미적분학 - 반복적분

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 이중적분에서는 다변수 함수에서 다중적분이 정의되는 원리에 대해서 알아보았습니다. 결론적으로는 기존의 단변수 함수에서의 적분과 큰 차이는 없이 동일하게 구간을 등구간으로 자르는 것으로 시작하는 것을 알게 되었습니다. 오늘은 이중적분을 실질적으로 어떻게 계산하는 지에 대해서 알아보겠습니다. 

 

먼저 함수 $f$가 영역 $R = [a, b] \times [c, d] = \{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} | a \le x \le b, c \le y \le d\}$에서 적분가능하다고 하겠습니다. 저희가 미적분학 - 편미분에서 보았듯이 특정 변수에 대해서 미분을 할 수 있습니다. 이와 유사하게 특정 변수에 대한 적분 역시 가능하죠. 저희는 이를 편적분(partial integration)이라고 합니다. 만약, 함수 $f(x, y)$를 $y$에 대해서 편적분하게 되면 $\int_{c}^{d} f(x, y) \; dy$라고 쓸 수 있습니다. 그러면 남은 변수는 $x$만 남기 때문에 얻은 결과를 $A(x)$라고 하겠습니다. 

 

$$A(x) = \int_{c}^{d} f(x, y) \; dy$$

 

이제 한번 더 함수 $A(x)$를 $x$에 대해서 적분하겠습니다. 

 

$$\int_{a}^{b} A(x) \; dx = \int_{a}^{b} \left[\int_{c}^{d} f(x, y) \; dy\right] dx$$

 

따라서, 이중적분은 실질적으로 각 변수에 대한 편적분을 반복해서 해주면 됩니다. 저희는 이 과정을 반복적분(Iterated integration)이라고 합니다. 

 

예제1. $\int_{0}^{3} \int_{1}^{2} x^{2}y dy dx$를 구하여라.

$$\begin{align*} \int_{0}^{3} \int_{1}^{2} x^{2}y \; dy dx &= \int_{0}^{3} \left[\int_{1}^{2} x^{2}y \; dy \right] \; dx \\ &= \int_{0}^{3} \frac{1}{2}\left[x^{2}y^{2}\right]_{1}^{2} \; dx \\ &= \int_{0}^{3} \frac{3x^{2}}{2} \; dx \\ &= \frac{3}{2} \frac{1}{3}\left[x^{3}\right]_{0}^{3} \\ &= \frac{27}{2}\end{align*}$$

 

 정리1. 푸비니의 정리(Fubini's Theorem)

함수 $f$가 직사각형 영역 $R = [a, b] \times [c, d] = \{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} | a \le x \le b, c \le y \le d\}$에서 연속이라고 하자. 그러면 편적분의 순서를 바꾸어도 결과는 동일하다. 

 

$$\int \int_{R} f(x, y) \; dA = \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f(x, y) \; dy dx = \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f(x, y) \; dx dy$$