미적분학 - 삼중적분

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 극좌표에서의 이중적분에서는 극좌표에서 이중적분을 하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 기본적인 원래는 기존의 이중적분과 동일하게 적분하려는 영역을 아주 작게 등분하는 것으로 시작하였습니다. 다만, 직교좌표계에서는 $x$축과 $y$-축을 기준으로 등분했지만, 극좌표계에서는 $r$과 $\thea$를 기준으로 등분하였습니다. 이때, $r = \sqrt{x^{2}+ y^{2}}$이고 $\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$로 정의가 되었습니다. 오늘은 이어서 3개의 변수를 가진 함수 $w = f(x, y, z)$가 있을 때 적분하는 방법인 삼중적분에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 

 

삼중적분의 기본적인 원리는 이중적분과 동일합니다. 이중적분에서는 함수가 $(x, y)$에 대한 변수이기 때문에 넓이에 대한 차분 $\Delta A$을 구하게되디만, 삼중적분에서는 함수가 $(x, y, z)$에 대한 변수이기 때문에 부피에 대한 차분 $\Delta V$를 구해야합니다. 이를 위해서는 어디를 적분할 지 영역을 먼저 정의해야겠죠. 이를 $B$라고 하겠습니다. 

 

$$B = \{(x, y, z) | a \le x \le b, c \le y \le d, r \le z \le s\}$$

 

그리고 각 구간을 $l$등분, $m$등분, $n$등분한다고 가정하면 $x$축의 $i$번째 구간은 $[x_{i - 1}, x_{i}]$이고 $y$축의 $j$번째 구간은 $[y_{j - 1}, y_{j}]$, $z$축의 $k$번째 구간은 $[z_{k - 1}, z_{k}]$가 됩니다. 따라서, 각 변수의 구간으로 이루어진 작은 구간의영역 $B_{ijk}$를 정의할 수 있습니다. 

 

$$B_{ijk} = [x_{i - 1}, x_{i}] \times [y_{j - 1}, y_{j}] \times [z_{k - 1}, z_{k}]$$

 

그리고 위의 오른쪽 그림과 같이 해당 영역 $B_{ijk}$의 부피의 차분은 각 구간의 등길이이므로 $\Delta V = \Delta x \Delta y \Delta z$입니다. 따라서, 저희는 각 구간의 삼중 리만 합(triple Riemann Sum)을 계산할 수 있습니다. 

 

$$\sum_{i = 1}^{l} \sum_{j = 1}^{m} \sum_{k = 1}^{n} f(x_{ijk}^{*}, y_{ijk}^{*}, z_{ijk}^{*}) \Delta V$$

 

이때, $(x_{ijk}^{*}, y_{ijk}^{*}, z_{ijk}^{*})$를 각 영역 $B_{ijk}$의 표본점이라고 정의하겠습니다. 이제 실제 적분값을 구하기 위해서는 더 많이 쪼개면 되겠죠. 따라서, $l, m, n$을 무한으로 극한을 취해주면 됩니다. 

 

$$\int \int \int_{B} f(x, y, z) \; dV = \lim_{l, m, n \rightarrow \infty} \sum_{i = 1}^{l} \sum_{j = 1}^{m} \sum_{k = 1}^{n} f(x_{ijk}^{*}, y_{ijk}^{*}, z_{ijk}^{*}) \Delta V$$

 

 정리1. 삼중적분에 대한 푸비니의 정리(Fubini's Theorem for Triple Integrals)

함수 $f(x, y, z)$가 직육면체 $B = [a, b] \times [c, d] \times [r, s]$에서 연속이라고 하면 아래의 식이 성립한다.

 

$$\int \int \int_{B} f(x, y, z) dV = \int_{r}^{s} \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f(x, y, z) \; dx \; dy \; dz$$