미적분학 - 매개변수 함수

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 일에서는 적분을 물리학에 응용하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 지금까지 저희는 극한, 미분, 적분을 통해 기본적인 미적분학의 지식은 갖추었습니다. 이제부터는 조금 더 어려운 응용 단계를 진행을 해보고자 합니다. 오늘은 이를 위한 첫번째 단계로 매개변수 함수(Parametric Function)에 대해서 다루어보도록 하겠습니다. 

 

위와 같은 그래프로 이루어진 어떤 함수가 있다고 가정하겠습니다. 굉장히 복잡하게 생겼네요. 아쉽게도 위 그래프를 $y = f(x)$ 꼴의 형태로 표현하는 것은 불가능합니다. 하지만, $x$ 방향과 $y$ 방향이 각각 어떤 함수를 따른다고 가정을 한다면 충분히 가능하죠. 이 말은 $x = f(t), y = g(t)$와 같이 $x, y$ 축이 각각 새로운 매개변수(parameter) $t$에 의해 정의된다는 것을 의미합니다. 여기서, $(x, y)$를 결정하는 요소는 $t$임을 주목하시길 바랍니다. 따라서 저희는 곡선 $C$를 아래와 같이 쓸 수 있습니다. 

 

$$C : (x, y) = (f(t), g(t))$$

 

그리고 만약, $a \le t \le b$라면 $(f(a), g(a))$를 매개변수 곡선의 시점(initial point), $(f(b), g(b))$를 종점(terminal point)라고 합니다. 

 

매개변수 함수는 이와 같이 간단한 정의입니다. 하지만, 매개변수 함수 중 굉장히 중요하게 다루어지는 함수가 있는데요. 오늘은 추가적으로 사이클로이드(Cycloid)에 대해서도 다루어보도록 하겠습니다. 

 

사이클로이드는 위와 같은 궤적을 가지는 곡선입니다. 원이 원점 $O$에서 시작하고 시계방향으로 회전한다고 가정하겠습니다. 그러면 임의의 시점에 대응되는 점 $P$를 매개변수로 표현할 수 있을까요? 일단, $\bar{OT}$부터 생각해보겠습니다. 이 선분의 길이는 호 $\bar{PT}$의 길이와 완전히 일치합니다. 따라서, $\bar{OT} = \bar{PT} = r\theta$입니다. 따라서, 원의 중심은 $C(r\theta, r)$이 될 겁니다. 

 

다음으로 할 것은 점 $P$를 $(x, y)$라고 하겠습니다. 그러면, 각 점은 아래와 같이 구할 수 있습니다. 

 

$$x = |OT| - |PQ| = r\theta - r\sin(\theta) = r(\theta - \sin(\theta))$$

$$y = |CT| - |CQ| = r - r\cos(\theta) = r(1 - \cos(\theta))$$

 

그러므로 사이클로이드의 매개변수 함수는 아래와 같습니다. 

 

$$C : (x, y) = (r(\theta - \sin(\theta)), r(1 - \cos(\theta)))$$

 

연습문제1. 주어진 매개방정식들의 그래프를 그리시오.

 

(a). $x = 1 + \sqrt{t}, y = t^{2} - 4t, 0 \le t \le 5$

(b). $x = 2\cos(t), y = t - \cos(t), 0 \le t \le 2\pi$

(c). $x = 5\sin(t), y = t^{2}, -\pi \le t \le \pi$

(d). $x = e^{-t} + t, y = e^{t} - t, -2 \le t \le 2$ 

 

(a). $x = 1 + \sqrt{t}, y = t^{2} - 4t, 0 \le t \le 5$

 

STEP1. 주어진 범위 내에서 계산하기 쉬운 $t$ 점을 선택하여 $(x, y)$를 표로 나타낸다. (이때, 시작점과 끝점은 반드시 포함시킨다.)

 

$t$	0	1	2	3	4	5
$x(t)$	1	2	1 + $\sqrt{2}$	1 + $\sqrt{3}$	3	1 + $\sqrt{5}$
$y(t)$	0	-3	-4	-3	0	5

 

STEP2. 표를 통해 얻은 점들을 순서대로 이어준다. 

 

 

(b). $x = 2\cos(t), y = t - \cos(t), 0 \le t \le 2\pi$

 

STEP1. 주어진 범위 내에서 계산하기 쉬운 $t$ 점을 선택하여 $(x, y)$를 표로 나타낸다. (이때, 시작점과 끝점은 반드시 포함시킨다.)

 

$t$	0	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi}{2}$	$2\pi$
$x(t)$	2	0	-2	0	2
$y(t)$	-1	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$ + 1	$\frac{3\pi}{2}$	$2\pi$ - 1

 

STEP2. 표를 통해 얻은 점들을 순서대로 이어준다. 

 

 

(c). $x = 5\sin(t), y = t^{2}, -\pi \le t \le \pi$

 

STEP1. 주어진 범위 내에서 계산하기 쉬운 $t$ 점을 선택하여 $(x, y)$를 표로 나타낸다. (이때, 시작점과 끝점은 반드시 포함시킨다.)

 

$t$	$-\pi$	$-\frac{\pi}{2}$	0	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$
$x(t)$	0	-5	0	5	0
$y(t)$	$\pi^{2}$	$\frac{\pi^{2}}{4}$	0	$\frac{\pi^{2}}{4}$	$\pi^{2}$

 

STEP2. 표를 통해 얻은 점들을 순서대로 이어준다. 

 

 

(d). $x = e^{-t} + t, y = e^{t} - t, -2 \le t \le 2$ 

 

STEP1. 주어진 범위 내에서 계산하기 쉬운 $t$ 점을 선택하여 $(x, y)$를 표로 나타낸다. (이때, 시작점과 끝점은 반드시 포함시킨다.)

 

$t$	-2	-1	0	1	2
$x(t)$	$e^{2}$ - 2	$e$ - 1	1	$e^{-1} + 1$	$e^{-2} + 2$
$y(t)$	$e^{-2} + 2$	$e^{-1} + 1$	1	$e - 1$	$e^{2} - 2$

 

STEP2. 표를 통해 얻은 점들을 순서대로 이어준다.

 

 

연습문제2. 주어진 매개변수 방정식의 그래프를 그리고 매개변수를 없앤 카르테시안 방정식 형태를 구하시오.

 

(a). $x = 3t - 5, y = 2t + 1$

(b). $x = 1 + t, y = 5 - 2t, -2 \le t \le 3$

(c). $x = t^{2} - 2, y = 5 - 2t, -3 \le t \le 4$

(d). $x = 1 + 3t, y = 2 - t^{2}$

(e). $x = \sqrt{t}, y = 1 - t$

(f). $x = t^{2}, y = t^{3}$

 

(a). $x = 3t - 5, y = 2t + 1$

 

STEP1. 주어진 범위 내에서 계산하기 쉬운 $t$ 점을 선택하여 $(x, y)$를 표로 나타낸다. (이때, 시작점과 끝점은 반드시 포함시킨다.)

 

$t$	-2	-1	0	1	2
$x(t)$	-11	-8	-5	-2	1
$y(t)$	-3	-1	1	3	5

 

STEP2. 표를 통해 얻은 점들을 순서대로 이어준다.

 

 

STEP3. 카르테시안 방정식으로 변환한다. 

 

$$\begin{align*} x = 3t - 5 \rightarrow t = \frac{1}{3} (x + 5) \end{align*}$$

 

이를 $y(t)$에 대입하면 다음과 같다.

 

$$\begin{align*} y &= 2t + 1 \\ &= \frac{2}{3} (x + 5) + 1\\ &= \frac{2}{3}x + \frac{13}{3} \end{align*}$$

 

(b). $x = 1 + t, y = 5 - 2t, -2 \le t \le 3$

 

STEP1. 주어진 범위 내에서 계산하기 쉬운 $t$ 점을 선택하여 $(x, y)$를 표로 나타낸다. (이때, 시작점과 끝점은 반드시 포함시킨다.)

 

$t$	-2	-1	0	1	2	3
$x(t)$	-1	0	1	2	3	4
$y(t)$	9	7	5	3	1	-1

 

STEP2. 표를 통해 얻은 점들을 순서대로 이어준다.

 

STEP3. 카르테시안 방정식으로 변환한다. 

 

$$\begin{align*} x = 1 + t \rightarrow t = 1 - x \end{align*}$$

 

이를 $y(t)$에 대입하면 다음과 같다.

 

$$\begin{align*} y &= 5 - 2t \\ &= 5 - 2(1 - x) \\ &= 5 - 2 + 2x \\ &= 2x + 3 \end{align*}$$

 

(c). $x = t^{2} - 2, y = 5 - 2t, -3 \le t \le 4$

 

STEP1. 주어진 범위 내에서 계산하기 쉬운 $t$ 점을 선택하여 $(x, y)$를 표로 나타낸다. (이때, 시작점과 끝점은 반드시 포함시킨다.)

 

$t$	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
$x(t)$	7	1	-1	-2	-1	2	7	14
$y(t)$	11	9	7	5	3	1	-1	-3

 

STEP2. 표를 통해 얻은 점들을 순서대로 이어준다.

 

 

STEP3. 카르테시안 방정식으로 변환한다. 

 

$$\begin{align*} y = 5 - 2t \rightarrow t = \frac{1}{2} (5 - y) \end{align*}$$

 

이를 $x(t)$에 대입하면 다음과 같다.

 

$$\begin{align*} x &= t^{2} - 2 \\ &= \frac{1}{4}(5 - t)^{2} - 2 \end{align*}$$

 

(d). $x = 1 + 3t, y = 2 - t^{2}$

 

STEP1. 주어진 범위 내에서 계산하기 쉬운 $t$ 점을 선택하여 $(x, y)$를 표로 나타낸다. (이때, 시작점과 끝점은 반드시 포함시킨다.)

 

$t$	-2	-1	0	1	2
$x(t)$	-5	-2	1	4	7
$y(t)$	-2	1	2	1	-2

 

STEP2. 표를 통해 얻은 점들을 순서대로 이어준다.

 

STEP3. 카르테시안 방정식으로 변환한다. 

 

$$\begin{align*} x = 1 + 3t \rightarrow t = \frac{1}{3} (x - 1) \end{align*}$$

 

이를 $y(t)$에 대입하면 다음과 같다.

 

$$\begin{align*} y &= 2 - t^{2} \\ &= 2 - \frac{1}{9}(x - 1)^{2} \end{align*}$$

 

(e). $x = \sqrt{t}, y = 1 - t$

 

STEP1. 주어진 범위 내에서 계산하기 쉬운 $t$ 점을 선택하여 $(x, y)$를 표로 나타낸다. (이때, 시작점과 끝점은 반드시 포함시킨다.)

 

$t$	0	1	2	3	4
$x(t)$	0	1	$\sqrt{2}$	$\sqrt{3}$	2
$y(t)$	1	0	-1	-2	-3

 

STEP2. 표를 통해 얻은 점들을 순서대로 이어준다.

 

STEP3. 카르테시안 방정식으로 변환한다. 

 

$$\begin{align*} x = \sqrt{t} \rightarrow t = x^{2} \end{align*}$$

 

이를 $y(t)$에 대입하면 다음과 같다.

 

$$\begin{align*} y &= 1 - t \\ &= 1 - x^{2} \end{align*}$$

 

(f). $x = t^{2}, y = t^{3}$

 

STEP1. 주어진 범위 내에서 계산하기 쉬운 $t$ 점을 선택하여 $(x, y)$를 표로 나타낸다. (이때, 시작점과 끝점은 반드시 포함시킨다.)

 

$t$	-2	-1	0	1	2
$x(t)$	4	1	0	1	4
$y(t)$	-8	-1	0	1	8

 

STEP2. 표를 통해 얻은 점들을 순서대로 이어준다.

 

STEP3. 카르테시안 방정식으로 변환한다. 

 

$$\begin{align*} x = t^{2} \rightarrow t = \sqrt{x} \end{align*}$$

 

이를 $y(t)$에 대입하면 다음과 같다.

 

$$\begin{align*} y &= t^{3} \\ &= x^{\frac{3}{2}} \end{align*}$$

 

 

 

 

 

 

 

참고자료 및 그림출처

Calculus(J. Stewart)

지오지브라 프로그램