미적분학 - 다중적분의 변수변환법

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 구면좌표계에서의 삼중적분에서는 직교좌표계를 구면좌표계로 또는 그 반대로 구면좌표계를 직교좌표계로 변환시키는 방법과 함께 구면좌표계로 정의된 영역 내에서 삼중적분을 하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 다중적분에서 변수변환법(Change of Variables)을 적용하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 

 

일단, 미적분학 - 치환적분에서 보았던 개념을 다시 보도록 하겠습니다. 기본적으로, $y = f(x)$이고 $x = g(u)$로 표현되는 매개변수 함수라고 가정했을 때 함수 $y$를 $x = a$부터 $x = b$까지의 적분을 변수 $u$를 이용해서 표현할 수 있습니다. 

 

$$\int_{a}^{b} f(x) \; dx = \int_{c}^{d} f(g(u))g^{'}(u) \; du$$

 

이때, $c$와 $d$는 각각 $a = g(c)$와 $b = g(d)$를 만족하는 값을 의미합니다. 이와 같은 변환 과정은 극좌표계에서의 이중적분에서도 볼 수 있습니다. 직교좌표계에서 극좌표계로의 변환은 $x = r\cos(\theta)$와 $y = r\sin(\theta)$를 통해서 이루어집니다. 그리고 함수 $z = f(x, y)$를 직교좌표계의 영역 $R$에서 적분한다고 했을 때 영역 $R$을 극좌표계로 변환한 영역 $S$에서 수행될 수 있습니다. 

 

$$\int \int_{R} f(x, y) \; dA = \int \int_{S} f(r\cos(\theta), r\sin(\theta)) r \; drd\theta$$

 

여기서 $R$은 $xy$ 평면에서 정의되고 $S$는 $r \theta$ 평면에서 정의되는 영역입니다. 자, 이제 좀 더 일반적으로 생각해보도록 하죠. 단변수 적분이든 이중적분이든 직교좌표계 $(x, y)$를 어떤 새로운 좌표계 $(u, v)$로 변환하여 적분을 수행하게 됩니다. 이러한 변환을 $T(u, v) = (x, y)$라고 정의하도록 하겠습니다. 즉, 좌표 $(x, y)$는 새로운 좌표 $(u, v)$에 의존하여 변하기 때문에 $x$와 $y$ 모두 $u$와 $v$에 대한 함수로 쓸 수 있습니다. 

 

$$x = g(u, v), y = h(u, v)$$

 

극좌표계에서는 단순히 $g(r, \theta) = r\cos(\theta) = x$이고 $h(r, \theta) = r\sin(\theta) = y$일 뿐이였습니다. 그리고 이러한 변환이 $C^{1}$ 변환($C^{1}$ Transformation)이라고 가정하겠습니다. 이때, $C^{1}$ 변환이란 함수 $g$와 $h$ 모두 연속인 편도함수를 가지고 있음을 의미합니다. 다른 조건으로는 $(x, y) \rightarrow (u, v)$로의 변환이 존재한다면 $(u, v) \rightarrow (x, y)$로의 변환 $T^{-1}$가 존재한다고 가정하겠습니다. 이는 역변환으로 변환함수 $T$가 일대일 대응(one-to-one correspondence)임을 의미합니다. 

 

 

이번에는 이러한 변환이 이중적분을 할 때 어떤 영향을 미치는 지 알아보도록 하겠습니다. 일단, $(u, v) \rightarrow (x, y)$로의 변환 $T$가 존재한다고 가정했을 때 $uv$ 평면에서 아주 작은 직사각형 영역 $S$를 고려해보겠습니다. 이때, 직사각형의 가로는 $\Delta u$이고 세로는 $\Delta v$입니다. 그리고 직사각형의 왼쪽 아래 모서리점은 $(u_{0}, v_{0})$라고 고정하겠습니다. 그러면 변환 $T$에 의한 직교좌표계인 $T(u_{0}, v_{0}) = (x_{0}, y_{0})$에는 새로운 영역이 만들어지게 됩니다. 여기서 $x_{0} = g(u_{0}, v_{0})$이고 $y_{0} = h(u_{0}, v_{0})$를 의미합니다. 이때, 2차원이기 때문에 방향벡터 $\mathbf{r}(u, v)$로 변환을 정의할 수 있습니다. 

 

$$\mathbf{r}(u, v) = g(u, v) \mathbf{i} + h(u, v) \mathbf{j}$$

 

다시 $uv$ 평면의 직사각형으로 돌아와서 점 $(u_{0}, v_{0})$에서 $v = v_{0}$를 따라서 있는 가로선을 변환했을 때 얻을 수 있는 기울기 벡터를 구해보겠습니다. 

 

$$\mathbf{r}_{u}(u_{0}, v_{0}) = g_{u}(u_{0}, v_{0}) \mathbf{i} + h_{u}(u_{0}, v_{0}) \mathbf{j} = \frac{\partial x}{\partial u} \mathbf{i} + \frac{\partial y}{\partial u} \mathbf{j}$$

 

이와 유사하게 점 $(u_{0}, v_{0})$에서 $u = u_{0}$를 따라서 있는 세로선을 변환했을 때 얻을 수 있는 기울기 벡터를 구해보겠습니다. 

 

$$\mathbf{r}_{v}(u_{0}, v_{0}) = g_{v}(u_{0}, v_{0}) \mathbf{i} + h_{v}(u_{0}, v_{0}) \mathbf{j} = \frac{\partial x}{\partial v} \mathbf{i} + \frac{\partial y}{\partial v} \mathbf{j}$$

 

 

여기서 저희는 $uv$ 평면에서 $(u_{0} + \Delta u, v_{0})$를 변환했을 때와 $(u_{0}, v_{0})$를 변환했을 때 얻어지는 점들 사이의 벡터를 $\mathbf{a}$라고 하겠습니다. 그리고 $\mathbf{b}$를 $(u_{0}, v_{0} + \Delta v)$를 변환했을 때와 $(u_{0}, v_{0})$를 변환했을 때 얻어지는 점들 사이의 벡터라고 하죠. 

 

$$\mathbf{a} = \mathbf{r}(u_{0} + \Delta u, v_{0}) - \mathbf{r}(u_{0}, v_{0})$$

$$\mathbf{b} = \mathbf{r}(u_{0}, v_{0} + \Delta v) - \mathbf{r}(u_{0}, v_{0})$$

 

또한 편도함수의 정의에 의해서 저희는 아래와 같이 $\mathbf{r}_{u}$와 $\mathbf{r}_{v}$를 쓸 수  있습니다. 

 

$$\mathbf{r}_{u} = \lim_{\Delta u \rightarrow 0} \frac{\mathbf{r}(u_{0} + \Delta u, v_{0}) - \mathbf{r}(u_{0}, v_{0})}{\Delta u}$$

$$\mathbf{r}_{v} = \lim_{\Delta v \rightarrow 0} \frac{\mathbf{r}(u_{0}, v_{0} + \Delta v) - \mathbf{r}(u_{0}, v_{0})}{\Delta v}$$

 

 

여기서 $\Delta u$와 $\Delta v$가 모두 0에 아주 가까우면 저희는 아래의 수식들을 얻을 수 있습니다. 

 

$$\mathbf{a} = \mathbf{r}(u_{0} + \Delta u, v_{0}) - \mathbf{r}(u_{0}, v_{0}) \approx \Delta u \mathbf{r}_{u}$$

$$\mathbf{b} = \mathbf{r}(u_{0}, v_{0} + \Delta v) - \mathbf{r}(u_{0}, v_{0}) \approx \Delta v \mathbf{r}_{v}$$

 

따라서 직교좌표계로 변환된 영역 $R$의 넓이는 두 벡터의 외적을 통해서 구할 수 있습니다. 

 

$$\left|(\Delta u \mathbf{r}_{u}) \times (\Delta v \mathbf{r}_{v})\right| = \left|\mathbf{r}_{u} \times \mathbf{r}_{v}\right| \Delta u \Delta v$$

 

이제, 마지막으로 $\left|\mathbf{r}_{u} \times \mathbf{r}_{v}\right|$는 외적 공식을 이용해서 구하면 됩니다. 

 

$$\mathbf{r}_{u} \times \mathbf{r}_{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial u} & 0 \\ \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & 0\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \\ \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix} \mathbf{k}$$

 

여기서 $\left|\mathbf{r}_{u} \times \mathbf{r}_{v}\right|$를 변환 $T$의 야코비(Jacobian) 라고 부르게 됩니다. 

 

$$\left|\mathbf{r}_{u} \times \mathbf{r}_{v}\right| = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial u} \\ \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix} = \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u}$$

 

즉, 야코비라는 것은 변환 $T$에 의해 발생하는 두 영역 $R$과 $S$ 사이의 넓이 차이 $\Delta A$를 찾기 위함으로 이를 보정값으로 곱해주는 것 입니다.

 

 

지금까지 저희는 아주 작은 영역 직사각형 영역 $S$에 대해서 수행했기 때문에 이를 더욱 큰 영역으로 확장해보도록 하겠습니다. $uv$ 평면에서 $S_{ij}$가 $(u_{i}, v_{j})$를 왼쪽 아래 모서리 좌표로 가지는 직사각형이라고 가정하겠습니다. 그리고 $R_{ij} = T(S_{ij})$라고 하죠. 이중적분의 정의를 적용하여 아래와 같이 식을 쓸 수 있습니다. 

 

$$\begin{align*} \int \int_{R} f(x, y) \; dA &\approx \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} f(x_{i}, y_{j}) \Delta A \\ &= \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} f(g(u_{i}, v_{j}), h(u_{i}, v_{j})) \left|\frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)}\right| \Delta u \Delta v \\ \approx \int \int_{S} f(g(u, v), h(u, v)) \left|\frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)}\right| \; du dv\end{align*}$$

 

이 과정을 직교좌표계에서 극좌표계로 변환했을 때 이중적분을 보도록 하겠습니다. $x = r\cos(\theta)$이고 $y = r\sin(\theta)$이죠. 그리고 야코비를 계산해줍니다. 

 

$$\begin{align*} \frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} &= \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial u} \\ \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} \\ = \begin{vmatrix} \cos(\theta) & -r\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & r\cos(\theta)\end{vmatrix}  = r\cos^{2}(\theta) + r\sin^{2}(\theta) = r > 0\end{align*}$$

 

따라서, 직교좌표계에서 극좌표계로 변환했을 때 이중적분에서 $r$이 붙게 됩니다. 

 

$$\int \int_{R} f(x, y) \; dx dy = \int \int_{S} f(r\cos(\theta), r\sin(\theta)) r \; dr d\theta$$