미적분학 - 구좌표계에서의 삼중적분

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 원기둥좌표계에서의 삼중적분에서는 원기둥좌표계에서는 삼중적분을 수행하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 삼차원에서 새로운 좌표계인 구면좌표계(Spherical Coordinate)에서의 삼중적분을 수행하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 

 

일단 구면좌표계(Spherical Coordinate)이 어떻게 정의되는지부터 알아봐야겠네요. 원기둥좌표계에서는 $(r, \theta, z)$로 이루어진 좌표계로 $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 그리고 $\theta = \arctan\left(\frac{x}{y}\right)$로 정의되었습니다. 그리고 $z$는 직교좌표계의 높이와 동일하게 정의가 되었죠. 구면좌표계에서는 $(\rho, \theta, \phi)$로 이루어진 좌표계로 $\rho = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$ 그리고 $\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$로 정의되고 마지막으로 $\phi$는 $z$축과 직선 $OP$가 이루는 각도로 정의됩니다. 

 

따라서, 구면좌표계에서 직교좌표계로 변환하기 위해서는 아래의 수식들을 이용해주면 됩니다. 

 

- $x = \rho \sin(\phi) \cos(\theta)$ 

- $y = \rho \sin(\phi) \sin(\theta)$ 

- $z = \rho \cos(\phi)$ 

 

예제1. 구면좌표계 $(2, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3})$이 주어졌을 때 직교좌표계로 변환하라.

- $x = \rho \sin(\phi) \cos(\theta) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{6}}{2}$ 

 

- $y = \rho \sin(\phi) \sin(\theta) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{6}}{2}$ 

 

- $z = \rho \cos(\phi) = 2 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \left(\frac{1}{2}\right = 1$ 

 

따라서, 구면좌표계 $(2, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3})$의 직교좌표계는 $(\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2}, 1)$이다. 

 

예제2. 직교좌표계 $(0, 2\sqrt{3}, -2)$이 주어졌을 때 구면좌표계로 변환하라.

- $\rho = \sqrt{0^{2} + (2\sqrt{3})^{2} + (-2)^{2}} = \sqrt{16} = 4$

 

- $\phi = \arccos\left(\frac{z}{\rho}\right) = \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) \rightarrow \phi = \frac{2\pi}{3}$

 

- $\theta = \arccos\left(\frac{x}{\rho \sin(\phi)}\right) = \arccos(0) = \frac{\pi}{2}$

 

따라서, 직교좌표계 $(0, 2\sqrt{3}, -2)$의 구면좌표계는 $(4, \frac{2\pi}{3}, \frac{\pi}{2})$이다. 

 

다음으로 저희가 해볼것은 구면좌표계에서 삼중적분을 수행하는 것입니다. 따라서 저희는 아래와 같은 영역 $E$를 생각해보겠습니다. 

 

$$E = \{(\rho, \phi, \theta) | a \le \rho \le b, \alpha \le \phi \le \beta, c \le \theta \le d\}$$

 

이때, $a \ge 0$, $\beta - \alpha \le 2\pi$, 그리고 $d - c \le \pi$라는 조건을 만족한다고 가정하겠습니다. 지금까지 보았던 모든 적분의 기본원리는 각 좌표를 아주 잘게 등분하고 각 영역에 대한 넓이 혹은 부피를 구하고 모두 더한 결과에 극한을 취하는 것입니다. 이번에도 마찬가지입니다. 위 그림을 보시면 아주 복잡하게 보이겠지만 샅샅히 보시면 그리 어렵지는 않습니다.

 

일단, 각 좌표 $\rho, \phi, \theta$에 대한 $n, m, l$ 등분했을 때 각 길이를 $\Delta \rho, \Delta \phi, \Delta \theta$라고 하겠습니다. 이제부터 저희가  그러면 $\rho$를 $n$등분했을 때 $i$번째 구간은 $[\rho_{i - 1}, \rho_{i}]$, $\phi$를 $m$등분했을 때 $j$번째 구간은 $[\phi_{j - 1}, \phi_{j}]$, 그리고 $\theta$를 $l$등분했을 때 $k$번째 구간은 $[\theta_{k - 1}, \theta_{k}]$가 됩니다. 이제 각 구간에 의해 만들어지는 작은 구 부분껍질을 $E_{ijk}$라고 하죠. 

 

$$E_{ijk} = \{(\rho, \phi, \theta) | \rho_{i - 1} \le \rho \le \rho_{i}, \phi_{j - 1} \le \phi \le \phi_{j}, \theta_{k - 1} \le \theta \le \theta_{k}\}$$

 

위 그림에서 $\rho$와 $\theta, \phi$를 더 많이 등분했다고 생각해봅시다. 그러면 어떤 모양을 가지게 될까요? 아마도 직육면체와 같은 모양을 가지게 될 것입니다. 이제 저희는 직육면체의 부피를 구하는 것으로 목적이 바뀌었네요. 부피를 구하기 위해서는 다들 아시다싶이 밑면의 가로와 세로, 그리고 입체의 높이가 필요합니다. 입체의 높이는 $\Delta \rho$로 보이네요. 문제는 밑면의 넓이를 구하는 것 입니다. 기본적으로 가로의 길이는 원호의 부분이기 때문에 $\rho_{i} \Delta \phi$임을 알 수 있습니다. 이와 동일한 방법으로 세로의 길이는 $\rho_{i} \sin \left(\phi_{k}\right) \Delta \theta$가 됩니다. 따라서, $E_{ijk}$의 부피 근사치는 아래와 같죠. 

 

$$\Delta V_{ijk} \approx (\Delta \rho) (\rho_{i} \Delta \phi) (\rho_{i} \sin(\phi_{k}) \Delta \theta) = \rho_{i}^{2} \sin(\phi_{k}) \Delta \rho \Delta \theta \Delta \phi$$

 

그리고 각 구간의 표본점을 직교좌표계로 나타낼 때 $(x_{ijk}^{*}, y_{ijk}^{*}, z_{ijk}^{*})$라고 하겠습니다. 그러면 해당 영역에 대한 삼중적분을 아래와 같이 정의할 수 있죠. 

 

$$\begin{align*} \int \int \int_{E} f(x, y, z) \; dV &= \lim_{l, m, n \rightarrow \infty} \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{l} f(x_{ijk}^{*}, y_{ijk}^{*}, z_{ijk}^{*}) \Delta V_{ijk} \\ &= \lim_{l, m, n \rightarrow \infty} \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{l} f(\tilde{\rho}_{i}\sin(\tilde{\phi}_{k})\cos(\tilde{\theta}_{j}), \tilde{\rho}_{i}\sin(\tilde{\phi}_{k})\sin(\tilde{\theta}_{j}), \tilde{\rho}_{i} \cos(\tilde{\phi}_{k})) \tilde{\rho}_{i}^{2} \sin(\tilde{\phi}_{k}) \Delta \rho \Delta \theta \Delta \phi \end{align*}$$

 

여기서, $(\tilde{\rho}_{i}, \tilde{\theta}_{j}, \tilde{\phi}_{k})$는 평균값 정리에 의해 얻을 수 있는 $\Delta V_{ijk} = \tilde{\rho}_{i}^{2} \sin(\tilde{\phi}_{k}) \Delta \rho \Delta \theta \Delta \phi$를 만족하는 값이라고 하겠습니다. 따라서 최종적으로 영역 $E$에서의 구면좌표계에서의 리만적분은 아래와 같이 정의됩니다. 

 

$$\int\int\int_{E} f(x, y, z) \; dV = \int_{c}^{d} \int_{\alpha}^{\beta} \int_{a}^{b} f(\rho \sin(\phi) \cos(\theta), \rho \sin(\phi) \sin(\theta), \rho \cos(\phi)) \rho^{2} \sin(\phi) \; d\rho d\theta d\phi$$