안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 음함수의 미분에서는 고급삼각함수 $\csc{(x)}, \sec{(x)}, \cot{(x)}$를 음함수 미분법을 이용해서 미분하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 로그함수를 미분하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 로그함수 역시 지수 함수의 역함수이기 때문에 이를 활용하면 아주 쉽게 미분할 수 있습니다.
미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다.
정리1. 로그함수의 미분
$$\frac{d}{dx}\left(\log_{a}{x}\right) = \frac{1}{x\ln{a}}$$
증명
로그함수의 미분은 지수함수로의 변형을 통해 쉽게 증명할 수 있습니다. 저희가 생각해야할 점은 로그함수란 지수함수의 역함수라는 사실을 활용한 뒤 지난 포스팅에서의 음함수의 미분법을 사용하면 됩니다. 먼저, $y = \log_{a} (x)$라고 하겠습니다. 이때, 로그함수는 지수함수로 아래와 같이 표현할 수 있습니다.
$$a^{y} = x$$
이제 마지막으로 음함수 미분법을 이용해서 아래와 같이 미분을 할 수 있습니다.
$$\frac{d}{dx}(x) = \frac{d}{dx}(a^{y}) = \frac{d}{dy}(a^{y})\frac{dy}{dx} = a^{y}\ln{a} \frac{dy}{dx}$$
따라서 $\frac{d}{dx}(\log_{a}{x}) = \frac{1}{a^{y}\ln{a}} = \frac{1}{x\ln{a}}$임을 알 수 있습니다. 이때, $a = e$로 자연상수라면 $\frac{d}{dx}(\ln{x}) = \frac{1}{x}$입니다. 아주 간단하죠?
예제1. $y = \ln{(x^{3} + 1)}$의 도함수를 구하여라.
$u = x^{3} + 1$이라고 정의하자.
$$\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \frac{d}{dx}(\ln{u}) \\ &= \frac{d}{du}(\ln{u})\frac{du}{dx}(u) \\ &= \frac{1}{u} \frac{du}{dx}(x^{3} + 1) = \frac{3x^{2}}{x^{3} + 1}\end{align*}$$
예제2. $y = \sqrt{\ln{x}}$의 도함수를 구하여라.
$u = \ln{x}$이라고 정의하자.
$$\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \frac{d}{dx}(\sqrt{u}) \\ &= \frac{d}{du}(\sqrt{u})\frac{du}{dx}(u) \\ &= \frac{1}{2\sqrt{u}} \frac{du}{dx}(\ln{x}) = \frac{1}{2x\sqrt{\ln{x}}}\end{align*}$$
연습문제1. 주어진 함수들의 도함수를 구하여라.
(a). $f(x) = \ln (x^{2} + 10)$
(b). $f(x) = \sin(\ln(x))$
(c). $f(x) = \log_{2} (1 - 3x)$
(d). $f(x) = \sqrt[5]{\ln(x)}$
(e). $f(x) = \sin(x) \ln(5x)$
(f). $F(t) = \ln \left( \frac{(2t + 1)^{3}}{(3t - 1)^{4}} \right)$
(g). $g(x) = \ln \left( x\sqrt{x^{2} - 1} \right)$
(h). $f(u) = \frac{\ln u}{1 + \ln(2u)}$
(i). $y = \ln |2 - x - 5x^{2}|$
(j). $y = \ln(e^{-x} + xe^{-x})$
(k). $y = 2x\log_{10} (\sqrt{10})$
(a). $f(x) = \ln (x^{2} + 10)$
$$f^{'}(x) = \frac{2x}{x^{2} + 10}$$
(b). $f(x) = \sin(\ln(x))$
$$f^{'}(x) = \frac{\cos(\ln(x))}{x}$$
(c). $f(x) = \log_{2} (1 - 3x)$
$$f^{'}(x) = \frac{-3}{(1 - 3x)\ln(2)}$$
(d). $f(x) = \sqrt[5]{\ln(x)}$
$$f^{'}(x) = \frac{1}{5x\sqrt[5]{(\ln(x))^{4}}}$$
(e). $f(x) = \sin(x) \ln(5x)$
$$f^{'}(x) = \cos(x) \ln(5x) + \frac{\sin(x)}{x}$$
(f). $F(t) = \ln \left( \frac{(2t + 1)^{3}}{(3t - 1)^{4}} \right) = 3\ln |2t + 1| - 4\ln |3t - 1|$
$$F^{'}(t) = \frac{6}{2t + 1} - \frac{12}{3t - 1}$$
(g). $g(x) = \ln \left( x\sqrt{x^{2} - 1} \right) = \ln|x| + \ln (\sqrt{x^{2} - 1})$
$$g^{'}(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} = \frac{1}{x} + \frac{x}{x^{2} - 1}$$
(h). $f(u) = \frac{\ln u}{1 + \ln(2u)}$
$$f^{'}(u) = \frac{\frac{1}{u} \cdot (1 + \ln(2u)) - \ln (u) \cdot \frac{1}{u}}{(1 + \ln(2u))^{2}} = \frac{1 + \ln(2)}{u(1 + \ln(2u)^{2})}$$
(i). $y = \ln |2 - x - 5x^{2}|$
$$y^{'} = \frac{-1 - 10x}{2 - x - 5x^{2}}$$
(j). $y = \ln(e^{-x} + xe^{-x})$
$$y^{'} = \frac{-e^{-x} + e^{-x} - xe^{-x}}{e^{-x} + xe^{-x}} = \frac{-xe^{-x}}{(x + 1)e^{-x}} = \frac{-x}{x + 1}$$
(k). $y = 2x\log_{10} (\sqrt{x}) = x \log_{10} (x)$
$$y^{'} = \log_{10} (x) + x \cdot \frac{1}{x\ln(10)} = \log_{10} (x) + \frac{1}{\ln(10)}$$
연습문제2. 주어진 함수들의 도함수를 구하여라.
(a). $f(x) = \ln(\sin^{2}(x))$
(b). $f(x) = \log_{5} (xe^{x})$
(c). $f(x) = \ln (\sqrt[5]{x})$
(d). $f(t) = \frac{1 + \ln(t)}{1 - \ln(t)}$
(e). $h(x) = \ln(x + \sqrt{x^{2} - 1})$
(f). $F(y) = y\ln(1 + e^{y})$
(g). $y = \frac{1}{\ln(x)}$
(h). $H(z) = \ln \sqrt{\frac{a^{2} - z^{2}}{a^{2} + z^{2}}}$
(i). $y = \left[ \ln(1 + e^{x}) \right]^{2}$
(j). $y = \log_{2} (e^{-x}\cos(\pi x))$
(a). $f(x) = \ln(\sin^{2}(x))$
$$f^{'}(x) = \frac{2\cos(x)\sin(x)}{\sin^{2}(x)} = \frac{2\cos(x)}{\sin(x)} = 2\cot(x)$$
(b). $f(x) = \log_{5} (xe^{x}) = \log_{5} (x) + x\log_{5} (e)$
$$f^{'}(x) = \frac{1}{\ln(5)x} + \log_{5} (e)$$
(c). $f(x) = \ln (\sqrt[5]{x}) = \frac{1}{5} \ln(x)$
$$f^{'}(x) = \frac{1}{5x}$$
(d). $f(t) = \frac{1 + \ln(t)}{1 - \ln(t)}$
$$f^{'}(t) = \frac{\frac{1}{t} (1 - \ln(t)) + (1 + \ln(t)) \frac{1}{t}}{(1 - \ln(t))^{2}} = \frac{2}{t(1 - \ln(t))^{2}}$$
(e). $h(x) = \ln(x + \sqrt{x^{2} - 1})$
$$h^{'}(x) = \frac{1}{x + \sqrt{x^{2} - 1}} \cdot \left( 1 + \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} \right)$$
(f). $F(y) = y\ln(1 + e^{y})$
$$F^{'}(y) = \ln(1 + e^{y}) + \frac{ye^{y}}{1 + e^{y}}$$
(g). $y = \frac{1}{\ln(x)}$
$$y^{'} = -\frac{1}{x (\ln(x))^{2}}$$
(h). $H(z) = \ln \sqrt{\frac{a^{2} - z^{2}}{a^{2} + z^{2}}} = \frac{1}{2} \left( \ln(a^{2} - z^{2}) - \ln(a^{2} + z^{2}) \right)$
$$H^{'}(z) = \frac{1}{2} \left( \frac{2z}{a^{2} - z^{2}} + \frac{2z}{a^{2} + z^{2}} \right)$$
(i). $y = \left[ \ln(1 + e^{x}) \right]^{2}$
$$y^{'} = 2\ln(1 + e^{x}) \cdot \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$$
(j). $y = \log_{2} (e^{-x}\cos(\pi x)) = -x\log_{2} (e) + \log_{2} (\cos(\pi x))$
$$y^{'} = -\log_{2} (e) - \frac{\pi \sin(\pi x)}{\ln(2) \cos(\pi x)}$$
연습문제3. 주어진 함수들의 일계도함수와 이계도함수를 구하여라.
(a). $y = x^{2}\ln(2x)$
(b). $y = \frac{\ln(x)}{x^{2}}$
(c). $y = \ln(x + \sqrt{1 + x^{2}})$
(d). $y = \ln(\sec(x) + \tan(x))$
(a). $y = x^{2}\ln(2x)$
1). 일계도함수
$$y^{'} = 2x \ln(2x) + x^{2} \cdot \frac{1}{x} = 2x\ln(2x) + x$$
2). 이계도함수
$$y^{''} = 2\ln(2x) + 2x \cdot \frac{1}{x} + 1 = 2\ln(2x) + 3$$
(b). $y = \frac{\ln(x)}{x^{2}}$
1). 일계도함수
$$y^{'} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^{2} - 2x\ln(x)}{x^{4}} = \frac{x - 2x\ln(x)}{x^{4}} =\frac{1 - 2\ln(x)}{x^{3}}$$
2). 이계도함수
$$y^{''} = \frac{-\frac{1}{x} \cdot x^{3} - (1 - 2\ln(x)) \cdot 3x^{2}}{x^{6}} = \frac{-x^{2} - 3(1 - 2\ln(x))x^{2}}{x^{6}} = -\frac{4 + 6\ln(x)}{x^{4}}$$
(c). $y = \ln(x + \sqrt{1 + x^{2}})$
1). 일계도함수
$$y^{'} = \frac{1}{x + \sqrt{1 + x^{2}}} \cdot (1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} = (1 + x^{2})^{-\frac{1}{2}}$$
2). 이계도함수
$$y^{''} = -\frac{1}{2} 2x (1 + x^{2})^{-\frac{3}{2}} = -x(1 + x^{2})^{-\frac{3}{2}} = \frac{-x}{\sqrt{(1 + x^{2})^{3}}}$$
(d). $y = \ln(\sec(x) + \tan(x))$
1). 일계도함수
$$y^{'} = \frac{\sec(x)\tan(x) + \tan(x)\sec^{2}(x)}{\sec(x) + \tan(x)} = \frac{\sec(x)(\sec(x) + \tan(x))}{\sec(x) + \tan(x)} = \sec(x)$$
2). 이계도함수
$$y^{''} = \sec(x)\tan(x)$$
연습문제4. 주어진 함수들의 도함수와 기존 함수와 도함수의 정의역을 구하여라.
(a). $f(x) = \frac{x}{1 - \ln(x - 1)}$
(b). $f(x) = \frac{1}{1 + \ln(x)}$
(c). $f(x) = \ln(x^{2} - 2x)$
(d). $f(x) = \ln(\ln(\ln(x)))$
(a). $f(x) = \frac{x}{1 - \ln(x - 1)}$
$$f^{'}(x) = \frac{(1 - \ln(x - 1)) + x \cdot \frac{1}{x - 1}}{(1 - \ln(x - 1))^{2}} = \frac{(2x - 1) - (x - 1)\ln(x - 1)}{(1 - \ln(x - 1))^{2}}$$
먼저, 기존 함수의 정의역을 구하도록 한다. 주어진 함수는 유리함수이기 때문에 분모가 0이 되지 않아야하고 로그함수가 포함되어 있기 때문에 로그함수 내의 변수가 항상 0보다 크다는 조건이 존재한다. 이를 종합하면 기존함수의 정의역은 아래와 같다.
$$\text{Dom}_{f} = \{x \in \mathbb{R} | x > 1 \text{ and } x \neq e + 1\}$$
다음으로 도함수의 정의역을 구하도록 한다. 도함수에는 기존함수와 동일하게 유리함수와 로그함수가 포함되어있기 때문에 기존함수와 동일한 정의역을 가지게 된다.
$$\text{Dom}_{f^{'}} = \{x \in \mathbb{R} | x > 1 \text{ and } x \neq e + 1\}$$
(b). $f(x) = \frac{1}{1 + \ln(x)}$
$$f^{'}(x) = -\frac{1}{x(1 + \ln(x))^{2}}$$
먼저, 기존 함수의 정의역을 구하도록 한다. 주어진 함수는 유리함수이기 때문에 분모가 0이 되지 않아야하고 로그함수가 포함되어 있기 때문에 로그함수 내의 변수가 항상 0보다 크다는 조건이 존재한다. 이를 종합하면 기존함수의 정의역은 아래와 같다.
$$\text{Dom}_{f} = \{x \in \mathbb{R} | x > 0 \text{ and } x \neq \frac{1}{e}\}$$
다음으로 도함수의 정의역을 구하도록 한다.
$$\text{Dom}_{f^{'}} = \{x \in \mathbb{R} | x > 1 \text{ and } x \neq \frac{1}{2} \text{ and } x \neq 0\}$$
(c). $f(x) = \ln(x^{2} - 2x) = \ln |x| + \ln|x - 2|$
$$f^{'}(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x - 2}$$
먼저, 기존 함수의 정의역을 구하도록 한다. 주어진 함수는 로그함수가 포함되어 있기 때문에 로그함수 내의 변수가 항상 0보다 크다는 조건이 존재한다. 이를 종합하면 기존함수의 정의역은 아래와 같다.
$$\text{Dom}_{f} = \{x \in \mathbb{R} | x < 0 \text{ and } x > 2\}$$
다음으로 도함수의 정의역을 구하도록 한다.
$$\text{Dom}_{f^{'}} = \{x \in \mathbb{R} | x \neq 0 \text{ and } x \neq 2\}$$
(d). $f(x) = \ln(\ln(\ln(x)))$
$$f^{'}(x) = \frac{1}{x\ln(x)\ln(\ln(x))}$$
먼저, 기존 함수의 정의역을 구하도록 한다. 주어진 함수는 로그함수가 포함되어 있기 때문에 로그함수 내의 변수가 항상 0보다 크다는 조건이 존재한다. 이를 종합하면 기존함수의 정의역은 아래와 같다.
$$\text{Dom}_{f} = \{x \in \mathbb{R} | x > e \}$$
다음으로 도함수의 정의역을 구하도록 한다.
$$\text{Dom}_{f^{'}} = \{x \in \mathbb{R} | x \neq 0 \text{ and } x > 1\}$$
연습문제5. 주어진 함수와 점에 대한 접선의 방정식을 구하여라.
(a). $y = \ln(xe^{x^{2}}), (1, 1)$
(b). $y = \ln(x^{3} - 7), (2, 0)$
(a). $y = \ln(xe^{x^{2}}), (1, 1)$
먼저, 주어진 함수는 로그함수의 성질을 이용해서 간단하게 만들 수 있다.
$$y = \ln(xe^{x^{2}}) = \ln |x| + x^{2}$$
이제 주어진 함수의 도함수를 구하도록 한다.
$$y^{'} = \frac{1}{x} + 2x$$
따라서, 주어진 점에서의 접선의 기울기는 $m = 3$이다. 따라서, 주어진 함수에 대한 점에서의 접선의 방정식은 $y = 3(x - 1) + 1 = 3x - 2$이다.
(b). $y = \ln(x^{3} - 7), (2, 0)$
먼저, 주어진 함수의 도함수를 구하도록 한다.
$$y^{'} = \frac{3x^{2}}{x^{3} - 7}$$
따라서, 주어진 점에서의 접선의 기울기는 $m = 12$이다. 따라서, 주어진 함수에 대한 점에서의 접선의 방정식은 $y = 12(x - 2) + 0 = 12x - 24$이다.
연습문제6. 로그함수의 성질을 이용해서 주어진 함수들의 도함수를 구하여라.
(a). $y = (2x + 1)^{5}(x^{4} - 3)^{6}$
(b). $y = \frac{\sin^{2}(x)\tan^{4}(x)}{(x^{2} + 1)^{2}}$
(c). $y = x^{x}$
(d). $y = x^{\sin(x)}$
(e). $y = (\cos(x))^{x}$
(f). $y = (\tan (x))^{\frac{1}{x}}$
(a). $y = (2x + 1)^{5}(x^{4} - 3)^{6}$
먼저, 주어진 함수의 양변에 자연상수 $e$를 밑으로 한 자연로그 $\ln$를 취한다.
$$\ln(y) = \ln(2x + 1)^{5}(x^{4} - 3)^{6} = 5\ln |2x + 1| - 6\ln |x^{4} - 3|$$
다음으로 양변을 미분한다.
$$\frac{y^{'}}{y} = \frac{10}{2x + 1} - \frac{24x^{3}}{x^{4} - 3} \rightarrow y^{'} = y \left( \frac{10}{2x + 1} - \frac{24x^{3}}{x^{4} - 3} \right) = \left( \frac{10}{2x + 1} - \frac{24x^{3}}{x^{3} - 3} \right)(2x + 1)^{5}(x^{4} - 3)^{6}$$
(b). $y = \frac{\sin^{2}(x)\tan^{4}(x)}{(x^{2} + 1)^{2}}$
먼저, 주어진 함수의 양변에 자연상수 $e$를 밑으로 한 자연로그 $\ln$를 취한다.
$$\ln(y) = \ln \left( \frac{\sin^{2}(x) \tan^{4}(x)}{(x^{2} + 1)^{2}} \right) = 2\ln |\sin(x)| + 4\ln |\tan(x)| - 2\ln (x^{2} + 1)$$
다음으로 양변을 미분한다.
$$\begin{align*} &\frac{y^{'}}{y} = \frac{2\cos(x)}{\sin(x)} + \frac{4\sec^{2}(x)}{\tan(x)} - \frac{4x}{x^{2} + 1} \\ \rightarrow& y^{'} = \left( \frac{2\cos(x)}{\sin(x)} + \frac{4\sec^{2}(x)}{\tan(x)} - \frac{4x}{x^{2} + 1} \right) y = \left( \frac{2\cos(x)}{\sin(x)} + \frac{4\sec^{2}(x)}{\tan(x)} - \frac{4x}{x^{2} + 1} \right) \frac{\sin^{2}(x)\tan^{4}(x)}{(x^{2} + 1)^{2}} \end{align*}$$
(c). $y = x^{x}$
먼저, 주어진 함수의 양변에 자연상수 $e$를 밑으로 한 자연로그 $\ln$를 취한다.
$$\ln(y) = x \ln |x|$$
다음으로 양변을 미분한다.
$$\begin{align*} &\frac{y^{'}}{y} = \ln |x| + 1 \\ \rightarrow& y^{'} = \left( \ln |x| + 1 \right) y = \left( \ln |x| + 1 \right) x\ln|x| \end{align*}$$
(d). $y = x^{\sin(x)}$
먼저, 주어진 함수의 양변에 자연상수 $e$를 밑으로 한 자연로그 $\ln$를 취한다.
$$\ln(y) = \sin(x) \ln |x|$$
다음으로 양변을 미분한다.
$$\begin{align*} &\frac{y^{'}}{y} = \cos(x) \ln |x| + \frac{\sin(x)}{x} \\ \rightarrow& y^{'} = \left( \cos(x) \ln |x| + \frac{\sin(x)}{x} \right) y = \left( \cos(x) \ln|x| + \frac{\sin(x)}{x} \right) x^{\sin(x)} \end{align*}$$
(e). $y = (\cos(x))^{x}$
먼저, 주어진 함수의 양변에 자연상수 $e$를 밑으로 한 자연로그 $\ln$를 취한다.
$$\ln(y) = x \ln |\cos(x)|$$
다음으로 양변을 미분한다.
$$\begin{align*} &\frac{y^{'}}{y} = \ln |\cos(x)| - x\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \ln |\cos(x)| - x \tan(x) \\ \rightarrow& y^{'} = \left( \ln |\cos(x)| - x\tan(x) \right) y = \left( \ln |\cos(x)| x\tan(x) \right) (\cos(x))^{x} \end{align*}$$
(f). $y = (\tan (x))^{\frac{1}{x}}$
먼저, 주어진 함수의 양변에 자연상수 $e$를 밑으로 한 자연로그 $\ln$를 취한다.
$$\ln(y) = \frac{1}{x} \ln|\tan(x)| = \frac{\ln |\tan(x)|}{x}$$
다음으로 양변을 미분한다.
$$\begin{align*} &\frac{y^{'}}{y} = \frac{\frac{\sec^{2}(x)}{\tan(x)} \cdot \frac{1}{x} - \ln |\tan(x)| \cdot \left( -\frac{1}{x^{2}} \right) }{x^{2}} = \frac{\sec^{2}(x)}{x\tan(x)} - \frac{\ln|\tan(x)|}{x^{2}} \\ \rightarrow& y^{'} = \left( \frac{\sec^{2}(x)}{x\tan(x)} - \frac{\ln |\tan(x)|}{x^{2}} \right) y = \left( \frac{\sec^{2}(x)}{x\tan(x)} - \frac{\ln |\tan(x)|}{x^{2}} \right) (\tan(x))^{\frac{1}{x}} \end{align*}$$
연습문제7. 로그함수의 성질을 이용해서 주어진 함수들의 도함수를 구하여라.
(a). $y = \sqrt{x}e^{x^{2}}(x^{2} + 1)^{10}$
(b). $y = \sqrt[4]{\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}}$
(c). $y = x^{\cos(x)}$
(d). $y = \sqrt{x^{x}}$
(e). $y = (\sin(x))^{\ln(x)}$
(f). $y = (\ln(x))^{\cos(x)}$
(a). $y = \sqrt{x}e^{x^{2}}(x^{2} + 1)^{10}$
먼저, 주어진 함수의 양변에 자연상수 $e$를 밑으로 한 자연로그 $\ln$를 취한다.
$$\ln(y) = \frac{1}{2} \ln|x| + x^{2} + 10 \ln (x^{2} + 1)$$
다음으로 양변을 미분한다.
$$\begin{align*} &\frac{y^{'}}{y} = \frac{1}{2x} + 2x + \frac{20x}{x^{2} + 1} \\ \rightarrow& y^{'} = \left( \frac{1}{2x} + 2x + \frac{20x}{x^{2} + 1} \right) y = \left( \frac{1}{2x} + 2x + \frac{20x}{x^{2} + 1} \right) \sqrt{x}e^{x^{2}}(x^{2} + 1)^{10} \end{align*}$$
(b). $y = \sqrt[4]{\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}}$
먼저, 주어진 함수의 양변에 자연상수 $e$를 밑으로 한 자연로그 $\ln$를 취한다.
$$\ln(y) = \frac{1}{4} \ln \left| \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1} \right| = \frac{1}{4} \left( \ln (x^{2} + 1) - \ln |x^{2} - 1| \right)$$
다음으로 양변을 미분한다.
$$\begin{align*} &\frac{y^{'}}{y} = \frac{1}{4} \left( \frac{2x}{x^{2} + 1} - \frac{2x}{x^{2} - 1} \right) \\ \rightarrow& y^{'} = \frac{1}{4} \left( \frac{2x}{x^{2} - 1} - \frac{2x}{x^{2} + 1} \right) y = \frac{1}{4}\left( \frac{1}{x^{2} + 1} - \frac{2x}{x^{2} - 1} \right) \sqrt[4]{\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}} \end{align*}$$
(c). $y = x^{\cos(x)}$
먼저, 주어진 함수의 양변에 자연상수 $e$를 밑으로 한 자연로그 $\ln$를 취한다.
$$\ln(y) = \cos (x) \ln |x|$$
다음으로 양변을 미분한다.
$$\begin{align*} &\frac{y^{'}}{y} = -\sin(x) \ln |x| + \frac{\cos(x)}{x} \\ \rightarrow& y^{'} = \left( -\sin(x) \ln |x| + \frac{\cos(x)}{x} \right) y = \left( -\sin(x) \ln|x| + \frac{\cos(x)}{x} \right) x^{\cos(x)} \end{align*}$$
(d). $y = \sqrt{x^{x}}$
먼저, 주어진 함수의 양변에 자연상수 $e$를 밑으로 한 자연로그 $\ln$를 취한다.
$$\ln(y) = \frac{x}{2} \ln|x|$$
다음으로 양변을 미분한다.
$$\begin{align*} &\frac{y^{'}}{y} = \frac{1}{2} \ln|x| + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \left( \ln|x| + 1 \right) \\ \rightarrow& y^{'} = \frac{1}{2} \left( \ln |x| + 1 \right) y = \frac{1}{2} \left( \ln |x| + 1 \right) \sqrt{x^{x}}\end{align*}$$
(e). $y = (\sin(x))^{\ln(x)}$
먼저, 주어진 함수의 양변에 자연상수 $e$를 밑으로 한 자연로그 $\ln$를 취한다.
$$\ln(y) = \ln (x) \ln |\sin(x)|$$
다음으로 양변을 미분한다.
$$\begin{align*} &\frac{y^{'}}{y} =\frac{1}{x} \ln |\sin(x)| + \ln(x) \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \\ \rightarrow& y^{'} = \left( \frac{\ln |\sin(x)|}{x} + \cot(x) \ln(x) \right) y = \left( \frac{\ln |\sin(x)|}{x} + \cot(x) \ln(x) \right) (\sin(x))^{\ln(x)} \end{align*}$$
(f). $y = (\ln(x))^{\cos(x)}$
먼저, 주어진 함수의 양변에 자연상수 $e$를 밑으로 한 자연로그 $\ln$를 취한다.
$$\ln(y) = \cos(x) \ln |\ln(x)|$
다음으로 양변을 미분한다.
$$\begin{align*} &\frac{y^{'}}{y} = -\sin(x) \ln|\ln(x)| + \frac{\cos(x)}{x\ln(x)} \\ \rightarrow& y^{'} = \left( -\sin(x) \ln |\ln(x)| + \frac{\cos(x)}{x\ln(x)} \right) y = \left( -\sin(x) \ln |\ln(x)| + \frac{\cos(x)}{x\ln(x)} \right) (\ln(x))^{\cos(x)} \end{align*}$$
연습문제8. 주어진 함수들의 도함수를 구하여라.
(a). $y = \ln (x^{2} + y^{2})$
(b). $x^{y} = y^{x}$
(a). $y = \ln (x^{2} + y^{2})$
주어진 함수는 음함수 형태이므로 양변을 $x$에 대한 미분을 취해준다.
$$\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \frac{d}{dx} \left[ \ln (x^{2} + y^{2}) \right] \\ &= \frac{1}{x^{2} + y^{2}} \cdot (2x + 2y \frac{dy}{dx}) \\ \rightarrow& \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{x^{2} + (y - 1)^{2} - 1}\end{align*}$$
(b). $x^{y} = y^{x}$
주어진 함수의 양변에 로그함수를 취한다.
$$\ln |x^{y}| = \ln |y^{x}| \rightarrow y \ln|x| = x \ln|y|$$
이때, 주어진 함수는 음함수 형태이므로 양변을 $x$에 대한 미분을 취해준다.
1). 좌항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ y \ln |x| \right] = \ln |x| \frac{dy}{dx} + \frac{y}{x}$
2). 우항 미분 : $\frac{d}{dx} \left[ x \ln |y| \right] = \ln|y| + \frac{x}{y} \frac{dy}{dx}$
이제 위 식을 정리한다.
$$\begin{align*} &\ln|x| \frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \ln|y| + \frac{x}{y} \frac{dy}{dx} \\ \Rightarrow& \left( \ln|x| - \frac{x}{y} \right) \frac{dy}{dx} = \ln|y| - \frac{y}{x} \\ \Rightarrow& \frac{dy}{dx} = \frac{\ln|y| - \frac{y}{x}}{\ln|x| - \frac{x}{y}}\end{align*}$$
연습문제9. $f(x) = \ln(x - 1)$이라고 할 때 $f^{(n)}(x)$를 구하여라.
주어진 함수를 미분하여 규칙성을 찾도록 한다.
$$\begin{align*} &f^{'}(x) = \frac{1}{x - 1} \\ &f^{''}(x) = -\frac{1}{(x - 1)^{2}} \\ &f^{'''}(x) = \frac{2}{(x - 1)^{3}} \\ &f^{(4)}(x) = - \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{(x - 1)^{4}} \end{align*}$$
이를 통해 $f^{(n)}(x) = (-1)^{n - 1} \frac{(n - 1)!}{(x - 1)^{n}}$임을 알 수 있다.
연습문제10. 미분의 정의를 이용해서 아래의 식을 증명하라.
$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(x + 1)}{x}$$
$f(x) = \ln(x + 1)$이라고 하자. 그러면 주어진 식을 아래와 같이 쓸 수 있다.
$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = f^{'}(0)$$
따라서, $f^{'}(x) = \frac{1}{x + 1}$이므로 $f^{'}(0) = 1$이다.
참고자료 및 그림출처
Calculus(J. Stewart)
변경사항
22.09.16 : 전체적인 스타일 수정
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안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 음함수의 미분에서는 고급삼각함수 csc(x),sec(x),cot(x)를 음함수 미분법을 이용해서 미분하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 로그함수를 미분하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 로그함수 역시 지수 함수의 역함수이기 때문에 이를 활용하면 아주 쉽게 미분할 수 있습니다.
미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다.
정리1. 로그함수의 미분
ddx(logax)=1xlna
증명
로그함수의 미분은 지수함수로의 변형을 통해 쉽게 증명할 수 있습니다. 저희가 생각해야할 점은 로그함수란 지수함수의 역함수라는 사실을 활용한 뒤 지난 포스팅에서의 음함수의 미분법을 사용하면 됩니다. 먼저, y=loga(x)라고 하겠습니다. 이때, 로그함수는 지수함수로 아래와 같이 표현할 수 있습니다.
ay=x
이제 마지막으로 음함수 미분법을 이용해서 아래와 같이 미분을 할 수 있습니다.
ddx(x)=ddx(ay)=ddy(ay)dydx=aylnadydx
따라서 ddx(logax)=1aylna=1xlna임을 알 수 있습니다. 이때, a=e로 자연상수라면 ddx(lnx)=1x입니다. 아주 간단하죠?
예제1. y=ln(x3+1)의 도함수를 구하여라.
u=x3+1이라고 정의하자.
dydx=ddx(lnu)=ddu(lnu)dudx(u)=1ududx(x3+1)=3x2x3+1
예제2. y=√lnx의 도함수를 구하여라.
u=lnx이라고 정의하자.
dydx=ddx(√u)=ddu(√u)dudx(u)=12√ududx(lnx)=12x√lnx
연습문제1. 주어진 함수들의 도함수를 구하여라.
(a). f(x)=ln(x2+10)
(b). f(x)=sin(ln(x))
(c). f(x)=log2(1−3x)
(d). f(x)=5√ln(x)
(e). f(x)=sin(x)ln(5x)
(f). F(t)=ln((2t+1)3(3t−1)4)
(g). g(x)=ln(x√x2−1)
(h). f(u)=lnu1+ln(2u)
(i). y=ln|2−x−5x2|
(j). y=ln(e−x+xe−x)
(k). y=2xlog10(√10)
(a). f(x)=ln(x2+10)
f′(x)=2xx2+10
(b). f(x)=sin(ln(x))
f′(x)=cos(ln(x))x
(c). f(x)=log2(1−3x)
f′(x)=−3(1−3x)ln(2)
(d). f(x)=5√ln(x)
f′(x)=15x5√(ln(x))4
(e). f(x)=sin(x)ln(5x)
f′(x)=cos(x)ln(5x)+sin(x)x
(f). F(t)=ln((2t+1)3(3t−1)4)=3ln|2t+1|−4ln|3t−1|
F′(t)=62t+1−123t−1
(g). g(x)=ln(x√x2−1)=ln|x|+ln(√x2−1)
g′(x)=1x+1√x2−1⋅x√x2−1=1x+xx2−1
(h). f(u)=lnu1+ln(2u)
f′(u)=1u⋅(1+ln(2u))−ln(u)⋅1u(1+ln(2u))2=1+ln(2)u(1+ln(2u)2)
(i). y=ln|2−x−5x2|
y′=−1−10x2−x−5x2
(j). y=ln(e−x+xe−x)
y′=−e−x+e−x−xe−xe−x+xe−x=−xe−x(x+1)e−x=−xx+1
(k). y=2xlog10(√x)=xlog10(x)
y′=log10(x)+x⋅1xln(10)=log10(x)+1ln(10)
연습문제2. 주어진 함수들의 도함수를 구하여라.
(a). f(x)=ln(sin2(x))
(b). f(x)=log5(xex)
(c). f(x)=ln(5√x)
(d). f(t)=1+ln(t)1−ln(t)
(e). h(x)=ln(x+√x2−1)
(f). F(y)=yln(1+ey)
(g). y=1ln(x)
(h). H(z)=ln√a2−z2a2+z2
(i). y=[ln(1+ex)]2
(j). y=log2(e−xcos(πx))
(a). f(x)=ln(sin2(x))
f′(x)=2cos(x)sin(x)sin2(x)=2cos(x)sin(x)=2cot(x)
(b). f(x)=log5(xex)=log5(x)+xlog5(e)
f′(x)=1ln(5)x+log5(e)
(c). f(x)=ln(5√x)=15ln(x)
f′(x)=15x
(d). f(t)=1+ln(t)1−ln(t)
f′(t)=1t(1−ln(t))+(1+ln(t))1t(1−ln(t))2=2t(1−ln(t))2
(e). h(x)=ln(x+√x2−1)
h′(x)=1x+√x2−1⋅(1+x√x2−1)
(f). F(y)=yln(1+ey)
F′(y)=ln(1+ey)+yey1+ey
(g). y=1ln(x)
y′=−1x(ln(x))2
(h). H(z)=ln√a2−z2a2+z2=12(ln(a2−z2)−ln(a2+z2))
H′(z)=12(2za2−z2+2za2+z2)
(i). y=[ln(1+ex)]2
y′=2ln(1+ex)⋅ex1+ex
(j). y=log2(e−xcos(πx))=−xlog2(e)+log2(cos(πx))
y′=−log2(e)−πsin(πx)ln(2)cos(πx)
연습문제3. 주어진 함수들의 일계도함수와 이계도함수를 구하여라.
(a). y=x2ln(2x)
(b). y=ln(x)x2
(c). y=ln(x+√1+x2)
(d). y=ln(sec(x)+tan(x))
(a). y=x2ln(2x)
1). 일계도함수
y′=2xln(2x)+x2⋅1x=2xln(2x)+x
2). 이계도함수
y″=2ln(2x)+2x⋅1x+1=2ln(2x)+3
(b). y=ln(x)x2
1). 일계도함수
y′=1x⋅x2−2xln(x)x4=x−2xln(x)x4=1−2ln(x)x3
2). 이계도함수
y″=−1x⋅x3−(1−2ln(x))⋅3x2x6=−x2−3(1−2ln(x))x2x6=−4+6ln(x)x4
(c). y=ln(x+√1+x2)
1). 일계도함수
y′=1x+√1+x2⋅(1+x√1+x2)=1√1+x2=(1+x2)−12
2). 이계도함수
y″=−122x(1+x2)−32=−x(1+x2)−32=−x√(1+x2)3
(d). y=ln(sec(x)+tan(x))
1). 일계도함수
y′=sec(x)tan(x)+tan(x)sec2(x)sec(x)+tan(x)=sec(x)(sec(x)+tan(x))sec(x)+tan(x)=sec(x)
2). 이계도함수
y″=sec(x)tan(x)
연습문제4. 주어진 함수들의 도함수와 기존 함수와 도함수의 정의역을 구하여라.
(a). f(x)=x1−ln(x−1)
(b). f(x)=11+ln(x)
(c). f(x)=ln(x2−2x)
(d). f(x)=ln(ln(ln(x)))
(a). f(x)=x1−ln(x−1)
f′(x)=(1−ln(x−1))+x⋅1x−1(1−ln(x−1))2=(2x−1)−(x−1)ln(x−1)(1−ln(x−1))2
먼저, 기존 함수의 정의역을 구하도록 한다. 주어진 함수는 유리함수이기 때문에 분모가 0이 되지 않아야하고 로그함수가 포함되어 있기 때문에 로그함수 내의 변수가 항상 0보다 크다는 조건이 존재한다. 이를 종합하면 기존함수의 정의역은 아래와 같다.
Domf={x∈R|x>1 and x≠e+1}
다음으로 도함수의 정의역을 구하도록 한다. 도함수에는 기존함수와 동일하게 유리함수와 로그함수가 포함되어있기 때문에 기존함수와 동일한 정의역을 가지게 된다.
Domf′={x∈R|x>1 and x≠e+1}
(b). f(x)=11+ln(x)
f′(x)=−1x(1+ln(x))2
먼저, 기존 함수의 정의역을 구하도록 한다. 주어진 함수는 유리함수이기 때문에 분모가 0이 되지 않아야하고 로그함수가 포함되어 있기 때문에 로그함수 내의 변수가 항상 0보다 크다는 조건이 존재한다. 이를 종합하면 기존함수의 정의역은 아래와 같다.
Domf={x∈R|x>0 and x≠1e}
다음으로 도함수의 정의역을 구하도록 한다.
Domf′={x∈R|x>1 and x≠12 and x≠0}
(c). f(x)=ln(x2−2x)=ln|x|+ln|x−2|
f′(x)=1x+1x−2
먼저, 기존 함수의 정의역을 구하도록 한다. 주어진 함수는 로그함수가 포함되어 있기 때문에 로그함수 내의 변수가 항상 0보다 크다는 조건이 존재한다. 이를 종합하면 기존함수의 정의역은 아래와 같다.
Domf={x∈R|x<0 and x>2}
다음으로 도함수의 정의역을 구하도록 한다.
Domf′={x∈R|x≠0 and x≠2}
(d). f(x)=ln(ln(ln(x)))
f′(x)=1xln(x)ln(ln(x))
먼저, 기존 함수의 정의역을 구하도록 한다. 주어진 함수는 로그함수가 포함되어 있기 때문에 로그함수 내의 변수가 항상 0보다 크다는 조건이 존재한다. 이를 종합하면 기존함수의 정의역은 아래와 같다.
Domf={x∈R|x>e}
다음으로 도함수의 정의역을 구하도록 한다.
Domf′={x∈R|x≠0 and x>1}
연습문제5. 주어진 함수와 점에 대한 접선의 방정식을 구하여라.
(a). y=ln(xex2),(1,1)
(b). y=ln(x3−7),(2,0)
(a). y=ln(xex2),(1,1)
먼저, 주어진 함수는 로그함수의 성질을 이용해서 간단하게 만들 수 있다.
y=ln(xex2)=ln|x|+x2
이제 주어진 함수의 도함수를 구하도록 한다.
y′=1x+2x
따라서, 주어진 점에서의 접선의 기울기는 m=3이다. 따라서, 주어진 함수에 대한 점에서의 접선의 방정식은 y=3(x−1)+1=3x−2이다.
(b). y=ln(x3−7),(2,0)
먼저, 주어진 함수의 도함수를 구하도록 한다.
y′=3x2x3−7
따라서, 주어진 점에서의 접선의 기울기는 m=12이다. 따라서, 주어진 함수에 대한 점에서의 접선의 방정식은 y=12(x−2)+0=12x−24이다.
연습문제6. 로그함수의 성질을 이용해서 주어진 함수들의 도함수를 구하여라.
(a). y=(2x+1)5(x4−3)6
(b). y=sin2(x)tan4(x)(x2+1)2
(c). y=xx
(d). y=xsin(x)
(e). y=(cos(x))x
(f). y=(tan(x))1x
(a). y=(2x+1)5(x4−3)6
먼저, 주어진 함수의 양변에 자연상수 e를 밑으로 한 자연로그 ln를 취한다.
ln(y)=ln(2x+1)5(x4−3)6=5ln|2x+1|−6ln|x4−3|
다음으로 양변을 미분한다.
y′y=102x+1−24x3x4−3→y′=y(102x+1−24x3x4−3)=(102x+1−24x3x3−3)(2x+1)5(x4−3)6
(b). y=sin2(x)tan4(x)(x2+1)2
먼저, 주어진 함수의 양변에 자연상수 e를 밑으로 한 자연로그 ln를 취한다.
ln(y)=ln(sin2(x)tan4(x)(x2+1)2)=2ln|sin(x)|+4ln|tan(x)|−2ln(x2+1)
다음으로 양변을 미분한다.
y′y=2cos(x)sin(x)+4sec2(x)tan(x)−4xx2+1→y′=(2cos(x)sin(x)+4sec2(x)tan(x)−4xx2+1)y=(2cos(x)sin(x)+4sec2(x)tan(x)−4xx2+1)sin2(x)tan4(x)(x2+1)2
(c). y=xx
먼저, 주어진 함수의 양변에 자연상수 e를 밑으로 한 자연로그 ln를 취한다.
ln(y)=xln|x|
다음으로 양변을 미분한다.
y′y=ln|x|+1→y′=(ln|x|+1)y=(ln|x|+1)xln|x|
(d). y=xsin(x)
먼저, 주어진 함수의 양변에 자연상수 e를 밑으로 한 자연로그 ln를 취한다.
ln(y)=sin(x)ln|x|
다음으로 양변을 미분한다.
y′y=cos(x)ln|x|+sin(x)x→y′=(cos(x)ln|x|+sin(x)x)y=(cos(x)ln|x|+sin(x)x)xsin(x)
(e). y=(cos(x))x
먼저, 주어진 함수의 양변에 자연상수 e를 밑으로 한 자연로그 ln를 취한다.
ln(y)=xln|cos(x)|
다음으로 양변을 미분한다.
y′y=ln|cos(x)|−xsin(x)cos(x)=ln|cos(x)|−xtan(x)→y′=(ln|cos(x)|−xtan(x))y=(ln|cos(x)|xtan(x))(cos(x))x
(f). y=(tan(x))1x
먼저, 주어진 함수의 양변에 자연상수 e를 밑으로 한 자연로그 ln를 취한다.
ln(y)=1xln|tan(x)|=ln|tan(x)|x
다음으로 양변을 미분한다.
y′y=sec2(x)tan(x)⋅1x−ln|tan(x)|⋅(−1x2)x2=sec2(x)xtan(x)−ln|tan(x)|x2→y′=(sec2(x)xtan(x)−ln|tan(x)|x2)y=(sec2(x)xtan(x)−ln|tan(x)|x2)(tan(x))1x
연습문제7. 로그함수의 성질을 이용해서 주어진 함수들의 도함수를 구하여라.
(a). y=√xex2(x2+1)10
(b). y=4√x2+1x2−1
(c). y=xcos(x)
(d). y=√xx
(e). y=(sin(x))ln(x)
(f). y=(ln(x))cos(x)
(a). y=√xex2(x2+1)10
먼저, 주어진 함수의 양변에 자연상수 e를 밑으로 한 자연로그 ln를 취한다.
ln(y)=12ln|x|+x2+10ln(x2+1)
다음으로 양변을 미분한다.
y′y=12x+2x+20xx2+1→y′=(12x+2x+20xx2+1)y=(12x+2x+20xx2+1)√xex2(x2+1)10
(b). y=4√x2+1x2−1
먼저, 주어진 함수의 양변에 자연상수 e를 밑으로 한 자연로그 ln를 취한다.
ln(y)=14ln|x2+1x2−1|=14(ln(x2+1)−ln|x2−1|)
다음으로 양변을 미분한다.
y′y=14(2xx2+1−2xx2−1)→y′=14(2xx2−1−2xx2+1)y=14(1x2+1−2xx2−1)4√x2+1x2−1
(c). y=xcos(x)
먼저, 주어진 함수의 양변에 자연상수 e를 밑으로 한 자연로그 ln를 취한다.
ln(y)=cos(x)ln|x|
다음으로 양변을 미분한다.
y′y=−sin(x)ln|x|+cos(x)x→y′=(−sin(x)ln|x|+cos(x)x)y=(−sin(x)ln|x|+cos(x)x)xcos(x)
(d). y=√xx
먼저, 주어진 함수의 양변에 자연상수 e를 밑으로 한 자연로그 ln를 취한다.
ln(y)=x2ln|x|
다음으로 양변을 미분한다.
y′y=12ln|x|+12=12(ln|x|+1)→y′=12(ln|x|+1)y=12(ln|x|+1)√xx
(e). y=(sin(x))ln(x)
먼저, 주어진 함수의 양변에 자연상수 e를 밑으로 한 자연로그 ln를 취한다.
ln(y)=ln(x)ln|sin(x)|
다음으로 양변을 미분한다.
y′y=1xln|sin(x)|+ln(x)cos(x)sin(x)→y′=(ln|sin(x)|x+cot(x)ln(x))y=(ln|sin(x)|x+cot(x)ln(x))(sin(x))ln(x)
(f). y=(ln(x))cos(x)
먼저, 주어진 함수의 양변에 자연상수 e를 밑으로 한 자연로그 ln를 취한다.
$$\ln(y) = \cos(x) \ln |\ln(x)|$
다음으로 양변을 미분한다.
y′y=−sin(x)ln|ln(x)|+cos(x)xln(x)→y′=(−sin(x)ln|ln(x)|+cos(x)xln(x))y=(−sin(x)ln|ln(x)|+cos(x)xln(x))(ln(x))cos(x)
연습문제8. 주어진 함수들의 도함수를 구하여라.
(a). y=ln(x2+y2)
(b). xy=yx
(a). y=ln(x2+y2)
주어진 함수는 음함수 형태이므로 양변을 x에 대한 미분을 취해준다.
dydx=ddx[ln(x2+y2)]=1x2+y2⋅(2x+2ydydx)→dydx=2xx2+(y−1)2−1
(b). xy=yx
주어진 함수의 양변에 로그함수를 취한다.
ln|xy|=ln|yx|→yln|x|=xln|y|
이때, 주어진 함수는 음함수 형태이므로 양변을 x에 대한 미분을 취해준다.
1). 좌항 미분 : ddx[yln|x|]=ln|x|dydx+yx
2). 우항 미분 : ddx[xln|y|]=ln|y|+xydydx
이제 위 식을 정리한다.
ln|x|dydx+yx=ln|y|+xydydx⇒(ln|x|−xy)dydx=ln|y|−yx⇒dydx=ln|y|−yxln|x|−xy
연습문제9. f(x)=ln(x−1)이라고 할 때 f(n)(x)를 구하여라.
주어진 함수를 미분하여 규칙성을 찾도록 한다.
f′(x)=1x−1f″(x)=−1(x−1)2f‴(x)=2(x−1)3f(4)(x)=−3⋅2⋅1(x−1)4
이를 통해 f(n)(x)=(−1)n−1(n−1)!(x−1)n임을 알 수 있다.
연습문제10. 미분의 정의를 이용해서 아래의 식을 증명하라.
limx→0ln(x+1)x
f(x)=ln(x+1)이라고 하자. 그러면 주어진 식을 아래와 같이 쓸 수 있다.
limx→0f(x)x=limx→0f(x)−f(0)x−0=f′(0)
따라서, f′(x)=1x+1이므로 f′(0)=1이다.
참고자료 및 그림출처
Calculus(J. Stewart)
변경사항
22.09.16 : 전체적인 스타일 수정
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