미적분학 - 특이적분

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 적분 전략에서는 복잡한 피적분함수를 적분할 수 있는 몇 가지 단계에 대해서 설명드렸습니다. 하지만, 결론적으로 중요한 것은 다양한 적분을 해봄으로써 경험치를 쌓는 것이 중요합니다. 오늘은 주제를 바꾸어서 특이하게 생긴 적분을 보여드리도록 하겠습니다. 바로 특이적분(Improper Integral)입니다. 특이적분은 몇 가지 타입으로 나누어서 생각해볼 수 있습니다. 

 

 CASE1. 무한 구간

 정의1. 무한 구간에서의 특이적분

(a). 만약 $int_{a}^{t} f(x) \; dx$가 임의의 실수 $t \ge a$에서 존재한다고 가정하면 $\int_{a}^{\infty} f(x) \; dx = \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{a}^{t} f(x) \; dx$이다. 

(b). 만약 $int_{t}^{b} f(x) \; dx$가 임의의 실수 $t \le b$에서 존재한다고 가정하면 $\int_{-\infty}^{b} f(x) \; dx = \lim_{t \rightarrow -\infty} \int_{t}^{b} f(x) \; dx$이다. 

(c). $\int_{a}^{\infty} f(x) \; dx$와 $\int_{-\infty}^{a} f(x) \; dx$가 동시에 존재한다고 가정하면 임의의 실수 $a \in \mathbb{R}$에 대해서 $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \; dx = \int_{-\infty}^{a} f(x) \; dx + \int_{a}^{\infty} f(x) \; dx$이다.

 

 설명

 

먼저, $f(x) = \frac{1}{x^{2}}$를 고려해보도록 하겠습니다. 만약, 해당 함수를 무한대가 포함된 구간 $[1, \infty]$에서 적분을 하게 되면 어떻게 할 수 있을까요? 일단, 문제를 간단하게 하기 위해서 $t \ge 1$인 임의의 $t$를 하나 선택하고 닫힌 구간 $[1, t]$에서 적분을 해보도록 하죠. 그러면 아래의 식과 같이 적분할 수 있습니다.

 

 

$$\int_{1}^{t} \frac{1}{x^{2}} \; dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{t} = 1 - \frac{1}{t}$$

 

하지만, 실제로 저희가 원하는 적분은 구간 $[1, \infty]$에서의 적분이기 때문에 $t \rightarrow \infty$로의 극한을 취해줄 수 있습니다. 

 

$$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} \; dx = \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{2}} \; dx = \lim_{t \rightarrow \infty} \left(1 - \frac{1}{t}\right) = 1$$

 

정리하면, 무한대가 포함된 구간에서는 바로 적분을 하는 것이 아니라 어떤 임의의 실수 $t$까지만 적분을 한 뒤 $t \rightarrow \infty$로의 극한을 취해준다면 그것이 무한구간에서의 적분과 동일하게 됩니다. 이는 음의 무한대 $-\infty$도 마찬가지입니다.  

 

또한, 특이적분에서는 극한이 포함되기 때문에 값이 존재하지 않을 수도 있다는 점에 유의하시길 바랍니다. 

 

예제1. $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} \; dx$를 계산하라.

$t \ge 1$인 임의의 실수 $t$를 선택하자. 

 

$$\begin{align*} \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} \; dx &= \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x} \; dx \\ &= \lim_{t \rightarrow \infty} \left[\ln(x)\right]_{1}^{t} \\ &= \lim_{t \rightarrow \infty} \ln(t) = \infty\end{align*}$$

 

따라서, $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} \; dx$는 발산한다. 

 

예제2. $\int_{-\infty}^{0} xe^{x} \; dx$를 계산하라.

$t \le 0$인 임의의 실수 $t$를 선택하자.

 

$$\begin{align*} \int_{-\infty}^{0} xe^{x} \; dx &= \lim_{t \rightarrow -\infty} \int_{t}^{0} xe^{x} \; dx \end{align*}$$

 

여기서 피적분함수 $xe^{x}$를 적분하기 위해 부분적분을 적용한다. $f(x) = x, g^{'}(x) = e^{x}$라고 했을 때, $f^{'}(x) = 1, g(x) = e^{x}$이다. 따라서, 아래와 같이 적분할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{t}^{0} xe^{x} \; dx &= \left[xe^{x}\right]_{t}^{0} - \int_{t}^{0} e^{x} \; dx \\ &= -te^{t} - \left[e^{x}\right]_{t}^{0} = -te^{t} - (1 - e^{t}) = e^{t} - te^{t} - 1\end{align*}$$

 

이제 이 식을 위의 특이적분에 대입한다. 

 

$$\begin{align*} \int_{-\infty}^{0} xe^{x} \; dx &= \lim_{t \rightarrow -\infty} \int_{t}^{0} xe^{x} \; dx \\ &= \lim_{t \rightarrow -\infty} \left(e^{t} -te^{t} - 1\right) \\ &= \lim_{t \rightarrow -\infty} \left(e^{t}(1 - t) - 1\right) \\ &= \lim_{s \rightarrow \infty} \left(e^{-s}(1 + s) - 1\right) \\ &= \lim_{s \rightarrow \infty} \left(\frac{1 + s}{e^{s}} - 1\right) = -1\end{align*}$$

 

예제3. $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x^{2} + 1} \; dx$를 계산하라. 

정의(c)에 의해서 $a = 0$이라고 할 때, $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1 + x^{2}} \; dx = \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{1 + x^{2}} \; dx + \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1 + x^{2}} \; dx$로 분해할 수 있다. 이때, $f(x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$이라고 할 때, $f(-x) = \frac{1}{1 + (-x)^{2}} = \frac{1}{1 + x^{2}} = f(x)$로 우함수이다. 따라서, $\int_{-\infty}^{0} f(x) \; dx = \int_{0}^{\infty} f(x) \; dx$이기 때문에, $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \; dx = 2\int_{0}^{\infty} f(x) \; dx$이다. 그리고, $t \ge 0$인 임의의 실수 $t$를 선택한다. 

 

$$\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1 + x^{2}} \; dx &= \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{1 + x^{2}} \; dx + \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1 + x^{2}} \; dx \\ &= 2\int_{0}^{\infty} \frac{1}{1 + x^{2}} \; dx \\ &= 2 \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} \; dx \\ &= 2 \lim_{t \rightarrow \infty} \left[\arctan(x)\right]_{0}^{t} \\ &= 2 \lim_{t \rightarrow \infty} \left(\arctan(t) - \arctan(0) \right) \\ &= 2 \lim_{t \rightarrow \infty} \arctan(t) \\ &= 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi \end{align*}$$

 

 CASE2. 불연속점이 존재하는 피적분함수

 정의2. 불연속점이 존재하는 피적분함수의 특이적분

(a). 함수 $f(x)$가 구간 $[a, b)$에서 연속이고 $x = b$에서는 불연속이라고 가정하면 $\int_{a}^{b} f(x) \; dx = \lim_{t \rightarrow b^{-}} \int_{a}^{t} f(x) \; dx$이다. 

(b). 함수 $f(x)$가 구간 $(a, b]$에서 연속이고 $x = a$에서는 불연속이라고 가정하면 $\int_{a}^{b} f(x) \; dx = \lim_{t \rightarrow a^{+}} \int_{t}^{b} f(x) \; dx$이다. 

(c). 함수 $f(x)$가 구간 $(a, b)$ 사이의 어떤 점 $x = c$에서 불연속이고 $\int_{a}^{c} f(x) \; dx$와 $\int_{c}^{b} f(x) \; dx$ 모두 존재한다고 가정하면 $\int_{a}^{b} f(x) \; dx = \int_{a}^{c} f(x) \; dx + \int_{c}^{b} f(x) \; dx$이다.

 

 설명

간단한 예제를 통해 설명드리도록 하겠습니다. $\int_{2}^{5} \frac{1}{\sqrt{x - 2}} \; dx$를 계산해도록 하겠습니다. 일단, $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$라고 할 때, $x = 2$에서 불연속이라는 것을 쉽게 관찰하실 수 있습니다. 즉, $f(x)$는 구간 $(2, 5]$에서는 연속이지만 $x = 2$에서는 불연속입니다. 따라서, 정의(b)에 의해 아래와 같이 쓸 수 있습니다. 

 

$$\begin{align*} \int_{2}^{5} \frac{1}{\sqrt{x - 2}} \; dx &= \lim_{t \rightarrow 2^{+}} \int_{t}^{5} \frac{1}{\sqrt{x - 2}} \; dx \\ &= \lim_{t \rightarrow 2^{+}} \left[2\sqrt{x - 2}\right]_{t}^{5} \\ &= 2\lim_{t \rightarrow 2^{+}} \left(\sqrt{3} - \sqrt{t - 2}\right) \\ &= 2\sqrt{3} \end{align*}$$

 

 예제4. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sec(x) \; dx$를 계산하라.

$f(x) = \sec(x)$라고 할 때, $x = \frac{\pi}{2}$에서 불연속이다. 즉, 함수 $f(x)$는 구간 $[0, \frac{\pi}{2})$에서 연속이지만 점 $x = \frac{\pi}{2}$에서는 불연속이다. 따라서, 정의(a)에 의해 아래와 같이 쓸 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sec(x) \; dx &= \lim_{t \rightarrow \frac{\pi}{2}^{-}} \int_{0}^{t} \sec(x) \; dx \\ &= \lim_{t \rightarrow \frac{\pi}{2}^{-}} \int_{0}^{t} \sec(x) \cdot \frac{\sec(x) + \tan(x)}{\sec(x) + \tan(x)} \; dx \\ &= \lim_{t \rightarrow \frac{\pi}{2}^{-}} \int_{0}^{t} \frac{\sec^{2}(x) + \sec(x)\tan(x)}{\sec(x) + \tan(x)} \\ &= \lim_{t \rightarrow \frac{\pi}{2}^{-}} \left[\ln\left|\sec(x) + \tan(x)\right|\right]_{0}^{t} \\ &= \lim_{t \rightarrow \frac{\pi}{2}^{-}} \left(\ln\left|\sec(t) + \tan(t)\right| - \ln\left|\sec(0) + \tan(0) \right|\right) \\ &= \lim_{t \rightarrow \frac{\pi}{2}^{-}} \ln\left|\sec(t) + \tan(t)\right| = \infty\end{align*}$$

 

따라서, $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sec(x) \; dx$는 발산한다. 

 

연습문제1. 주어진 적분들이 특이적분인 이유를 확인하라.

 

(a). $\int_{1}^{\infty} x^{4}e^{-x^{4}} \; dx$

(b). $\int_{0}^{1} \frac{1}{2x - 1} \; dx$

(c). $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin(x)}{1 + x^{2}} \; dx$

(d). $\int_{1}^{2} \ln (x - 1) \; dx$

 

(a). $\int_{1}^{\infty} x^{4}e^{-x^{4}} \; dx$

 

적분구간에 무한대가 포함되었기 때문에 특이적분이다. 

 

(b). $\int_{0}^{1} \frac{1}{2x - 1} \; dx$

 

적분구간 $[0, 1]$에 분모가 0이 되는 $x = \frac{1}{2}$가 포함되어 있으므로 주어진 적분은 특이적분이다. 

 

(c). $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin(x)}{1 + x^{2}} \; dx$

 

적분구간에 무한대가 포함되었기 때문에 특이적분이다. 

 

(d). $\int_{1}^{2} \ln (x - 1) \; dx$

 

적분구간 $[1, 2]$에서 $\ln (x - 1)$이 $x = 1$에서 정의되지 않으므로 주어진 적분은 특이적분이다. 

 

연습문제2. 주어진 특이적분들이 수렴하는 지 발산하는 지 확인하고 수렴한다면 수렴값을 구하라.

 

(a). $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{(3x + 1)^{2}} \; dx$

(b). $\int_{-\infty}^{0} \frac{1}{2x - 5} \; dx$

(c). $\int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{\sqrt{2 - x}} \; dx$

(d). $\int_{0}^{\infty} \frac{x}{(x^{2} + 2)^{2}} \; dx$

(e). $\int_{4}^{\infty} e^{-\frac{x}{2}} \; dx$

 

(a). $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{(3x + 1)^{2}} \; dx$

 

주어진 적분이 특이적분이므로 극한의 형태로 변형하면 $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{(3x + 1)^{2}} \; dx = \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{(3x + 1)^{2}} \; dx$이다. 따라서, 극한 안의 정적분부터 풀어서 식을 정리하면 다음과 같다. 

 

$$\begin{align*} \int_{1}^{t} \frac{1}{(3x + 1)^{2}} \; dx &= \left[ - \frac{1}{3(3x + 1)} \right]_{1}^{t} \\ &= -\frac{1}{3} \left( \frac{1}{3t + 1} - \frac{1}{4} \right) \end{align*}$$

 

따라서, $t \rightarrow \infty$로의 극한을 취하면 다음과 같이 적분결과를 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{1}^{\infty} \frac{1}{(3x + 1)^{2}} \; dx &= \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{(3x + 1)^{2}} \; dx \\ &= \lim_{t \rightarrow \infty} -\frac{1}{3} \left( \frac{1}{3t + 1} - \frac{1}{4} \right) \\ &= -\frac{1}{3} \left( 0 - \frac{1}{4} \right) =  \frac{1}{12} \end{align*}$$

 

(b). $\int_{-\infty}^{0} \frac{1}{2x - 5} \; dx$

 

주어진 적분이 특이적분이므로 극한의 형태로 변형하면 $\int_{-\infty}^{0} \frac{1}{2x - 5} \; dx = \lim_{t \rightarrow -\infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{2x - 5} \; dx$이다. 따라서, 극한 안의 정적분부터 풀어서 식을 정리하면 다음과 같다. 

 

$$\begin{align*} \int_{t}^{0} \frac{1}{2x - 5} \; dx &= \left[ \ln \left| 2x - 5 \right| \right]_{t}^{0} \\ &= \ln |2t - 5| - \ln 5 \end{align*}$$

 

따라서, $t \rightarrow -\infty$로의 극한을 취하면 다음과 같이 적분결과를 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{2x - 5} \; dx &= \lim_{t \rightarrow -\infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{2x - 5} \; dx \\ &= \lim_{t \rightarrow -\infty} \left( \ln \left| 2t - 5 \right| - \ln 5 \right) = \infty \end{align*}$$

 

(c). $\int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{\sqrt{2 - x}} \; dx$

 

주어진 적분이 특이적분이므로 극한의 형태로 변형하면 $\int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{\sqrt{2 - x}} \; dx = \lim_{t \rightarrow -\infty} \int_{t}^{-1} \frac{1}{\sqrt{2 - x}} \; dx$이다. 따라서, 극한 안의 정적분부터 풀어서 식을 정리하면 다음과 같다. 

 

$$\begin{align*} \int_{t}^{-1} \frac{1}{\sqrt{2 - x}} \; dx &= \left[ \frac{2}{3} (2 - x)^{\frac{3}{2}} \right]_{t}^{-1} \\ &= \frac{2}{3} \left( 3\sqrt{3} - (2 - t)\sqrt{2 - t} \right) \end{align*}$$

 

따라서, $t \rightarrow -\infty$로의 극한을 취하면 다음과 같이 적분결과를 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{\sqrt{2 - x}} \; dx &= \lim_{t \rightarrow -\infty} \int_{t}^{-1} \frac{1}{\sqrt{2 - x}} \; dx \\ &= \lim_{t \rightarrow -\infty} \frac{2}{3} \left( 3\sqrt{3} - (2 - t)\sqrt{2 - t} \right) = -\infty \end{align*}$$

 

(d). $\int_{0}^{\infty} \frac{x}{(x^{2} + 2)^{2}} \; dx$

 

주어진 적분이 특이적분이므로 극한의 형태로 변형하면 $\int_{0}^{\infty} \frac{x}{(x^{2} + 2)^{2}} \; dx = \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{0}^{t} \frac{x}{(x^{2} + 2)^{2}} \; dx$이다. 따라서, 극한 안의 정적분부터 풀어서 식을 정리하면 다음과 같다. 이때, $x^{2} + 2 = u$라고 하면 $2x dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{2u} du$이고 적분구간은 $[0, t] \rightarrow [2, t^{2} + 2]$이다. 

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{t} \frac{x}{(x^{2} + 2)^{2}} \; dx &= \int_{2}^{t^{2} + 2} \frac{x}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2x} \; du \\ &= \frac{1}{2} \int_{2}^{t^{2} + 2} \frac{1}{u^{2}} \; du \\ &=  \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{u} \right]_{2}^{t^{2} + 2} \\ &= \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{t^{2} + 2} + \frac{1}{2} \right) \end{align*}$$

 

따라서, $t \rightarrow \infty$로의 극한을 취하면 다음과 같이 적분결과를 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{\infty} \frac{x}{(x^{2} + 2)^{2}} \; dx &= \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{0}^{t} \frac{x}{(x^{2} + 2)^{2}} \; dx \\ &= \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{t^{2} + 2} + \frac{1}{2} \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( -0 + \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{4} \end{align*}$$

 

(e). $\int_{4}^{\infty} e^{-\frac{x}{2}} \; dx$

 

주어진 적분이 특이적분이므로 극한의 형태로 변형하면 $\int_{4}^{\infty} e^{-\frac{x}{2}} \; dx = \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{4}^{t} e^{-\frac{x}{2}} \; dx$이다. 따라서, 극한 안의 정적분부터 풀어서 식을 정리하면 다음과 같다.

 

$$\begin{align*} \int_{4}^{t} e^{-\frac{x}{2}} \; dx &= \left[ -2e^{-\frac{x}{2}} \right]_{4}^{t} \\ &= -2 \left( e^{-\frac{t}{2}} - e^{-2} \right) \end{align*}$$

 

따라서, $t \rightarrow \infty$로의 극한을 취하면 다음과 같이 적분결과를 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{4}^{\infty} e^{-\frac{x}{2}} \; dx &= \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{4}^{t} e^{-\frac{x}{2}} \; dx \\ &= \lim_{t \rightarrow \infty} -2 \left( e^{-\frac{t}{2}} - e^{-2} \right) \\ &= -2 \left( 0 - e^{-2} \right) = 2e^{-2} \end{align*}$$

 

연습문제3. 주어진 특이적분들이 수렴하는 지 발산하는 지 확인하고 수렴한다면 수렴값을 구하라.

 

(a). $\int_{-\infty}^{-1} e^{-2x} \; dx$

(b). $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{1 + x^{2}} \; dx$

(c). $\int_{-\infty}^{\infty} (2 - x^{4}) \; dx$

(d). $\int_{-\infty}^{\infty} xe^{-x^{2}} \; dx$

(e). $\int_{1}^{\infty} \frac{e^{-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \; dx$

 

(a). $\int_{-\infty}^{-1} e^{-2x} \; dx$

 

주어진 적분이 특이적분이므로 극한의 형태로 변형하면 $\int_{-\infty}^{-1} e^{-2x} \; dx = \lim_{t \rightarrow -\infty} \int_{t}^{-1} e^{-2x} \; dx$이다. 따라서, 극한 안의 정적분부터 풀어서 식을 정리하면 다음과 같다.

 

$$\begin{align*} \int_{t}^{-1} e^{-2x} \; dx &= \left[ -\frac{1}{2} e^{-2x} \right]_{t}^{-1} \\ &= -\frac{1}{2} \left( e^{2} - e^{-2t} \right) \end{align*}$$

 

따라서, $t \rightarrow -\infty$로의 극한을 취하면 다음과 같이 적분결과를 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{-\infty}^{-1} e^{-2x} \; dx &= \lim_{t \rightarrow -\infty} \int_{t}^{-1} e^{-2x} \; dx \\ &= \lim_{t \rightarrow -\infty} -\frac{1}{2} \left( e^{2} - e^{-2t} \right) = \infty \end{align*}$$

 

(b). $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{1 + x^{2}} \; dx$

 

주어진 적분이 특이적분이므로 극한의 형태로 변형하면 $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{1 + x^{2}} \; dx = \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{-t}^{t} \frac{x}{1 + x^{2}} \; dx$이다. 따라서, 극한 안의 정적분부터 풀어서 식을 정리하면 다음과 같다. 이때, $1 + x^{2} = u$라고 하면 $2x dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{2u} du$이고 적분구간은 $[-t, t] \rightarrow [1, 1 + t^{2}]$이다. 

 

$$\begin{align*} \int_{-t}^{t} \frac{x}{1 + x^{2}} \; dx &= \int_{1}^{1 + t^{2}} \frac{x}{u} \cdot \frac{1}{2x} \; du \\ &= \frac{1}{2} \int_{1}^{1 + t^{2}} \frac{1}{u} \; du \\ &= \frac{1}{2} \left[ \ln |u| \right]_{1}^{1 + t^{2}} \\ &= \frac{1}{2} \left( \ln (1 + t^{2}) - \ln (1) \right) = \frac{1}{2} \ln (1 + t^{2}) \end{align*}$$

 

따라서, $t \rightarrow \infty$로의 극한을 취하면 다음과 같이 적분결과를 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{1 + x^{2}} \; dx &= \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{-t}^{t} \frac{x}{1 + x^{2}} \; dx \\ &= \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{2} \ln (t^{2} + 1) = \infty \end{align*}$$

 

(c). $\int_{-\infty}^{\infty} (2 - x^{4}) \; dx$

 

주어진 적분이 특이적분이므로 극한의 형태로 변형하면 $\int_{-\infty}^{\infty} (2 - x^{4}) \; dx = \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{-t}^{t} (2 - x^{4}) \; dx$이다. 따라서, 극한 안의 정적분부터 풀어서 식을 정리하면 다음과 같다.

 

$$\begin{align*} \int_{-t}^{t} (2 - x^{4}) \; dx &= 0\end{align*}$$

 

따라서, $t \rightarrow \infty$로의 극한을 취하면 다음과 같이 적분결과를 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty} (2 - x^{4}) \; dx &= \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{-t}^{t} (2 - x^{4}) \; dx \\ &= \lim_{t \rightarrow \infty} 0 = 0 \end{align*}$$

 

(d). $\int_{-\infty}^{\infty} xe^{-x^{2}} \; dx$

 

주어진 적분이 특이적분이므로 극한의 형태로 변형하면 $\int_{-\infty}^{\infty} xe^{-x^{2}} \; dx = \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{-t}^{t} xe^{-x^{2}} \; dx$이다. 따라서, 극한 안의 정적분부터 풀어서 식을 정리하면 다음과 같다. 이때, $x^{2} = u$라고 하면 $2x dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{2x} du$이고 적분구간은 $[-t, t] \rightarrow [0, t^{2}]$이다. 

 

$$\begin{align*} \int_{-t}^{t} xe^{-x^{2}} \; dx &= \int_{0}^{t^{2}} x e^{-u} \cdot \frac{1}{2x} \; du \\ &= \frac{1}{2} \int_{0}^{t^{2}} e^{-u} \; du \\ &= \frac{1}{2} \left[ -e^{-u} \right]_{0}^{t^{2}} = \frac{1}{2} \left( 1 - e^{-t^{2}} \right) \end{align*}$$

 

따라서, $t \rightarrow \infty$로의 극한을 취하면 다음과 같이 적분결과를 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty} xe^{-x^{2}} \; dx &= \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{-t}^{t} xe^{-x^{2}} \; dx \\ &= \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{2} \left( 1 - e^{-t^{2}} \right) \\ &= \frac{1}{2} (1 - 0) = \frac{1}{2} \end{align*}$$

 

(e). $\int_{1}^{\infty} \frac{e^{-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \; dx$

 

주어진 적분이 특이적분이므로 극한의 형태로 변형하면 $\int_{1}^{\infty} \frac{e^{-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \; dx = \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{t} \frac{e^{-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \; dx$이다. 따라서, 극한 안의 정적분부터 풀어서 식을 정리하면 다음과 같다. 이때, $\sqrt{x} = u$라고 하면 $\frac{1}{2\sqrt{x}} dx = du \rightarrow dx = 2\sqrt{x} du = 2u du$이고 적분구간은 $[1, t] \rightarrow [1, \sqrt{t}]$이다. 

 

$$\begin{align*} \int_{1}^{t} \frac{e^{-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \; dx &= \int_{1}^{\sqrt{t}} \frac{e^{-u}}{u} \cdot (2u) \; du \\ &= 2 \int_{1}^{\sqrt{t}} e^{-u} \; du \\ &= 2 \left[ -e^{-u} \right]_{1}^{\sqrt{t}} = 2 \left( \frac{1}{e} - e^{-\sqrt{t}} \right) \end{align*}$$

 

따라서, $t \rightarrow \infty$로의 극한을 취하면 다음과 같이 적분결과를 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{1}^{\infty} \frac{e^{-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \; dx &= \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{t} \frac{e^{-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \; dx \\ &= \lim_{t \rightarrow \infty} 2 \left( \frac{1}{e} - e^{-\sqrt{t}} \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{e} - 0  \right) = \frac{1}{2e} \end{align*}$$

 

연습문제4. 주어진 특이적분들이 수렴하는 지 발산하는 지 확인하고 수렴한다면 수렴값을 구하라.

 

(a). $\int_{2\pi}^{\infty} \sin(x) \; dx$

(b). $\int_{-\infty}^{\infty} \cos(\pi x) \; dx$

(c). $\int_{1}^{\infty} \frac{x + 1}{x^{2} + 2x} \; dx$

(d). $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^{2} + 3x + 2} \; dx$

(e). $\int_{0}^{\infty} xe^{-5x} \; dx$

 

(a). $\int_{2\pi}^{\infty} \sin(x) \; dx$

 

주어진 적분이 특이적분이므로 극한의 형태로 변형하면 $\int_{2\pi}^{\infty} \sin(x) \; dx = \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{2\pi}^{t} \sin(x) \; dx$이다. 따라서, 극한 안의 정적분부터 풀어서 식을 정리하면 다음과 같다.

 

$$\begin{align*} \int_{2\pi}^{t} \sin(x) \; dx &= \left[ -\cos(x) \right]_{2\pi}^{t} \\ &= \left( 1 - \cos(t) \right) \end{align*}$$

 

따라서, $t \rightarrow \infty$로의 극한을 취하면 다음과 같이 적분결과를 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{2\pi}^{\infty} \sin(x) \; dx &= \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{2\pi}^{t} \sin(x) \; dx \\ &= \lim_{t \rightarrow \infty} \left( 1 - \cos(t) \right) \end{align*}$$

 

위 극한은 $\lim_{t \rightarrow \infty} \cos(t)$가 수렴하지 않고 진동하기 때문에 전체 극한 $\lim_{t \rightarrow \infty} (1 - \cos(t))$ 역시 수렴하지 않고 진동한다. 

 

(b). $\int_{-\infty}^{\infty} \cos(\pi x) \; dx$

 

주어진 적분이 특이적분이므로 극한의 형태로 변형하면 $\int_{-\infty}^{\infty} \cos(\pi x) \; dx = \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{-t}^{t} \cos(\pi x) \; dx$이다. 따라서, 극한 안의 정적분부터 풀어서 식을 정리하면 다음과 같다.

 

$$\begin{align*} \int_{-t}^{t} \cos( \pi x) \; dx &= 2 \int_{0}^{t} \cos(\pi x) \; dx \\ &= 2 \left[ \frac{1}{\pi} \sin( \pi x) \right]_{0}^{t} \\ &= \frac{2}{\pi} \sin(\pi t) \end{align*}$$

 

따라서, $t \rightarrow \infty$로의 극한을 취하면 다음과 같이 적분결과를 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty} \cos(\pi x) \; dx &= \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{-t}^{t} \cos( \pi x) \; dx \\ &= \lim_{t \rightarrow \infty}  \frac{2}{\pi} \sin(\pi t) \end{align*}$$

 

위 극한은 $\lim_{t \rightarrow \infty} \sin(\pi t)$가 수렴하지 않고 진동하기 때문에 전체 극한 $\lim_{t \rightarrow \infty} \frac{2}{\pi} \sin(\pi t)$ 역시 수렴하지 않고 진동한다. 

 

(c). $\int_{1}^{\infty} \frac{x + 1}{x^{2} + 2x} \; dx$

 

주어진 적분이 특이적분이므로 극한의 형태로 변형하면 $\int_{1}^{\infty} \frac{x + 1}{x^{2} + 2} \; dx = \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{t} \frac{x + 1}{x(x + 2)} \; dx$이다. 따라서, 극한 안의 정적분부터 풀어서 식을 정리하면 다음과 같다. 이때, $f(x) = \frac{x + 1}{x(x + 2)}$라고 하면 분자의 차수가 분모의 차수보다 작고 분모가 인수분해 가능하므로 부분분수법에 의해 분해할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{1}^{t} \frac{x + 1}{x(x + 2)} \; dx &=  \frac{1}{2} \int_{1}^{t} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2} \right) \\ &= \frac{1}{2} \left[ \ln |x| + \ln|x + 2| \right]_{1}^{t} \\ &= \frac{1}{2} \left[ \ln |x(x + 2)| \right]_{1}^{t} \\ &= \frac{1}{2} \left( \ln |t(t + 2)| - \ln 3 \right) \end{align*}$$

 

따라서, $t \rightarrow \infty$로의 극한을 취하면 다음과 같이 적분결과를 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{1}^{\infty} \frac{x + 1}{x^{2} + 2x} \; dx &= \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{t} \frac{x + 1}{x^{2} + 2x} \; dx \\ &= \lim_{t \rightarrow \infty}  \frac{1}{2} \left( \ln |t(t + 2)| - \ln 3 \right) = \infty \end{align*}$$

 

(d). $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^{2} + 3x + 2} \; dx$

 

주어진 적분이 특이적분이므로 극한의 형태로 변형하면 $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^{2} + 3x + 2} \; dx = \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{(x + 1)(x + 2)} \; dx$이다. 따라서, 극한 안의 정적분부터 풀어서 식을 정리하면 다음과 같다. 이때, $f(x) = \frac{1}{(x + 1)(x + 2)}$라고 하면 분자의 차수가 분모의 차수보다 작고 분모가 인수분해 가능하므로 부분분수법에 의해 분해할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{t} \frac{1}{(x + 1)(x + 2)} \; dx &=  \int_{0}^{t} \left( \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2} \right) \\ &= \left[ \ln |x + 1| - \ln|x + 2| \right]_{0}^{t} \\ &= \left[ \ln \left| \frac{x + 1}{x + 2} \right| \right]_{0}^{t} \\ &= \left( \ln \left| \frac{t + 1}{t + 2} \right| - \ln \frac{1}{2} \right) \end{align*}$$

 

따라서, $t \rightarrow \infty$로의 극한을 취하면 다음과 같이 적분결과를 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^{2} + 3x + 2} \; dx &= \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{x^{2} + 3x + 2} \; dx \\ &= \lim_{t \rightarrow \infty}  \left( \ln \left| \frac{t + 1}{t + 2} \right| - \ln \frac{1}{2} \right) \\ &= \ln \frac{1}{2} - \ln \frac{1}{2} = 0 \end{align*}$$

 

(e). $\int_{0}^{\infty} xe^{-5x} \; dx$

 

주어진 적분이 특이적분이므로 극한의 형태로 변형하면 $\int_{0}^{\infty} xe^{-5x} \; dx = \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{0}^{t} xe^{-5x} \; dx$이다. 따라서, 극한 안의 정적분부터 풀어서 식을 정리하면 다음과 같다. 부분적분법을 이용하기 위해 $f(x) = x$ 그리고 $g^{'}(x) = e^{-5x}$라고 하면 $f^{'}(x) = 1$ 이고 $g(x) = -\frac{1}{5}e^{-5x}$이다. 

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{t} xe^{-5x} \; dx &= \left[ -\frac{1}{5}xe^{-5x} \right]_{0}^{t} + \frac{1}{5} \int_{0}^{t} e^{-5x} \; dx \\ &= \left[ -\frac{1}{5} xe^{-5x} \right]_{0}^{t} - \frac{1}{25} \left[ e^{-5x} \right]_{0}^{t} \\ &= -\frac{1}{5} te^{-5t} - \frac{1}{25} \left( e^{-5t} - 1 \right) \\ &= -\frac{6}{25} e^{-5t} + \frac{1}{25} \end{align*}$$

 

따라서, $t \rightarrow \infty$로의 극한을 취하면 다음과 같이 적분결과를 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{\infty} xe^{-5x} \; dx &= \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{0}^{t} xe^{-5x} \; dx \\ &= \lim_{t \rightarrow \infty}  \left( -\frac{6}{25}e^{-5t} + \frac{1}{25} \right) = \frac{1}{25} \end{align*}$$

 

연습문제5. 주어진 특이적분들이 수렴하는 지 발산하는 지 확인하고 수렴한다면 수렴값을 구하라.

 

(a). $\int_{-\infty}^{6} x e^{\frac{x}{3}} \; dx$

(b). $\int_{1}^{\infty} \frac{\ln x}{x} \; dx$

(c). $\int_{-\infty}^{\infty} x^{3} e^{-x^{4}} \; dx$

(d). $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^{2}}{9 + x^{6}} \; dx$

(e). $\int_{0}^{\infty} \frac{e^{x}}{e^{2x} + 3} \; dx$

 

(a). $\int_{-\infty}^{6} x e^{\frac{x}{3}} \; dx$

 

주어진 적분이 특이적분이므로 극한의 형태로 변형하면 $\int_{-\infty}^{6} x e^{\frac{x}{3}} \; dx = \lim_{t \rightarrow -\infty} \int_{t}^{6} x e^{\frac{x}{3}} \; dx$이다. 따라서, 극한 안의 정적분부터 풀어서 식을 정리하면 다음과 같다. 부분적분법을 이용하기 위해 $f(x) = x$ 그리고 $g^{'}(x) = e^{\frac{x}{3}}$라고 하면 $f^{'}(x) = 1$ 이고 $g(x) = 3e^{\frac{x}{3}}$이다. 

 

$$\begin{align*} \int_{t}^{6} xe^{\frac{x}{3}} \; dx &= \left[ 3xe^{\frac{x}{3}} \right]_{t}^{6} - 3 \int_{t}^{6} e^{\frac{x}{3}} \; dx \\ &= \left[ 3xe^{\frac{x}{3}} \right]_{t}^{6} - 9 \left[ e^{\frac{x}{3}} \right]_{t}^{6} \\ &= 3\left( 6e^{2} - te^{\frac{t}{3}} \right) - 9 \left( e^{2} - e^{\frac{t}{3}} \right) \\ &= 9e^{2} - 3(t + 3)e^{\frac{t}{3}} \end{align*}$$

 

따라서, $t \rightarrow -\infty$로의 극한을 취하면 다음과 같이 적분결과를 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{-\infty}^{6} x e^{\frac{x}{3}} \; dx &= \lim_{t \rightarrow -\infty} \int_{t}^{6} xe^{\frac{x}{3}} \; dx \\ &= \lim_{t \rightarrow -\infty}  \left( 9e^{2} - 3(t + 3) e^{\frac{t}{3}} \right) \end{align*}$$

 

여기서, $\lim_{t \rightarrow -\infty} (t + 3) e^{\frac{t}{3}}$의 수렴성을 판단하기 위해 다음과 같이 로피탈의 정리를 이용한다. 

 

$$\begin{align*} \lim_{t \rightarrow -\infty} (t + 3) e^{\frac{t}{3}} &= \lim_{t \rightarrow -\infty} \frac{t + 3}{\frac{1}{e^{\frac{t}{3}}}} \\ &= \lim_{t \rightarrow -\infty} \frac{t + 3}{e^{-\frac{t}{3}}} \\ &= \lim_{t \rightarrow -\infty} \frac{1}{-\frac{1}{3}e^{-\frac{t}{3}}} \\ &= \lim_{t \rightarrow -\infty} \frac{-3}{e^{-\frac{t}{3}}} = 0 \end{align*}$$

 

따라서, 최종적분 결과는 다음과 같다. 

 

$$\begin{align*} \int_{-\infty}^{6} x e^{\frac{x}{3}} \; dx &= \lim_{t \rightarrow -\infty}  \left( 9e^{2} - 3(t + 3) e^{\frac{t}{3}} \right) = 9e^{2} \end{align*}$$

 

(b). $\int_{1}^{\infty} \frac{\ln x}{x} \; dx$

 

주어진 적분이 특이적분이므로 극한의 형태로 변형하면 $\int_{1}^{\infty} \frac{\ln x}{x} \; dx = \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{t} \frac{\ln x}{x} \; dx$이다. 따라서, 극한 안의 정적분부터 풀어서 식을 정리하면 다음과 같다. 부분적분법을 이용하기 위해 $f(x) = \ln x$ 그리고 $g^{'}(x) = \frac{1}{x}$라고 하면 $f^{'}(x) = \frac{1}{x}$ 이고 $g(x) = \ln x$이다. 

 

$$\begin{align*} \int_{1}^{t} \frac{\ln x}{x} \; dx &= \left[ (\ln x)^{2} \right]_{1}^{t} - \int_{1}^{t} \frac{\ln x}{x} \; dx \\ &= (\ln t)^{2} - \int_{1}^{t} \frac{\ln x}{x} \; dx \\ \Rightarrow& \int_{1}^{t} \frac{\ln x}{x} \; dx = \frac{1}{2} (\ln t)^{2} \end{align*}$$

 

따라서, $t \rightarrow \infty$로의 극한을 취하면 다음과 같이 적분결과를 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{1}^{\infty} \frac{\ln x}{x} \; dx &= \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{t} \frac{\ln x}{x} \; dx \\ &= \lim_{t \rightarrow \infty}  \frac{1}{2} (\ln t)^{2} = \infty\end{align*}$$

 

(c). $\int_{-\infty}^{\infty} x^{3} e^{-x^{4}} \; dx$

 

주어진 적분이 특이적분이므로 극한의 형태로 변형하면 $\int_{-\infty}^{\infty} x^{3} e^{-x^{4}} \; dx = \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{-t}^{t} x^{3}e^{-x^{4}} \; dx$이다. 따라서, 극한 안의 정적분부터 풀어서 식을 정리하면 다음과 같다. 이때, $x^{4} = u$라고 하면 $4x^{3} dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{4x^{3}} du$이고 적분구간은 $[-t, t] \rightarrow [0, t^{4}]$이다. 

 

$$\begin{align*} \int_{-t}^{t} x^{3} e^{-x^{4}} \; dx &= \int_{0}^{t^{4}} x^{3} e^{-u} \cdot \frac{1}{4x^{3}} \; du \\ &= \frac{1}{4} \int_{0}^{t^{4}} e^{-u} \; du \\ &= \frac{1}{4} \left[ -e^{-u} \right]_{0}^{t^{4}} \\ &= \frac{1}{4} \left( 1 - e^{-t^{4}} \right)  \end{align*}$$

 

따라서, $t \rightarrow \infty$로의 극한을 취하면 다음과 같이 적분결과를 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty} x^{3} e^{-x^{4}} \; dx &= \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{-t}^{t} x^{3} e^{-x^{4}} \; dx \\ &= \lim_{t \rightarrow \infty}  \frac{1}{4} \left( 1 - e^{-t^{4}} \right) = \frac{1}{4} \end{align*}$$

 

(d). $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^{2}}{9 + x^{6}} \; dx$

 

주어진 적분이 특이적분이므로 극한의 형태로 변형하면 $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^{2}}{9 + x^{6}} \; dx = \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{-t}^{t} \frac{x^{2}}{9 +x^{6}} \; dx$이다. 따라서, 극한 안의 정적분부터 풀어서 식을 정리하면 다음과 같다. 이때, $x^{3} = u$라고 하면 $3x^{2} dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{3x^{2}} du$이고 적분구간은 $[-t, t] \rightarrow [-t^{3}, t^{3}]$이다. 

 

$$\begin{align*} \int_{-t}^{t} \frac{x^{2}}{9 + x^{6}} \; dx &= 2\int_{0}^{t} \frac{x^{2}}{9 + x^{6}} \\ &= 2\int_{0}^{t^{3}} \frac{x^{2}}{9 + u^{2}} \cdot \frac{1}{3x^{2}} \; du \\ &= \frac{2}{3} \int_{0}^{t^{3}} \frac{1}{9 + u^{2}} \; du \\ &= \frac{2}{3} \left[ \frac{1}{3} \arctan \left( \frac{u}{3} \right) \right]_{0}^{t^{3}} \\ &= \frac{2}{9} \left( \arctan \left( \frac{t^{3}}{3} \right) - \arctan(0) \right) = \frac{2}{9} \arctan \left( \frac{t^{3}}{3} \right) \end{align*}$$

 

따라서, $t \rightarrow \infty$로의 극한을 취하면 다음과 같이 적분결과를 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^{2}}{9 + x^{6}} \; dx &= \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{-t}^{t} \frac{x^{2}}{9 + x^{6}} \; dx \\ &= \lim_{t \rightarrow \infty}  \frac{2}{9} \arctan \left( \frac{t^{3}}{3} \right) \\ &= \frac{2}{9} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{9} \end{align*}$$

 

(e). $\int_{0}^{\infty} \frac{e^{x}}{e^{2x} + 3} \; dx$

 

주어진 적분이 특이적분이므로 극한의 형태로 변형하면 $\int_{0}^{\infty} \frac{e^{x}}{e^{2x} + 3} \; dx = \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{0}^{t} \frac{e^{x}}{e^{2x} + 3} \; dx$이다. 따라서, 극한 안의 정적분부터 풀어서 식을 정리하면 다음과 같다. 이때, $e^{x} = u$라고 하면 $e^{x} dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{e^{x}} du = \frac{1}{u} du$이고 적분구간은 $[0, t] \rightarrow [1, e^{t}]$이다. 

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{t} \frac{e^{x}}{e^{2x} + 3} \; dx &= \int_{1}^{e^{t}} \frac{u}{u^{2} + 3} \cdot \frac{1}{u} \; du \\ &= \int_{1}^{e^{t}} \frac{1}{u^{2} + 3} \; du \\ &= \left[ \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{u}{\sqrt{3}} \right) \right]_{1}^{e^{t}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{3}} \left( \arctan \left( \frac{e^{t}}{\sqrt{3}} \right) - \arctan \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{3}} \left( \arctan \left( \frac{e^{t}}{\sqrt{3}} \right) - \frac{\pi}{6} \right) \end{align*}$$

 

따라서, $t \rightarrow \infty$로의 극한을 취하면 다음과 같이 적분결과를 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{\infty} \frac{e^{x}}{e^{2x} + 3} \; dx &= \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{0}^{t} \frac{e^{x}}{e^{2x} + 3} \; dx \\ &= \lim_{t \rightarrow \infty}  \frac{1}{\sqrt{3}} \left( \arctan \left( \frac{e^{t}}{\sqrt{3}} \right) - \frac{\pi}{6} \right)\\ &= \frac{1}{\sqrt{3}} \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\pi}{3\sqrt{3}} \end{align*}$$

 

연습문제6. 주어진 특이적분들이 수렴하는 지 발산하는 지 확인하고 수렴한다면 수렴값을 구하라.

 

(a). $\int_{e}^{\infty} \frac{1}{x(\ln x)^{3}} \; dx$

(b). $\int_{0}^{\infty} \frac{x \arctan(x)}{(1 + x^{2})^{2}} \; dx$

(c). $\int_{0}^{1} \frac{3}{x^{5}} \; dx$

(d). $\int_{2}^{3} \frac{1}{\sqrt{3 - x}} \; dx$

(e). $\int_{-2}^{14} \frac{1}{\sqrt[4]{x + 2}} \; dx$

 

(a). $\int_{e}^{\infty} \frac{1}{x(\ln x)^{3}} \; dx$

 

주어진 적분이 특이적분이므로 극한의 형태로 변형하면 $\int_{e}^{\infty} \frac{1}{x(\ln x)^{3}} \; dx = \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{e}^{t} \frac{1}{x (\ln x)^{3}} \; dx$이다. 따라서, 극한 안의 정적분부터 풀어서 식을 정리하면 다음과 같다. 이때, $\ln x = u$라고 하면 $\frac{1}{x} dx = du \rightarrow dx = x du$이고 적분구간은 $[e, t] \rightarrow [1, \ln t]$이다. 

 

$$\begin{align*} \int_{e}^{t} \frac{1}{x (\ln x)^{3}} \; dx &= \int_{1}^{\ln t} \frac{1}{x u^{3}} \cdot x \; du \\ &= \int_{1}^{\ln t} \frac{1}{u^{3}} \; du \\ &= \left[ -\frac{1}{2} \frac{1}{u^{2}} \right]_{1}^{\ln t} \\ &= \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{(\ln t)^{2}} \right)  \end{align*}$$

 

따라서, $t \rightarrow \infty$로의 극한을 취하면 다음과 같이 적분결과를 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{e}^{\infty} \frac{1}{x (\ln x)^{3}} \; dx &= \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{e}^{t} \frac{1}{x (\ln x)^{3}} \; dx \\ &= \lim_{t \rightarrow \infty}  \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{(\ln t)^{2}} \right) = \frac{1}{2} \end{align*}$$

 

(b). $\int_{0}^{\infty} \frac{x \arctan(x)}{(1 + x^{2})^{2}} \; dx$

 

주어진 적분이 특이적분이므로 극한의 형태로 변형하면 $\int_{0}^{\infty} \frac{x \arctan(x)}{(1 + x^{2})^{3}} \; dx = \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{0}^{t} \frac{x \arctan(x)}{(1 + x^{2})^{3}} \; dx$이다. 따라서, 극한 안의 정적분부터 풀어서 식을 정리하면 다음과 같다. 이때, 부분적분법을 적용하기 위해 $f(x) = \arctan(x)$ 이고 $g^{'}(x) = \frac{x}{(1 + x^{2})^{2}}$이라고 하면 $f^{'}(x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$이고 $g(x) = - \frac{1}{2(1 + x^{2})}$이다. 

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{t} \frac{x \arctan(x)}{(1 + x^{2})^{2}} \; dx &= \left[ \frac{\arctan(x)}{2(1 + x^{2})} \right]_{0}^{t} + \frac{1}{2} \int_{0}^{t} \frac{1}{(1 + x^{2})^{2}} \; dx \\ &= \frac{\arctan(t)}{2(1 + t^{2})} + \frac{1}{2} \int_{0}^{t} \frac{1}{(1 + x^{2})^{2}} \; dx  \end{align*}$$

 

여기서, 두번째 항의 적분을 풀기위해 $x = \tan(\theta)$라고 하면 $dx = \sec^{2}(\theta) d\theta$이고 적분구간은 $[0, t] \rightarrow [0, \tan(t)]$이다. 

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{t} \frac{1}{(1 + x^{2})^{2}} \; dx &= \int_{0}^{\tan(t)} \frac{1}{(1 + \tan^{2}(\theta))^{2}} \cdot \sec^{2}(\theta) \; d\theta \ &= \int_{0}^{\tan(t)} \frac{1}{\sec^{2}(\theta)} \; d\theta \\ &= \int_{0}^{\tan(t)} \cos^{2}(\theta) \; d\theta \\ &= \int_{0}^{\tan(t)} \frac{1}{2} \left( 1 + \cos(2\theta) \right) \; d\theta \\ &= \frac{1}{2} \left[ \theta + \frac{1}{2} \sin(2\theta) \right]_{0}^{\tan(t)} \\ &= \frac{1}{2} \left( \tan(t) + \frac{1}{2} \sin(2\tan(t)) \right) \end{align*}$$

 

따라서, 적분결과는 다음과 같다. 

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{t} \frac{x \arctan(x)}{(1 + x^{2})^{2}} \; dx &= \frac{\arctan(t)}{2(1 + t^{2})} + \frac{1}{2} \int_{0}^{t} \frac{1}{(1 + x^{2})^{2}} \; dx \\ &= \frac{\arctan(t)}{2(1 + t^{2})} + \frac{1}{2} \left( \tan(t) + \frac{1}{2} \sin(2\tan(t)) \right) \end{align*}$$

 

따라서, $t \rightarrow \infty$로의 극한을 취하면 다음과 같이 적분결과를 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{\infty} \frac{x \arctan(x)}{(1 + x^{2})^{2}} \; dx &= \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{0}^{t} \frac{x \arctan(x)}{(1 + x^{2})^{2}} \; dx \\ &= \lim_{t \rightarrow \infty}  \left( \frac{\arctan(t)}{2 (1 + t^{2})} + \frac{1}{2} \left(\tan(t) + \frac{1}{2} \sin(2\tan(t))) \right) \right) = \infty \end{align*}$$

 

(c). $\int_{0}^{1} \frac{3}{x^{5}} \; dx$

 

주어진 적분에서 피적분함수가 $x = 0$에서 정의되지 않으므로 특이적분이다. 이를 극한의 형태로 변형하면 $\int_{0}^{1} \frac{3}{x^{5}} \; dx = \lim_{t \rightarrow 0^{+}} \int_{t}^{1} \frac{3}{x^{5}} \; dx$이다. 따라서, 극한 안의 정적분부터 풀어서 식을 정리하면 다음과 같다. 

 

$$\begin{align*} \int_{t}^{1} \frac{3}{x^{5}} \; dx &= \left[ -\frac{3}{4} \frac{1}{x^{4}} \right]_{t}^{1} \\ &= \frac{3}{4} \left( \frac{1}{t^{4}} - 1 \right)  \end{align*}$$

 

따라서, $t \rightarrow \infty$로의 극한을 취하면 다음과 같이 적분결과를 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{1} \frac{3}{x^{5}} \; dx &= \lim_{t \rightarrow 0^{+}} \int_{t}^{1} \frac{3}{x^{5}} \; dx \\ &= \lim_{t \rightarrow 0^{+}} \frac{3}{4} \left( \frac{1}{t^{4}} - 1 \right) = \infty \end{align*}$$

 

(d). $\int_{2}^{3} \frac{1}{\sqrt{3 - x}} \; dx$

 

주어진 적분에서 피적분함수가 $x = 3$에서 정의되지 않으므로 특이적분이다. 이를 극한의 형태로 변형하면 $\int_{2}^{3} \frac{1}{\sqrt{3 - x}} \; dx = \lim_{t \rightarrow 3^{-}} \int_{2}^{t} \frac{1}{\sqrt{3 - x}} \; dx$이다. 따라서, 극한 안의 정적분부터 풀어서 식을 정리하면 다음과 같다. 이때, $\sqrt{3 - x} = u$라고 하면 $3 - x = u^{2} \rightarrow dx = -2u du$이고 적분구간은 $[2, t] \rightarrow [1, \sqrt{3 - t}]$이다. 

 

$$\begin{align*} \int_{2}^{t} \frac{1}{\sqrt{3 - x}} \; dx &= \int_{1}^{\sqrt{3 - t}} \frac{1}{u} \cdot (-2u) \; du \\ &= 2 \int_{\sqrt{3 - t}}^{1} 1 \; du &= 2\left[ u \right]_{\sqrt{3 - t}}^{1} \\ &= 2 \left( 1 - \sqrt{3 - t} \right)  \end{align*}$$

 

따라서, $t \rightarrow \infty$로의 극한을 취하면 다음과 같이 적분결과를 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{2}^{3} \frac{1}{\sqrt{3 - x}} \; dx &= \lim_{t \rightarrow 3^{-}} \int_{2}^{t} \frac{1}{\sqrt{3 - x}} \; dx \\ &= \lim_{t \rightarrow 3^{-}} 2 \left( 1 - \sqrt{3 - t} \right) = 2 \end{align*}$$

 

(e). $\int_{-2}^{14} \frac{1}{\sqrt[4]{x + 2}} \; dx$

 

주어진 적분에서 피적분함수가 $x = -2$에서 정의되지 않으므로 특이적분이다. 이를 극한의 형태로 변형하면 $\int_{-2}^{14} \frac{1}{\sqrt[4]{x + 2}} \; dx = \lim_{t \rightarrow -2^{+}} \int_{t}^{14} \frac{1}{\sqrt[4]{x + 2}} \; dx$이다. 따라서, 극한 안의 정적분부터 풀어서 식을 정리하면 다음과 같다. 이때, $\sqrt[4]{x + 2} = u$라고 하면 $x + 2 = u^{4} \rightarrow dx = 4u^{3} du$이고 적분구간은 $[t, 14] \rightarrow [\sqrt[4]{t + 2}, 2]$이다. 

 

$$\begin{align*} \int_{t}^{14} \frac{1}{\sqrt[4]{x + 2}} \; dx &= \int_{\sqrt[4]{t + 2}}^{2} \frac{1}{u} \cdot 4u^{3} \; du \\ &= 4 \int_{\sqrt[4]{t + 2}}^{2} u^{2} \; du &= \frac{4}{3} \left[ u^{3} \right]_{\sqrt[4]{t + 2}}^{2} \\ &= \frac{4}{3} \left( 8 - \sqrt[4]{(t + 2)^{3}} \right)  \end{align*}$$

 

따라서, $t \rightarrow \infty$로의 극한을 취하면 다음과 같이 적분결과를 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{-2}^{14} \frac{1}{\sqrt[4]{x + 2}} \; dx &= \lim_{t \rightarrow -2^{+}} \int_{t}^{14} \frac{1}{\sqrt[4]{x + 2}} \; dx \\ &= \lim_{t \rightarrow -2^{+}} \frac{4}{3} \left( 8 - \sqrt[4]{(t + 2)^{3}} \right) = \frac{32}{3} \end{align*}$$

 

연습문제7. 주어진 특이적분들이 수렴하는 지 발산하는 지 확인하고 수렴한다면 수렴값을 구하라.

 

(a). $\int_{6}^{8} \frac{4}{(x - 6)^{3}} \; dx$

(b). $\int_{-2}^{3} \frac{1}{x^{4}} \; dx$

(c). $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \; dx$

(d). $\int_{0}^{33} (x - 1)^{-\frac{1}{5}} \; dx$

(e). $\int_{0}^{1} \frac{1}{4x - 1} \; dx$

 

(a). $\int_{6}^{8} \frac{4}{(x - 6)^{3}} \; dx$

 

주어진 적분에서 피적분함수가 $x = 6$에서 정의되지 않으므로 특이적분이다. 이를 극한의 형태로 변형하면 $\int_{6}^{8} \frac{4}{(x - 6)^{3}} \; dx = \lim_{t \rightarrow 6^{+}} \int_{t}^{8} \frac{4}{(x - 6)^{3}} \; dx$이다. 따라서, 극한 안의 정적분부터 풀어서 식을 정리하면 다음과 같다. 이때, $x - 6 = u$라고 하면 $dx = du$이고 적분구간은 $[t, 8] \rightarrow [t - 6, 2]$이다. 

 

$$\begin{align*} \int_{t}^{8} \frac{4}{(x - 6)^{3}} \; dx &= \int_{t - 6}^{2} \frac{4}{u^{3}} \; du \\ &= 4 \int_{t - 6}^{2} \frac{1}{u^{3}} \; du &= 4 \left[ -\frac{1}{2} \frac{1}{u^{2}} \right]_{t - 6}^{2} \\ &= 2 \left( \frac{1}{(t - 6)^{2}} - \frac{1}{4} \right)  \end{align*}$$

 

따라서, $t \rightarrow 6^{+}$로의 극한을 취하면 다음과 같이 적분결과를 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{6}^{8} \frac{4}{(x - 6)^{3}} \; dx &= \lim_{t \rightarrow 6^{+}} \int_{t}^{8} \frac{4}{(x - 6)^{3}} \; dx \\ &= \lim_{t \rightarrow 6^{+}} 2 \left( \frac{1}{(t - 6)^{2}} - \frac{1}{4} \right) = \infty \end{align*}$$

 

(b). $\int_{-2}^{3} \frac{1}{x^{4}} \; dx$

 

주어진 적분에서 피적분함수가 $x = 0$에서 정의되지 않으므로 특이적분이다. 이를 극한의 형태로 변형하면 $\int_{-2}^{3} \frac{1}{x^{4}} \; dx = \lim_{t \rightarrow 0^{-}} \int_{-2}^{t} \frac{1}{x^{4}} \; dx + \lim_{t \rightarrow 0^{+}} \int_{t}^{3} \frac{1}{x^{4}} \; dx$이다. 따라서, 극한 안의 정적분부터 풀어서 식을 정리하면 다음과 같다. 

 

$$\begin{align*} \int_{-2}^{t} \frac{1}{x^{4}} \; dx &= \left[ -\frac{1}{3} \frac{1}{x^{3}} \right]_{-2}^{t} \\ &= \frac{1}{3} \left( \frac{1}{16} - \frac{1}{t^{3}} \right)  \end{align*}$$

 

$$\begin{align*} \int_{t}^{3} \frac{1}{x^{4}} \; dx &= \left[ -\frac{1}{3} \frac{1}{x^{3}} \right]_{t}^{3} \\ &= \frac{1}{3} \left( \frac{1}{t^{3}} - \frac{1}{27} \right)  \end{align*}$$

 

따라서, $t \rightarrow 0^{-}$로의 극한과 $t \rightarrow 0^{+}$로의 극한을 취하면 다음과 같이 적분결과를 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{-2}^{3} \frac{1}{x^{4}} \; dx &= \lim_{t \rightarrow 0^{-}} \int_{-2}^{t} \frac{1}{x^{4}} \; dx + \lim_{t \rightarrow 0^{+}} \int_{t}^{3} \frac{1}{x^{4}} \; dx \\ &= \lim_{t \rightarrow 0^{-}} \frac{1}{3} \left( \frac{1}{16} - \frac{1}{t^{3}} \right) + \lim_{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{3} \left( \frac{1}{t^{3}} - \frac{1}{27} \right) = \infty \end{align*}$$

 

(c). $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \; dx$

 

주어진 적분에서 피적분함수가 $x = 1$에서 정의되지 않으므로 특이적분이다. 이를 극한의 형태로 변형하면 $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \; dx = \lim_{t \rightarrow 1^{-}} \int_{0}^{t} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \; dx$이다. 따라서, 극한 안의 정적분부터 풀어서 식을 정리하면 다음과 같다. 이때, $x = \sin(\theta)$라고 하면 $dx = \cos(\theta) d\theta$이고 적분구간은 $[0, 1] \rightarrow [0, \arcsin(t)]$이다. 

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{t} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \; dx &= \int_{0}^{\arcsin(t)} \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2}(\theta)}} \cdot \cos(\theta) \; d\theta \\ &= \int_{0}^{\arcsin(t)} 1 \; d\theta \\ &= \left[ \theta \right]_{0}^{\arcsin(t)} \\ &= \arcsin(t)  \end{align*}$$

 

따라서, $t \rightarrow 1^{-}$로의 극한을 취하면 다음과 같이 적분결과를 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \; dx &= \lim_{t \rightarrow 1^{-}} \int_{0}^{t} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \; dx \\ &= \lim_{t \rightarrow 1^{-}} \arcsin(t) \\ &= \arcsin(1) = \frac{\pi}{2} \end{align*}$$

 

(d). $\int_{0}^{33} (x - 1)^{-\frac{1}{5}} \; dx$

 

주어진 적분에서 피적분함수가 $x = 1$에서 정의되지 않으므로 특이적분이다. 이를 극한의 형태로 변형하면 $\int_{0}^{33} (x - 1)^{-\frac{1}{5}} \; dx = \lim_{t \rightarrow 1^{-}} \int_{0}^{t} (x - 1)^{-\frac{1}{5}} \; dx + \lim_{t \rightarrow 1^{+}} \int_{t}^{33} (x - 1)^{-\frac{1}{5}} \; dx$이다. 따라서, 극한 안의 정적분부터 풀어서 식을 정리하면 다음과 같다. 

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{t} (x - 1)^{-\frac{1}{5}} \; dx &= \left[ \frac{5}{4} (x - 1)^{\frac{4}{5}} \right]_{0}^{t} \\ &= \frac{5}{4} \left( (t - 1)^{\frac{4}{5}} - 1 \right)  \end{align*}$$

 

$$\begin{align*} \int_{t}^{33} (x - 1)^{-\frac{1}{5}} \; dx &= \left[ \frac{5}{4} (x - 1)^{\frac{4}{5}} \right]_{t}^{33} \\ &= \frac{5}{4} \left( 16 - (t - 1)^{\frac{4}{5}} \right)  \end{align*}$$

 

따라서, $t \rightarrow 1^{-}$로의 극한과 $t \rightarrow 1^{+}$로의 극한을 취하면 다음과 같이 적분결과를 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{33} (x - 1)^{-\frac{1}{5}} \; dx &= \lim_{t \rightarrow 1^{-}} \int_{0}^{t} (x - 1)^{-\frac{1}{5}} \; dx + \lim_{t \rightarrow 1^{+}} \int_{t}^{33} (x - 1)^{-\frac{1}{5}} \; dx \\ &= \lim_{t \rightarrow 1^{-}} \frac{5}{4} \left( (t - 1)^{\frac{4}{5}} - 1 \right) + \lim_{t \rightarrow 1^{+}} \frac{5}{4} \left( 16 - (t - 1)^{\frac{4}{5}} \right) \\ &= -\frac{5}{4} + \frac{80}{4} = \frac{75}{4} \end{align*}$$

 

(e). $\int_{0}^{1} \frac{1}{4x - 1} \; dx$

 

주어진 적분에서 피적분함수가 $x = \frac{1}{4}$에서 정의되지 않으므로 특이적분이다. 이를 극한의 형태로 변형하면 $\int_{0}^{1} \frac{1}{4x - 1} \; dx = \lim_{t \rightarrow \left( \frac{1}{4} \right)^{-}} \int_{0}^{t} \frac{1}{4x - 1} \; dx + \lim_{t \rightarrow \left( \frac{1}{4} \right)^{+}} \int_{t}^{1} \frac{1}{4x - 1} \; dx$이다. 따라서, 극한 안의 정적분부터 풀어서 식을 정리하면 다음과 같다. 

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{t} \frac{1}{4x - 1} \; dx &= \left[ \frac{1}{4} \ln |4x - 1| \right]_{0}^{t} \\ &= \frac{1}{4} \left( \ln |4t - 1| - \ln 1 \right) = \frac{1}{4} \ln |4t - 1| \end{align*}$$

 

$$\begin{align*} \int_{t}^{1} \frac{1}{4x - 1} \; dx &= \left[ \frac{1}{4} \ln |4x - 1| \right]_{t}^{1} \\ &= \frac{1}{4} \left( \ln 3 - \ln |4t - 1| \right) \end{align*}$$

 

따라서, $t \rightarrow \left( \frac{1}{4} \right)^{-}$로의 극한과 $t \rightarrow \left( \frac{1}{4} \right)^{+}$로의 극한을 취하면 다음과 같이 적분결과를 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{1} \frac{1}{4x - 1} \; dx &= \lim_{t \rightarrow \left( \frac{1}{4} \right)^{-}} \int_{0}^{t} \frac{1}{4x - 1} \; dx + \lim_{t \rightarrow \left( \frac{1}{4} \right)^{+}} \int_{t}^{1} \frac{1}{4x - 1} \; dx \\ &= \lim_{t \rightarrow \left( \frac{1}{4} \right)^{-}} \frac{1}{4} \ln |4t - 1| + \lim_{t \rightarrow \left( \frac{1}{4} \right)^{+}} \frac{1}{4} \left( \ln 3 - \ln |4t - 1| \right) = -\infty \end{align*}$$

 

연습문제8. 주어진 특이적분들이 수렴하는 지 발산하는 지 확인하고 수렴한다면 수렴값을 구하라.

 

(a). $\int_{0}^{3} \frac{1}{x^{2} - 6x + 5} \; dx$

(b). $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \csc(x) \; dx$

(c). $\int_{-1}^{0} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} \; dx$

(d). $\int_{0}^{1} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} \; dx$

 

(a). $\int_{0}^{3} \frac{1}{x^{2} - 6x + 5} \; dx$

 

주어진 적분에서 피적분함수가 $x = 1$에서 정의되지 않으므로 특이적분이다. 이를 극한의 형태로 변형하면 $\int_{0}^{3} \frac{1}{x^{2} - 6x + 5} \; dx = \lim_{t \rightarrow 1^{-}} \int_{0}^{t} \frac{1}{x^{2} - 6x + 5} \; dx + \lim_{t \rightarrow 1^{+}} \int_{t}^{3} \frac{1}{x^{2} - 6x + 5} \; dx$이다. 따라서, 극한 안의 정적분부터 풀어서 식을 정리하면 다음과 같다. 

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{t} \frac{1}{x^{2} - 6x + 5} \; dx &= \int_{0}^{t} \frac{1}{(x - 1)^{x - 5}} \; dx \\ &= \int_{0}^{t} \left( -\frac{1}{4} \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{4} \frac{1}{x - 5} \right) \; dx \\ &= \frac{1}{4} \int_{0}^{t} \left(- \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 5} \right) \; dx \\ &= \frac{1}{4} \left[ \ln \left| \frac{x - 5}{x - 1} \right| \right]_{0}^{t} \\ &= \frac{1}{4} \left( \ln \left| \frac{t - 5}{t - 1} \right| - \ln 5 \right) \end{align*}$$

 

$$\begin{align*} \int_{t}^{3} \frac{1}{x^{2} - 6x + 5} \; dx &= \int_{t}^{3} \frac{1}{(x - 1)^{x - 5}} \; dx \\ &= \int_{t}^{3} \left( -\frac{1}{4} \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{4} \frac{1}{x - 5} \right) \; dx \\ &= \frac{1}{4} \int_{t}^{3} \left(- \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 5} \right) \; dx \\ &= \frac{1}{4} \left[ \ln \left| \frac{x - 5}{x - 1} \right| \right]_{t}^{3} \\ &= \frac{1}{4} \ln \left| \frac{t - 5}{t - 1} \right| \end{align*}$$

 

따라서, $t \rightarrow 1^{-}$로의 극한과 $t \rightarrow 1^{+}$로의 극한을 취하면 다음과 같이 적분결과를 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2} - 6x + 5} \; dx &= \lim_{t \rightarrow 1^{-}} \int_{0}^{t} \frac{1}{x^{2} - 6x + 5} \; dx + \lim_{t \rightarrow 1^{+}} \int_{t}^{3} \frac{1}{x^{2} - 6x + 5} \; dx \\ &= \lim_{t \rightarrow 1^{-}} \frac{1}{4} \left( \ln \left| \frac{t - 5}{t - 1} - \ln 5 \right| \right) + \lim_{t \rightarrow 1^{+}} \frac{1}{4} \ln \left| \frac{t - 5}{t - 1} \right|  = \infty \end{align*}$$

 

(b). $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \csc(x) \; dx$

 

주어진 적분에서 피적분함수가 $x = \pi$에서 정의되지 않으므로 특이적분이다. 이를 극한의 형태로 변형하면 $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \csc(x) \; dx = \lim_{t \rightarrow \pi^{-}} \int_{\frac{\pi}{2}}^{t} \csc(x) \; dx$이다. 따라서, 극한 안의 정적분부터 풀어서 식을 정리하면 다음과 같다. 

 

$$\begin{align*} \int_{\frac{\pi}{2}}^{t} \csc(x) \; dx &= \left[ \ln \left| \frac{1}{\csc(x) + \cot(x)} \right| \right]_{\frac{\pi}{2}}^{t} \\ &= \ln \left| \frac{1}{\csc(t) + \cot(t)} \right| \end{align*}$$

 

따라서, $t \rightarrow \pi^{-}$로의 극한을 취하면 다음과 같이 적분결과를 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \csc(x) \; dx &= \lim_{t \rightarrow \pi^{-}} \int_{\frac{\pi}{2}}^{t} \csc(x) \; dx \\ &= \lim_{t \rightarrow \pi^{-}} \ln \left| \frac{1}{\csc(t) + \cot(t)} \right| \\ &= \lim_{t \rightarrow \pi^{-}} \ln \left| \frac{\sin(x)}{1 + \cos(x)} \right| = \infty \end{align*}$$

 

(c). $\int_{-1}^{0} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} \; dx$

 

주어진 적분에서 피적분함수가 $x = 0$에서 정의되지 않으므로 특이적분이다. 이를 극한의 형태로 변형하면 $\int_{-1}^{0} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} \; dx = \lim_{t \rightarrow 0^{-}} \int_{-1}^{t} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} \; dx$이다. 따라서, 극한 안의 정적분부터 풀어서 식을 정리하면 다음과 같다. 이때, $\frac{1}{x} = u$라고 하면 $-\frac{1}{x^{2}} dx = du \rightarrow dx = -x^{2} du$이고 적분구간은 $[-1, t] \rightarrow [-1, \frac{1}{t}]$이다.  

 

$$\begin{align*} \int_{-1}^{t} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} \; dx &= \int_{-1}^{\frac{1}{t}} \frac{e^{u}}{x^{3}} \cdot (-x^{2}) \; du \\ &= \int_{\frac{1}{t}}^{-1} ue^{u} \; du \end{align*}$$

 

여기서, 부분적분법을 사용하기 위해 $f(u) = u$ 그리고 $g^{'}(u) = e^{u}$라고 하면 $f^{'}(u) = 1$이고 $g(u) = e^{u}$이다. 따라서, 다음과 같이 적분을 수행할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{-1}^{t} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} \; dx &= \int_{\frac{1}{t}}^{-1} ue^{u} \; du \\ &= \left[ ue^{u} \right]_{\frac{1}{t}}^{-1} - \int_{\frac{1}{t}}^{-1} e^{u} \; du \\ &= \left[ (u - 1)e^{u} \right]_{\frac{1}{t}}^{-1} \\ &= -\frac{2}{e} - \left( \frac{1}{t} - 1 \right)e^{\frac{1}{t}} \end{align*}$$

 

따라서, $t \rightarrow 0^{-}$로의 극한을 취하면 다음과 같이 적분결과를 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{-1}^{0} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} \; dx &= \lim_{t \rightarrow 0^{-}} \int_{-1}^{t} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} \; dx \\ &= \lim_{t \rightarrow 0^{-}} \left( -\frac{2}{e} - \left( \frac{1}{t} - 1 \right)e^{\frac{1}{t}} \right) = \infty \end{align*}$$

 

(d). $\int_{0}^{1} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} \; dx$

 

주어진 적분에서 피적분함수가 $x = 0$에서 정의되지 않으므로 특이적분이다. 이를 극한의 형태로 변형하면 $\int_{0}^{1} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} \; dx = \lim_{t \rightarrow 0^{+}} \int_{-1}^{t} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} \; dx$이다. 따라서, 극한 안의 정적분부터 풀어서 식을 정리하면 다음과 같다. 이때, $\frac{1}{x} = u$라고 하면 $-\frac{1}{x^{2}} dx = du \rightarrow dx = -x^{2} du$이고 적분구간은 $[0, t] \rightarrow [1, \frac{1}{t}]$이다.  

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{t} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} \; dx &= \int_{1}^{\frac{1}{t}} \frac{e^{u}}{x^{3}} \cdot (-x^{2}) \; du \\ &= \int_{\frac{1}{t}}^{1} ue^{u} \; du \end{align*}$$

 

여기서, 부분적분법을 사용하기 위해 $f(u) = u$ 그리고 $g^{'}(u) = e^{u}$라고 하면 $f^{'}(u) = 1$이고 $g(u) = e^{u}$이다. 따라서, 다음과 같이 적분을 수행할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{t} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} \; dx &= \int_{\frac{1}{t}}^{1} ue^{u} \; du \\ &= \left[ ue^{u} \right]_{\frac{1}{t}}^{1} - \int_{\frac{1}{t}}^{1} e^{u} \; du \\ &= \left[ (u - 1)e^{u} \right]_{\frac{1}{t}}^{1} \\ &= - \left( \frac{1}{t} - 1 \right)e^{\frac{1}{t}} \end{align*}$$

 

따라서, $t \rightarrow 0^{+}$로의 극한을 취하면 다음과 같이 적분결과를 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{1} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} \; dx &= \lim_{t \rightarrow 0^{+}} \int_{t}^{1} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} \; dx \\ &= \lim_{t \rightarrow 0^{+}} - \left( \frac{1}{t} - 1 \right)e^{\frac{1}{t}} = \infty \end{align*}$$

 

참고자료 및 그림출처

Calculus(J. Stewart)