미적분학 - 곡선의 길이

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 특이적분에서는 무한대가 포함된 구간의 적분과 불연속점에 포함된 피적분함수의 적분에 대해서 알아보았습니다. 핵심은 임의의 실수 $t$를 선택한 뒤 무한 또는 불연속점으로 극한을 취해주면 되었습니다. 이때, 항상 극한이 존재하는 것이 아니기 때문에 특이적분에서는 값이 존재하지 않을 수도 있습니다. 오늘은 적분의 새로운 응용으로 호의 길이를 구하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 

 

 

위 그림과 같이 함수 $y = f(x)$가 있다고 가정하겠습니다. 저희가 원하는 것은 구간 $[a, b]$까지의 함수 $f(x)$의 자취인 곡선 $C$의 길이 $L$를 구하는 것입니다. 일단, 길이를 어떻게 구할 수 있는 지부터 생각해보겠습니다. 길이라는 것은 시작점과 끝점이 주어지며 두 점 사이의 거리를 의미합니다. 따라서, 곡선의 길이를 구하기 위해서는 시작점과 끝점을 정해야겠죠. 이를 $P_{0}$와 $P_{n}$이라고 하겠습니다. 만약, $n = 1$이라고 한다면, 구간 $[a, b]$를 그대로 쓰는 것으로 $x_{0}$와 $x_{1}$만 존재하는 것을 의미합니다. 좀 더 정확한 곡선의 길이를 구하기 위해서는 $n$을 늘리면 되겠죠? 따라서, 구간을 등구간 $[x_{i - 1}, x_{i}]$으로 나누면 각 구간의 길이는 $\Delta x$가 됩니다. 그리고 이에 대응되는 곡선위의 점을 편의상 $P_{i}(x_{i}, y_{i}) = P_{i}$이라고 쓰겠습니다. 

 

위 그림을 보시면 곡선 $C$의 길이는 다각형의 길이의 합으로 생각해볼 수 있습니다. 즉, $\sum_{i = 1}^{n} \left|P_{i - 1}P_{i}\right|$이죠. 이때, $\left|P_{i -1}P_{i}\right|$란 두 점 $P_{i - 1}$과 $P_{i}$ 사이의 길이를 의미합니다. 그리고 정확한 곡선의 길이 $L$은 $n$에 극한을 취해서 얻을 수 있습니다. 

 

 

$$L = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i = 1}^{n} \left|P_{i - 1}P_{i}\right|$$

 

이제 저희가 할 일은 $\left|P_{i - 1}P_{i}\right|$를 구하는 것입니다. 기본적으로 직교좌표 상에서 두 점 사이의 거리는 아래와 같습니다. 

 

$$\left|P_{i - 1}P_{i}\right| = \sqrt{(x_{i} - x_{i - 1})^{2} + (y_{i} - y_{i - 1})^{2}} = \sqrt{(\Delta x)^{2} + (\Delta y)^{2}}$$

 

이때, 중요한 점은 여기서 평균값 정리(Mean Value Theorem, MVT)를 활용해야합니다. 평균값 정리의 자세한 설명은 아래의 링크를 참조해주시길 바랍니다. 

미적분학 - 평균값 정리

 

$$\begin{align*} \Delta y &= y_{i} - y_{i - 1} \\ &= f(x_{i}) - f(x_{i - 1}) \\ &= f^{*}(x_{i}^{'})(x_{i} - x_{i - 1}) \\ &= f^{'}(x_{i}^{*}) \Delta x\end{align*}$$

 

따라서, 저희는 기존의 식을 아래와 같이 바꿀 수 있습니다. 

 

$$\begin{align*} \left|P_{i - 1}P_{i}\right| &= \sqrt{(x_{i} - x_{i - 1})^{2} + (y_{i} - y_{i - 1})^{2}} \\ &= \sqrt{(\Delta x)^{2} + (\Delta y)^{2}} \\ &= \sqrt{(\Delta x)^{2} + (f^{'}(x_{i}^{*}) \Delta x)^{2}} \\ &= \sqrt{1 + \left[f^{'}(x_{i}^{*})\right]^{2}} \Delta x\end{align*}$$

 

그러므로 저희가 원하는 곡선의 길이 $L$은 아래와 같습니다. 

 

$$\begin{align*} L &= \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i = 1}^{n} \left|P_{i - 1}P_{i}\right| \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{1 + \left[f^{'}(x_{i}^{*})\right]}\Delta x \\ &= \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left[f^{'}(x)\right]^{2}} \; dx\end{align*}$$

 

예제1. 두 점 $(1, 1)$과 $(4, 8)$사이의 포물선 $y^{2} = x^{3}$의 길이를 구하여라.

$y^{2} = x^{3} \Rightarrow y = x^{\frac{3}{2}}$이기 때문에 미분하면 $\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$이다. 이제, 곡선의 길이를 구하기 위해 공식을 적용한다. 

 

$$\begin{align*} L &= \int_{1}^{4} \sqrt{1 + \frac{9}{4}x} \; dx \end{align*}$$

 

여기서 $1 + \frac{9}{4}x = u$라고 하면 $x = 1 \rightarrow u = \frac{13}{4}, x = 4 \rightarrow u = 10$이고 $\frac{9}{4}dx = du \Rightarrow dx = \frac{4}{9}du$이기 때문에 아래와 같이 치환적분이 가능하다. 

 

$$\begin{align*} L &= \int_{1}^{4} \sqrt{1 + \frac{9}{4}x} \; dx \\ &= \int_{\frac{13}{4}}^{10} \sqrt{u} \; \left(\frac{4}{9}du\right) \\ &= \frac{4}{9} \int_{\frac{13}{4}}^{10} \sqrt{u} \; du \\ &= \frac{4}{9} \left[\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}\right]_{\frac{13}{4}}^{10} \\ &= \frac{8}{27} \left[10^{\frac{3}{2}} - \left(\frac{13}{4}\right)^{\frac{3}{2}}\right] \\ &= 27\left(80\sqrt{10} - 13\sqrt{13}\right)\end{align*}$$

 

연습문제1. 주어진 함수과 범위가 주어졌을 때 곡선의 길이를 구하는 공식을 세워라. 이때, 계산은 하지 않아도 된다. 

 

(a). $y = \cos(x), 0 \le x \le 2\pi$

(b). $y = xe^{-x^{2}}, 0 \le x \le 1$

(c). $x = y + y^{3}, 1 \le y \le 4$

(d). $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

 

(a). $y = \cos(x), 0 \le x \le 2\pi$

 

주어진 곡선의 미분은 $\frac{dy}{dx} = -\sin(x)$이므로 다음 식을 통해 곡선의 길이를 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} L &= \int_{0}^{2\pi} \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^{2}} \; dx \\ &= \int_{0}^{2\pi} \sqrt{1 + \sin^{2}(x)} \; dx \end{align*}$$

 

(b). $y = xe^{-x^{2}}, 0 \le x \le 1$

 

주어진 곡선의 미분은 $\frac{dy}{dx} = e^{-x^{2}} - 2x^{2}e^{-x^{2}} = (1 - 2x^{2})e^{-x^{2}}$이므로 다음 식을 통해 곡선의 길이를 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} L &= \int_{0}^{1} \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^{2}} \; dx \\ &= \int_{0}^{1} \sqrt{1 + \left( (1 - 2x^{2})e^{-x^{2}} \right)^{2}} \; dx \\ &= \int_{0}^{1} \sqrt{1 + (1 - 2x^{2})^{2}e^{-2x^{2}}} \; dx \end{align*}$$

 

(c). $x = y + y^{3}, 1 \le y \le 4$

 

주어진 곡선의 미분은 $\frac{dx}{dy} = 1 + 3y^{2}$이므로 다음 식을 통해 곡선의 길이를 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} L &= \int_{0}^{4} \sqrt{1 + \left( \frac{dx}{dy} \right)^{2}} \; dy \\ &= \int_{0}^{4} \sqrt{1 + \left( 1 + 3y^{2} \right)^{2}} \; dy \end{align*}$$

 

(d). $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

 

주어진 곡선은 타원으로 폐곡선이다. 따라서, $0 \le x \le a$인 범위에서 곡선의 길이를 구한 뒤 4를 곱하면 된다. 주어진 곡선의 미분은 $\frac{2x}{a^{2}} + \frac{2y}{b^{2}} \frac{dy}{dx} = 0 \rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} \frac{b^{2}}{a^{2}}$이므로 다음 식을 통해 곡선의 길이를 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} L &= 4 \int_{0}^{a} \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^{2}} \; dx \\ &= 4\int_{0}^{a} \sqrt{1 + \left( - \frac{x}{y} \frac{b^{2}}{a^{2}} \right)^{2}} \; dx \\ &= 4\int_{0}^{a} \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{y^{2}} \frac{b^{4}}{a^{4}}} \; dx \\ &= 4\int_{0}^{a} \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{b^{2} - \frac{b^{2}}{a^{2}}x^{2}} \frac{b^{4}}{a^{4}}} \; dx \\ &= 4\int_{0}^{a} \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{a^{2} - x^{2}} \frac{b^{2}}{a^{2}}} \; dx \end{align*}$$

 

연습문제2. 주어진 함수과 범위가 주어졌을 때 곡선의 길이를 구하여라.

 

(a). $y = 1 + 6x^{\frac{3}{2}}, 0 \le x \le 1$

(b). $y^{2} = 4(x + 4)^{3}, 0 \le x \le 2, y > 0$

(c). $y = \frac{x^{5}}{6} + \frac{1}{10x^{3}}, 1 \le x \le 2$

(d). $x = \frac{y^{4}}{8} + \frac{1}{4y^{2}}, 1 \le y \le 2$

(e). $x = \frac{1}{3}\sqrt{y}(y - 3), 1 \le y \le 9$

 

(a). $y = 1 + 6x^{\frac{3}{2}}, 0 \le x \le 1$

 

주어진 곡선의 미분은 $\frac{dy}{dx} = 6 \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} = 9x^{\frac{1}{2}}$이므로 다음 식을 통해 곡선의 길이를 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} L &= \int_{0}^{1} \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^{2}} \; dx \\ &= \int_{0}^{1} \sqrt{1 + \left( 9x^{\frac{1}{2}} \right)^{2}} \; dx \\ &= \int_{0}^{1} \sqrt{1 + 81x} \; dx \\ &= \left[ \frac{1}{1 + \frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{81} \cdot (1 + 81x)^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{1} \\ &= \frac{2}{243} \left[ (1 + 81x)^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{1} \\ &= \frac{2}{243} \left( 82\sqrt{82} - 1 \right) \end{align*}$$

 

(b). $y^{2} = 4(x + 4)^{3}, 0 \le x \le 2, y > 0$

 

주어진 곡선의 길이는 $y$가 양수인 영역만 구하면 된다. 주어진 곡선의 미분은 $2y\frac{dy}{dx} = 12(x + 4)^{2} \rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{6(x + 4)^{2}}{y} = \frac{6(x + 4)^{2}}{2(x + 4)^{\frac{3}{2}}} = 3(x + 4)^{\frac{1}{2}}$이므로 다음 식을 통해 곡선의 길이를 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} L &= \int_{0}^{2} \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^{2}} \; dx \\ &= \int_{0}^{2} \sqrt{1 + \left( 3(x + 4)^{\frac{1}{2}} \right)^{2}} \; dx \\ &= \int_{0}^{2} \sqrt{1 + 9(x + 4)} \; dx \\ &= \int_{0}^{2} \sqrt{37 + 9x} \; dx \\ &= \left[ \frac{1}{1 + \frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{9} \cdot (37 + 9x)^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{2} \\ &= \frac{2}{27} \left[ (37 + 9x)^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{2} \\ &= \frac{2}{27} \left( 55\sqrt{55} - 37\sqrt{37} \right) \end{align*}$$

 

(c). $y = \frac{x^{5}}{6} + \frac{1}{10x^{3}}, 1 \le x \le 2$

 

주어진 곡선의 미분은 $\frac{dy}{dx} = \frac{5}{6}x^{4} - \frac{3}{10 x^{4}}$이므로 다음 식을 통해 곡선의 길이를 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} L &= \int_{1}^{2} \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^{2}} \; dx \\ &= \int_{1}^{2} \sqrt{1 + \left( \frac{5}{6}x^{4} - \frac{3}{10x^{4}} \right)^{2}} \; dx \\ &= \int_{1}^{2} \sqrt{1 + \left( \frac{25}{36}x^{8} + \frac{9}{100x^{8}} - \frac{1}{2} \right)} \; dx \\ &= \int_{1}^{2} \sqrt{\frac{25}{36} x^{8} + \frac{9}{100x^{8}} + \frac{1}{2}} \; dx \\ &= \int_{1}^{2} \sqrt{\left( \frac{5}{6}x^{4} + \frac{3}{10x^{4}} \right)^{2}} \; dx  \\ &= \int_{1}^{2} \left( \frac{5}{6}x^{4} + \frac{3}{10x^{4}} \right) \; dx \\ &= \left[ \frac{1}{6}x^{5} - \frac{1}{10x^{3}} \right]_{1}^{2} \\ &= \left( \frac{32}{6} - \frac{1}{80} \right) - \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{10} \right) = \frac{1261}{240} \end{align*}$$

 

(d). $x = \frac{y^{4}}{8} + \frac{1}{4y^{2}}, 1 \le y \le 2$

 

주어진 곡선의 미분은 $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{2}y^{3} - \frac{1}{2y^{3}}$이므로 다음 식을 통해 곡선의 길이를 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} L &= \int_{1}^{2} \sqrt{1 + \left( \frac{dx}{dy} \right)^{2}} \; dy \\ &= \int_{1}^{2} \sqrt{1 + \left( \frac{1}{2}y^{3} - \frac{1}{2y^{3}} \right)^{2}} \; dy \\ &= \int_{1}^{2} \sqrt{1 + \left( \frac{1}{4}y^{6} + \frac{1}{4y^{6}} - \frac{1}{2} \right)} \; dx \\ &= \int_{1}^{2} \sqrt{\frac{1}{4} y^{6} + \frac{1}{4y^{6}} + \frac{1}{2}} \; dx \\ &= \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \sqrt{\left( y^{3} + \frac{1}{y^{3}} \right)^{2}} \; dx  \\ &= \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \left( y^{3} + \frac{1}{y^{3}} \right) \; dx \\ &= \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{4}y^{4} - \frac{1}{2y^{2}} \right]_{1}^{2} \\ &= \frac{1}{2} \left[ \left( 4 - \frac{1}{8} \right) - \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \right) \right] = \frac{33}{16} \end{align*}$$

 

(e). $x = \frac{1}{3}\sqrt{y}(y - 3), 1 \le y \le 9$

 

주어진 곡선의 미분은 $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2\sqrt{y}}(y - 3) + \sqrt{y} \right)$이므로 다음 식을 통해 곡선의 길이를 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} L &= \int_{1}^{9} \sqrt{1 + \left( \frac{dx}{dy} \right)^{2}} \; dy \\ &= \int_{1}^{9} \sqrt{1 + \frac{1}{9}\left( \frac{1}{2\sqrt{y}}(y - 3) - \sqrt{y} \right)^{2}} \; dy \\ &= \frac{1}{3} \int_{1}^{9} \sqrt{\frac{y}{4} + \frac{9}{4y} + \frac{9}{2}} \; dx \\ &= \frac{1}{3} \int_{1}^{9} \sqrt{\left( \frac{\sqrt{y}}{2} + \frac{3}{2\sqrt{y}} \right)^{2}} \; dx  \\ &= \frac{1}{3} \int_{1}^{9} \left( \frac{\sqrt{y}}{2} + \frac{3}{2\sqrt{y}} \right) \; dx \\ &= \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}  - \frac{3}{2} \cdot 2 y^{\frac{1}{2}} \right]_{1}^{9} \\ &= \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{3}y^{\frac{3}{2}} - 3y^{\frac{1}{2}} \right]_{1}^{9} \\ &= \frac{1}{3} \left[ \left( \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{9} - 3\sqrt{9} \right) - \left( \frac{1}{3} - 3 \right) \right] = \frac{8}{9} \end{align*}$$

 

연습문제3. 주어진 함수과 범위가 주어졌을 때 곡선의 길이를 구하여라.

 

(a). $y = \ln (\cos(x)), 0 \le x \le \frac{\pi}{3}$

(b). $y = \ln (\sec(x)), 0 \le x \le \frac{\pi}{4}$

(c). $y = 3 + \frac{1}{2}\cosh(2x), 0 \le x \le 1$

(d). $y = \ln (1 - x^{2}), 0 \le x \le \frac{1}{2}$

(e). $y = e^{x}, 0 \le x \le 1$

 

(a). $y = \ln (\cos(x)), 0 \le x \le \frac{\pi}{3}$

 

주어진 곡선의 미분은 $\frac{dy}{dx} = -\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = -\tan(x)$이므로 다음 식을 통해 곡선의 길이를 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} L &= \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^{2}} \; dx \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sqrt{1 + \left( -\tan(x) \right)^{2}} \; dx \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sqrt{1 + \tan^{2}(x)} \; dx \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sqrt{\sec^{2}(x)} \; dx \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sec(x) \; dx  \\ &= \left[ \ln \left( \sec(x) + \tan(x) \right) \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} \\ &= \ln (\sec(\frac{\pi}{3}) + \tan(\frac{\pi}{3})) - \ln (\sec(0) + \tan(0)) = \ln (2 + \sqrt{3}) \end{align*}$$

 

(b). $y = \ln (\sec(x)), 0 \le x \le \frac{\pi}{4}$

 

주어진 곡선의 미분은 $\frac{dy}{dx} = \frac{\sec(x)\tan(x)}{\sec(x)} = \tan(x)$이므로 다음 식을 통해 곡선의 길이를 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} L &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^{2}} \; dx \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{1 + \left( \tan(x) \right)^{2}} \; dx \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{1 + \tan^{2}(x)} \; dx \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{\sec^{2}(x)} \; dx \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec(x) \; dx  \\ &= \left[ \ln \left( \sec(x) + \tan(x) \right) \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} \\ &= \ln (\sec(\frac{\pi}{4}) + \tan(\frac{\pi}{4})) - \ln (\sec(0) + \tan(0)) = \ln (\sqrt{2} + 1) \end{align*}$$

 

(c). $y = 3 + \frac{1}{2}\cosh(2x), 0 \le x \le 1$

 

주어진 곡선의 미분은 $\frac{dy}{dx} = \sinh(2x)$이므로 다음 식을 통해 곡선의 길이를 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} L &= \int_{0}^{1} \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^{2}} \; dx \\ &= \int_{0}^{1} \sqrt{1 + \left( \sinh(2x) \right)^{2}} \; dx \\ &= \int_{0}^{1} \sqrt{1 + \sinh^{2}(2x)} \; dx \\ &= \int_{0}^{1} \sqrt{\cosh^{2}(2x)} \; dx \\ &= \int_{0}^{1} \cosh(2x) \; dx  \\ &= \frac{1}{2} \left[ \sinh(2x) \right]_{0}^{1} \\ &= \frac{1}{2} \left( \sinh(2) - \sinh(0) \right) = \frac{1}{2} \sinh(2) \end{align*}$$

 

(d). $y = \ln (1 - x^{2}), 0 \le x \le \frac{1}{2}$

 

주어진 곡선의 미분은 $\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{1 - x^{2}}$이므로 다음 식을 통해 곡선의 길이를 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} L &= \int_{0}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^{2}} \; dx \\ &= \int_{0}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 + \left( -\frac{2x}{1 - x^{2}} \right)^{2}} \; dx \\ &= \int_{0}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{(1 + x^{2})^{2}}{(1 - x^{2})^{2}}} \; dx \\ &= \int_{0}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\left( \frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}} \right)^{2}} \; dx \\ &= \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}} \; dx \\ &= \int_{0}^{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x - 1} - 1 \right) \; dx  \\ &= \left[ \ln \left| \frac{x + 1}{x - 1} \right| - x \right]_{0}^{\frac{1}{2}} \\ &= \ln 3 - \frac{1}{2} \end{align*}$$

 

(e). $y = e^{x}, 0 \le x \le 1$

 

주어진 곡선의 미분은 $\frac{dy}{dx} = e^{x}$이므로 다음 식을 통해 곡선의 길이를 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} L &= \int_{0}^{1} \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^{2}} \; dx \\ &= \int_{0}^{1} \sqrt{1 + \left( e^{x} \right)^{2}} \; dx \\ &= \int_{0}^{1} \sqrt{1 + e^{2x}} \; dx \end{align*}$$

 

이제, $e^{x} = u$라고 하면 $e^{x} dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{e^{x}} du = \frac{1}{u} du$이고 적분구간은 $[0, 1] \rightarrow [1, e]$이다. 따라서, 다음과 같이 치환적분을 수행할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} L &= \int_{0}^{1} \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^{2}} \; dx \\ &= \int_{0}^{1} \sqrt{1 + e^{2x}} \; dx \\ &= \int_{1}^{e} \sqrt{1 + u^{2}} \cdot \frac{1}{u} \; du \\ &= \int_{1}^{e} \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u} \; du \end{align*}$$

 

이제, $u = \sinh(v)$라고 하면 $du = \cosh(v) dv$이고 적분구간은 $[1, e] \rightarrow [\text{arcsinh}(1), \text{arcsinh}(e)]$이다. 따라서, 다음과 같이 치환적분을 수행할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} L &= \int_{0}^{1} \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^{2}} \; dx \\ &= \int_{1}^{e} \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u} \; du \\ &= \int_{\text{arcsinh}(1)}^{\text{arcsinh}(e)} \frac{\sqrt{1 + \sinh^{2}(v)}}{\cosh(v)} \cdot \cosh(v) \; dv \\ &= \int_{\\text{arcsinh}(1)}^{\text{arcsinh}(e)} \cosh(v) \; dv \\ &= \left[ \sinh(v) \right]_{\text{arcsinh}(1)}^{\text{arcsinh}(e)} \\ &= \sinh(\text{arcsinh}(e)) - \sinh(\text{arcsinh}(1)) = e - 1 \end{align*}$$

 

참고자료 및 그림출처

Calculus(J. Stewart)