안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 부정적분에서는 몇 가지 기본 함수들의 적분 결과를 테이블로 정리하였습니다. 오늘은 테이블에 나와있지 않는 함수들도 적분할 수 있도록 만들어주는 치환적분(Substitution Integration)에 대해서 설명하도록 하겠습니다.
미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다.
미적분학 - 미적분학 기본정리의 FTC 2에 따르면 정적분을 계산하기 위해서는 반드시 적분을 해야합니다. 하지만, 미분과는 다르게 적분은 쉽게 할 수 없습니다. 당장 예를 들어 $\int 2x\sqrt{1 + x^{2}} \; dx$ 같은 경우에는 지난 포스팅의 테이블에 나와있지 않기 때문에 저희가 알고 있는 지식으로는 적분할 수 없습니다. 하지만, 이러한 함수들도 적분 할 수 있도록 만든 기술 중 하나가 치환적분입니다. 말그대로 함수 $f(x)$의 어떤 요소를 치환하여 연쇄법칙과 함께 적분하기 쉬운 형태로 바꾸는 것이 목표입니다. 방금 보여드린 예시에서는 $u = 1 + x^{2} \Rightarrow du = 2x dx$로 치환하여 적분을 해볼 수 있습니다.
$$\begin{align*} \int 2x \sqrt{1 + x^{2}} \; dx &= \int 2x \sqrt{u} \; \frac{1}{2x} du \\ &= \int \sqrt{u} \; du \\ &= \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3} \left(1 + x^{2}\right)^{\frac{3}{2}} + C\end{align*}$$
실제로 적분된 결과를 다시 미분해보면 다시 피적분함수가 나오는 것을 볼 수 있습니다.
$$\begin{align*} \frac{d}{dx} \left(\frac{2}{3} \left(1 + x^{2}\right)^{\frac{3}{2}} + C\right) &= \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} (1 + x^{2})^{\frac{1}{2}} \cdot 2x \\ &= 2x\sqrt{1 +x^{2}}\end{align*}$$
정리 1. 치환적분(Substitution Integration)
닫힌 구간 $I$에서 함수 $u = g(x)$가 미분 가능하고 함수 $f$가 연속이라고 하면 아래의 식이 성립한다.
$$\int f(g(x)) g^{'}(x) \; dx = \int f(u) \; du$$
예제1. $\int x^{3} \cos(x^{4} + 2) \; dx$를 계산하라.
$u = x^{4} + 2$이라고 하면 $du = 4x^{3} dx \Rightarrow \frac{1}{4x^{3}} du = dx$이다. 따라서, 치환적분을 통해 계산하면 아래와 같다.
$$\begin{align*} \int x^{3} \cos(x^{4} + 2) \; dx &= \int x^{3} \cos(u) \; \frac{1}{4x^{3}} du \\ &= \int \frac{1}{4} \cos(u) \; du \\ &= \frac{1}{4} \cos(u) + C = \frac{1}{4} \cos(x^{4} + 2) + C \end{align*}$$
예제2. $\int \sqrt{2x + 1} \; dx$를 계산하라.
$u = 2x + 1$이라고 하면 $du = 2 dx \Rightarrow \frac{1}{2} du = dx$이다. 따라서, 치환적분을 통해 계산하면 아래와 같다.
$$\begin{align*} \int \sqrt{2x + 1} \; dx &= \int \sqrt(u) \; \frac{1}{2} du \\ &= \int \frac{1}{2} \sqrt(u) \; du \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} (2x + 1)^{\frac{3}{2}} + C \end{align*}$$
예제3. $\int \frac{x}{\sqrt{1 - 4x^{2}}} \; dx$를 계산하라.
$u = 1 - 4x^{2}$이라고 하면 $du = -8x dx \Rightarrow -\frac{1}{8x} du = dx$이다. 따라서, 치환적분을 통해 계산하면 아래와 같다.
$$\begin{align*} \int \frac{x}{\sqrt{1 - 4x^{2}}} \; dx &= \int \frac{x}{\sqrt{u}} \; -\frac{1}{8x} du \\ &= \int -\frac{1}{8} \frac{1}{\sqrt{u}} \; du \\ &= -\frac{1}{8} \left(2 \sqrt{u}\right) + C = -\frac{1}{4} \sqrt{1 - 4x^{2}} + C\end{align*}$$
예제4. $\int \tan(x) \; dx$를 계산하라.
$\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$임을 고려한다. $u = \cos(x)$라고 하면 $du = -\sin(x) dx \Rightarrow -\frac{1}{\sin(x)} = dx$이다. 따라서, 치환적분을 통해 계산하면 아래와 같다.
$$\begin{align*} \int \tan(x) \; dx &= \int \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \; dx \\ &= \int \frac{\sin(x)}{u} \; -\frac{1}{\sin(x)} du \\ &= \int -\frac{1}{u} \; du \\ &= -\ln(\left|u\right|) + C = -\ln(\left|\cos(x)\right|) + C = \ln(\left|\sec(x)\right|) + C\end{align*}$$
정리 2. 정적분을 위한 치환적분(Substitution Integration for Definite Integral)
닫힌 구간 $I = [a, b]$에서 $g^{'}$와 $f$가 연속이면 다음 식이 성립한다.
$$\int_{a}^{b} f(g(x)) g^{'}(x) \; dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) \; du$$
예제5. $\int_{0}^{4} \sqrt{2x + 1} \; dx$를 계산하라.
$u = 2x + 1$이라고 하면 $du = 2 dx \Rightarrow \frac{1}{2} du = dx$이고 아래끝은 $x = 0 \Rightarrow u = 1$, 윗끝은 $x = 4 \Rightarrow u = 9$이다. 예제 2의 결과를 활용하면 아래와 같이 계산가능하다.
$$\begin{align*} \int_{0}^{4} \sqrt{2x + 1} \; dx &= \int_{1}^{9} \sqrt{u} \; \frac{1}{2} du \\ &= \left[\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}}\right]_{1}^{9} \\ &= \frac{1}{3}\left(9^{\frac{3}{2}} - 1^{\frac{3}{2}}\right) = \frac{26}{3}\end{align*}$$
예제6. $\int_{1}^{e} \frac{ln(x)}{x} \; dx$를 계산하라.
$u = \ln(x)$라고 하면 $du = \frac{1}{x} dx \Rightarrow x du = dx$이고 아래끝은 $x = 1 \Rightarrow u = 0$, 윗끝은 $x = e \Rightarrow u = 1$이다. 따라서, 치환적분을 통해 계산하면 아래와 같다.
$$\begin{align*} \int_{1}^{e} \frac{\ln(x)}{x} \; dx &= \int_{0}^{1} \frac{u}{x} \; x du \\ &= \int_{0}^{1} u \; du \\ &= \left[\frac{1}{2}u^{2}\right]_{0}^{1} \\ &= \frac{1}{2} \left(1 - 0\right) = \frac{1}{2} \end{align*}$$
마지막으로 피적분함수가 대칭함수라면 적분을 쉽게 할 수 있습니다.
정리 3. 대칭함수의 적분
닫힌 구간 $I = [-a, a]$에서 함수 $f$가 연속이라고 하자.
- 함수 $f$가 우함수, 즉 $f(-x) = f(x)$라면 $\int_{-a}^{a} f(x) \; dx = 2\int_{0}^{a} f(x) \; dx$이다.
- 함수 $f$가 기함수, 즉 $f(-x) = -f(x)$라면 $\int_{-a}^{a} f(x) \; dx = 0$이다.
증명
먼저, 적분 구간을 $x = 0$을 기준으로 2개로 나눈다.
$$\begin{align*} \int_{-a}^{a} f(x) \; dx &= \int_{-a}^{0} f(x) \; dx + \int_{0}^{a} \; dx \\ &= -\int_{0}^{-a} f(x) \; dx + \int_{0}^{a} f(x) \; dx \end{align*}$$
이때, 첫번째 적분을 치환적분한다. $u = -x$라고 하면 $du = -dx \Rightarrow -du = dx$이고 아래끝은 $x = 0 \Rightarrow u = 0$, 위끝은 $x = -a \Rightarrow u = a$이다.
1. 피적분함수 $f(x)$가 우함수라고 가정하자.
$$-\int_{0}^{-a} f(x) \; dx + \int_{0}^{a} f(x) \; dx = \int_{0}^{a} f(-u) \; du + \int_{0}^{a} f(x) \; dx = 2\int_{0}^{a} f(x) \; dx$$
2. 피적분함수 $f(x)$가 기함수라고 가정하자.
$$-\int_{0}^{-a} f(x) \; dx + \int_{0}^{a} f(x) \; dx = \int_{0}^{a} f(-u) \; du + \int_{0}^{a} f(x) \; dx = 0$$
연습문제1. 주어진 부정적분을 계산하라.
(a). $\int x\sin(x^{2}) \; dx$
(b). $\int x^{2}(x^{3} + 5)^{9} \; dx$
(c). $\int (3x - 2)^{20} \; dx$
(d). $\int (3t + 2)^{2.4} \; dx$
(e). $\int (x + 1)\sqrt{2x + x^{2}} \; dx$
(f). $\int \frac{x}{(x^{2} + 1)^{2}} \; dx$
(a). $\int x\sin(x^{2}) \; dx$
$x^{2} = u$라고 하자.
$$2x dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{2x} du$$
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} \int x\sin(x^{2}) \; dx &= \int x \sin(u) \; \left( \frac{1}{2x}du \right) \\ &= \frac{1}{2} \int \sin(u) \; du \\ &= -\frac{1}{2}\cos(u) + C = -\frac{1}{2}\cos(x^{2}) + C \end{align*}$$
따라서, $\int x\sin(x^{2}) \; dx = -\frac{1}{2}\cos(x^{2}) + C$이다.
(b). $\int x^{2}(x^{3} + 5)^{9} \; dx$
$x^{3} + 5 = u$라고 하자.
$$3x^{2} dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{3x^{2}} du$$
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} \int x^{2}(x^{3} + 5)^{9} \; dx &= \int x^{2} u^{9} \; \left( \frac{1}{3x^{2}}du \right) \\ &= \frac{1}{3} \int u^{9} \; du \\ &= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{10}u^{10} + C = \frac{1}{30}(x^{3} + 5)^{10} + C \end{align*}$$
따라서, $\int x^{2}(x^{3} + 5) \; dx = \frac{1}{30}(x^{3} + 5)^{10} + C$이다.
(c). $\int (3x - 2)^{20} \; dx$
$3x - 2 = u$라고 하자.
$$3 dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{3} du$$
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} \int (3x - 2)^{20} \; dx &= \int u^{20} \; \left( \frac{1}{3}du \right) \\ &= \frac{1}{3} \int u^{20} \; du \\ &= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{21} u^{21} + C = \frac{1}{63}(3x - 2)^{21} + C \end{align*}$$
따라서, $\int (3x - 2)^{20} \; dx = \frac{1}{63}(3x - 2)^{21} + C$이다.
(d). $\int (3t + 2)^{2.4} \; dx$
$3t + 2 = u$라고 하자.
$$3 dt = du \rightarrow dt = \frac{1}{3} du$$
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} \int (3t + 2)^{2.4} \; dt &= \int u^{2.4} \; \left( \frac{1}{3}du \right) \\ &= \frac{1}{3} \int u^{2.4} \; du \\ &= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3.4} u^{3.4} + C = \frac{1}{10.2}(3t + 2)^{3.4} + C \end{align*}$$
따라서, $\int (3t + 2)^{2.4} \; dt = \frac{1}{10.2}(3t + 2)^{3.4} + C$이다.
(e). $\int (x + 1)\sqrt{2x + x^{2}} \; dx$
$2x + x^{2} = u$라고 하자.
$$(2 + 2x) dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{2(x + 1)} du$$
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} \int (x + 1)\sqrt{2x + x^{2}} \; dx &= \int (x + 1)\sqrt{u} \; \left( \frac{1}{2(x + 1)}du \right) \\ &= \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} \; du \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3}(2x + x^{2})^{\frac{3}{2}} + C \end{align*}$$
따라서, $\int (x + 1)\sqrt{2x + x^{2}} \; dx = \frac{1}{3}(2x + x^{2})^{\frac{3}{2}} + C$이다.
(f). $\int \frac{x}{(x^{2} + 1)^{2}} \; dx$
$x^{2} + 1 = u$라고 하자.
$$2x dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{2x} du$$
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} \int \frac{x}{(x^{2} + 1)^{2}} \; dx &= \int \frac{x}{u^{2}} \; \left( \frac{1}{2x}du \right) \\ &= \frac{1}{2} \int u^{-2} \; du \\ &= \frac{1}{2} \cdot \left( -u^{-1} \right) + C = -\frac{1}{2}(x^{2} + 1)^{-1} + C \end{align*}$$
따라서, $\int \frac{x}{(x^{2} + 1)^{2}} \; dx = -\frac{1}{2}(x^{2} + 1)^{-1} + C$이다.
연습문제2. 주어진 부정적분을 계산하라.
(a). $\int \frac{1}{5 - 3x} \; dx$
(b). $\int e^{x}\sin(e^{x}) \; dx$
(c). $\int \sin(\pi t) \; dx$
(d). $\int \frac{x}{x^{2} + 1} \; dx$
(e). $\int \frac{a + bx^{2}}{\sqrt{3ax + bx^{3}}} \; dx$
(f). $\int \sec(2\theta)\tan(2\theta) \; d\theta$
(a). $\int \frac{1}{5 - 3x} \; dx$
$5 - 3x = u$라고 하자.
$$-3 dx = du \rightarrow dx = -\frac{1}{3} du$$
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} \int \frac{1}{5 - 3x} \; dx &= \int \frac{1}{u} \; \left( -\frac{1}{3}du \right) \\ &= -\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} \; du \\ &= -\frac{1}{3} \cdot \ln |u| + C = -\frac{1}{3}\ln|5 - 3x| + C \end{align*}$$
따라서, $\int \frac{1}{5 - 3x} \; dx = -\frac{1}{3}\ln|5 - 3x| + C$이다.
(b). $\int e^{x}\sin(e^{x}) \; dx$
$e^{x} = u$라고 하자.
$$e^{x} dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{e^{x}} du$$
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} \int e^{x}\sin(e^{x}) \; dx &= \int e^{x}\sin(u) \; \left( \frac{1}{e^{x}}du \right) \\ &= \int \sin(u) \; du \\ &= -\cos(u) + C = -\cos(e^{x}) + C \end{align*}$$
따라서, $\int e^{x}\sin(e^{x}) \; dx = -\cos(e^{x}) + C$이다.
(c). $\int \sin(\pi t) \; dx$
$\pi t = u$라고 하자.
$$\pi dt = du \rightarrow dt = \frac{1}{\pi} du$$
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} \int \sin(\pi t) \; dt &= \int \sin(u) \; \left( \frac{1}{\pi}du \right) \\ &= \frac{1}{\pi} \int \sin(u) \; du \\ &= \frac{1}{\pi} \cdot \left(-\cos(u)\right) + C = -\frac{1}{\pi}\cos(\pi t) + C \end{align*}$$
따라서, $\int \sin(\pi t) \; dt = -\frac{1}{\pi}\cos(\pi t) + C$이다.
(d). $\int \frac{x}{x^{2} + 1} \; dx$
$x^{2} +1 = u$라고 하자.
$$2x dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{2x} du$$
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} \int \frac{x}{x^{2} + 1} \; dx &= \int \frac{x}{x^{2} + 1} \; \left( \frac{1}{2x}dx \right) \\ &= \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \; du \\ &= \frac{1}{2} \cdot \ln|u| + C = \frac{1}{2}\ln(x^{2} + 1) + C \end{align*}$$
따라서, $\int \frac{x}{x^{2} + 1} \; dx = \frac{1}{2}\ln(x^{2} + 1) + C$이다.
(e). $\int \frac{a + bx^{2}}{\sqrt{3ax + bx^{3}}} \; dx$
$3ax + bx^{3} = u$라고 하자.
$$(3a + 3bx^{2}) dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{3(a + bx^{2})} du$$
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} \int \frac{a + bx^{2}}{\sqrt{3ax + bx^{3}}} \; dx &= \int \frac{a + bx^{2}}{\sqrt{u}} \; \left( \frac{1}{3(a + bx^{2})}du \right) \\ &= \frac{1}{3} \int u^{-\frac{1}{2}} \; du \\ &= \frac{1}{3} \cdot 2u^{\frac{1}{2}} + C = \frac{2}{3}(3ax + bx^{3})^{\frac{1}{2}} + C \end{align*}$$
따라서, $\int \frac{ax + bx^{2}}{\sqrt{3ax + bx^{3}}} \; dx = \frac{2}{3}(3ax + bx^{3})^{\frac{1}{2}} + C$이다.
(f). $\int \sec(2\theta)\tan(2\theta) \; d\theta$
$\cos(2\theta) = u$라고 하자.
$$-2\sin(2\theta) d\theta = du \rightarrow d\theta = \left(-\frac{1}{2\sin(2\theta)}\right) du$$
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} \int \sec(2\theta)\tan(2\theta) \; d\theta &= \int \frac{\sin(2\theta)}{\cos^{2}(2\theta)} \; d\theta \\ &= \int \frac{\sin(2\theta)}{u^{2}} \; \left( -\frac{1}{2\sin(2\theta)} \right) \\ &= -\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{2}} \\ &= -\frac{1}{2} \int u^{-2} \; du \\ &= -\frac{1}{2} \cdot (-u^{-1}) + C = \frac{1}{2}\sec(2\theta) + C \end{align*}$$
따라서, $\int \sec(2\theta)\tan(2\theta) \; d\theta = \frac{1}{2}\sec(2\theta) + C$이다.
연습문제3. 주어진 부정적분을 계산하라.
(a). $\int \frac{(\ln(x))^{2}}{x} \; dx$
(b). $\int \frac{1}{ax + b} \; dx$, ($a \neq 0$)
(c). $\int \frac{\cos(\sqrt{t})}{\sqrt{t}} \; dt$
(d). $\int \sqrt{x}\sin(1 + x^{\frac{3}{2}}) \; dx$
(e). $\int \cos(\theta)\sin^{6}(\theta) \; d\theta$
(a). $\int \frac{(\ln(x))^{2}}{x} \; dx$
$\ln(x) = u$라고 하자.
$$\frac{1}{x} dx = du \rightarrow dx = x du$$
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} \int \frac{(\ln(x))^{2}}{x} \; dx &= \int \frac{u^{2}}{x} \; \left( x du \right) \\ &= \int u^{2} \; du \\ &= \frac{1}{3} u^{3} + C = \frac{1}{3}(\ln(x))^{3} + C \end{align*}$$
따라서, $\int \frac{(\ln(x))^{2}}{x} \; dx = \frac{1}{3}(\ln(x))^{3} + C$이다.
(b). $\int \frac{1}{ax + b} \; dx$, ($a \neq 0$)
$ax + b = u$라고 하자.
$$a dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{a} du$$
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} \int \frac{1}{ax + b} \; dx &= \int \frac{1}{u} \; \left( \frac{1}{a} du \right) \\ &= \frac{1}{a} \int \frac{1}{u} \; du \\ &= \frac{1}{a} \ln|u| + C = \frac{1}{a}\ln|ax + b| + C \end{align*}$$
따라서, $\int \frac{1}{ax + b} \; dx = \frac{1}{a}\ln|ax + b| + C$이다.
(c). $\int \frac{\cos(\sqrt{t})}{\sqrt{t}} \; dt$
$\sqrt{t} = u$라고 하자.
$$\frac{1}{2\sqrt{t}} dt = du \rightarrow dt = 2\sqrt{t} du = 2u du$$
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} \int \frac{\cos(\sqrt{t})}{\sqrt{t}} \; dt &= \int \frac{\cos(u)}{u} \; \left( 2u du \right) \\ &= 2 \int \cos(u) \; du \\ &= 2\sin(u) + C = 2\sin(\sqrt{t}) + C \end{align*}$$
따라서, $\int \frac{\cos(\sqrt{t})}{\sqrt{t}} \; dt = 2\sin(\sqrt{t}) + C$이다.
(d). $\int \sqrt{x}\sin(1 + x^{\frac{3}{2}}) \; dx$
$1 + x^{\frac{3}{2}} = u$라고 하자.
$$\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}} dx = du \rightarrow dx = \frac{2}{\sqrt{x}} du$$
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} \int \sqrt{x}\sin(1 + x^{\frac{3}{2}}) \; dx &= \int \sqrt{x}\sin(u) \; \left( \frac{2}{\sqrt{x}} du \right) \\ &= 2 \int \sin(u) \; du \\ &= -2\cos(u) + C = -2\cos(1 + x^{\frac{3}{2}}) + C \end{align*}$$
따라서, $\int \sqrt{x}\sin(1 + x^{\frac{3}{2}}) \; dx = -2\cos(1 + x^{\frac{3}{2}}) + C$이다.
(e). $\int \cos(\theta)\sin^{6}(\theta) \; d\theta$
$\sin(\theta) = u$라고 하자.
$$\cos(\theta) d\theta = du \rightarrow dx = \frac{1}{\cos(\theta)} du$$
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} \int \cos(\theta)\sin^{6}(\theta) \; d\theta &= \int \cos(\theta)u^{6} \; \left( \frac{1}{\cos(\theta)} du \right) \\ &= \int u^{6} \; du \\ &= \frac{1}{7}u^{7} + C = \frac{1}{7}\sin^{7}(\theta) + C \end{align*}$$
따라서, $\int \cos(\theta)\sin^{6}(\theta) \; d\theta = \frac{1}{7}\sin^{7}(\theta) + C$이다.
연습문제4. 주어진 부정적분을 계산하라.
(a). $\int (1 + \tan(\theta))^{5}\sec^{2}(\theta) \; d\theta$
(b). $\int e^{x}\sqrt{1 + e^{x}} \; dx$
(c). $\int e^{\cos(t)}\sin(t) \; dt$
(d). $\int \frac{z^{2}}{\sqrt[3]{1 + z^{3}}} \; dz$
(e). $\int \frac{\arctan(x)}{1 + x^{2}} \; dx$
(a). $\int (1 + \tan(\theta))^{5}\sec^{2}(\theta) \; d\theta$
$1 + \tan(\theta) = u$라고 하자.
$$\sec^{2}(\theta) d\theta = du \rightarrow dx = \cos^{2}(\theta) du$$
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} \int (1 + \tan(\theta))^{5}\sec^{2}(\theta) \; d\theta &= \int u^{5}\sec^{2}(\theta) \; \left( \cos^{2}(\theta) du \right) \\ &= \int u^{5} \; du \\ &= \frac{1}{6}u^{6} + C = \frac{1}{6}(1 + \tan(\theta))^{6} + C \end{align*}$$
따라서, $\int (1 + \tan(\theta))^{5} \; d\theta = \frac{1}{6}(1 + \tan(\theta))^{6} + C$이다.
(b). $\int e^{x}\sqrt{1 + e^{x}} \; dx$
$1 + e^{x} = u$라고 하자.
$$e^{x} dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{e^{x}} du$$
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} \int e^{x}\sqrt{1 + e^{x}} \; dx &= \int e^{x}u^{\frac{1}{2}} \; \left( \frac{1}{e^{x}} du \right) \\ &= \int u^{\frac{1}{2}} \; du \\ &= \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}(1 + e^{x})^{\frac{2}{3}} + C \end{align*}$$
따라서, $\int e^{x}\sqrt{1 + e^{x}} \; dx = \frac{2}{3}(1 + e^{x})^{\frac{2}{3}} + C$이다.
(c). $\int e^{\cos(t)}\sin(t) \; dt$
$\cos(t) = u$라고 하자.
$$-\sin(t) dt = du \rightarrow dt = -\frac{1}{\sin(t)} du$$
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} \int e^{\cos(t)}\sin(t) \; dt &= \int e^{u}\sin(t) \; \left( -\frac{1}{\sin(t)} du \right) \\ &= -\int e^{u} \; du \\ &= -e^{u} + C = -e^{\cos(t)} + C \end{align*}$$
따라서, $\int e^{\cos(t)}\sin(t) \; dt = -e^{\cos(t)} + C$이다.
(d). $\int \frac{z^{2}}{\sqrt[3]{1 + z^{3}}} \; dz$
$1 + z^{3} = u$라고 하자.
$$3z^{2} dz = du \rightarrow dz = \frac{1}{3z^{2}} du$$
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} \int \frac{z^{2}}{\sqrt[3]{1 + z^{3}}} \; dz &= \int z^{2}u^{-\frac{1}{3}} \; \left( \frac{1}{3z^{2}} du \right) \\ &= \frac{1}{3}\int u^{-\frac{1}{3}} \; du \\ &= \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}u^{\frac{2}{3}} + C = \frac{1}{2}(1 + z^{3})^{\frac{2}{3}} + C \end{align*}$$
따라서, $\int \frac{z^{2}}{\sqrt[3]{1 + z^{3}}} \; dz = \frac{1}{2}(1 + z^{3})^{\frac{2}{3}} + C$이다.
(e). $\int \frac{\arctan(x)}{1 + x^{2}} \; dx$
$\arctan(x) = u$라고 하자.
$$\frac{1}{1 + x^{2}} dx = du \rightarrow dx = (1 + x^{2}) du$$
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} \int \frac{\arctan(x)}{1 + x^{2}} \; dx &= \int \frac{u}{1 + x^{2}} \; \left( (1 + x^{2}) du \right) \\ &= \int u \; du \\ &= \frac{1}{2}u^{2} + C = \frac{1}{2}\arctan^{2}(x) + C \end{align*}$$
따라서, $\int \frac{\arctan(x)}{1 + x^{2}} \; dx = \frac{1}{2}\arctan^{2}(x) + C$이다.
연습문제5. 주어진 부정적분을 계산하라.
(a). $\int e^{\tan(x)}\sec^{2}(x) \; dx$
(b). $\int \frac{\sin(\ln(x))}{x} \; dx$
(c). $\int \frac{\cos(x)}{\sin^{2}(x)} \; dx$
(d). $\int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} \; dx$
(e). $\int \sqrt{\cot(x)}\csc^{2}(x) \; dx$
(f). $\int \frac{\cos(\frac{\pi}{x})}{x^{2}} \; dx$
(g). $\int \frac{\sin(2x)}{1 + \cos^{2}(x)} \; dx$
(h). $\int \frac{\sin(x)}{1 + \cos^{2}(x)} \; dt$
(i). $\int \cot(x) \; dx$
(j). $\int \frac{1}{\cos^{2}(t)\sqrt{1 + \tan(t)}} \; dt$
(a). $\int e^{\tan(x)}\sec^{2}(x) \; dx$
$\tan(x) = u$라고 하자.
$$\sec^{2}(x) dx = du \rightarrow dx = \cos^{2}(x) du$$
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} \int e^{\tan(x)}\sec^{2}(x) \; dx &= \int e^{u}\sec^{2}(x) \; \left( \cos^{2}(x) du \right) \\ &= \int e^{u} \; du \\ &= e^{u} + C = e^{\tan(x)} + C \end{align*}$$
따라서, $\int e^{\tan(x)}\sec^{2}(x) \; dx = e^{\tan(x)} + C$이다.
(b). $\int \frac{\sin(\ln(x))}{x} \; dx$
$\ln(x) = u$라고 하자.
$$\frac{1}{x} dx = du \rightarrow dx = x du$$
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} \int \frac{\sin(\ln(x))}{x} \; dx &= \int \frac{\sin(u)}{x} \; \left( x du \right) \\ &= \int \sin(u) \; du \\ &= -\cos(u) + C = \cos(\ln(x)) + C \end{align*}$$
따라서, $\int \frac{\sin(\ln(x))}{x} \; dx = -\cos(\ln(x)) + C$이다.
(c). $\int \frac{\cos(x)}{\sin^{2}(x)} \; dx$
$\sin(x) = u$라고 하자.
$$\cos(x) dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{\cos(x)} du$$
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} \int \frac{\cos(x)}{\sin^{2}(x)} \; dx &= \int \frac{\cos(x)}{u^{2}} \; \left( \frac{1}{\cos(x)} du \right) \\ &= \int u^{-2} \; du \\ &= -\frac{1}{u} + C = -\sec(x) + C \end{align*}$$
따라서, $\int \frac{\cos(x)}{\sin^{2}(x)} \; dx = -\sec(x) + C$이다.
(d). $\int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} \; dx$
$e^{x} + 1 = u$라고 하자.
$$e^{x} dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{e^{x}} du$$
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} \; dx &= \int \frac{e^{x}}{u} \; \left( \frac{1}{e^{x}} du \right) \\ &= \int \frac{1}{u} \; du \\ &= \ln|u| + C = \ln(1 + e^{x}) + C \end{align*}$$
따라서, $\int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} \; dx = \ln(1 + e^{x}) + C$이다.
(e). $\int \sqrt{\cot(x)}\csc^{2}(x) \; dx$
$\cot(x) = u$라고 하자.
$$-\csc^{2}(x) dx = du \rightarrow dx = -\frac{1}{\csc^{2}(x)} du$$
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} \int \sqrt{\cot(x)}\csc^{2}(x) \; dx &= \int u^{\frac{1}{2}}\csc^{2}(x) \; \left( -\frac{1}{\csc^{2}(x)} du \right) \\ &= -\int u^{\frac{1}{2}} \; du \\ &= -\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} + C = -\frac{2}{3}\cot^{\frac{3}{2}}(x) + C \end{align*}$$
따라서, $\int \sqrt{\cot(x)}\csc^{2}(x) \; dx = -\frac{2}{3}\cot^{\frac{3}{2}}(x) + C$이다.
(f). $\int \frac{\cos(\frac{\pi}{x})}{x^{2}} \; dx$
$\frac{\pi}{x} = u$라고 하자.
$$-\frac{\pi}{x^{2}} dx = du \rightarrow dx = -\frac{x^{2}}{\pi} du$$
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} \int \frac{\cos(\frac{\pi}{x})}{x^{2}} \; dx &= \int \frac{\cos(u)}{x^{2}} \; \left( -\frac{x^{2}}{\pi} du \right) \\ &= -\frac{1}{\pi}\int \cos(u) \; du \\ &= -\frac{1}{\pi} \sin(u) + C = -\frac{1}{\pi}\sin(\frac{\pi}{x}) + C \end{align*}$$
따라서, $\int \frac{\cos(\frac{\pi}{x})}{x^{2}} \; dx = -\frac{1}{\pi}\sin(\frac{\pi}{x}) + C$이다.
(g). $\int \frac{\sin(2x)}{1 + \cos^{2}(x)} \; dx$
$1 + \cos^{2}(x) = u$라고 하자.
$$2\sin(x)\cos(x) dx = \sin(2x) dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{\sin(2x)} du$$
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} \int \frac{\sin(2x)}{1 + \cos^{2}(x)} \; dx &= \int \frac{\sin(2x)}{u} \; \left( \frac{1}{\sin(2x)} du \right) \\ &= \int \frac{1}{u} \; du \\ &= \ln|u| + C = \ln(1 + \cos^{2}(x)) + C \end{align*}$$
따라서, $\int \frac{\sin(2x)}{1 + \cos^{2}(x)} \; dx = \ln(1 + \cos^{2}(x)) + C$이다.
(h). $\int \frac{\sin(x)}{1 + \cos^{2}(x)} \; dt$
$\cos(x) = u$라고 하자.
$$-\sin(x) dx = du \rightarrow dx = -\frac{1}{\sin(x)} du$$
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} \int \frac{\sin(x)}{1 + \cos^{2}(x)} \; dx &= \int \frac{\sin(x)}{1 + u^{2}} \; \left( -\frac{1}{\sin(x)} du \right) \\ &= -\int \frac{1}{1 + u^{2}} \; du \\ &= -\arctan(u) + C = -\arctan(\cos(x)) + C \end{align*}$$
따라서, $\int \frac{\sin(x)}{1 + \cos^{2}(x)} \; dx = -\arctan(\cos(x)) + C$이다.
(i). $\int \cot(x) \; dx$
$\sin(x) = u$라고 하자.
$$\cos(x) dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{\cos(x)} du$$
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} \int \cot(x) \; dx &= \int \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \; dx \\ &= \int \frac{\cos(x)}{u} \; \left( \frac{1}{\cos(x)} du \right) \\ &= \int \frac{1}{u} \; du \\ &= \ln|u| + C = \ln|\sin(x)| + C \end{align*}$$
따라서, $\int \cot(x) \; dx = \ln|\sin(x)| + C$이다.
(j). $\int \frac{1}{\cos^{2}(t)\sqrt{1 + \tan(t)}} \; dt$
$1 + \tan(t) = u$라고 하자.
$$\sec^{2}(t) dt = du \rightarrow dt = \cos^{2}(t) du$$
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} \int \frac{1}{\cos^{2}(t)\sqrt{1 + \tan(t)}} \; dt &= \int \frac{1}{\cos^{2}(t) u^{\frac{1}{2}}} \; \left( \cos^{2}(t) du \right) \\ &= \int u^{-\frac{1}{2}} \; du \\ &= 2u^{\frac{1}{2}} + C = 2\sqrt{1 + \tan(t)} + C \end{align*}$$
따라서, $\int \frac{1}{\cos^{2}(t)\sqrt{1 + \tan(t)}} \; dt = 2\sqrt{1 + \tan(t)} + C$이다.
연습문제6. 주어진 부정적분을 계산하라.
(a). $\int \sec^{3}(x)\tan(x) \; dx$
(b). $\int \sin(t)\sec^{2}(\cos(t)) \; dt$
(c). $\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}\arcsin(x)} \; dx$
(d). $\int \frac{x}{1 + x^{4}} \; dx$
(e). $\int \frac{1 + x}{1 + x^{2}} \; dx$
(f). $\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x}} \; dx$
(g). $\int \frac{x}{\sqrt[4]{x + 2}} \; dx$
(h). $\int x^{3}\sqrt{x^{2} + 1} \; dx$
(a). $\int \sec^{3}(x)\tan(x) \; dx$
$\cos(x) = u$라고 하자.
$$-\sin(x) dx = du \rightarrow dx = -\frac{1}{\sin(x)} du$$
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} \int \sec^{3}(x)\tan(x) \; dx &= \int \frac{\sin(x)}{\cos^{4}(x)} \; dx \\ &= \int \frac{\sin(x)}{u^{4}} \; \left( -\frac{1}{\sin(x)} du \right) \\ &= -\int \frac{1}{u^{4}} \; du \\ &= \frac{1}{3u^{3}} + C = \frac{1}{3\cos^{3}(x)} + C \end{align*}$$
따라서, $\int \sec^{3}(x)\tan(x) \; dx = \frac{1}{3\cos^{3}(x)} + C$이다.
(b). $\int \sin(t)\sec^{2}(\cos(t)) \; dt$
$\cos(t) = u$라고 하자.
$$-\sin(t) dt = du \rightarrow dt = -\frac{1}{\sin(t)} du$$
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} \int \sin(t)\sec^{2}(\cos(t)) \; dt &= \int \sin(t)\sec^{2}(u) \; \left( -\frac{1}{\sin(t)} du \right) \\ &= -\int \sec^{2}(u) \; du \\ &= -\tan(u) + C = -\tan(\cos(t)) + C \end{align*}$$
따라서, $\int \sin(t)\sec^{2}(\cos(t)) \; dt = -\tan(\cos(t)) + C$이다.
(c). $\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}\arcsin(x)} \; dx$
$\arcsin(x) = u$라고 하자.
$$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} dx = du \rightarrow dx = \sqrt{1 - x^{2}} du$$
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}\arcsin(x)} \; dx &= \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}u} \; \left( \sqrt{1 - x^{2}} du \right) \\ &= \int \frac{1}{u} \; du \\ &= \ln|u| + C = \ln|\arcsin(x)| + C \end{align*}$$
따라서, $\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}\arcsin(x)} \; dx = \ln|\arcsin(x)| + C$이다.
(d). $\int \frac{x}{1 + x^{4}} \; dx$
$x^{2} = u$라고 하자.
$$2x dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{2x} du$$
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} \int \frac{x}{1 + x^{4}} \; dx &= \int \frac{x}{1 + u^{2}} \; \left( \frac{1}{2x} du \right) \\ &= \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + u^{2}} \; du \\ &= \frac{1}{2}\arctan(u) + C = \frac{1}{2}\arctan(x^{2}) + C \end{align*}$$
따라서, $\int \frac{x}{1 + x^{4}} \; dx = \frac{1}{2}\arctan(x^{2}) + C$이다.
(e). $\int \frac{1 + x}{1 + x^{2}} \; dx$
$x^{2} = u$라고 하자.
$$2x dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{2x} du$$
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} \int \frac{1 + x}{1 + x^{2}} \; dx &= \int \left(\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{x}{1 + x^{2}}\right) \; dx \\ &= \int \frac{1}{1 +x^{2}} \; dx + \int \frac{x}{1 + x^{2}} \; dx \\ &= \arctan(x) + \int \frac{x}{1 + x^{2}} \; dx \\ &= \arctan(x) + \int \frac{x}{1 + u} \; \left( \frac{1}{2x} du \right) \\ &= \arctan(x) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + u} \; du \\ &= \arctan(x) + \frac{1}{2}\ln|u + 1| + C = \arctan(x) + \frac{1}{2}\ln(1 +x^{2}) + C \end{align*}$$
따라서, $\int \frac{1 + x}{1 + x^{2}} \; dx = \arctan(x) + \frac{1}{2}\ln(1 + x^{2}) + C$이다.
(f). $\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x}} \; dx$
$\sqrt{1 - x} = u \rightarrow x = 1 - u^{2}$라고 하자.
$$dx = -2u du$$
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} \int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x}} \; dx &= \int \frac{(1 - u^{2})^{2}}{u} \; \left( -2u du \right) \\ &= -2\int (u^{4} - 2u^{2} + 1) \; du \\ &= -2(\frac{1}{5}u^{5} - \frac{2}{3}u^{3} + u) + C = -\frac{2}{5}\sqrt{(1 - x)^{5}} + \frac{4}{3}\sqrt{(1 - x)^{3}} - 2\sqrt{1 - x} + C \end{align*}$$
따라서, $\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x}} \; dx = -\frac{2}{5}\sqrt{(1 - x)^{5}} + \frac{4}{3}\sqrt{(1 - x)^{3}} - 2\sqrt{1 - x} + C$이다.
(g). $\int \frac{x}{\sqrt[4]{x + 2}} \; dx$
$\sqrt[4]{x + 2} = u \rightarrow x = u^{4} - 2$라고 하자.
$$dx = 4u^{3} du$$
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} \int \frac{x}{\sqrt[4]{x + 2}} \; dx &= \int \frac{u^{4} - 2}{u} \; \left( 4u^{3} du \right) \\ &= 4\int (u^{6} - 2u^{2}) \; du \\ &= 4(\frac{1}{7}u^{7} - \frac{2}{3}u^{3}) + C = \frac{4}{7}\sqrt[4]{(x + 2)^{7}} - \frac{8}{3}\sqrt[4]{(x + 2)^{3}} + C \end{align*}$$
따라서, $\int \frac{x}{\sqrt[4]{x + 2}} \; dx = \frac{4}{7}\sqrt[4]{(x + 2)^{7}} - \frac{8}{3}\sqrt[4]{(x + 2)^{3}} + C$이다.
(h). $\int x^{3}\sqrt{x^{2} + 1} \; dx$
$\sqrt{x^{2} + 1} = u \rightarrow x^{2} = u^{2} - 1$라고 하자.
$$2x dx = 2u du \rightarrow dx = \frac{u}{x} du$$
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} \int x^{3}\sqrt{x^{2} + 1} \; dx &= \int x^{3}u \; \left( \frac{u}{x} du \right) \\ &= \int x^{2}u^{2} \; du \\ &= \int (u^{2} - 1)u^{2} \; du \\ &= \int (u^{4} - u^{2}) \; du \\ &= \frac{1}{5}u^{5} - \frac{1}{3}u^{3} + C = \frac{1}{5}\sqrt{(x^{2} + 1)^{5}} - \frac{1}{3}\sqrt{(x^{2} + 1)^{3}} + C \end{align*}$$
따라서, $\int x^{3}\sqrt{x^{2} + 1}\; dx = \frac{1}{5}\sqrt{(x^{2} + 1)^{5}} - \frac{1}{3}\sqrt{(x^{2} + 1)^{3}} + C$이다.
연습문제7. 주어진 정적분을 계산하라.
(a). $\int_{0}^{\pi} \sec^{2} \left( \frac{t}{4} \right) \; dt$
(b). $\int_{\frac{1}{6}}^{\frac{1}{2}} \csc(\pi t)\cot(\pi t) \; dt$
(c). $\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} \tan^{3}(\theta) \; d\theta$
(d). $\int_{0}^{1} xe^{-x^{2}} \; dx$
(e). $\int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \; dx$
(f). $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^{2}\sin(x)}{1 + x^{6}} \; dx$
(a). $\int_{0}^{\pi} \sec^{2} \left( \frac{t}{4} \right) \; dt$
$\frac{t}{4} = u$라고 하자.
$$\frac{1}{4} dt = du \rightarrow dt = 4 du$$
그리고 윗끝과 아래끝은 아래와 같다.
$$\begin{cases} &x = \pi \rightarrow u = \frac{\pi}{4} \\ &x = 0 \rightarrow u = 0 \end{cases}$$
이제 주어진 정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} \int_{0}^{\pi} \sec^{2} \left( \frac{t}{4} \right) \; dt &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec^{2}(u) \; \left( 4 du \right) \\ &= 4\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec^{2}(u) \; du \\ &= \left[ \tan(u) \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \tan \left( \frac{\pi}{4} \right) - \tan(0) = 1 \end{align*}$$
따라서, $\int_{0}^{\pi} \sec^{2} \left( \frac{t}{4} \right)\; dt = 1$이다.
(b). $\int_{\frac{1}{6}}^{\frac{1}{2}} \csc(\pi t)\cot(\pi t) \; dt$
$\pi t = u$라고 하자.
$$\pi dt = du \rightarrow dt = \frac{1}{\pi} du$$
그리고 윗끝과 아래끝은 아래와 같다.
$$\begin{cases} &x = \frac{1}{6} \rightarrow u = \frac{\pi}{6} \\ &x = \frac{1}{2} \rightarrow u = \frac{\pi}{2} \end{cases}$$
이제 주어진 정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} \int_{\frac{1}{6}}^{\frac{1}{2}} \csc(\pi t)\cot(\pi t) \; dt &= \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \csc(u)\cot(u) \; \left( \frac{1}{\pi} du \right) \\ &= \frac{1}{\pi} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \csc(u)\cot(u) \; du \\ &= \frac{1}{\pi}\left[ -\csc(u) \right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \frac{1}{\pi} \left( -\csc \left( \frac{\pi}{2} \right) + \csc \left( \frac{\pi}{6} \right) \right) = \frac{1}{\pi} (-1 + 2) = \frac{1}{\pi}\end{align*}$$
따라서, $\int_{\frac{1}{6}}^{\frac{1}{2}} \csc(\pi t)\cot(\pi t)\; dt = \frac{1}{\pi}$이다.
(c). $\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} \tan^{3}(\theta) \; d\theta$
$\cos(\theta) = u$라고 하자.
$$-\sin(\theta) dt = du \rightarrow dt = -\frac{1}{\sin(\theta)} du$$
그리고 윗끝과 아래끝은 아래와 같다.
$$\begin{cases} &\theta = -\frac{\pi}{6} \rightarrow u = \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &x = \frac{\pi}{6} \rightarrow u = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\end{cases}$$
정적분의 윗끝과 아랫끝이 동일하므로 $\int_{-\frac{\pi}{6}}^{-\frac{\pi}{2}} \tan^{3}(\theta)\; d\theta = 0$이다.
(d). $\int_{0}^{1} xe^{-x^{2}} \; dx$
$-x^{2} = u$라고 하자.
$$-2x dx = du \rightarrow dx = -\frac{1}{2x} du$$
그리고 윗끝과 아래끝은 아래와 같다.
$$\begin{cases} &x = 0 \rightarrow u = 0 \\ &x = 1 \rightarrow u = -1 \end{cases}$$
이제 주어진 정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} \int_{0}^{1} xe^{-x^{2}} \; dx &= \int_{-1}^{0} xe^{u} \; \left( -\frac{1}{2x} du \right) \\ &= \frac{1}{2} \int_{-1}^{0} e^{u} \; du \\ &= \frac{1}{2}\left[ e^{u} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} \left( e - 1 \right)\end{align*}$$
따라서, $\int_{0}^{1} xe^{-x^{2}} \; dx = \frac{1}{2} (e - 1)$이다.
(e). $\int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \; dx$
$\frac{1}{x} = u$라고 하자.
$$-\frac{1}{x^{2}} dx = du \rightarrow dx = -x^{2} du$$
그리고 윗끝과 아래끝은 아래와 같다.
$$\begin{cases} &x = 1 \rightarrow u = 1 \\ &x = 2 \rightarrow u = \frac{1}{2} \end{cases}$$
이제 주어진 정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{align*} \int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \; dx &= \int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{e^{u}}{x^{2}} \; \left( -x^{2} du \right) \\ &= \int_{\frac{1}{2}}^{1} e^{u} \; du \\ &= \left[ e^{u} \right]_{\frac{1}{2}}^{1} = e - e^{\frac{1}{2}} \end{align*}$$
따라서, $\int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \; dx = e - e^{\frac{1}{2}}$이다.
(f). $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^{2}\sin(x)}{1 + x^{6}} \; dx$
$f(x) = \frac{x^{2}\sin(x)}{1 + x^{2}}$이라고 하자. 이때, 함수 $f$는 아래의 성질을 만족한다.
$$f(-x) = \frac{(-x)^{2}\sin(-x)}{1 + (-x)^{2}} = -\frac{x^{2}\sin(x)}{1 + x^{2}} = -f(x)$$
따라서, 함수 $f$는 기함수이다. 정리3에 의해 함수 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^{2}\sin(x)}{1 + x^{6}} \; dx = 0$이다.
연습문제8. 아래의 조건에 주어졌을 때 정적분을 구하여라.
(a). 함수 $f$가 연속이고 $\int_{0}^{4} f(x) \; dx = 10$일 때 $\int_{0}^{2} f(2x) \; dx$를 구하여라.
(b). 함수 $f$가 연속이고 $\int_{0}^{9} f(x) \; dx = 4$일 때 $\int_{0}^{3} xf(x^{2}) \; dx$를 구하여라.
(a). 함수 $f$가 연속이고 $\int_{0}^{4} f(x) \; dx = 10$일 때 $\int_{0}^{2} f(2x) \; dx$를 구하여라.
$2x = u$라고 하자.
$$2 dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{2} du$$
그리고 윗끝과 아래끝은 아래와 같다.
$$\begin{cases} &x = 0 \rightarrow u = 0 \\ &x = 2 \rightarrow u = 4 \end{cases}$$
이제 주어진 정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{cases} \int_{0}^{2} f(2x) \; dx &= \int_{0}^{4} f(u) \; \left( \frac{1}{2} du \right) \\ &= \frac{1}{2} \int_{0}^{4} f(u) \; du = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 \end{cases}$$
따라서, $\int_{0}^{2} f(2x) \; dx = 5$이다.
(b). 함수 $f$가 연속이고 $\int_{0}^{9} f(x) \; dx = 4$일 때 $\int_{0}^{3} xf(x^{2}) \; dx$를 구하여라.
$x^{2} = u$라고 하자.
$$2x dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{2x} du$$
그리고 윗끝과 아래끝은 아래와 같다.
$$\begin{cases} &x = 0 \rightarrow u = 0 \\ &x = 3 \rightarrow u = 9 \end{cases}$$
이제 주어진 정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
$$\begin{cases} \int_{0}^{3} xf(x^{2}) \; dx &= \int_{0}^{9} xf(u) \; \left( \frac{1}{2x} du \right) \\ &= \frac{1}{2} \int_{0}^{9} f(u) \; du = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2 \end{cases}$$
따라서, $\int_{0}^{3} xf(x^{2}) \; dx = 2$이다.
연습문제9. $a$와 $b$가 양수일 때 $\int_{0}^{1} x^{a}(1 - x)^{b} \; dx = \int_{0}^{1} x^{b}(1 - x)^{a} \; dx$임을 보여라.
$1 - x = u$라고 하자.
$$-dx = du \rightarrow dx = -du$$
그리고 윗끝과 아래끝은 아래와 같다.
$$\begin{cases} &x = 0 \rightarrow u = 1 \\ &x = 1 \rightarrow u = 0 \end{cases}$$
$$\begin{align*} \int_{0}^{1} x^{a}(1 - x)^{b} &= \int_{1}^{0} (1 - u)^{a}u^{b} \; (-du) \\ &= \int_{0}^{1} u^{b}(1 - u)^{a} \; du \\ &= \int_{0}^{1} x^{b}(1 - x)^{a} \end{align*}$$
연습문제10. 함수 $f$가 연속이라고 할 때 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos(x)) \; dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin(x)) \; dx$임을 보이고 이를 활용하여 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2}(x)$와 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2}(x)$를 구하여라.
$\frac{\pi}{2} - x = u$라고 하자.
$$-dx = du \rightarrow dx = -du$$
그리고 윗끝과 아래끝은 아래와 같다.
$$\begin{cases} &x = 0 \rightarrow u = \frac{\pi}{2} \\ &x = \frac{\pi}{2} \rightarrow u = 0 \end{cases}$$
$$\begin{align*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos(x)) \; dx &= \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} f(\cos(\frac{\pi}{2} - x)) \; (-du) \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin(u)) \; du = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin(x)) \; dx \end{align*}$$
따라서, $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos(x)) \; dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin(x)) \; dx$이다.
다음으로 $f(x) = x^{2}$이라고 할 때 아래와 같이 쓸 수 있다.
$$\begin{align*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2}(x) \; dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sin^{2}(x)) \; dx \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \; dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2}(x) \; dx \\ &= \frac{\pi}{2} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2}(x) \; dx \end{align*}$$
따라서, $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2}(x) \; dx = \frac{\pi}{4}$이다. 동일한 방법으로 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2}(x) \; dx = \frac{\pi}{4}$임을 알 수 있다.
참고자료 및 그림출처
Calculus(J. Stewart)
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안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 부정적분에서는 몇 가지 기본 함수들의 적분 결과를 테이블로 정리하였습니다. 오늘은 테이블에 나와있지 않는 함수들도 적분할 수 있도록 만들어주는 치환적분(Substitution Integration)에 대해서 설명하도록 하겠습니다.
미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다.
미적분학 - 미적분학 기본정리의 FTC 2에 따르면 정적분을 계산하기 위해서는 반드시 적분을 해야합니다. 하지만, 미분과는 다르게 적분은 쉽게 할 수 없습니다. 당장 예를 들어 ∫2x√1+x2dx 같은 경우에는 지난 포스팅의 테이블에 나와있지 않기 때문에 저희가 알고 있는 지식으로는 적분할 수 없습니다. 하지만, 이러한 함수들도 적분 할 수 있도록 만든 기술 중 하나가 치환적분입니다. 말그대로 함수 f(x)의 어떤 요소를 치환하여 연쇄법칙과 함께 적분하기 쉬운 형태로 바꾸는 것이 목표입니다. 방금 보여드린 예시에서는 u=1+x2⇒du=2xdx로 치환하여 적분을 해볼 수 있습니다.
∫2x√1+x2dx=∫2x√u12xdu=∫√udu=23u32+C=23(1+x2)32+C
실제로 적분된 결과를 다시 미분해보면 다시 피적분함수가 나오는 것을 볼 수 있습니다.
ddx(23(1+x2)32+C)=32⋅23(1+x2)12⋅2x=2x√1+x2
정리 1. 치환적분(Substitution Integration)
닫힌 구간 I에서 함수 u=g(x)가 미분 가능하고 함수 f가 연속이라고 하면 아래의 식이 성립한다.
∫f(g(x))g′(x)dx=∫f(u)du
예제1. ∫x3cos(x4+2)dx를 계산하라.
u=x4+2이라고 하면 du=4x3dx⇒14x3du=dx이다. 따라서, 치환적분을 통해 계산하면 아래와 같다.
∫x3cos(x4+2)dx=∫x3cos(u)14x3du=∫14cos(u)du=14cos(u)+C=14cos(x4+2)+C
예제2. ∫√2x+1dx를 계산하라.
u=2x+1이라고 하면 du=2dx⇒12du=dx이다. 따라서, 치환적분을 통해 계산하면 아래와 같다.
∫√2x+1dx=∫√(u)12du=∫12√(u)du=12⋅23u32+C=13(2x+1)32+C
예제3. ∫x√1−4x2dx를 계산하라.
u=1−4x2이라고 하면 du=−8xdx⇒−18xdu=dx이다. 따라서, 치환적분을 통해 계산하면 아래와 같다.
∫x√1−4x2dx=∫x√u−18xdu=∫−181√udu=−18(2√u)+C=−14√1−4x2+C
예제4. ∫tan(x)dx를 계산하라.
tan(x)=sin(x)cos(x)임을 고려한다. u=cos(x)라고 하면 du=−sin(x)dx⇒−1sin(x)=dx이다. 따라서, 치환적분을 통해 계산하면 아래와 같다.
∫tan(x)dx=∫sin(x)cos(x)dx=∫sin(x)u−1sin(x)du=∫−1udu=−ln(|u|)+C=−ln(|cos(x)|)+C=ln(|sec(x)|)+C
정리 2. 정적분을 위한 치환적분(Substitution Integration for Definite Integral)
닫힌 구간 I=[a,b]에서 g′와 f가 연속이면 다음 식이 성립한다.
∫baf(g(x))g′(x)dx=∫g(b)g(a)f(u)du
예제5. ∫40√2x+1dx를 계산하라.
u=2x+1이라고 하면 du=2dx⇒12du=dx이고 아래끝은 x=0⇒u=1, 윗끝은 x=4⇒u=9이다. 예제 2의 결과를 활용하면 아래와 같이 계산가능하다.
∫40√2x+1dx=∫91√u12du=[13u32]91=13(932−132)=263
예제6. ∫e1ln(x)xdx를 계산하라.
u=ln(x)라고 하면 du=1xdx⇒xdu=dx이고 아래끝은 x=1⇒u=0, 윗끝은 x=e⇒u=1이다. 따라서, 치환적분을 통해 계산하면 아래와 같다.
∫e1ln(x)xdx=∫10uxxdu=∫10udu=[12u2]10=12(1−0)=12
마지막으로 피적분함수가 대칭함수라면 적분을 쉽게 할 수 있습니다.
정리 3. 대칭함수의 적분
닫힌 구간 I=[−a,a]에서 함수 f가 연속이라고 하자.
- 함수 f가 우함수, 즉 f(−x)=f(x)라면 ∫a−af(x)dx=2∫a0f(x)dx이다.
- 함수 f가 기함수, 즉 f(−x)=−f(x)라면 ∫a−af(x)dx=0이다.
증명
먼저, 적분 구간을 x=0을 기준으로 2개로 나눈다.
∫a−af(x)dx=∫0−af(x)dx+∫a0dx=−∫−a0f(x)dx+∫a0f(x)dx
이때, 첫번째 적분을 치환적분한다. u=−x라고 하면 du=−dx⇒−du=dx이고 아래끝은 x=0⇒u=0, 위끝은 x=−a⇒u=a이다.
1. 피적분함수 f(x)가 우함수라고 가정하자.
−∫−a0f(x)dx+∫a0f(x)dx=∫a0f(−u)du+∫a0f(x)dx=2∫a0f(x)dx
2. 피적분함수 f(x)가 기함수라고 가정하자.
−∫−a0f(x)dx+∫a0f(x)dx=∫a0f(−u)du+∫a0f(x)dx=0
연습문제1. 주어진 부정적분을 계산하라.
(a). ∫xsin(x2)dx
(b). ∫x2(x3+5)9dx
(c). ∫(3x−2)20dx
(d). ∫(3t+2)2.4dx
(e). ∫(x+1)√2x+x2dx
(f). ∫x(x2+1)2dx
(a). ∫xsin(x2)dx
x2=u라고 하자.
2xdx=du→dx=12xdu
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
∫xsin(x2)dx=∫xsin(u)(12xdu)=12∫sin(u)du=−12cos(u)+C=−12cos(x2)+C
따라서, ∫xsin(x2)dx=−12cos(x2)+C이다.
(b). ∫x2(x3+5)9dx
x3+5=u라고 하자.
3x2dx=du→dx=13x2du
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
∫x2(x3+5)9dx=∫x2u9(13x2du)=13∫u9du=13⋅110u10+C=130(x3+5)10+C
따라서, ∫x2(x3+5)dx=130(x3+5)10+C이다.
(c). ∫(3x−2)20dx
3x−2=u라고 하자.
3dx=du→dx=13du
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
∫(3x−2)20dx=∫u20(13du)=13∫u20du=13⋅121u21+C=163(3x−2)21+C
따라서, ∫(3x−2)20dx=163(3x−2)21+C이다.
(d). ∫(3t+2)2.4dx
3t+2=u라고 하자.
3dt=du→dt=13du
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
∫(3t+2)2.4dt=∫u2.4(13du)=13∫u2.4du=13⋅13.4u3.4+C=110.2(3t+2)3.4+C
따라서, ∫(3t+2)2.4dt=110.2(3t+2)3.4+C이다.
(e). ∫(x+1)√2x+x2dx
2x+x2=u라고 하자.
(2+2x)dx=du→dx=12(x+1)du
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
∫(x+1)√2x+x2dx=∫(x+1)√u(12(x+1)du)=12∫u12du=12⋅23u32+C=13(2x+x2)32+C
따라서, ∫(x+1)√2x+x2dx=13(2x+x2)32+C이다.
(f). ∫x(x2+1)2dx
x2+1=u라고 하자.
2xdx=du→dx=12xdu
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
∫x(x2+1)2dx=∫xu2(12xdu)=12∫u−2du=12⋅(−u−1)+C=−12(x2+1)−1+C
따라서, ∫x(x2+1)2dx=−12(x2+1)−1+C이다.
연습문제2. 주어진 부정적분을 계산하라.
(a). ∫15−3xdx
(b). ∫exsin(ex)dx
(c). ∫sin(πt)dx
(d). ∫xx2+1dx
(e). ∫a+bx2√3ax+bx3dx
(f). ∫sec(2θ)tan(2θ)dθ
(a). ∫15−3xdx
5−3x=u라고 하자.
−3dx=du→dx=−13du
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
∫15−3xdx=∫1u(−13du)=−13∫1udu=−13⋅ln|u|+C=−13ln|5−3x|+C
따라서, ∫15−3xdx=−13ln|5−3x|+C이다.
(b). ∫exsin(ex)dx
ex=u라고 하자.
exdx=du→dx=1exdu
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
∫exsin(ex)dx=∫exsin(u)(1exdu)=∫sin(u)du=−cos(u)+C=−cos(ex)+C
따라서, ∫exsin(ex)dx=−cos(ex)+C이다.
(c). ∫sin(πt)dx
πt=u라고 하자.
πdt=du→dt=1πdu
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
∫sin(πt)dt=∫sin(u)(1πdu)=1π∫sin(u)du=1π⋅(−cos(u))+C=−1πcos(πt)+C
따라서, ∫sin(πt)dt=−1πcos(πt)+C이다.
(d). ∫xx2+1dx
x2+1=u라고 하자.
2xdx=du→dx=12xdu
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
∫xx2+1dx=∫xx2+1(12xdx)=12∫1udu=12⋅ln|u|+C=12ln(x2+1)+C
따라서, ∫xx2+1dx=12ln(x2+1)+C이다.
(e). ∫a+bx2√3ax+bx3dx
3ax+bx3=u라고 하자.
(3a+3bx2)dx=du→dx=13(a+bx2)du
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
∫a+bx2√3ax+bx3dx=∫a+bx2√u(13(a+bx2)du)=13∫u−12du=13⋅2u12+C=23(3ax+bx3)12+C
따라서, ∫ax+bx2√3ax+bx3dx=23(3ax+bx3)12+C이다.
(f). ∫sec(2θ)tan(2θ)dθ
cos(2θ)=u라고 하자.
−2sin(2θ)dθ=du→dθ=(−12sin(2θ))du
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
∫sec(2θ)tan(2θ)dθ=∫sin(2θ)cos2(2θ)dθ=∫sin(2θ)u2(−12sin(2θ))=−12∫1u2=−12∫u−2du=−12⋅(−u−1)+C=12sec(2θ)+C
따라서, ∫sec(2θ)tan(2θ)dθ=12sec(2θ)+C이다.
연습문제3. 주어진 부정적분을 계산하라.
(a). ∫(ln(x))2xdx
(b). ∫1ax+bdx, (a≠0)
(c). ∫cos(√t)√tdt
(d). ∫√xsin(1+x32)dx
(e). ∫cos(θ)sin6(θ)dθ
(a). ∫(ln(x))2xdx
ln(x)=u라고 하자.
1xdx=du→dx=xdu
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
∫(ln(x))2xdx=∫u2x(xdu)=∫u2du=13u3+C=13(ln(x))3+C
따라서, ∫(ln(x))2xdx=13(ln(x))3+C이다.
(b). ∫1ax+bdx, (a≠0)
ax+b=u라고 하자.
adx=du→dx=1adu
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
∫1ax+bdx=∫1u(1adu)=1a∫1udu=1aln|u|+C=1aln|ax+b|+C
따라서, ∫1ax+bdx=1aln|ax+b|+C이다.
(c). ∫cos(√t)√tdt
√t=u라고 하자.
12√tdt=du→dt=2√tdu=2udu
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
∫cos(√t)√tdt=∫cos(u)u(2udu)=2∫cos(u)du=2sin(u)+C=2sin(√t)+C
따라서, ∫cos(√t)√tdt=2sin(√t)+C이다.
(d). ∫√xsin(1+x32)dx
1+x32=u라고 하자.
12x12dx=du→dx=2√xdu
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
∫√xsin(1+x32)dx=∫√xsin(u)(2√xdu)=2∫sin(u)du=−2cos(u)+C=−2cos(1+x32)+C
따라서, ∫√xsin(1+x32)dx=−2cos(1+x32)+C이다.
(e). ∫cos(θ)sin6(θ)dθ
sin(θ)=u라고 하자.
cos(θ)dθ=du→dx=1cos(θ)du
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
∫cos(θ)sin6(θ)dθ=∫cos(θ)u6(1cos(θ)du)=∫u6du=17u7+C=17sin7(θ)+C
따라서, ∫cos(θ)sin6(θ)dθ=17sin7(θ)+C이다.
연습문제4. 주어진 부정적분을 계산하라.
(a). ∫(1+tan(θ))5sec2(θ)dθ
(b). ∫ex√1+exdx
(c). ∫ecos(t)sin(t)dt
(d). ∫z23√1+z3dz
(e). ∫arctan(x)1+x2dx
(a). ∫(1+tan(θ))5sec2(θ)dθ
1+tan(θ)=u라고 하자.
sec2(θ)dθ=du→dx=cos2(θ)du
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
∫(1+tan(θ))5sec2(θ)dθ=∫u5sec2(θ)(cos2(θ)du)=∫u5du=16u6+C=16(1+tan(θ))6+C
따라서, ∫(1+tan(θ))5dθ=16(1+tan(θ))6+C이다.
(b). ∫ex√1+exdx
1+ex=u라고 하자.
exdx=du→dx=1exdu
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
∫ex√1+exdx=∫exu12(1exdu)=∫u12du=23u32+C=23(1+ex)23+C
따라서, ∫ex√1+exdx=23(1+ex)23+C이다.
(c). ∫ecos(t)sin(t)dt
cos(t)=u라고 하자.
−sin(t)dt=du→dt=−1sin(t)du
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
∫ecos(t)sin(t)dt=∫eusin(t)(−1sin(t)du)=−∫eudu=−eu+C=−ecos(t)+C
따라서, ∫ecos(t)sin(t)dt=−ecos(t)+C이다.
(d). ∫z23√1+z3dz
1+z3=u라고 하자.
3z2dz=du→dz=13z2du
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
∫z23√1+z3dz=∫z2u−13(13z2du)=13∫u−13du=13⋅32u23+C=12(1+z3)23+C
따라서, ∫z23√1+z3dz=12(1+z3)23+C이다.
(e). ∫arctan(x)1+x2dx
arctan(x)=u라고 하자.
11+x2dx=du→dx=(1+x2)du
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
∫arctan(x)1+x2dx=∫u1+x2((1+x2)du)=∫udu=12u2+C=12arctan2(x)+C
따라서, ∫arctan(x)1+x2dx=12arctan2(x)+C이다.
연습문제5. 주어진 부정적분을 계산하라.
(a). ∫etan(x)sec2(x)dx
(b). ∫sin(ln(x))xdx
(c). ∫cos(x)sin2(x)dx
(d). ∫exex+1dx
(e). ∫√cot(x)csc2(x)dx
(f). ∫cos(πx)x2dx
(g). ∫sin(2x)1+cos2(x)dx
(h). ∫sin(x)1+cos2(x)dt
(i). ∫cot(x)dx
(j). ∫1cos2(t)√1+tan(t)dt
(a). ∫etan(x)sec2(x)dx
tan(x)=u라고 하자.
sec2(x)dx=du→dx=cos2(x)du
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
∫etan(x)sec2(x)dx=∫eusec2(x)(cos2(x)du)=∫eudu=eu+C=etan(x)+C
따라서, ∫etan(x)sec2(x)dx=etan(x)+C이다.
(b). ∫sin(ln(x))xdx
ln(x)=u라고 하자.
1xdx=du→dx=xdu
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
∫sin(ln(x))xdx=∫sin(u)x(xdu)=∫sin(u)du=−cos(u)+C=cos(ln(x))+C
따라서, ∫sin(ln(x))xdx=−cos(ln(x))+C이다.
(c). ∫cos(x)sin2(x)dx
sin(x)=u라고 하자.
cos(x)dx=du→dx=1cos(x)du
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
∫cos(x)sin2(x)dx=∫cos(x)u2(1cos(x)du)=∫u−2du=−1u+C=−sec(x)+C
따라서, ∫cos(x)sin2(x)dx=−sec(x)+C이다.
(d). ∫exex+1dx
ex+1=u라고 하자.
exdx=du→dx=1exdu
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
∫ex1+exdx=∫exu(1exdu)=∫1udu=ln|u|+C=ln(1+ex)+C
따라서, ∫ex1+exdx=ln(1+ex)+C이다.
(e). ∫√cot(x)csc2(x)dx
cot(x)=u라고 하자.
−csc2(x)dx=du→dx=−1csc2(x)du
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
∫√cot(x)csc2(x)dx=∫u12csc2(x)(−1csc2(x)du)=−∫u12du=−23u32+C=−23cot32(x)+C
따라서, ∫√cot(x)csc2(x)dx=−23cot32(x)+C이다.
(f). ∫cos(πx)x2dx
πx=u라고 하자.
−πx2dx=du→dx=−x2πdu
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
∫cos(πx)x2dx=∫cos(u)x2(−x2πdu)=−1π∫cos(u)du=−1πsin(u)+C=−1πsin(πx)+C
따라서, ∫cos(πx)x2dx=−1πsin(πx)+C이다.
(g). ∫sin(2x)1+cos2(x)dx
1+cos2(x)=u라고 하자.
2sin(x)cos(x)dx=sin(2x)dx=du→dx=1sin(2x)du
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
∫sin(2x)1+cos2(x)dx=∫sin(2x)u(1sin(2x)du)=∫1udu=ln|u|+C=ln(1+cos2(x))+C
따라서, ∫sin(2x)1+cos2(x)dx=ln(1+cos2(x))+C이다.
(h). ∫sin(x)1+cos2(x)dt
cos(x)=u라고 하자.
−sin(x)dx=du→dx=−1sin(x)du
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
∫sin(x)1+cos2(x)dx=∫sin(x)1+u2(−1sin(x)du)=−∫11+u2du=−arctan(u)+C=−arctan(cos(x))+C
따라서, ∫sin(x)1+cos2(x)dx=−arctan(cos(x))+C이다.
(i). ∫cot(x)dx
sin(x)=u라고 하자.
cos(x)dx=du→dx=1cos(x)du
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
∫cot(x)dx=∫cos(x)sin(x)dx=∫cos(x)u(1cos(x)du)=∫1udu=ln|u|+C=ln|sin(x)|+C
따라서, ∫cot(x)dx=ln|sin(x)|+C이다.
(j). ∫1cos2(t)√1+tan(t)dt
1+tan(t)=u라고 하자.
sec2(t)dt=du→dt=cos2(t)du
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
∫1cos2(t)√1+tan(t)dt=∫1cos2(t)u12(cos2(t)du)=∫u−12du=2u12+C=2√1+tan(t)+C
따라서, ∫1cos2(t)√1+tan(t)dt=2√1+tan(t)+C이다.
연습문제6. 주어진 부정적분을 계산하라.
(a). $\int \sec^{3}(x)\tan(x) \; dx$
(b). ∫sin(t)sec2(cos(t))dt
(c). ∫1√1−x2arcsin(x)dx
(d). ∫x1+x4dx
(e). ∫1+x1+x2dx
(f). ∫x2√1−xdx
(g). ∫x4√x+2dx
(h). ∫x3√x2+1dx
(a). $\int \sec^{3}(x)\tan(x) \; dx$
cos(x)=u라고 하자.
−sin(x)dx=du→dx=−1sin(x)du
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
∫sec3(x)tan(x)dx=∫sin(x)cos4(x)dx=∫sin(x)u4(−1sin(x)du)=−∫1u4du=13u3+C=13cos3(x)+C
따라서, ∫sec3(x)tan(x)dx=13cos3(x)+C이다.
(b). ∫sin(t)sec2(cos(t))dt
cos(t)=u라고 하자.
−sin(t)dt=du→dt=−1sin(t)du
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
∫sin(t)sec2(cos(t))dt=∫sin(t)sec2(u)(−1sin(t)du)=−∫sec2(u)du=−tan(u)+C=−tan(cos(t))+C
따라서, ∫sin(t)sec2(cos(t))dt=−tan(cos(t))+C이다.
(c). ∫1√1−x2arcsin(x)dx
arcsin(x)=u라고 하자.
1√1−x2dx=du→dx=√1−x2du
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
∫1√1−x2arcsin(x)dx=∫1√1−x2u(√1−x2du)=∫1udu=ln|u|+C=ln|arcsin(x)|+C
따라서, ∫1√1−x2arcsin(x)dx=ln|arcsin(x)|+C이다.
(d). ∫x1+x4dx
x2=u라고 하자.
2xdx=du→dx=12xdu
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
∫x1+x4dx=∫x1+u2(12xdu)=12∫11+u2du=12arctan(u)+C=12arctan(x2)+C
따라서, ∫x1+x4dx=12arctan(x2)+C이다.
(e). ∫1+x1+x2dx
x2=u라고 하자.
2xdx=du→dx=12xdu
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
∫1+x1+x2dx=∫(11+x2+x1+x2)dx=∫11+x2dx+∫x1+x2dx=arctan(x)+∫x1+x2dx=arctan(x)+∫x1+u(12xdu)=arctan(x)+12∫11+udu=arctan(x)+12ln|u+1|+C=arctan(x)+12ln(1+x2)+C
따라서, ∫1+x1+x2dx=arctan(x)+12ln(1+x2)+C이다.
(f). ∫x2√1−xdx
√1−x=u→x=1−u2라고 하자.
dx=−2udu
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
∫x2√1−xdx=∫(1−u2)2u(−2udu)=−2∫(u4−2u2+1)du=−2(15u5−23u3+u)+C=−25√(1−x)5+43√(1−x)3−2√1−x+C
따라서, ∫x2√1−xdx=−25√(1−x)5+43√(1−x)3−2√1−x+C이다.
(g). ∫x4√x+2dx
4√x+2=u→x=u4−2라고 하자.
dx=4u3du
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
∫x4√x+2dx=∫u4−2u(4u3du)=4∫(u6−2u2)du=4(17u7−23u3)+C=474√(x+2)7−834√(x+2)3+C
따라서, ∫x4√x+2dx=474√(x+2)7−834√(x+2)3+C이다.
(h). ∫x3√x2+1dx
√x2+1=u→x2=u2−1라고 하자.
2xdx=2udu→dx=uxdu
이제 주어진 부정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
∫x3√x2+1dx=∫x3u(uxdu)=∫x2u2du=∫(u2−1)u2du=∫(u4−u2)du=15u5−13u3+C=15√(x2+1)5−13√(x2+1)3+C
따라서, ∫x3√x2+1dx=15√(x2+1)5−13√(x2+1)3+C이다.
연습문제7. 주어진 정적분을 계산하라.
(a). ∫π0sec2(t4)dt
(b). ∫1216csc(πt)cot(πt)dt
(c). ∫π6−π6tan3(θ)dθ
(d). \int_{0}^{1} xe^{-x^{2}} \; dx
(e). \int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \; dx
(f). \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^{2}\sin(x)}{1 + x^{6}} \; dx
(a). \int_{0}^{\pi} \sec^{2} \left( \frac{t}{4} \right) \; dt
\frac{t}{4} = u라고 하자.
\frac{1}{4} dt = du \rightarrow dt = 4 du
그리고 윗끝과 아래끝은 아래와 같다.
\begin{cases} &x = \pi \rightarrow u = \frac{\pi}{4} \\ &x = 0 \rightarrow u = 0 \end{cases}
이제 주어진 정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
\begin{align*} \int_{0}^{\pi} \sec^{2} \left( \frac{t}{4} \right) \; dt &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec^{2}(u) \; \left( 4 du \right) \\ &= 4\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec^{2}(u) \; du \\ &= \left[ \tan(u) \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \tan \left( \frac{\pi}{4} \right) - \tan(0) = 1 \end{align*}
따라서, \int_{0}^{\pi} \sec^{2} \left( \frac{t}{4} \right)\; dt = 1이다.
(b). \int_{\frac{1}{6}}^{\frac{1}{2}} \csc(\pi t)\cot(\pi t) \; dt
\pi t = u라고 하자.
\pi dt = du \rightarrow dt = \frac{1}{\pi} du
그리고 윗끝과 아래끝은 아래와 같다.
\begin{cases} &x = \frac{1}{6} \rightarrow u = \frac{\pi}{6} \\ &x = \frac{1}{2} \rightarrow u = \frac{\pi}{2} \end{cases}
이제 주어진 정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
\begin{align*} \int_{\frac{1}{6}}^{\frac{1}{2}} \csc(\pi t)\cot(\pi t) \; dt &= \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \csc(u)\cot(u) \; \left( \frac{1}{\pi} du \right) \\ &= \frac{1}{\pi} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \csc(u)\cot(u) \; du \\ &= \frac{1}{\pi}\left[ -\csc(u) \right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \frac{1}{\pi} \left( -\csc \left( \frac{\pi}{2} \right) + \csc \left( \frac{\pi}{6} \right) \right) = \frac{1}{\pi} (-1 + 2) = \frac{1}{\pi}\end{align*}
따라서, \int_{\frac{1}{6}}^{\frac{1}{2}} \csc(\pi t)\cot(\pi t)\; dt = \frac{1}{\pi}이다.
(c). \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} \tan^{3}(\theta) \; d\theta
\cos(\theta) = u라고 하자.
-\sin(\theta) dt = du \rightarrow dt = -\frac{1}{\sin(\theta)} du
그리고 윗끝과 아래끝은 아래와 같다.
\begin{cases} &\theta = -\frac{\pi}{6} \rightarrow u = \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &x = \frac{\pi}{6} \rightarrow u = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\end{cases}
정적분의 윗끝과 아랫끝이 동일하므로 \int_{-\frac{\pi}{6}}^{-\frac{\pi}{2}} \tan^{3}(\theta)\; d\theta = 0이다.
(d). \int_{0}^{1} xe^{-x^{2}} \; dx
-x^{2} = u라고 하자.
-2x dx = du \rightarrow dx = -\frac{1}{2x} du
그리고 윗끝과 아래끝은 아래와 같다.
\begin{cases} &x = 0 \rightarrow u = 0 \\ &x = 1 \rightarrow u = -1 \end{cases}
이제 주어진 정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
\begin{align*} \int_{0}^{1} xe^{-x^{2}} \; dx &= \int_{-1}^{0} xe^{u} \; \left( -\frac{1}{2x} du \right) \\ &= \frac{1}{2} \int_{-1}^{0} e^{u} \; du \\ &= \frac{1}{2}\left[ e^{u} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} \left( e - 1 \right)\end{align*}
따라서, \int_{0}^{1} xe^{-x^{2}} \; dx = \frac{1}{2} (e - 1)이다.
(e). \int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \; dx
\frac{1}{x} = u라고 하자.
-\frac{1}{x^{2}} dx = du \rightarrow dx = -x^{2} du
그리고 윗끝과 아래끝은 아래와 같다.
\begin{cases} &x = 1 \rightarrow u = 1 \\ &x = 2 \rightarrow u = \frac{1}{2} \end{cases}
이제 주어진 정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
\begin{align*} \int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \; dx &= \int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{e^{u}}{x^{2}} \; \left( -x^{2} du \right) \\ &= \int_{\frac{1}{2}}^{1} e^{u} \; du \\ &= \left[ e^{u} \right]_{\frac{1}{2}}^{1} = e - e^{\frac{1}{2}} \end{align*}
따라서, \int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \; dx = e - e^{\frac{1}{2}}이다.
(f). \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^{2}\sin(x)}{1 + x^{6}} \; dx
f(x) = \frac{x^{2}\sin(x)}{1 + x^{2}}이라고 하자. 이때, 함수 f는 아래의 성질을 만족한다.
f(-x) = \frac{(-x)^{2}\sin(-x)}{1 + (-x)^{2}} = -\frac{x^{2}\sin(x)}{1 + x^{2}} = -f(x)
따라서, 함수 f는 기함수이다. 정리3에 의해 함수 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^{2}\sin(x)}{1 + x^{6}} \; dx = 0이다.
연습문제8. 아래의 조건에 주어졌을 때 정적분을 구하여라.
(a). 함수 f가 연속이고 \int_{0}^{4} f(x) \; dx = 10일 때 \int_{0}^{2} f(2x) \; dx를 구하여라.
(b). 함수 f가 연속이고 \int_{0}^{9} f(x) \; dx = 4일 때 \int_{0}^{3} xf(x^{2}) \; dx를 구하여라.
(a). 함수 f가 연속이고 \int_{0}^{4} f(x) \; dx = 10일 때 \int_{0}^{2} f(2x) \; dx를 구하여라.
2x = u라고 하자.
2 dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{2} du
그리고 윗끝과 아래끝은 아래와 같다.
\begin{cases} &x = 0 \rightarrow u = 0 \\ &x = 2 \rightarrow u = 4 \end{cases}
이제 주어진 정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
\begin{cases} \int_{0}^{2} f(2x) \; dx &= \int_{0}^{4} f(u) \; \left( \frac{1}{2} du \right) \\ &= \frac{1}{2} \int_{0}^{4} f(u) \; du = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 \end{cases}
따라서, \int_{0}^{2} f(2x) \; dx = 5이다.
(b). 함수 f가 연속이고 \int_{0}^{9} f(x) \; dx = 4일 때 \int_{0}^{3} xf(x^{2}) \; dx를 구하여라.
x^{2} = u라고 하자.
2x dx = du \rightarrow dx = \frac{1}{2x} du
그리고 윗끝과 아래끝은 아래와 같다.
\begin{cases} &x = 0 \rightarrow u = 0 \\ &x = 3 \rightarrow u = 9 \end{cases}
이제 주어진 정적분을 치환적분을 이용해서 해결한다.
\begin{cases} \int_{0}^{3} xf(x^{2}) \; dx &= \int_{0}^{9} xf(u) \; \left( \frac{1}{2x} du \right) \\ &= \frac{1}{2} \int_{0}^{9} f(u) \; du = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2 \end{cases}
따라서, \int_{0}^{3} xf(x^{2}) \; dx = 2이다.
연습문제9. a와 b가 양수일 때 \int_{0}^{1} x^{a}(1 - x)^{b} \; dx = \int_{0}^{1} x^{b}(1 - x)^{a} \; dx임을 보여라.
1 - x = u라고 하자.
-dx = du \rightarrow dx = -du
그리고 윗끝과 아래끝은 아래와 같다.
\begin{cases} &x = 0 \rightarrow u = 1 \\ &x = 1 \rightarrow u = 0 \end{cases}
\begin{align*} \int_{0}^{1} x^{a}(1 - x)^{b} &= \int_{1}^{0} (1 - u)^{a}u^{b} \; (-du) \\ &= \int_{0}^{1} u^{b}(1 - u)^{a} \; du \\ &= \int_{0}^{1} x^{b}(1 - x)^{a} \end{align*}
연습문제10. 함수 f가 연속이라고 할 때 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos(x)) \; dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin(x)) \; dx임을 보이고 이를 활용하여 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2}(x)와 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2}(x)를 구하여라.
\frac{\pi}{2} - x = u라고 하자.
-dx = du \rightarrow dx = -du
그리고 윗끝과 아래끝은 아래와 같다.
\begin{cases} &x = 0 \rightarrow u = \frac{\pi}{2} \\ &x = \frac{\pi}{2} \rightarrow u = 0 \end{cases}
\begin{align*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos(x)) \; dx &= \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} f(\cos(\frac{\pi}{2} - x)) \; (-du) \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin(u)) \; du = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin(x)) \; dx \end{align*}
따라서, \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos(x)) \; dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin(x)) \; dx이다.
다음으로 f(x) = x^{2}이라고 할 때 아래와 같이 쓸 수 있다.
\begin{align*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2}(x) \; dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sin^{2}(x)) \; dx \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \; dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2}(x) \; dx \\ &= \frac{\pi}{2} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2}(x) \; dx \end{align*}
따라서, \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2}(x) \; dx = \frac{\pi}{4}이다. 동일한 방법으로 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2}(x) \; dx = \frac{\pi}{4}임을 알 수 있다.
참고자료 및 그림출처
Calculus(J. Stewart)
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