미적분학 - 일

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 회전체의 겉넓이에서는 $x$축 또는 $y$축을 중심으로 회전시켰을 때 얻는 회전체의 겉넓이를 구하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 적분을 물리학에서 활용될 수 있다는 것을 보여드리기 위해 일(Work)를 구하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 

 

"일(Work)"라는 용어는 어떤 작업을 할 때 필요한 노력을 의미합니다. 물리학에서의 일은 물체가 얼마나 움직였는 지에 대한 위치 $s(t)$가 주어졌을 때 그에 따른 뉴턴의 2제 2법칙에 의한 힘 $F = m\frac{d^{2}s}{dt^{2}}$으로 결정됩니다. 여기서, $m$은 질량(kg), 변위량 $s(t)$는 이동거리(m), 시간 $t$는 초(s)로 표시되어 힘은 $N = kg \cdot m /s^{2}$의 단위로 표시됩니다. 이를 뉴턴(Newton)이라고 부릅니다. 최종적으로 일은 힘과 이동거리의 곱으로 아래와 같이 정의되고 단위는 줄(Joule; J)이라고 읽습니다.

 

$$W = Fd$$

 

예를 들어서 1.2kg의 물체가 있고 0.7m 높이의 책상으로 옮겼다면 들어간 일의 양은 얼마일까요? 먼저, 힘 $F = mg = 1.2 \cdot 9.8 = 11.76N$입니다. 따라서, 전체 일의 양은 $W = 11.76 \cdot 0.7 = 8.2J$입니다. 

 

위의 예시에서는 힘 $F$는 상수입니다. 즉, 위치에 따른 힘의 변화량은 0이죠. 하지만, 위치에 따라면 힘이 변화한다면 어떻게 구할 수 있을까요? 간단한 가정부터 하도록 하겠습니다. 먼저, 물체는 $x$축으로 $x = a$에서 $x = b$까지 움직입니다. 그리고 구간 $[a, b]$를 $n$개의 등구간으로 나누도록 하겠습니다. 그러면 각 $i$번째 구간의 표본점은 $x_{i}^{*}$ 이고 길이는 $\Delta x$입니다. 그리고 힘의 함수 $f$가 연속이라고 하고 $x_{i}^{*}$에서의 힘은 $f(x_{i}^{*})$가 되겠죠. 만약, $n$이 굉장히 큰 값이라고 가정해보겠습니다. 그러면 함수 $f$는 연속함수이기 때문에 $f$는 특정 구간에서 거의 변화가 없을 겁니다. 따라서, $i$번째 구간의 일의 양은 $W_{i} \approx f(x_{i}^{*}) \Delta x$입니다. 최종적으로 모든 구간에서의 근사된 일의 양을 구할 수 있겠죠.

 

$$W \approx \sum_{i = 1}^{n} f(x_{i}^{*}) \Delta x$$

 

마지막으로 저희가 평소에 하던 것처럼 $n \rightarrow \infty$로의 극한을 취해주면 저희가 원하는 일의 양을 얻을 수 있습니다. 

 

$$W = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i = 1}^{n} f(x_{i}^{*}) \Delta x$$

 

참고자료 및 그림출처

Calculus(J. Stewart)