안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 곡선의 길이에서는 구간 $[a, b]$에서 함수 $(x)$의 자취인 곡선의 길이를 구하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 지난 포스팅의 결과를 활용하여 회전체의 겉넓이(Area of Surface of Revolution)를 구하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다.
배경(Background)
일단, 가장 간단한 원통의 겉넓이를 구해보도록 하죠. 위 그림과 같이 밑면의 반지름이 $r$이고 높이가 $h$인 원통의 옆면을 잘라서 펼쳐보면 그 아래의 그림과 같은 밑변은 $2\pi r$이고 높이는 $h$인 직사각형입니다. 따라서, 원통의 옆면의 겉넓이는 $A = 2\pi rh$라고 할 수 있겠네요.
이번에는 원뿔의 겉넓이를 구해보도록 하겠습니다. 위 그림과 같이 밑면의 반지름이 $r$이고 모선이 $l$인 원뿔의 옆면을 잘라서 펼쳐보면 오른쪽 그림과 같은 부채꼴을 얻을 수 있습니다. 따라서, 부채꼴의 넓이 공식를 적용하면 쉽게 얻을 수 있습니다.
$$A = \frac{1}{2} l^{2} \theta = \frac{1}{2} l^{2} \frac{2\pi r}{l} = \pi r l$$
이번에는 살짝 더 복잡한 형태의 입체를 가져와보았습니다. 이 경우에는 어떻게 겉넓이를 계산할 수 있을까요? 사실 해당 입체를 잘라서 펼쳐보면 큰 부채꼴에서 작은 부채꼴을 빼는 형태가 나오게 됩니다. 따라서, 이전에 원뿔 옆면의 겉넓이를 구하는 방법을 통해서 얻을 수 있습니다.
$$\begin{align*} A &= \pi r_{2} \left(l_{1} + l\right) - \pi r_{1} l_{1} \\ &= \pi \left[(r_{2} - r_{1})l_{1} + r_{2}l\right]\end{align*}$$
이때, 두 삼각형의 닮음 조건에 의해 $\frac{l_{1}}{r_{1}} = \frac{l_{1} + l}{r_{2}}$를 만족하고 이는 $(r_{2} - r_{1})l_{1} = r_{1}l$의 결과를 얻을 수 있습니다. 따라서 최종적으로 위 입체의 옆면의 겉넓이는 아래와 같습니다.
$$A = \pi \left(r_{1} + r_{2}\right) l = 2\pi r l$$
여기서, $r = \frac{r_{1} + r_{2}}{2}$입니다. 이제부터 저희는 이 식을 더 복잡한 형태를 가진 회전체의 겉넓이를 구할 때 사용할 것입니다. 그러니 이 부분에서 원리를 꼭 이해해주시길 바랍니다.
회전체의 겉넓이(Area of Surface of Revolution)
이제부터 저희가 할 것은 $y = f(x)$가 주어졌을 때, 구간 $[a, b]$의 함수 $f(x)$의 자취를 $x$축을 중심으로 회전시켰을 때 얻는 회전체의 겉넓이를 구하는 것입니다.
이를 위해서 위 그림과 같이 구간 $[a, b]$를 $n$개의 등구간 $[x_{i - 1}, x_{i}]$로 나누도록 하겠습니다. 그리고 각 구간의 점에 대응되는 함수값을 각각 $P_{i}$라고 하도록 하겠습니다. 그러면 위의 $i$번째 구간에 해당하는 영역을 회전시키면 빨간색 입체를 얻을 수 있습니다. 어디서 많이 본 거 같은 모양입니다. 바로 이전에 설명드렸던 잘린 원뿔과 동일한 모양이죠. 따라서 저희가 얻은 결과로 인해서 $i$ 번째 구간에 해당하는 잘린 원뿔의 겉넓이는 아래와 같습니다. 여기서 지난 포스팅에서 두 곡선 사이의 길이를 구할 때 얻은 결과를 적용할 수 있습니다.
$$\begin{align*} A_{i} &= \frac{1}{2} \pi \frac{y_{1} + y_{2}}{2} \left|P_{i - 1}P_{i}\right| \\ &= 2 \pi f(x^{*}_{i}) \sqrt{1 + \left[f^{'}(x^{*}_{i})\right]}\Delta x\end{align*}$$
이제 근사된 겉넓이는 각 구간에 해당하는 회전체들의 겉넓이를 모두 합친 뒤 $n \rightarrow \infty$로의 극한을 취해주면 됩니다.
$$\begin{align*} A &= \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i = 1}^{n} 2 \pi f(x^{*}_{i}) \sqrt{1 + \left[f^{'}(x^{*}_{i})\right]} \Delta x \\ &= \int_{a}^{b} 2\pi f(x) \sqrt{1 + \left[f^{'}(x)\right]} \; dx\end{align*}$$
만약, $y$축을 중심으로 회전하여 얻은 회전체의 겉넓이를 구하라고 한다면 아래와 같이 구할 수 있습니다.
$$A = \int_{a}^{b} 2\pi f(y) \sqrt{1 + \left[f^{'}(y)\right]} \; dy$$
예제1. 곡선 $y = \sqrt{4 - x^{2}}$과 구간 $[-1, 1]$로 둘러쌓인 영역을 $x$축을 중심으로 회전하여 얻은 회전체의 겉넓이를 구하여라
$f^{'}(x) = \frac{1}{2\sqrt{4 - x^{2}}} \left(-2x\right) = \frac{-x}{\sqrt{4 - x^{2}}}$이기 때문에 아래와 같이 겉넓이를 구할 수 있다.
$$\begin{align*} A &= \int_{-1}^{1} 2 \pi \sqrt{4 - x^{2}} \sqrt{1 + \left[\frac{-x}{\sqrt{4 - x^{2}}}\right]^{2}} \; dx \\ &= \int_{-1}^{1} 2 \pi \sqrt{4 - x^{2}} \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4 - x^{2}}} \; dx \\ &= \int_{-1}^{1} 2 \pi \sqrt{(4 - x^{2}) + x^{2}} \; dx \\ &= \int_{-1}^{1} 2 \pi \sqrt{4} \; dx \\ &= \int_{-1}^{1} 4\pi \; dx \\ &= 4\pi \left[x\right]_{-1}^{1} = 8\pi\end{align*}$$
예제2. 곡선 $y = x^{2}$과 $y = 1, y = 4$로 둘러쌓인 영역을 $y$축을 중심으로 회전하여 얻은 회전체의 겉넓이를 구하여라
$f(y)= \sqrt{y} \Rightarrow f^{'}(y) = \frac{1}{2\sqrt{y}}$이기 때문에 아래와 같이 겉넓이를 구할 수 있다.
$$\begin{align*} A &= \int_{1}^{4} 2 \pi \sqrt{y} \sqrt{1 + \left[\frac{1}{2\sqrt{y}}\right]^{2}} \; dy \\ &= \int_{1}^{4} 2 \pi \sqrt{y} \sqrt{1 + \frac{1}{4y}} \; dy \\ &= \int_{1}^{4} \pi \sqrt{4y + 1} \; dy \end{align*}$$
이때, $4y + 1 = u$라고 하면 $y = 1 \rightarrow u = 5, y = 4 \rightarrow u = 17$이고 $4 dy = du \rightarrow \frac{1}{4} du$이다. 따라서, 아래와 같이 치환적분이 가능하다.
$$\begin{align*} A &= \int_{1}^{4} \pi \sqrt{4y + 1} \; dy \\ &= \pi \int_{5}^{17} \sqrt{u} \; \left(\frac{1}{4} du\right) \\ &= \frac{\pi}{4}\left[\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}\right]_{5}^{17} \\ &= \frac{\pi}{6} \left(17\sqrt{17} - 5\sqrt{5}\right)\end{align*}$$
연습문제1. 함수와 범위가 주어졌을 때 주어진 범위 내에서 $x$ 축으로 회전한 회전체의 겉넓이를 구하여라.
(a). $y = x^{3}, 0 \le x \le 2$
(b). $9x = y^{2} + 18, 2 \le x \le 6$
(c). $y = \sqrt{1 + 4x}, 1 \le x \le 5$
(d). $y = c + a\cosh\left(\frac{x}{a}\right), 0 \le x \le a$
(a). $y = x^{3}, 0 \le x \le 2$
주어진 곡선의 미분은 $\frac{dy}{dx} = 3x^{2}$이므로 다음 식을 통해 회전체의 겉넓이를 구할 수 있다.
$$\begin{align*} \int_{0}^{2} 2\pi f(x) \sqrt{1 + \left[ \frac{dy}{dx} \right]^{2}} \; dx &= \int_{0}^{2} 2\pi x^{3} \sqrt{1 + 9x^{4}} \; dx\end{align*}$$
이제, $x^{4} = u$라고 하면 $4x^{3} dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{4x^{3}} du$이고 적분구간은 $[0, 2] \rightarrow [0, 16]$이다. 따라서 다음과 같이 치환적분을 수행할 수 있다.
$$\begin{align*} \int_{0}^{2} 2\pi f(x) \sqrt{1 + \left[ \frac{dy}{dx} \right]^{2}} \; dx &= \int_{0}^{2} 2\pi x^{3} \sqrt{1 + 9x^{4}} \; dx \\ &= \int_{0}^{16} 2\pi x^{3} \sqrt{1 + 9u} \cdot \frac{1}{4x^{3}} \; du \\ &= \frac{\pi}{2} \int_{0}^{16} \sqrt{1 + 9u} \; dx \\ &= \frac{\pi}{2} \left[ \frac{1}{18\sqrt{1 + 9u}} \right]_{0}^{16} \\ &= \frac{\pi}{2} \left( \frac{1}{18} - \frac{1}{18\sqrt{145}} \right) \\ &= \frac{\pi}{36} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{145}} \right)\end{align*}$$
(b). $9x = y^{2} + 18, 2 \le x \le 6$
주어진 함수를 양함수 형태로 수정하면 $y = \pm \sqrt{9x - 18} = \pm 3\sqrt{x - 2}$이다. 하지만, 양의 영역을 회전하는 것과 음의 영역을 회전하는 것과 동일하므로 양의 영역을 선택하여 식을 전개하도록 한다. 따라서, 주어진 곡선의 미분은 $\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2\sqrt{x - 2}}$이므로 다음 식을 통해 회전체의 겉넓이를 구할 수 있다.
$$\begin{align*} \int_{2}^{6} 2\pi f(x) \sqrt{1 + \left[ \frac{dy}{dx} \right]^{2}} \; dx &= \int_{2}^{6} 2\pi \cdot 3\sqrt{x - 2} \sqrt{1 + \frac{9}{4(x - 2)}} \; dx \\ &= 6\pi \int_{2}^{6} \sqrt{(x - 2) + \frac{9}{4}} \; dx \\ &= 6\pi \int_{2}^{6} \sqrt{x + \frac{1}{4}} \; dx \\&= 6\pi \left[ \frac{2}{3} \left( x + \frac{1}{4} \right)^{\frac{3}{2}} \right]_{2}^{6} \\ &= 4\pi \left( \left( \frac{25}{4} \right)^{\frac{3}{2}} - \left( \frac{9}{4} \right)^{\frac{3}{2}} \right) \\ &= 4\pi \left( \frac{125}{8} - \frac{27}{2} \right) = \frac{17}{2} \pi \end{align*}$$
(c). $y = \sqrt{1 + 4x}, 1 \le x \le 5$
주어진 곡선의 미분은 $\frac{dy}{dx} = \frac{4}{2\sqrt{1 + 4x}} = \frac{2}{\sqrt{1 + 4x}}$이므로 다음 식을 통해 회전체의 겉넓이를 구할 수 있다.
$$\begin{align*} \int_{1}^{5} 2\pi f(x) \sqrt{1 + \left[ \frac{dy}{dx} \right]^{2}} \; dx &= \int_{1}^{5} 2\pi \cdot \sqrt{1 + 4x} \sqrt{1 + \frac{4}{1 + 4x}} \; dx \\ &= 2\pi \int_{1}^{5} \sqrt{(1 + 4x) + 4} \; dx \\ &= 2\pi \int_{1}^{5} \sqrt{4x + 5} \; dx \\ &= 2\pi \left[ \frac{1}{6} (4x + 5)^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{5} \\ &= \frac{\pi}{3} \left( 25^{\frac{3}{2}} - 9^{\frac{3}{2}} \right) \\ &= \frac{\pi}{3} \left(125 - 27 \right) = \frac{98 \pi}{3} \end{align*}$$
(d). $y = c + a\cosh\left(\frac{x}{a}\right), 0 \le x \le a$
주어진 곡선의 미분은 $\frac{dy}{dx} = \sinh \left( \frac{x}{a} \right)$이므로 다음 식을 통해 회전체의 겉넓이를 구할 수 있다.
$$\begin{align*} \int_{0}^{a} 2\pi f(x) \sqrt{1 + \left[ \frac{dy}{dx} \right]^{2}} \; dx &= \int_{0}^{a} 2\pi \cdot \left( c + a\cosh (\frac{x}{a}) \right) \sqrt{1 + \sinh^{2} (\frac{x}{a})} \; dx \\ &= 2\pi \int_{0}^{a} \left( c + a\cosh (\frac{x}{a}) \right) \cosh(\frac{x}{a}) \; dx \\ &= 2\pi \int_{0}^{a} \left( c\cosh (\frac{x}{a}) + a \cosh^{2} (\frac{x}{a}) \right) \; dx \\ &= 2\pi \int_{0}^{a} \left( c\cosh(\frac{x}{a}) + a \frac{\cosh(2\frac{x}{a}) + 1}{2} \right) \; dx \\ &= 2\pi \int_{0}^{a} \left( c\cosh(\frac{x}{a}) + \frac{a}{2} \cosh(2\frac{x}{a}) + \frac{a}{2} \right) \; dx \\ &= 2\pi \left[ ac\sinh(\frac{x}{a}) + \frac{a^{2}}{4} \sinh (2\frac{x}{a}) + \frac{a}{2}x \right]_{0}^{a} \\ &= 2\pi \left[ \left( ac \sinh(1) + \frac{a^{2}}{4} \sinh (2) + \frac{a^{2}}{2} \right) - \left( ac \sinh(0) + \frac{a^{2}}{4} \sinh(0) \right) \right] \\ &= 2\pi \left( ac \sinh(1) + \frac{a^{2}}{4} \sinh(2) + \frac{a^{2}}{2} \right) \end{align*}$$
연습문제2. 함수와 범위가 주어졌을 때 주어진 범위 내에서 $x$ 축으로 회전한 회전체의 겉넓이를 구하여라.
(a). $y = \frac{x^{3}}{6} + \frac{1}{2x}, \frac{1}{2} \le x \le 1$
(b). $x = \frac{1}{3} (y^{2} + 2)^{\frac{3}{2}}, 1 \le y \le 2$
(c). $x = 1 + 2y^{2}, 1 \le y \le 2$
(a). $y = \frac{x^{3}}{6} + \frac{1}{2x}, \frac{1}{2} \le x \le 1$
주어진 곡선의 미분은 $\frac{dy}{dx} = \frac{x^{2}}{2}- \frac{1}{2x^{2}} = \frac{1}{2} \left( x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \right)$이므로 다음 식을 통해 회전체의 겉넓이를 구할 수 있다.
$$\begin{align*} \int_{\frac{1}{2}}^{1} 2\pi f(x) \sqrt{1 + \left[ \frac{dy}{dx} \right]^{2}} \; dx &= \int_{\frac{1}{2}}^{1} 2\pi \left( \frac{x^{3}}{6} + \frac{1}{2x} \right) \sqrt{1 + \frac{1}{4} \left( x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \right)^{2}} \; dx \\ &= 2\pi \int_{\frac{1}{2}}^{1} \left( \frac{x^{3}}{6} + \frac{1}{2x} \right) \sqrt{1 + \frac{1}{4} \left( x^{4} - 2 + \frac{1}{x^{4}} \right)} \; dx \\ &= 2\pi \int_{\frac{1}{2}}^{1} \left( \frac{x^{3}}{6} + \frac{1}{2x} \right) \frac{1}{2} \sqrt{\left( x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \right)^{2}} \; dx \\ &= \int_{\frac{1}{2}}^{1} \left( \frac{x^{3}}{6} + \frac{1}{2x} \right)\left( x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \right) \; dx \\ &= \pi \int_{\frac{1}{2}}^{1} \left( \frac{1}{6}x^{5} + \frac{2}{3}x + \frac{1}{2x^{3}} \right) \; dx \\ &= \pi \left[ \frac{1}{36} x^{6} + \frac{1}{3} x^{2} - \frac{1}{4} \frac{1}{x^{2}} \right]_{\frac{1}{2}}^{1} \\ &= \pi \left[ \left( \frac{1}{36} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) - \left( \frac{1}{36} \frac{1}{2^{6}} + \frac{1}{3} \frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{4} 2^{2} \right) \right] = \frac{263}{256}\pi \end{align*}$$
(b). $x = \frac{1}{3} (y^{2} + 2)^{\frac{3}{2}}, 1 \le y \le 2$
주어진 함수를 양함수 형태로 수정해야한다.
$$\begin{align*} x = \frac{1}{3} (y^{2} + 2)^{\frac{3}{2}} \Rightarrow& 3x = (y^{2} + 2)^{\frac{3}{2}} \\ \Rightarrow& (3x)^{\frac{2}{3}} = y^{2} + 2 \\ \Rightarrow& (3x)^{\frac{2}{3}} - 2 = y^{2} \\ \Rightarrow& \sqrt{(3x)^{\frac{2}{3}} - 2} = y \end{align*}$$
따라서, $f(x) = \sqrt{(3x)^{\frac{2}{3}} - 2}$이다. 이때, 주어진 적분 구간이 $y$를 기준이므로 $x$기준으로 바꾸면 $[1, 2] \rightarrow [\sqrt{3}, 2\sqrt{6}]$이다. 이제 주어진 곡선의 미분은 다음과 같이 구할 수 있다.
$$\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \frac{1}{2\sqrt{(3x)^{\frac{2}{3}} - 2}} \cdot \frac{2}{3} (3x)^{-\frac{1}{3}} \cdot 3 \\ &= \frac{(3x)^{-\frac{1}{3}}}{\sqrt{(3x)^{\frac{2}{3}} - 2}} \end{align*}$$
이제 회전체의 겉넓이를 구하기 위한 공식 중 $1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^{2}$을 미리 계산하면 다음과 같다.
$$\begin{align*} 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^{2} &= 1 + \left( \frac{(3x)^{-\frac{1}{3}}}{\sqrt{(3x)^{\frac{2}{3}} - 2}} \right)^{2} \\ &= 1 + \frac{(3x)^{-\frac{2}{3}}}{(3x)^{\frac{2}{3}} - 2} \\ &= \frac{(3x)^{\frac{2}{3}} - 2 + (3x)^{-\frac{2}{3}}}{(3x)^{\frac{2}{3}} - 2} \\ &= \frac{\left( (3x)^{\frac{1}{3}} - (3x)^{-\frac{1}{3}} \right)^{2}}{(3x)^{\frac{2}{3}} - 2} \end{align*}$$
마지막으로 회전체의 겉넓이를 다음과 같이 구할 수 있다.
$$\begin{align*} \int_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{6}} 2\pi f(x) \sqrt{1 + \left[ \frac{dy}{dx} \right]^{2}} \; dx &= 2\pi \int_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{6}} \sqrt{(3x)^{\frac{2}{3}} - 2} \sqrt{\frac{\left( (3x)^{\frac{1}{3}} - (3x)^{-\frac{1}{3}} \right)^{2}}{(3x)^{\frac{2}{3}} - 2}} \; dx \\ &= 2\pi \int_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{6}} \left( (3x)^{\frac{1}{3}} - (3x)^{-\frac{1}{3}} \right) \; dx \\ &= 2\pi \left[ \frac{1}{4} (3x)^{\frac{4}{3}} - \frac{1}{2} (3x)^{\frac{2}{3}} \right]_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{6}} \\ &= 2\pi \left[ \left( \frac{1}{4} (6\sqrt{6})^{\frac{4}{3}} - \frac{1}{2} (6\sqrt{6})^{\frac{2}{3}} \right) - \left( \frac{1}{4} (\sqrt{3})^{\frac{4}{3}} - \frac{1}{2} (\sqrt{3})^{\frac{2}{3}} \right) \right] \end{align*}$$
(c). $x = 1 + 2y^{2}, 1 \le y \le 2$
주어진 함수를 양함수 형태로 수정해야한다.
$$\begin{align*} x = 1 + 2y^{2} \Rightarrow& x - 1 = 2y^{2} \\ \Rightarrow& \frac{1}{2}(x - 1) = y^{2} \\ \Rightarrow& \sqrt{\frac{1}{2}(x - 1)} = y \end{align*}$$
따라서, $f(x) = \sqrt{\frac{1}{2}(x - 1)}$이다. 이때, 주어진 적분 구간이 $y$를 기준이므로 $x$기준으로 바꾸면 $[1, 2] \rightarrow [3, 9]$이다. 이제 주어진 곡선의 미분은 다음과 같이 구할 수 있다.
$$\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{2}(x - 1)}} \cdot \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{4\sqrt{\frac{1}{2}(x - 1)}} \end{align*}$$
이제 회전체의 겉넓이를 구하기 위한 공식 중 $1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^{2}$을 미리 계산하면 다음과 같다.
$$\begin{align*} 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^{2} &= 1 + \left( \frac{1}{4\sqrt{\frac{1}{2}(x - 1)}} \right)^{2} \\ &= 1 + \frac{1}{16 \cdot \frac{1}{2}(x - 1)} \\ &= 1 + \frac{1}{16 \cdot \frac{1}{2}(x - 1)} \\ &= \frac{8x - 7}{16 \cdot \frac{1}{2}(x - 1)} \end{align*}$$
마지막으로 회전체의 겉넓이를 다음과 같이 구할 수 있다.
$$\begin{align*} \int_{3}^{9} 2\pi f(x) \sqrt{1 + \left[ \frac{dy}{dx} \right]^{2}} \; dx &= \int_{3}^{9} 2\pi \sqrt{\frac{1}{2}(x - 1)} \sqrt{\frac{8x - 7}{16 \cdot \frac{1}{2}(x - 1)}} \; dx \\ &= \int_{3}^{9} \frac{\pi}{2} \sqrt{8x - 7} \; dx \\ &= \frac{\pi}{2} \left[ \frac{2}{3} (8x - 7)^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{1}{8} \right]_{3}^{9} \\ &= \frac{\pi}{24} \left[ (8x - 7)^{\frac{3}{2}} \right]_{3}^{9} \\ &= \frac{\pi}{24} \left( 65\sqrt{65} - 17\sqrt{17} \right) \end{align*}$$
연습문제3. 함수와 범위가 주어졌을 때 주어진 범위 내에서 $y$ 축으로 회전한 회전체의 겉넓이를 구하여라.
(a). $y = \sqrt[3]{x}, 1 \le y \le 2$
(b). $y = 1 - x^{2}, 0 \le x \le 1$
(c). $x = \sqrt{a^{2} - y^{2}}, 0 \le y \le \frac{a}{2}$
(d). $y = \frac{1}{4}x^{2} - \frac{1}{2}\ln(x), 1 \le x \le 2$
(a). $y = \sqrt[3]{x}, 1 \le y \le 2$
주어진 함수를 $y$를 독립변수로 하는 양함수 형태로 수정해야한다.
$$\begin{align*} y = \sqrt[3]{x} \Rightarrow& y^{3} = x \end{align*}$$
따라서, $g(y) = y^{3}$이다. 이제 주어진 곡선의 미분은 다음과 같이 구할 수 있다.
$$\begin{align*} \frac{dx}{dy} &= 3y^{2} \end{align*}$$
이제 회전체의 겉넓이를 구하기 위한 공식 중 $1 + \left( \frac{dx}{dy} \right)^{2}$을 미리 계산하면 다음과 같다.
$$\begin{align*} 1 + \left( \frac{dx}{dy} \right)^{2} &= 1 + \left( 3y^{2} \right)^{2} \\ &= 1 + 9y^{4} \end{align*}$$
마지막으로 회전체의 겉넓이를 다음과 같이 구할 수 있다.
$$\begin{align*} \int_{1}^{2} 2\pi g(y) \sqrt{1 + \left[ \frac{dx}{dy} \right]^{2}} \; dy &= \int_{1}^{2} 2\pi y^{3} \sqrt{1 + 9y^{4}} \; dy \end{align*}$$
이제, $1 + 9y^{4} = u$라고 두면 $36 y^{3} dy = du \rightarrow dy = \frac{1}{36y^{3}} du$이고 적분구간은 $[1, 2] \rightarrow [10, 73]$이다. 따라서, 다음과 같이 치환적분을 수행할 수 있다.
$$\begin{align*} \int_{1}^{2} 2\pi g(y) \sqrt{1 + \left[ \frac{dx}{dy} \right]^{2}} \; dy &= \int_{1}^{2} 2\pi y^{3} \sqrt{1 + 9y^{4}} \; dy \\ &= \int_{10}^{36} 2\pi y^{3} u^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{36y^{3}} \; du \\ &= \frac{\pi}{18} \int_{10}^{36} u^{\frac{1}{2}} \; du \\ &= \frac{\pi}{18} \left[ \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} \right]_{10}^{73} \\ &= \frac{\pi}{27} \left( 73\sqrt{73} - 10\sqrt{10} \right)\end{align*}$$
(b). $y = 1 - x^{2}, 0 \le x \le 1$
주어진 함수와 범위가 $x$에 대해서 주어져있으나 $y$축을 중심으로 회전한 회전체의 겉넓이를 구하여야한다. 이때, 회전체 겉넓이를 정의를 다시 고려하면 밑넓이를 $x$를 중심으로 두었을 때 $y$축을 중심으로 회전하면 쪼개진 입체의 각 원의 반지름은 $x$이므로 각 입체의 둘레는 $2\pi x$가 된다. 다음으로 곡선의 길이는 $x$을 중심으로 계산하는 것과 $y$축을 중심으로 계산하는 것과 동일하므로 다음과 같이 계산할 수 있다.
$$\begin{align*} A &= \int_{0}^{1} 2\pi x \sqrt{1 + \left[ \frac{dy}{dx} \right]^{2}} \; dx \\ &= \int_{0}^{1} 2\pi x \sqrt{1 + 4x^{2}} \; dx \end{align*}$$
이때, $1 + 4x^{2} = u$라고 두면 $8x dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{8x} du$이고 적분구간은 $[0, 1] \rightarrow [1, 5]$이다. 따라서, 다음과 같이 치환적분을 수행할 수 있다.
$$\begin{align*} A &= \int_{0}^{1} 2\pi x \sqrt{1 + \left[ \frac{dy}{dx} \right]^{2}} \; dx \\ &= \int_{0}^{1} 2\pi x \sqrt{1 + 4x^{2}} \; dx \\ &= 2\pi \int_{1}^{5} x u^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{8x} \; dx \\ &= \frac{\pi}{4} \int_{1}^{5} u^{\frac{1}{2}} \; du \\ &= \frac{\pi}{4} \left[ \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{5} \\ &= \frac{\pi}{6} \left( 5\sqrt{5} - 1 \right) \end{align*}$$
(c). $x = \sqrt{a^{2} - y^{2}}, 0 \le y \le \frac{a}{2}$
주어진 곡선의 미분은 다음과 같이 구할 수 있다.
$$\begin{align*} \frac{dx}{dy} &= \frac{-2y}{2\sqrt{a^{2} - y^{2}}} = -\frac{y}{\sqrt{a^{2} - y^{2}}} \end{align*}$$
이제 회전체의 겉넓이를 구하기 위한 공식 중 $1 + \left( \frac{dx}{dy} \right)^{2}$을 미리 계산하면 다음과 같다.
$$\begin{align*} 1 + \left( \frac{dx}{dy} \right)^{2} &= 1 + \left( -\frac{y}{\sqrt{a^{2} - y^{2}}} \right)^{2} \\ &= 1 + \frac{y^{2}}{a^{2} - y^{2}} \\ &= \frac{a^{2}}{a^{2} - y^{2}} \end{align*}$$
마지막으로 회전체의 겉넓이를 다음과 같이 구할 수 있다.
$$\begin{align*} A &= \int_{0}^{\frac{a}{2}} 2\pi g(y) \sqrt{1 + \left[ \frac{dx}{dy} \right]^{2}} \; dy \\ &= \int_{0}^{\frac{a}{2}} 2\pi \sqrt{a^{2} - y^{2}} \sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2} - y^{2}}} \; dy \\ &= 2\pi \int_{0}^{\frac{a}{2}} a \; dy \\ &= 2\pi a \left[ y \right]_{0}^{\frac{a}{2}} \\ &= \pi a^{2} \end{align*}$$
(d). $y = \frac{1}{4}x^{2} - \frac{1}{2}\ln(x), 1 \le x \le 2$
주어진 함수와 범위가 $x$에 대해서 주어져있으나 $y$축을 중심으로 회전한 회전체의 겉넓이를 구하여야한다. 이때, 회전체 겉넓이를 정의를 다시 고려하면 밑넓이를 $x$를 중심으로 두었을 때 $y$축을 중심으로 회전하면 쪼개진 입체의 각 원의 반지름은 $x$이므로 각 입체의 둘레는 $2\pi x$가 된다. 다음으로 곡선의 길이는 $x$을 중심으로 계산하는 것과 $y$축을 중심으로 계산하는 것과 동일하므로 다음과 같이 계산할 수 있다.
$$\begin{align*} A &= \int_{1}^{2} 2\pi x \sqrt{1 + \left[ \frac{dy}{dx} \right]^{2}} \; dx \\ &= \int_{1}^{2} 2\pi x \sqrt{1 + \left( \frac{1}{2}x - \frac{1}{2x} \right)^{2}} \; dx \\ &= 2\pi \int_{1}^{2} x \sqrt{1 + \frac{1}{4} \left( x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - 2 \right)} \; dx \\ &= 2\pi \int_{1}^{2} \frac{1}{2}x \sqrt{\left( x + \frac{1}{x} \right)^{2}} \; dx \\ &= 2\pi \int_{1}^{2} \frac{1}{2} x \left( x + \frac{1}{x} \right) \; dx \\ &= \pi \left[ \frac{1}{3}x^{2} + x \right]_{1}^{2} \\ &= \pi \left( \frac{7}{3} + 1 \right) \\ &= \frac{10}{3}\pi \end{align*}$$
참고자료 및 그림출처
Calculus(J. Stewart)
'수학 > 미적분학' 카테고리의 다른 글
| 미적분학 - 매개변수 함수 (0) | 2022.04.02 |
|---|---|
| 미적분학 - 일 (0) | 2022.03.30 |
| 미적분학 - 곡선의 길이 (0) | 2022.03.27 |
| 미적분학 - 특이적분 (0) | 2022.03.24 |
| 미적분학 - 적분 전략 (0) | 2022.03.24 |
