미적분학 - 공간곡선의 길이

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 벡터함수의 미분과 적분에서는 미적분을 벡터함수에서 어떻게 하는 지에 대해서 알아보았습니다. 결과적으로 벡터함수의 각 성분함수들에 대해서 미분과 적분을 해주면 되는 간단한 일이였습니다. 오늘은 이어서 벡터함수로 표현되는 공간곡선의 길이를 구하는 방법에 대해서 알아보겠습니다. 

 

한편, 미적분학 - 매개변수와 미적분학 2에서 저희는 매개변수로 표현되는 함수의 곡선의 길이를 구하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 예를 들어, 어떤 곡선 $C$가 $(x, y)$로 표현될 때, $a \le t \le b$에서 $x = f(t)$이고 $y = g(t)$라고 하면 곡선의 길이는 아래와 같이 구할 수 있습니다. 

 

$$L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}} \; dt$$

 

즉, 어떤 함수가 매개변수로 표현될 때 곡선의 길이를 구하는 방법은 저희가 이미 알고 있습니다. 이를 벡터함수에도 적용할 수 있을까요? 저희는 일반적으로 벡터함수가 $a \le t \le b$에서 $\mathbf{r}(t) = <f(t), g(t), h(t)>$로 정의된다는 것을 알았습니다. 따라서, 각 성분함수들이 좌표의 매개변수로 표현된다고 하면 쉽게 풀 수 있겠네요. 즉, $x = f(t), y = g(t), z = h(t)$라고 생각하는 것입니다. 그러면 곡선의 길이는 아주 쉽게 구할 수 있죠. 

 

$$L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dz}{dt}\right)} \; dt = \int_{a}^{b} \sqrt{\left[f^{'}(t)\right]^{2} + \left[g^{'}(t)\right]^{2} + \left[h^{'}(t)\right]^{2}} \; dt$$

 

여기서 $\left|mathbf{r}^{'}(t)\right| = \sqrt{\left[f^{'}(t)\right]^{2} + \left[g^{'}(t)\right]^{2} + \left[h^{'}(t)\right]^{2}}$이기 때문에 더 간단하게 만들 수 있습니다. 

 

$$L = \int_{a}^{b} \left|\mathbf{r}^{'}(t)\right| \; dt$$

 

 정리1. 공간곡선의 길이

벡터함수 $\mathbf{r}(t) = <f(t), g(t), h(t)>$가 주어졌을 때, $a \le t \le b$에서 공간곡선의 길이는 $L = \int_{a}^{b} \left|\mathbf{r}^{'}(t)\right| \; dt$이다. 

 

예제1. 점 $(1, 0, 0)$에서 점 $(1, 0, 2\pi)$까지 정의되는 공간곡선 $\mathbf{r}(t) = <\cos(t), \sin(t), t>$의 길이를 구하여라.

먼저, $P(1, 0 ,0)$은 $t = 0$일 때, $Q(1, 0, 2\pi)$는 $t = 2\pi$일 때 얻을 수 있기 때문에 $0 \le t \le 2\pi$에서 곡선의 길이를 구하면 된다. 

 

한편, 정리1에의 주어진 공간곡선의 길이는 아래와 같다. 이때, $\mathbf{r}^{'}(t) = <-\sin(t), \cos(t), 1>$이다. 

 

$$\begin{align*} L &= \int_{0}^{2\pi} |\mathbf{r}^{'}(t)| \; dt \\ &= \int_{0}^{2\pi} \sqrt{\sin^{2}(t) + \cos^{2}(t) + 1} \; dt \\ &= \int_{0}^{2\pi} \sqrt{2} \; dt \\ &= \sqrt{2}\left[t\right]_{0}^{2\pi} = 2\pi\sqrt{2} \end{align*}$$