미적분학 - 선적분

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 벡터장에서는 2차원과 3차원에서의 벡터함수로 표현되는 벡터장(Vector Field)에 대한 설명을 해보았습니다. 그리고 몇 가지 함수들에 대한 벡터장을 실제로 그려보았죠. 지금까지 저희는 적분을 할 때 고정된 $x$축 또는 $xy$ 평면에 대해서 수행해왔습니다. 좀 더 일반적으로 생각해보았을 때 어떤 임의의 곡선 $C$ 위에서 적분을 수행할 수도 있지 않을까요? 오늘은 선적분(Line integral)에 대해서 알아보도록 하죠. 

 

 

일단, 위 그림과 같이 곡선 $C$가 정의되었다고 가정하겠습니다. 이 곡선은 $a \le t \le b$을 $n$등분하여 $n$개의 등구간을 만든 뒤 각 구간에서 표본점 $t_{i}^{*}$을 선택하여 곡선 $C$ 상의 점 $P_{i}$로 변환하게 됩니다. 더 명확하게 정의하기 위해서 $x$와 $y$를 각각 $t$에 대한 함수라고 하죠. 즉, $x = x(t)$이고 $y = y(t)$입니다. 그리고 이를 벡터방정식 $\mathbf{r}$으로 표현할 수 있죠. 

 

$$\mathbf{r}(t) = x(t) \mathbf{i} + y(t) \mathbf{j}$$

 

여기서 저희는 곡선 $C$가 부드러운 곡선(Smooth Curve)라고 가정하겠습니다. 즉, $\mathbf{r}^{'}(t)$가 연속이고 임의의 $a \le t \le b$에 대해서 $\mathbf{r}^{'}(t) \neq 0$이라는 뜻 입니다. 방금도 말했다싶이 첫번째로 구간 $[a, b]$를 $n$등분 시킵니다. 그러면 $i$번째 구간을 $[t_{i - 1}, t_{i}]$, 그리고 $x_{i} = x(t_{i}), y = y(t_{i})$라고 하죠. 그러면 $t$에 따라 변하는 곡선 $C$ 역시 $n$ 개의 작은 호(subarc)들이 생기게 됩니다. 그리고 각 호의 길이를 $\Delta s_{1}, \Delta s_{2}, \dots, \Delta s_{n}$이라고 하죠. 또한 위 그림에서와 마찬가지로 $i$번째 호에서 임의의 점 $P^{*}(x_{i}^{*}, y_{i}^{*})$를 선택하겠습니다. 이는 곧 $i$번째 등구간 $[t_{i - 1}, t_{i}]$에서 표본점 $t_{i}^{*}$를 선택한 뒤 곡선 위의 점으로 매핑시키는 것과 동일한 작업입니다. 

 

이제부터는 함수 $f$를 이변수 함수이며 곡선 $C$의 정의역을 포함하는 함수라고 가정하겠습니다. 그리고 각각의 작은 호들에 대한 점 $(x_{i}^{*}, y_{i}^{*})$의 함수값 $f(x_{i}^{*}, y_{i}^{*})$를 계산한 뒤 $\Delta s_{i}$를 곱해주면 해당 곡선 위에서의 선적분을 계산할 수 있습니다. 

 

$$\int_{C} f(x, y) \; ds = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i = 1}^{\infty} f(x_{i}^{*}, y_{i}^{*}) \Delta s_{i}$$

 

그리고 저희는 미적분학 - 공간곡선의 길이에서 벡터함수가 주어졌을 때 곡선의 길이를 구하는 법을 배웠죠. 따라서, 위 식은 다시 아래와 같이 쓸 수 있습니다. 

 

$$\int_{C} f(x, y) \; ds = \int_{a}^{b} f(x(t), y(t)) \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}} \; dt$$

 

예제1. 곡선 $C$를 원 $x^{2} + y^{2} = 1$의 위쪽 반원이라고 했을 때 $\int_{C} \left(2 + x^{2}y\right) \; ds$를 계산하라.

STEP1. 곡선 $C$를 그릴 수 있다면 그려서 방향을 나타내기

곡선 $C$가 원의 윗반원이라고 하였으므로 $0 \le t \le \pi$에서 $x = \cos(t)$와 $y = \sin(t)$로 나타낼 수 있다. 

 

STEP2. 곡선 $C$에서 선적분하기

$x = \cos(t)$ 그리고 $y = \sin(t)$라고 하였으므로 아래와 같이 선적분이 가능하다. 

 

$$\begin{align*} \int_{C} (2 + x^{2}y) \; ds &= \int_{0}^{\pi} (2 + \cos^{2}(t)\sin(t)) \sqrt{(-\sin(t))^{2} + (\cos(t))^{2}} \; dt \\ &= \int_{0}^{\pi} (2 + \cos^{2}\sin(t)) \; dt \\ &= \left[2t - \frac{\cos^{3}(t)}{3}\right]_{0}^{\pi} \\ &= (2\pi + \frac{1}{3}) - (0 - \frac{1}{3}) = 2\pi + \frac{2}{3} \end{align*}$$

 

 

이번에는 위와 같이 여러 개의 곡선이 따로 정의되어 있는 경우를 보도록 하겠습니다. 위와 같은 $n$개의 곡선이 서로 연결되어 부드러운 곡선 $C_{1}, C_{2}, \dots, C_{n}$이 주어졌을 때 잘 보시면 $C_{i - 1}$의 끝점은 $C_{i}$의 시작점을 구성하고 있습니다. 이와 같이 부드러운 곡선들이 연결되어있는 경우 조각난 부드러운 곡선(piecewise smooth curve)라고 합니다. 이 곡선에서 선적분을 할려고 하면 어떻게 할 수 있을까요? 방법은 간단합니다. 따로 정의된 각 곡선의 선적분을 계산한 뒤 더하면 됩니다. 

 

$$\int_{C} f(x, y) \; ds = \int_{C_{1}} f(x, y) \; ds + \int_{C_{2}} f(x, y) \; ds + \cdots + \int_{C_{n}} f(x, y) \; ds = \sum_{i = 1}^{n} \int_{C_{i}} f(x, y) \; ds$$

 

예제2. 곡선 $C$를 $(0, 0)$에서 $(1, 1)$의 $y = x^{2}$의 호 $C_{1}$과 $(1, 1)$에서 $(1, 2)$의 수직선의 합집합으로 정의된다고 할 때 $\int_{C} 2x \; ds$를 계산하라.

STEP1. 곡선 $C$를 그릴 수 있다면 그려서 방향을 나타내기

위 경우에는 특별히 매개변수로 표현하지 않아도 되기 때문에 바로 그림으로 방향을 표현할 수 있다. 

 

STEP2. 곡선 $C$에서 선적분하기

$C = C_{1} \cup C_{2}$이기 때문에 $\int_{C} f(x, y) \; ds = \int_{C_{1}} f(x, y) \; ds + \int_{C_{2}} f(x, y) \; ds$로 계산할 수 있다. 따라서, 두 개의 선적분 $\int_{C_{1}} 2x \; ds$와 $\int_{C_{2}} 2x \; ds$를 계산하면 된다. 

 

1). $\int_{C_{1}} 2x \; ds$ 계산하기

 

$$\begin{align*} \int_{C_{1}} 2x \; ds &= \int_{0}^{1} 2x \sqrt{\left(\frac{dx}{dx}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}} \; dx \\ &= \int_{0}^{1} 2x \sqrt{1 + 4x^{2}} \; dx\end{align*}$$

 

이제, $1 + 4x^{2} = u$라고 할 때 $dx = \frac{1}{8x}du$이고 각각 $x = 0, 1$이면 $u = 1, 5$이다. 따라서, 치환적분을 통해 아래와 같이 적분할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{C_{1}} 2x \; ds &= \int_{0}^{1} 2x \sqrt{1 + 4x^{2}} \; dx \\ &= \int_{1}^{5} 2x u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{8x} \; du \\ &= \frac{1}{4} \int_{1}^{5} u^{\frac{1}{2}} \\ &= \frac{1}{4} \left[\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}\right]_{1}^{5} \\ &= \frac{1}{6} (5\sqrt{5} - 1)\end{align*}$$

 

2). $\int_{C_{2}} 2x \; ds$ 계산하기

 

$x = 1$이고 $y = y$라고 하자. 

 

$$\begin{align*} \int_{C_{2}} 2x \; ds &= \int_{1}^{2} 2x \sqrt{\left(\frac{dx}{dy}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dy}\right)^{2}} \; dy \\ &= \int_{1}^{2} 2 \; dy \\ &= 2 \end{align*}$$

 

3). $\int_{C} 2x \; ds$ 계산하기 

 

$$\int_{C} 2x \; ds = \int_{C_{1}} 2x \; ds + \int_{C_{2}} 2x \; ds = \frac{5\sqrt{5} - 1}{6} + 2$$