \arctan(x) - \frac{1}{2(x^{2} + 1)} + C \end{align*}$$
(h). $\int \frac{x^{3} + x^{2} + 2x + 1}{(x^{2} + 1)(x^{2} + 2)} \; dx$
분자의 차수가 분모보다 작으므로 바로 부분분수법을 적용해서 식을 분해할 수 있다. 먼저, $f(x) = \frac{x^{3} + x^{2} + 2x + 1}{(x^{2} + 1)(x^{2} + 2)}$이라고 하면 4개의 상수 $A, B, C, D$에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$f(x) = \frac{x^{3} + x^{2} + 2x + 1}{(x^{2} + 1)(x^{2} + 2)} = \frac{Ax + B}{x^{2} + 1} + \frac{Cx + D}{x^{2} + 2}$$
이제 양변에 $(x^{2} + 1)(x^{2} + 2)$을 곱한 뒤 식을 정리한다.
$$\begin{align*} x^{3} + x^{2} + 2x + 1 &= (Ax + B)(x^{2} + 2) + (Cx + D)(x^{2} + 2) \\ &= (Ax^{3} + 2Ax + Bx^{2} + 2B) + (Cx^{3} + Cx + Dx^{2} + D) \\ &= (A + C)x^{3} + (B + D)x^{2} + (2A + C)x + (2B + D) \end{align*}$$
따라서, 우리는 4개의 상수 $A, B, C, D$에 대해 다음과 같은 연립방정식을 얻을 수 있다.
$$\begin{align*} A + C &= 1 \\ B + D &= 1 \\ 2A + C &= 2 \\ 2B + D &= 1 \end{align*}$$
위 연립방정식을 풀면 $(A, B, C, D) = (1, 0, 0, 1)$이므로 주어진 유리함수에 대해서 다음과 같이 분해하여 적분할 수 있다.
$$\begin{align*} \in \frac{x^{3} + x^{2} + 2x + 1}{(x^{2} + 1)(x^{2} + 2)} \; dx &= \int \left( \frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x^{2} + 2} \right) \; dx \\ &= \frac{1}{2}\ln|x^{2} + 1| - \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan \left( \frac{x}{\sqrt{2}} \right) + C \end{align*}$$
(i). $\int \frac{x^1. $\int \frac{1}{x} \; dx = \ln|x| + C_{1}${2} - 2x - 1}{(x - 1)^{2}(x^{2} + 1)} \; dx$
분자의 차수가 분모보다 작으므로 바로 부분분수법을 적용해서 식을 분해할 수 있다. 먼저, $f(x) = \frac{x^{2} - 2x - 1}{(x - 1)^{2}(x^{2} + 1)}$이라고 하면 4개의 상수 $A, B, C, D$에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$f(x) = \frac{x^{2} - 2x - 1}{(x - 1)^{2}(x^{2} + 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{(x - 1)^{2}} + \frac{Cx + D}{x^{2} + 1}$$
이제 양변에 $(x - 1)^{2}(x^{2} + 1)$을 곱한 뒤 식을 정리한다.
$$\begin{align*} x^{2} - 2x - 1 &= A(x - 1)(x^{2} + 1) + B(x^{2} + 1) + (Cx + D)(x - 1)^{2} \\ &= A(x^{3} - x^{2} + x - 1) + B(x^{2} + 1) + (Cx + D)(x^{2} - 2x + 1) \\ &= (A + C)x^{3} + (-A + B - 2C + D)x^{2} + (A + C - 2D)x + (-A + B + D) \end{align*}$$
따라서, 우리는 4개의 상수 $A, B, C, D$에 대해 다음과 같은 연립방정식을 얻을 수 있다.
$$\begin{align*} A + C &= 0 \\ -A + B - 2C + D &= 1 \\ A + C - 2D &= -2 \\ -A + B + D &= -1 \end{align*}$$
위 연립방정식을 풀면 $(A, B, C, D) = (1, -1, -1, 1)$이므로 주어진 유리함수에 대해서 다음과 같이 분해하여 적분할 수 있다.
$$\begin{align*} \in \frac{x^{2} - 2x - 1}{(x - 1)^{2}(x^{2} + 1)} \; dx &= \int \left( \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{(x - 1)^{2}} - \frac{x - 1}{x^{2} + 1} \right) \; dx \\ &= \int \left( \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{(x - 1)^{2}} - \frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x^{2} + 1} \right) \\ &= \ln|x - 1| + \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{2}\ln|x^{2} + 1| + \arctan(x) + C \end{align*}$$
연습문제4. 주어진 적분을 계산하라.
(a). $\int \frac{x + 4}{x^{2} + 2x + 5} \; dx$
(b). $\int \frac{3x^{2} + x + 4}{x^{4} + 3x^{2} + 2} \; dx$
(c). $\int \frac{1}{x^{3} - 1} \; dx$
(d). $\int \frac{x}{x^{2} + 4x + 13} \; dx$
(e). $\int_{0}^{1} \frac{x^{3} + 2x}{x^{4} + 4x^{2} + 3} \; dx$
(f). $\int \frac{x^{3}}{x^{3} + 1} \; dx$
(g). $\int \frac{1}{x(x^{2} + 4)^{2}} \; dx$
(h). $\int \frac{x^{4} + 3x^{2} + 1}{x^{5} + 5x^{3} + 5x} \; dx$
(i). $\int \frac{x^{2} - 3x + 7}{(x^{2} - 4x + 6)^{2}} \; dx$
(a). $\int \frac{x + 4}{x^{2} + 2x + 5} \; dx$
분자의 차수가 분모보다 작지만 분모가 인수분해가 되지 않으므로 완전제곱식과 치환적분법을 적용해야한다. 이를 위해, $f(x) = \frac{x + 4}{x^{2} + 2x + 5} = \frac{x + 4}{(x^{2} + 2x + 1) + 4} = \frac{x + 4}{(x + 1)^{2} + 4}$라고 두면 분모를 완전제곱식의 형태로 바꿀 수 있다. 이제, $x + 1 = u$라고 두면 $dx = du$이므로 다음과 같이 적분할 수 있다.
$$\begin{align*} \int \frac{x + 4}{x^{2} + 2x + 5} \; dx &= \int \frac{x + 4}{(x + 1)^{2} + 4} \; dx \\ &= \int \frac{u + 3}{u^{2} + 4} \; du \\ &= \int \left( \frac{u}{u^{2} + 4} + \frac{3}{u^{2} + 4} \right) \; du \\ &= \frac{1}{2}\ln|u^{2} + 4| + \frac{3}{2}\arctan \left( \frac{u}{2} \right) + C \\ &= \frac{1}{2} \ln |x^{2} + 2x + 5| + \frac{3}{2} \arctan \left( \frac{1}{2}(x + 1) \right) + C \end{align*}$$
(b). $\int \frac{3x^{2} + x + 4}{x^{4} + 3x^{2} + 2} \; dx$
분자의 차수가 분모보다 작으므로 바로 부분분수법을 적용해서 식을 분해할 수 있다. 먼저, $f(x) = \frac{3x^{2} + x + 4}{x^{4} + 3x^{2} + 2} = \frac{3x^{2} + x + 4}{(x^{2} + 1)(x^{2} + 2)}$이라고 하면 4개의 상수 $A, B, C, D$에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$f(x) = \frac{3x^{2} + x + 4}{(x^{2} + 1)(x^{2} + 2)} = \frac{Ax + B}{x^{2} + 1} + \frac{Cx + D}{x^{2} + 2}$$
이제 양변에 $(x^{2} + 1)(x^{2} + 2)$을 곱한 뒤 식을 정리한다.
$$\begin{align*} 3x^{2} + x + 4 &= (Ax + B)(x^{2} + 2) + (Cx + D)(x^{2} + 2) \\ &=(Ax^{3} + Ax + Bx^{2} + B) + (Cx^{3} + 2Cx + Dx^{2} + 2D) \\ &= (A + C)x^{3} + (B + D)x^{2} + (A + 2C)x + (B + 2D) \end{align*}$$
따라서, 우리는 4개의 상수 $A, B, C, D$에 대해 다음과 같은 연립방정식을 얻을 수 있다.
$$\begin{align*} A + C &= 0 \\ B + D &= 3 \\ A + 2C &= 1 \\ B + 2D &= 4 \end{align*}$$
위 연립방정식을 풀면 $(A, B, C, D) = (-1, 2, 1, 1)$이므로 주어진 유리함수에 대해서 다음과 같이 분해하여 적분할 수 있다.
$$\begin{align*} \int \frac{3x^{2} + x + 4}{x^{4} + 3x^{2} + 2} \; dx &= \int \frac{3x^{2} + x + 4}{(x^{2} + 1)(x^{2} + 2)} \; dx \\ &= \int \left( \frac{-x + 2}{x^{2} + 1} + \frac{x + 1}{x^{2} + 2} \right) \; dx \\ &= \int \left( -\frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{2}{x^{2} + 1} + \frac{x}{x^{2} + 2} + \frac{1}{x^{2} + 2} \right) \; dx \\ &= -\frac{1}{2}\ln|x^{2} + 1| + 2\arctan(x) + \frac{1}{2} \ln |x^{2} + 2| + \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan \left( \frac{x}{\sqrt{2}} \right) + C \\ &= \frac{1}{2} \ln \left| \frac{x^{2} + 2}{x^{2} + 1} \right| + 2\arctan(x) + \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan \left( \frac{x}{\sqrt{2}} \right) + C \end{align*}$$
(c). $\int \frac{1}{x^{3} - 1} \; dx$
분자의 차수가 분모보다 작으므로 바로 부분분수법을 적용해서 식을 분해할 수 있다. 먼저, $f(x) = \frac{1}{x^{3} - 1} = \frac{1}{(x - 1)(x^{2} + x + 1)}$이라고 하면 3개의 상수 $A, B, C$에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$f(x) = \frac{1}{(x - 1)(x^{2} + x + 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{Bx + C}{x^{2} + x + 1}$$
이제 양변에 $(x - 1)(x^{2} + x + 1)$을 곱한 뒤 식을 정리한다.
$$\begin{align*} 1 &= A(x^{2} + x + 1) + (Bx + C)(x - 1) \\ &=(Ax^{2} + Ax + A) + (Bx^{2} - Bx + Cx - 1) \\ &= (A + B)x^{2} + (A - B + C)x + (A - C) \end{align*}$$
따라서, 우리는 3개의 상수 $A, B, C$에 대해 다음과 같은 연립방정식을 얻을 수 있다.
$$\begin{align*} A + B &= 0 \\ A - B + C &= 0 \\ A - C &= 1 \end{align*}$$
위 연립방정식을 풀면 $(A, B, C) = (\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$이므로 주어진 유리함수에 대해서 다음과 같이 분해하여 적분할 수 있다.
$$\begin{align*} \int \frac{1}{x^{3} - 1} \; dx &= \int \frac{1}{(x - 1)(x^{2} + x + 1)} \; dx \\ &= \int \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x - 1} + \frac{-\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}}{x^{2} + x + 1} \right) \; dx \\ &= \int \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x - 1} -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{2} + x + 1} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{2} + x + 1} \right) \end{align*}$$
1). $\int \frac{1}{x - 1} \; dx = \ln|x - 1| + C_{1}$
2). 분모를 완전제곱식으로 바꾸면 $x^{2} + x + 1 = (x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}$이므로 $x + \frac{1}{2} = u$라고 두면 다음과 같이 적분할 수 있다.
$$\begin{align*} \int \frac{x}{x^{2} + x + 1} \; dx &= \int \frac{x}{(x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}} \; dx \\ &= \int \frac{u - \frac{1}{2}}{u^{2} + \frac{3}{4}} \; du \\ &= \int \left( \frac{u}{u^{2} + \frac{3}{4}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2} + \frac{3}{4}} \right) \; du \\ &= \frac{1}{2}\ln|u^{2} + \frac{3}{4}| - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{2u}{\sqrt{3}} \right) \\ &= \frac{1}{2}\ln|x^{2} + x + 1| - \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{2}{\sqrt{3}}\left(x + \frac{1}{2}\right) \right) + C_{2} \end{align*}$$
3). $\int \frac{1}{x^{2} + x + 1} \; dx = \int \frac{1}{(x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\left( \frac{2}{\sqrt{3}}\left(x + \frac{1}{2} \right) \right) + C_{3}$
1), 2), 3)의 결과를 합치면 최종 적분결과를 얻을 수 있다.
$$\begin{align*} \int \frac{1}{x^{3} - 1} \; dx &= \int \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x - 1} -\frac{1}{3} \cdot \frac{x}{x^{2} + x + 1} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{2} + x + 1} \right) \\ &= \frac{1}{3} \int \frac{1}{x - 1} \; dx - \frac{1}{3} \int \frac{x}{x^{2} + x + 1} \; dx + \frac{2}{3} \int \frac{1}{x^{2} + x + 1} \; dx \\ &= \frac{1}{3}\ln|x - 1| - \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2}\ln|x^{2} + x + 1| - \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \left( x + \frac{1}{2}\right) \right) \right) - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \left( x + \frac{1}{2} \right) \right) + C \\ &= \frac{1}{3} \ln |x - 1| - \frac{1}{6} \ln |x^{2} + x + 1| - \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \left( x + \frac{1}{2} \right) \right) + C \end{align*}$$
(d). $\int \frac{x}{x^{2} + 4x + 13} \; dx$
분자의 차수가 분모보다 작지만 분모가 인수분해가 되지 않으므로 완전제곱식과 치환적분법을 적용해야한다. 이를 위해, $f(x) = \frac{x}{x^{2} + 4x + 13} = \frac{x}{(x^{2} + 4x + 4) + 9} = \frac{x}{(x + 2)^{2} + 9}$라고 두면 분모를 완전제곱식의 형태로 바꿀 수 있다. 이제, $x + 2 = u$라고 두면 $dx = du$이므로 다음과 같이 적분할 수 있다.
$$\begin{align*} \int \frac{x}{x^{2} + 4x + 13} \; dx &= \int \frac{x}{(x + 2)^{2} + 9} \; dx \\ &= \int \frac{u - 2}{u^{2} + 9} \; du \\ &= \int \left( \frac{u}{u^{2} + 9} - \frac{2}{u^{2} + 9} \right) \; du \\ &= \frac{1}{2}\ln|u^{2} + 9| - \frac{2}{3}\arctan \left( \frac{u}{3} \right) + C \\ &= \frac{1}{2} \ln |x^{2} + 4x + 13| - \frac{2}{3} \arctan \left( \frac{1}{3}(x + 2) \right) + C \end{align*}$$
(e). $\int_{0}^{1} \frac{x^{3} + 2x}{x^{4} + 4x^{2} + 3} \; dx$
분자의 차수가 분모보다 작으므로 바로 부분분수법을 적용해서 식을 분해할 수 있다. 먼저, $f(x) = \frac{x^{3} + 2x}{x^{4} + 4x^{2} + 3} = \frac{x^{3} + 2x}{(x^{2} + 1)(x^{2} + 3)}$이라고 하면 4개의 상수 $A, B, C, D$에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$f(x) = \frac{x^{3} + 2x}{(x^{2} + 1)(x^{2} + 3)} = \frac{Ax + B}{x^{2} + 1} + \frac{Cx + D}{x^{2} + 3}$$
이제 양변에 $(x^{2} + 1)(x^{2} + 3)$을 곱한 뒤 식을 정리한다.
$$\begin{align*} x^{3} + 2x &= (Ax + B)(x^{2} + 3) + (Cx + D)(x^{2} + 1) \\ &=(Ax^{3} + 3Ax + Bx^{2} + 3B) + (Cx^{3} + Cx + Dx^{2} + D) \\ &= (A + C)x^{3} + (B + D)x^{2} + (3A + C)x + (3B + D) \end{align*}$$
따라서, 우리는 4개의 상수 $A, B, C, D$에 대해 다음과 같은 연립방정식을 얻을 수 있다.
$$\begin{align*} A + C &= 1 \\ B + D &= 0 \\ 3A + C &= 2 \\ 3B + D &= 0 \end{align*}$$
위 연립방정식을 풀면 $(A, B, C, D) = (\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}, 0)$이므로 주어진 유리함수에 대해서 다음과 같이 분해하여 적분할 수 있다.
$$\begin{align*} \int_{0}^{1} \frac{x^{3} + 2x}{x^{4} + 4x^{2} + 3} \; dx &= \int_{0}^{1} \frac{x^{3} + 2x}{(x^{2} + 1)(x^{2} + 3)} \; dx \\ &= \int_{0}^{1} \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{x^{2} + 3} \right) \; dx \\ &= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \left( \frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{x}{x^{2} + 3} \right) \; dx \\ &= \frac{1}{4} \left[ \ln |x^{2} + 1| + \ln |x^{2} + 3| \right]_{0}^{1} \\ &= \frac{1}{4} \left[ \left( \ln 2 + \ln 4 \right) - \left( \ln 1 + \ln 3 \right) \right] = \frac{1}{4} \ln \frac{8}{3}\end{align*}$$
(f). $\int \frac{x^{3}}{x^{3} + 1} \; dx$
분자의 차수가 분모와 같으므로 분자를 분모로 먼저 나누고 부분분수법을 적용해서 식을 분해할 수 있다. 먼저, $f(x) = \frac{x^{3}}{x^{3} + 1} = 1 - \frac{1}{x^{3} + 1} = 1 - \frac{1}{(x + 1)(x^{2} - x + 1)}$이라고 하면 3개의 상수 $A, B, C$에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$g(x) = \frac{1}{(x + 1)(x^{2} - x + 1)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{Bx + C}{x^{2} - x + 1}$$
이제 양변에 $(x + 1)(x^{2} - x + 1)$을 곱한 뒤 식을 정리한다.
$$\begin{align*}1 &= A(x^{2} - x + 1) + (Bx + C)(x + 1) \\ &=(Ax^{2} - Ax + A) + (Bx^{2} + Bx + Cx + C) \\ &= (A + B)x^{2} + (-A + B + C)x + (A + C) \end{align*}$$
따라서, 우리는 3개의 상수 $A, B, C$에 대해 다음과 같은 연립방정식을 얻을 수 있다.
$$\begin{align*} A + B &= 0 \\ -A - B + C &= 0 \\ A - C &= 1 \end{align*}$$
위 연립방정식을 풀면 $(A, B, C) = (1, -1, 0)$이므로 주어진 유리함수에 대해서 다음과 같이 분해하여 적분할 수 있다.
$$\begin{align*} \int \frac{x^{3}}{x^{3} + 1} \; dx &= \int \left( 1 - \frac{1}{x^{3} + 1} \right) \; dx \\ &= \int \left( 1 - \frac{1}{(x + 1)(x^{2} - x + 1)} \right) \; dx \\ &= \int \left( 1 - \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x^{2} - x + 1} \right) \; dx \\ &= x - \ln|x + 1| + \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \left( x - \frac{1}{2} \right) \right) + C \end{align*}$$
(g). $\int \frac{1}{x(x^{2} + 4)^{2}} \; dx$
분자의 차수가 분모보다 작으므로 부분분수법을 적용해서 식을 분해할 수 있다. 먼저, $f(x) = \frac{1}{x(x^{2} + 4)^{2}}$이라고 하면 5개의 상수 $A, B, C, D, E$에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$f(x) = \frac{1}{x(x^{2} + 4)^{2}} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^{2} + 4} + \frac{Dx + E}{(x^{2} + 4)^{2}}$$
이제 양변에 $x(x^{2} + 4)^{2}$을 곱한 뒤 식을 정리한다.
$$\begin{align*}1 &= A(x^{2} + 4)^{2} + (Bx + C)x(x^{2} + 4) + (Dx + E)x \\ &=A(x^{4} + 8x^{2} + 16) + (Bx + C)(x^{3} + 4x) + (Dx^{2} + Ex) \\ &= (Ax^{4} + 8Ax^{2} + 16A) + (Bx^{4} + 4Bx^{2} + Cx^{3} + 4Cx) + (Dx^{2} + Ex) \\ &= (A + B)x^{4} + Cx^{3} + (8A + 4B + D)x^{2} + (4C + E)x + 16A \end{align*}$$
따라서, 우리는 5개의 상수 $A, B, C, D, E$에 대해 다음과 같은 연립방정식을 얻을 수 있다.
$$\begin{align*} A + B &= 0 \\ C &= 0 \\ 8A + 4B + D &= 0 \\ 4C + E &= 0 \\ 16A &= 1 \end{align*}$$
위 연립방정식을 풀면 $(A, B, C, D, E) = (\frac{1}{16}, -\frac{1}{16}, 0, -\frac{1}{4}, 0)$이므로 주어진 유리함수에 대해서 다음과 같이 분해하여 적분할 수 있다.
$$\begin{align*} \int \frac{1}{x(x^{2} + 4)^{2}} \; dx &= \int \left( \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{x} - \frac{1}{16} \cdot \frac{x}{x^{2} + 4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{(x^{2} + 4)} \right) \; dx \\ &= \frac{1}{16}\ln|x| - \frac{1}{32}\ln|x^{2} + 4| + \frac{1}{8(x^{2} + 4)} + C \end{align*}$$
(h). $\int \frac{x^{4} + 3x^{2} + 1}{x^{5} + 5x^{3} + 5x} \; dx$
$$\begin{align*} \int \frac{x^{4} + 3x^{2} + 1}{x^{5} + 5x^{3} + 5x} \; dx &= \int \frac{\frac{1}{5}(x^{5} + 5x^{3} + 5x)^{'}}{x^{5} + 5x^{3} + 5x} \; dx \\ &= \frac{1}{5} \ln |x^{5} + 5x^{3} + 5x| + C \end{align*}$$
(i). $\int \frac{x^{2} - 3x + 7}{(x^{2} - 4x + 6)^{2}} \; dx$
분자의 차수가 분모보다 작으므로 부분분수법을 적용해서 식을 분해할 수 있다. 먼저, $f(x) = \frac{x^{2} - 3x + 7}{(x^{2} - 4x + 6)^{2}}$이라고 하면 4개의 상수 $A, B, C, D$에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$f(x) = \frac{x^{2} - 3x + 7}{(x^{2} - 4x + 6)^{2}} = \frac{Ax + B}{x^{2} - 4x + 6} + \frac{Cx + D}{(x^{2} - 4x + 6)^{2}}$$
이제 양변에 $(x^{2} - 4x + 6)^{2}$을 곱한 뒤 식을 정리한다.
$$\begin{align*}x^{2} - 3x + 7 &= (Ax + B)(x^{2} - 4x + 6) + (Cx + D) \\ &=(Ax^{3} - 4Ax^{2} + 6Ax + Bx^{2} - 4Bx + 6B) + (Cx + D) \\ &= Ax^{3} + (-4A + B)x^{2} + (6A - 4B + C)x + (6B + D) \end{align*}$$
따라서, 우리는 4개의 상수 $A, B, C, D$에 대해 다음과 같은 연립방정식을 얻을 수 있다.
$$\begin{align*} A &= 0 \\ -4A + B &= 1 \\ 6A - 4B + C &= -3 \\ 6B + D &= 7 \end{align*}$$
위 연립방정식을 풀면 $(A, B, C, D) = (0, 1, 1, 1)$이므로 주어진 유리함수에 대해서 다음과 같이 분해하여 적분할 수 있다.
$$\begin{align*} \int \frac{x^{2} - 3x + 7}{(x^{2} - 4x + 6)^{2}} \; dx &= \int \left( \frac{1}{x^{2} - 4x + 6} + \frac{x + 1}{(x^{2} - 4x + 6)^{2}} \right) \; dx \\ &= \int \left( \frac{1}{(x - 2)^{2} + 2} + \frac{x + 1}{((x - 2)^{2} + 2)^{2}} \right) \end{align*}$$
1). $\int \frac{1}{(x - 2)^{2} + 2} \; dx = \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan \left( \frac{1}{\sqrt{2}}(x - 2) \right) + C_{1}$
2). $x - 2 = u$라고 하면 다음과 같이 적분할 수 있다.
$$\begin{align*} \int \frac{x + 1}{((x - 2)^{2} + 2)^{2}} \; dx &= \int \frac{u + 3}{(u^{2} + 2)^{2}} \; du \end{align*}$$
이제, $u = \sqrt{2}\tan(\theta)$라고 하면 $du = \sqrt{2}\sec^{2}(\theta) d\theta$이므로 다음과 같이 적분할 수 있다.
$$\begin{align*} \int \frac{x + 1}{((x - 2)^{2} + 2)^{2}} \; dx &= \int \frac{u + 3}{(u^{2} + 2)^{2}} \; du \\ &= \int \frac{\sqrt{2}\tan(\theta) + 3}{(2\tan^{2}(\theta) + 2)^{2}} \sqrt{2}\sec^{2}(\theta) \; d\theta \\ &= \frac{\sqrt{2}}{4} \int (\sqrt{2}\tan(\theta) + 3) \cos^{2}(\theta) \; d\theta \\ &= \frac{\sqrt{2}}{4} \int \left( \sqrt{2}\tan(\theta) \cos^{2}(\theta) + 3\cos^{2}(\theta) \right) \; d\theta \end{align*}$$
한번 더 두 개의 항으로 나누어 각 항을 적분해야한다.
2-1). $\int \tan(\theta) \cos^{2} (\theta) \; d\theta = \int \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} \; d\theta = \int \sin(\theta)\cos(\theta) \; d\theta = \frac{1}{2}\sin^{2}(\theta) + C_{2_{1}}$
2-2). $\int \cos^{2}(\theta) \; d\theta = \int \frac{1 + \sin(2\theta)}{2} \; d\theta = \frac{1}{2}\theta - \frac{1}{4}\cos(2\theta) + C_{2_{2}}$
따라서, 2)항의 적분 결과는 다음과 같다.
$$\begin{align*} \int \frac{x + 1}{((x - 2)^{2} + 2)^{2}} \; dx &= \int \frac{u + 3}{(u^{2} + 2)^{2}} \; du \\ &= \frac{\sqrt{2}}{4} \int \left( \sqrt{2}\tan(\theta) \cos^{2}(\theta) + 3\cos^{2}(\theta) \right) \; d\theta \\ &= \frac{\sqrt{2}}{4} \left(\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}\sin^{2}(\theta) + \frac{3}{2}\theta - \frac{3}{4}\cos(2\theta) \right) + C_{2} \end{align*}$$
여기서, 최종적으로는 $x$에 대한 식으로 바꾸어야하므로 $\sqrt{2}\tan(\theta) = u$임을 통해 $\sin(\theta) = \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 2}}$이다. 따라서, 다음과 같이 식을 바꿀 수 있다.
$$\begin{align*} \int \frac{x + 1}{((x - 2)^{2} + 2)^{2}} \; dx &= \int \frac{u + 3}{(u^{2} + 2)^{2}} \; du \\ &= \frac{\sqrt{2}}{4} \int \left( \sqrt{2}\tan(\theta) \cos^{2}(\theta) + 3\cos^{2}(\theta) \right) \; d\theta \\ &= \frac{\sqrt{2}}{4} \left(\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}\sin^{2}(\theta) + \frac{3}{2}\theta - \frac{3}{4}\cos(2\theta) \right) + C_{2} \\ &= \frac{1}{4} \frac{u^{2}}{u^{2} + 2} + \frac{3\sqrt{2}}{8}\arctan \left( \frac{u}{\sqrt{2}} \right) + \frac{3\sqrt{2}}{16} \frac{u^{2} - 2}{u^{2} + 2} + C_{2} \\ &= \frac{1}{4} \frac{x^{2} - 4x + 4}{x^{2} - 4x + 6} + \frac{3\sqrt{2}}{8} \arctan \left( \frac{1}{\sqrt{2}}(x - 2) \right) + \frac{3\sqrt{2}}{16} \frac{x^{2} - 4x + 2}{x^{2} - 4x + 6} \end{align*}$$
이제, 1)과 2)의 결과를 합치면 최종 적분결과를 얻을 수 있다.
$$\begin{align*} \int \frac{x^{2} - 3x + 7}{(x^{2} - 4x + 6)^{2}} \; dx &= \int \left( \frac{1}{x^{2} - 4x + 6} + \frac{x + 1}{(x^{2} - 4x + 6)^{2}} \right) \; dx \\ &= \int \left( \frac{1}{(x - 2)^{2} + 2} + \frac{x + 1}{((x - 2)^{2} + 2)^{2}} \right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \left( \frac{1}{\sqrt{2}} (x - 2) \right) + \frac{1}{4} \frac{x^{2} - 4x + 4}{x^{2} - 4x + 6} + \frac{3\sqrt{2}}{8} \arctan \left( \frac{1}{\sqrt{2}}(x - 2) \right) + \frac{3\sqrt{2}}{16} \frac{x^{2} - 4x + 2}{x^{2} - 4x + 6} + C \end{align*}$$
연습문제4. 주어진 적분을 계산하라.
(a). $\int \frac{1}{x\sqrt{x + 1}} \; dx$
(b). $\int \frac{1}{2\sqrt{x + 3} + x} \; dx$
(c). $\int_{9}^{16} \frac{\sqrt{x}}{x - 4} \; dx$
(d). $\int_{0}^{1} \frac{1}{1 + \sqrt[3]{x}} \; dx$
(e). $\int \frac{x^{3}}{\sqrt[3]{x^{2} + 1}} \; dx$
(f). $\int_{\frac{1}{3}}^{3} \frac{\sqrt{x}}{x^{2} + x} \; dx$
(a). $\int \frac{1}{x\sqrt{x + 1}} \; dx$
분모에 무리함수가 포함되어 있으므로 유리화를 통해 적분을 풀 수 있다. 이를 위해 $u = \sqrt{x + 1}$이라고 하면 $u^{2} = x + 1$이고 $2u du = dx$이다.
$$\begin{align*} \int \frac{1}{x\sqrt{x + 1}} \; dx &= \int \frac{1}{(u^{2} - 1)u} \; 2u du \\ &= \int \frac{2}{u^{2} - 1} \; du \end{align*}$$
$u = \sec(\theta)$라고 하면 $du = \sec(\theta)\tan(\theta) d\theta $이다. 따라서, 다음과 같이 삼각함수 적분을 수행할 수 있다.
$$\begin{align*} \int \frac{1}{x\sqrt{x + 1}} \; dx &= \int \frac{2}{u^{2} - 1} \; du \\ &= 2\int \frac{1}{\sec^{2}(\theta) - 1} \cdot (\sec(\theta)\tan(\theta)) \; d\theta \\ &= 2\int \frac{\sec(\theta)\tan(\theta)}{\tan^{2}(\theta)} \; d\theta \\ &= 2\int \frac{\sec(\theta)}{\tan(\theta)} \; d\theta \\ &= 2\int \csc(\theta) \; d\theta \\ &= 2\ln \left| \frac{1}{\csc(\theta) + \cot(\theta)} \right| + C\end{align*}$$
이제, 다시 $x$에 대한 식으로 바꾸기 위해 $u = \sec(\theta)$임을 이용하면 $\csc(\theta) = \frac{1}{\sin(\theta)} = \frac{u}{\sqrt{u^{2} - 1}}$이고 $\cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)} = \frac{1}{\sqrt{u^{2} - 1}}$이므로 다음과 같이 최종적분 결과를 얻을 수 있다.
$$\begin{align*} \int \frac{1}{x\sqrt{x + 1}} \; dx &= 2\ln \left| \frac{1}{\csc(\theta) + \cot(\theta)} \right| + C \\ &= 2\ln \left| \frac{1}{\frac{u}{\sqrt{u^{2} - 1}} + \frac{1}{\sqrt{u^{2} - 1}}} \right| + C \\ &= 2\ln \left| \frac{\sqrt{u^{2} - 1}}{u + 1} \right| + C \\ &= 2\ln \left| \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + 1} + 1} \right| + C \end{align*}$$
(b). $\int \frac{1}{2\sqrt{x + 3} + x} \; dx$
분모에 무리함수가 포함되어 있으므로 유리화를 통해 적분을 풀 수 있다. 이를 위해 $u = \sqrt{x + 3}$이라고 하면 $u^{2} = x + 3$이고 $2u du = dx$이다.
$$\begin{align*} \int \frac{1}{2\sqrt{x + 3} + x} \; dx &= \int \frac{1}{2u + (u^{2} - 3)} \; 2u du \\ &= \int \frac{2u}{u^{2} + 2u - 3} \; du \\ &= \int \frac{2u}{(u + 1)^{2} - 4} \; du \end{align*}$$
$u + 1 = 2\sec(\theta)$라고 하면 $du = 2\sec(\theta)\tan(\theta) d\theta $이다. 따라서, 다음과 같이 삼각함수 적분을 수행할 수 있다.
$$\begin{align*} \int \frac{1}{2\sqrt{x + 3} + x} \; dx &= \int \frac{2u}{(u + 1)^{2} - 4} \; du \\ &= 2\int \frac{2\sec(\theta) - 1}{4\sec^{2}(\theta) - 4} \; (2\sec(\theta)\tan(\theta)) \; d\theta \\ &= \int \frac{(2\sec(\theta) - 1)\sec(\theta)\tan(\theta)}{\tan^{2}(\theta)} \; d\theta \\ &= \int \frac{(2\sec(\theta) - 1)\sec(\theta)}{\tan(\theta)} \; d\theta \\ &= \int \left( 2\frac{\sec^{2}(\theta)}{\tan(\theta)} - \frac{\sec(\theta)}{\tan(\theta)} \right) \; d\theta \\ &= \int \left( 2\frac{(\tan(\theta))^{'}}{\tan(\theta)} - \csc(\theta) \right) \; d\theta \\ &= 2\ln|\tan(\theta)| + \ln |\csc(\theta) + \cot(\theta)| + C \end{align*}$$
이제, 다시 $x$에 대한 식으로 바꾸기 위해 $u + 1= \sec(\theta)$임을 이용하면 $\csc(\theta) = \frac{1}{\sin(\theta)} = \frac{\sqrt{u^{2} + 2u}}{u + 1}$이고 $\cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)} = \sqrt{u^{2} + 2u}$이므로 다음과 같이 최종적분 결과를 얻을 수 있다.
$$\begin{align*} \int \frac{1}{2\sqrt{x + 3} + x} \; dx &= 2\ln|\tan(\theta)| + \ln |\csc(\theta) + \cot(\theta)| + C \\ &= 2\ln \left| \frac{1}{\sqrt{u^{2} + 2u}} \right| + \ln \left| \frac{\sqrt{u^{2} + 2u}}{u + 1} + \sqrt{u^{2} + 2u}\right| + C \\ &= 2\ln \left| \frac{1}{\sqrt{x + 3 + 2\sqrt{x + 3}}} \right| + \ln \left| \frac{\sqrt{x + 3 + 2\sqrt{x + 3}}}{\sqrt{x + 3} + 1} + \sqrt{x + 3 + 2\sqrt{x + 3}} \right|\end{align*}$$
(c). $\int_{9}^{16} \frac{\sqrt{x}}{x - 4} \; dx$
분자에 무리함수가 포함되어 있으므로 유리화를 통해 적분을 풀 수 있다. 이를 위해 $u = \sqrt{x}$이라고 하면 $u^{2} = x$이고 $2u du = dx$이며 적분구간은 $[9, 16] \rightarrow [3, 4]$이다.
$$\begin{align*} \int_{9}^{16} \frac{\sqrt{x}}{x - 4} \; dx &= \int_{3}^{4} \frac{u}{u^{2} - 4} \; 2u du \\ &= \int_{3}^{4} \frac{2u^{2}}{u^{2} - 4} \; du \end{align*}$$
먼저, 분자의 차수가 분모와 동일하므로 분자를 분모로 나누어주면 $\frac{2u^{2}}{u^{2} - 4} = 2 + \frac{8}{u^{2} - 4} = 2 + \frac{8}{(u - 2)(u + 2)}$이다. 이제, $f(u) = \frac{8}{(u - 2)(u + 2)}$라고 두고 2개의 상수 $A, B$에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다
$$f(u) = \frac{8}{(u - 2)(u + 2)} = \frac{A}{u - 2} + \frac{B}{u + 2}$$
이제 양변에 $(u - 2)(u + 2)$을 곱한 뒤 식을 정리한다.
$$\begin{align*} 8 &= A(u + 2) + B(u - 2) \\ &= (A + B)u + (2A - 2B) \end{align*}$$
따라서, 우리는 2개의 상수 $A, B$에 대해 다음과 같은 연립방정식을 얻을 수 있다.
$$\begin{align*} A + B &= 0 \\ 2A - 2B &= 8 \end{align*}$$
위 연립방정식을 풀면 $(A, B) = (2, -2)$이므로 주어진 유리함수에 대해서 다음과 같이 분해하여 적분할 수 있다.
$$\begin{align*} \int_{9}^{16} \frac{\sqrt{x}}{x - 4} \; dx &= \int_{3}^{4} \frac{2u^{2}}{u^{2} - 4} \; du \\ &= \int_{3}^{4} \left( 2 + \frac{8}{(u - 2)(u + 2)} \right) \; du \\ &= \int_{3}^{4} \left( 2 + \frac{2}{u - 2} - \frac{2}{u + 2} \right) \; du \\ &= 2\left[ u + \ln \left| \frac{u - 2}{u + 2} \right| \right]_{3}^{4} \\ &= 2\left[ \left(4 + \ln \frac{1}{3}\right) - \left( 3 + \ln \frac{1}{5}\right) \right] \\ &= 2 (1 + \ln \frac{5}{3})\end{align*}$$
(d). $\int_{0}^{1} \frac{1}{1 + \sqrt[3]{x}} \; dx$
분자에 무리함수가 포함되어 있으므로 유리화를 통해 적분을 풀 수 있다. 이를 위해 $u = \sqrt[3]{x}$이라고 하면 $u^{3} = x$이고 $3u^{2} du = dx$이며 적분구간은 $[0, 1] \rightarrow [0, 1]$이다.
$$\begin{align*} \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + \sqrt[3]{x}} \; dx &= \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + u} \; 3u^{2} du \\ &= \int_{0}^{1} \frac{3u^{2}}{1 + u} \; du \\ &= 3\int_{0}^{1} \left( u - 1 + \frac{1}{u + 1} \right) \; du \\ &= 3\left[ \frac{1}{2}u^{2} - u + \ln|u + 1| \right]_{0}^{1} \\ &= 3 \left( \frac{1}{2} - 1 + \ln 2 \right) = 3 \left( \ln 2 - \frac{1}{2} \right)\end{align*}$$
(e). $\int \frac{x^{3}}{\sqrt[3]{x^{2} + 1}} \; dx$
분자에 무리함수가 포함되어 있으므로 유리화를 통해 적분을 풀 수 있다. 이를 위해 $u = \sqrt[3]{x^{2} + 1}$이라고 하면 $u^{3} = x^{2} + 1$이고 $3u^{2} du = 2x dx$이다.
$$\begin{align*} \int \frac{x^{3}}{\sqrt[3]{x^{2} + 1}} \; dx &= \int \frac{x^{3}}{u} \; \frac{3u^{2}}{2x} du \\ &= \frac{3}{2} \int \frac{x^{2}u^{2}}{u} \; du \\ &= \frac{3}{2}\int \left( u^{3} - 1 \right)u \; du \\ &= \frac{3}{2} \int \left( u^{4} - u \right) \; du \\ &= \frac{3}{2} \left( \frac{1}{5}u^{5} - \frac{1}{2}u^{2} \right) + C \\ &= \frac{3}{2} \left( \frac{1}{5}\sqrt[3]{(x^{2} + 1)^{5}} - \frac{1}{2}\sqrt[3]{(x^{2} + 1)^{2}} \right) + C \end{align*}$$
(f). $\int_{\frac{1}{3}}^{3} \frac{\sqrt{x}}{x^{2} + x} \; dx$
분자에 무리함수가 포함되어 있으므로 유리화를 통해 적분을 풀 수 있다. 이를 위해 $u = \sqrt{x}$이라고 하면 $u^{2} = x$이고 $2u du = dx$이며 적분구간은 $[\frac{1}{3}, 3] \rightarrow [\frac{1}{\sqrt{3}}, \sqrt{3}]$이다.
$$\begin{align*} \int_{\frac{1}{3}}^{3} \frac{\sqrt{x}}{x^{2} + x} \; dx &= \int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}} \frac{u}{u^{4} + u^{2}} \; 2u du \\ &= 2 \int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}} \frac{1}{u^{2} + 1} \; du \\ &= 2\left[ \arctan(u) \right]_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}} \\ &= 2 \left( \arctan(\sqrt{3}) - \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) \right) = \frac{\pi}{3} \end{align*}$$
연습문제5. 주어진 적분을 계산하라.
(a). $\int \frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt[3]{x}} \; dx$
(b). $\int \frac{\sqrt{1 + \sqrt{x}}}{x} \; dx$
(c). $\int \frac{e^{2x}}{e^{2x} + 3e^{x} + 2} \; dx$
(d). $\int \frac{\cos(x)}{\sin^{2}(x) + \sin(x)} \; dx$
(e). $\int \frac{\sec^{2}(x)}{\tan^{2}(x) + 3\tan(x) + 2} \; dx$
(f). $\int \frac{e^{x}}{(e^{2} - 2)(e^{2x} + 1)}$
(a). $\int \frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt[3]{x}} \; dx$
분자에 무리함수가 포함되어 있으므로 유리화를 통해 적분을 풀 수 있다. 이를 위해 $u = \sqrt[6]{x}$이라고 하면 $u^{6} = x$이고 $6u^{5} du = dx$이다.
$$\begin{align*} \int \frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt[3]{x}} \; dx &= \int \frac{1}{u^{3} - u^{2}} \; 6u^{5} du \\ &= 6 \int \frac{u^{3}}{u - 1} \; du \\ &= 6\int \left( u^{2} + u + 1 + \frac{1}{u - 1} \right) \; du \\ &= 6 \left( \frac{1}{3}u^{3} + \frac{1}{2}u^{2} + u + \ln |u - 1| \right) + C \\ &= 6 \left( \frac{1}{3}\sqrt{x} + \frac{1}{2}\sqrt[3]{x} + \sqrt[6]{x} + \ln |\sqrt[6]{x} - 1|\right) + C \end{align*}$$
(b). $\int \frac{\sqrt{1 + \sqrt{x}}}{x} \; dx$
분자에 무리함수가 포함되어 있으므로 유리화를 통해 적분을 풀 수 있다. 이를 위해 $u = 1 + \sqrt{x}$이라고 하면 $x = u^{2} - 2u + 1$이고 $dx = (2u - 2) du$이다.
$$\begin{align*} \int \frac{\sqrt{1 + \sqrt{x}}}{x} \; dx &= \int \frac{\sqrt{u}}{(u - 1)^{2}} \cdot (2u - 2) \; du \\ &= 2\int \frac{\sqrt{u}}{u - 1} \; du \end{align*}$$
정리한 식에서 무리식이 또 존재하므로 $\sqrt{u} = v$라고 하면 $u = v^{2}$이고 $du = 2v dv$이다.
$$\begin{align*} \int \frac{\sqrt{1 + \sqrt{x}}}{x} \; dx &= 2\int \frac{\sqrt{u}}{u - 1} \; du \\ &= 2\int \frac{v}{v^{2} - 1} \cdot (2v) \; dv \\ &= 4 \int \frac{v^{2}}{v^{2} - 1} \; dv \\ &= 4\int \left( 1 + \frac{1}{v^{2} - 1} \right) \; dv \\ &= 4 \int \left( 1 + \frac{1}{(v - 1)(v + 1)} \right) \; dv \\ &= 4\int \left( 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{v - 1} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{v + 1} \right) \; dv \\ &= 4 \left( v + \frac{1}{2}\ln|v - 1| - \frac{1}{2}\ln|v + 1| \right) + C \\ &= 4 \left( v + \frac{1}{2} \ln \left| \frac{v - 1}{v + 1} \right| \right) + C \\ &= 4 \left( \sqrt{u} + \ln \left| \frac{\sqrt{u} - 1}{\sqrt{u} + 1} \right| \right) + C \\ &= 4 \left( \sqrt{1 + \sqrt{x}} + \ln \left| \frac{\sqrt{1 + \sqrt{x}} - 1}{\sqrt{1 + \sqrt{x}} + 1} \right|\right) + C \end{align*}$$
(c). $\int \frac{e^{2x}}{e^{2x} + 3e^{x} + 2} \; dx$
$e^{x} = u$라고 하면 $e^{x} dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{e^{x}} du = \frac{1}{u} du$이고 다음과 같이 적분할 수 있다.
$$\begin{align*} \int \frac{e^{2x}}{e^{2x} + 3e^{x} + 2} \; dx &= \int \frac{u^{2}}{u^{2} + 3u + 2} \cdot \frac{1}{u} \; du \\ &= \int \frac{u}{(u + 1)(u + 2)} \; du \\ &= \int \left( -\frac{1}{u + 1} + \frac{2}{u + 2} \right) \; du \\ &= -\ln|u + 1| + 2\ln|u + 2| + C \\ &= -\ln|e^{x} + 1| + 2\ln|e^{x} + 2| + C\end{align*}$$
(d). $\int \frac{\cos(x)}{\sin^{2}(x) + \sin(x)} \; dx$
$\sin(x) = u$라고 하면 $\cos(x) dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{\cos(x)} du$이고 다음과 같이 적분할 수 있다.
$$\begin{align*} \int \frac{\cos(x)}{\sin^{2}(x) + \sin(x)} \; dx &= \int \frac{\cos(x)}{u^{2} + u} \cdot \frac{1}{\cos(x)} \; du \\ &= \int \frac{1}{u(u + 1)} \; du \\ &= \int \left( \frac{1}{u} - \frac{1}{u + 1} \right) \; du \\ &= \ln|u| - \ln|u + 1| + C \\ &= \ln \left| \frac{u}{u + 1} \right| + C \\ &= \ln \left| \frac{\sin(x)}{\sin(x) + 1} \right| + C\end{align*}$$
(e). $\int \frac{\sec^{2}(x)}{\tan^{2}(x) + 3\tan(x) + 2} \; dx$
$\tan(x) = u$라고 하면 $\sec^{2}(x) dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{\sec^{2}(x)} du$이고 다음과 같이 적분할 수 있다.
$$\begin{align*} \int \frac{\sec^{2}(x)}{\tan^{2}(x) + 3\tan(x) + 2} \; dx &= \int \frac{\sec^{2}(x)}{u^{2} + 3u + 2} \cdot \frac{1}{\sec^{2}(x)} \; du \\ &= \int \frac{1}{(u + 1)(u + 2)} \; du \\ &= \int \left( \frac{1}{u + 1} - \frac{1}{u + 2} \right) \; du \\ &= \ln|u + 1| - \ln|u + 2| + C \\ &= \ln \left| \frac{u + 1}{u + 2} \right| + C \\ &= \ln \left| \frac{\tan(x) + 1}{\tan(x) + 2} \right| + C\end{align*}$$
(f). $\int \frac{e^{x}}{(e^{x} - 2)(e^{2x} + 1)}$
$e^{x} = u$라고 하면 $e^{x} dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{e^{x}} du = \frac{1}{u} du $이고 다음과 같이 적분할 수 있다.
$$\begin{align*} \int \frac{e^{x}}{(e^{x} - 2)(e^{2x} + 1)} \; dx &= \int \frac{u}{(u - 2)(u^{2} + 1)} \cdot \frac{1}{u} \; du \\ &= \int \frac{1}{(u - 2)(u^{2} + 1)} \; du \\ &= \int \left( \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{u - 2} - \frac{1}{5} \cdot \frac{u + 2}{u^{2} + 1} \right) \; du \\ &= \frac{1}{5} \ln \left( \frac{1}{u - 2} - \frac{u}{u^{2} + 1} - \frac{2}{u^{2} + 1} \right) \; du \\ &= \frac{1}{5} \left( \ln|u - 2| - \frac{1}{2} \ln|u^{2} + 1| - 2\arctan(u) \right) + C \\ &= \frac{1}{5} \left( \ln |e^{x} - 2| - \frac{1}{2}\ln|e^{2x} + 1| - 2\arctan(e^{x}) \right) + C \end{align*}$$
연습문제6. 주어진 적분을 계산하라.
(a). $\int \ln (x^{2} - x + 2) \; dx$
(b). $\int x\arctan(x) \; dx$
(a). $\int \ln (x^{2} - x + 2) \; dx$
$f = \ln (x^{2} - x + 2)$ 그리고 $g^{'} = 1$이라고 하면 $f^{'} = \frac{2x - 1}{x^{2} - x + 2}$이고 $g = x$이다. 부분적분법을 통해 식을 정리하면 다음과 같다.
$$\begin{align*} \int \ln (x^{2} - x + 2) \; dx &= x\ln(x^{2} - x + 2) - \int \frac{x(2x - 1)}{x^{2} - x + 2} \; dx \\ &= x\ln (x^{2} - x + 2) - \int \frac{2x^{2} - x}{x^{2} - x + 2} \; dx \\ &= x\ln (x^{2} - x + 2) - \int \left( 2 + \frac{x - 4}{x^{2} - x + 2} \right) \; dx \\ &= x \ln (x^{2} - x + 2) - \int \left( 2 + \frac{x - 4}{(x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{7}{4}} \right) \; dx \\ &= x\ln (x^{2} - x + 2) - \int \left( 2 + \frac{x - \frac{1}{2}}{(x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{7}{4}} - \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{(x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{7}{4}} \right) \; dx \\ &= x\ln (x^{2} - x + 2) - (2x + \frac{1}{2} \ln (x^{2} - x + 2) - \frac{7}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}} \arctan \frac{2}{\sqrt{7}}(x - \frac{1}{2}))) + C \\ &= x\ln (x^{2} - x + 2) - 2x - \frac{1}{2} \ln (x^{2} - x + 2) + \sqrt{7} \arctan \frac{2}{\sqrt{7}}(x - \frac{1}{2}) + C \\ &= (x - \frac{1}{2}) \ln (x^{2} - x + 2) - 2x + \sqrt{7} \arctan \frac{2}{\sqrt{7}} (x - \frac{1}{2}) + C \end{align*}$$
(b). $\int x\arctan(x) \; dx$
$f = \arctan(x)$ 그리고 $g^{'} = x$이라고 하면 $f^{'} = \frac{1}{x^{2} + 1}$이고 $g = \frac{1}{2}x^{2}$이다. 부분적분법을 통해 식을 정리하면 다음과 같다.
$$\begin{align*} \int x\arctan(x) \; dx &= \frac{1}{2}x^{2}\arctan(x) - \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} \; dx \\ &= \frac{1}{2} x^{2} \arctan(x) - \frac{1}{2} \int \left( 1 - \frac{1}{1 + x^{2}} \right) \; dx \\ &=\frac{1}{2}x^{2}\arctan(x) - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\arctan(x) + C \\ &= \frac{1}{2}(x^{2} + 1) \arctan(x) - \frac{1}{2}x + C \end{align*}$$
연습문제7. 수학자 카를 바이어슈트라스 (Karl Weierstrass; 1815 ~ 1897)은 $\sin x$과 $\cos x$로 이루어진 임의의 유리함수에 대해서 $t = \frac{1}{\tan(x / 2)}$로 치환하면 $t$에 대한 유리함수로 변환되어 쉽게 적분할 수 있음을 증명하였다. 이를 이용하여 주어진 적분을 계산하라.
(a). $\int \frac{1}{3 - 5\sin(x)} \; dx$
(b). $\int \frac{1}{3\sin(x) - 4\cos(x)} \; dx$
(a). $\int \frac{1}{3 - 5\sin(x)} \; dx$
$t = \tan(x / 2)$라고 하면 삼각함수 규칙에 의해 $\sin(x) = \frac{2t}{1 + t^{2}}$이고 $dx = \frac{2}{1 + t^{2}} \; dt$이다.
$$\begin{align*} \int \frac{1}{3 - 5\sin(x)} \; dx &= \int \frac{1}{3 - 5 \cdot * \frac{2t}{1 + t^{2}}} \cdot \frac{2}{1 + t^{2}} \; dt \\ &= \int \frac{1 + t^{2}}{3(1 + t^{2}) - 10t} \cdot \frac{2}{1 + t^{2}} \; dt \\ &= \int \frac{2}{3t^{3} - 10t + 3} \; dt \\ &= \int \frac{2}{(3t - 1)(t - 3)} \; dt \\ &= 2\int \left( -\frac{3}{8} \cdot \frac{1}{3t - 1} + \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{t - 3} \right) \; dt \\ &= 2 \left( -\frac{1}{8} \ln |3t - 1| + \frac{1}{8} \ln |t - 3| \right) + C \end{align*}$$
(b). $\int \frac{1}{3\sin(x) - 4\cos(x)} \; dx$
$t = \tan(x / 2)$라고 하면 삼각함수 규칙에 의해 $\sin(x) = \frac{2t}{1 + t^{2}}, \cos(x) = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}$이고 $dx = \frac{2}{1 + t^{2}} \; dt$이다.
$$\begin{align*} \int \frac{1}{3\sin(x) - 4\cos(x)} \; dx &= \int \frac{1}{3 \cdot \frac{2t}{1 + t^{2}} - 4 \cdot \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}} \cdot \frac{2}{1 + t^{2}} \; dt \\ &= \int \frac{4}{6t - (4 - 4t^{2})} \; dt \\ &= \int \frac{4}{4t^{2} + 6t - 4} \; dt \\ &= 2\int \frac{1}{(2t - 1)(t + 2)} \; dt \\ &= 2\int \left( \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2t - 1} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{t + 2} \right) \; dt \\ &= \frac{2}{5} \left( 2\ln |2t - 1| - \ln |t + 2| \right) + C \\ &= \frac{2}{5} \left( 2\ln |2\tan(x / 2) - 1| - \ln |\tan(x / 2) + 2| \right) + C \end{align*}$$
참고자료 및 그림출처
Calculus(J. Stewart)
'수학 > 미적분학' 카테고리의 다른 글
| 미적분학 - 특이적분 (0) | 2022.03.24 |
|---|---|
| 미적분학 - 적분 전략 (0) | 2022.03.24 |
| 미적분학 - 치환적분을 통한 삼각함수 적분 (0) | 2022.03.21 |
| 미적분학 - 복잡한 삼각함수 적분 (0) | 2022.03.16 |
| 미적분학 - 부분적분 (0) | 2022.03.14 |
