미적분학 - 벡터함수와 공간곡선

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 3차원 원통과 이차곡면에서는 3차원 공간에서 정의되는 다양한 원통과 이차곡면에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 지금까지 배웠던 벡터에 대한 내용을 함수로 확장해보도록 하겠습니다. 지금까지는 실함수(real-valued function)에 대해서만 다루었지만 오늘은 곡선과 곡면을 기술하는 데 필요한 벡터 함수(vector-valued function)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 

 

 정의1. 벡터함수(vector-valued function, vector function)

벡터함수 $\mathbf{r}$는 정의역(domain)이 실수이고 치역(range)는 벡터의 집합으로 이루어진 함수이다. 예를 들어, 3차원 벡터 공간 $V_{3}$에서 정의된 벡터함수 $\mathbf{r}(t)$은 3개의 성분함수(component function) $f(t), g(t), h(t)$로 구성되어 있으며 여기서 각 성분함수들은 실함수(real-valued function)로 정의된다. 

 

$$\mathbf{r}(t) = <f(t), g(t), h(t)> = f(t)\mathbf{i} + g(t)\mathbf{j} + h(t)\mathbf{k}$$

 

여기서 벡터함수의 정읭역은 성분함수들의 정의역의 교집합에 해당한다. 

 

$$\text{dom}(\mathbf{r}) = \text{dom}(f) \cap \text{dom}(g) \cap \text{dom}(h)$$

 

설명

위의 벡터함수에서 정의만 본다면 조금 어렵게 느껴질 수 있지만 간단한 예제를 통해 보시면 훨씬 쉽게 다가옵니다. 예를 들어, 벡터함수 $\mathbf{r}(t) = <t^{3}, \ln(3 - t), \sqrt{t}>$가 있다고 가정했을 때 벡터함수 $\mathbf{r}$의 성분함수들은 $f(t) = t^{3}, g(t) = \ln(3 - t), h(t) = \sqrt{t}$입니다. 그렇다면 각 성분함수들의 정의역은 어떨까요?  

 

$$\text{dom}(f) = \mathbb{R}$$

$$\text{dom}(g) = \{t \in \mathbb{R} | t < 3\}$$

$$\text{dom}(h) = \{t \in \mathbb{R} | t \ge 0\}$$

 

따라서, 벡터함수 $\mathbf{r}$의 정의역은 아래와 같습니다. 

 

$$\text{dom}(\mathbf{r}) = \mathbb{R} \cap \{t \in \mathbb{R} | t < 3\} \cap \{t \in \mathbb{R} | t \ge 0\} = \{t \in \mathbb{R} | 0 \le t < 3\}$$

 

 정리1. 벡터함수의 극한

벡터함수 $\mathbf{r}(t) = <f(t), g(t), h(t)>$가 주어졌을 때, 벡터함수의 극한은 각 성분함수들의 극한이 존재한다면 아래와 같다. 

 

$$\lim_{t \rightarrow a} \mathbf(r)(t) = <\lim_{t \rightarrow a} f(t), \lim_{t \rightarrow a} g(t), \lim_{t \rightarrow a} h(t)>$$

 

예제1. 벡터함수 $\mathbf{r}(t) = <1 + t^{3}, te^{-t}, \frac{\sin(t)}{t}>$가 주어졌을 때, $\lim_{t \rightarrow 0} \mathbf{r}(t)$를 구하여라.

정리1에 의해서 벡터함수의 극한은 아래와 같다. 

 

$$\begin{align*} \lim_{t \rightarrow 0} \mathbf{r}(t) &= <\lim_{t \rightarrow 0} (1 + t^{3}), \lim_{t \rightarrow 0} te^{-t}, \lim_{t \rightarrow 0} \frac{\sin(t)}{t}> \\ &= <1, 0, 1> \end{align*}$$

 

 정의2. 벡터함수의 연속

벡터함수 $\mathbf{r}$이 $\lim_{t \rightarrow a} \mathbf{r}(t) = \mathbf{r}(a)$를 만족하면 점 $a$에서 $\mathbf{r}$은 연속이다. 이때, 구간 $a \in I$에서 위 조건을 만족하면 벡터함수 $\mathbf{r}$은 구간 $I$에서 연속한다. 

 

 정의3. 공간곡선(space curve)

벡터함수 $\mathbf{r}$의 성분함수들 $f, g, h$가 모두 실구간 $I$에서 연속이라고 하자. 이때, $t \in I$에 대해서 $x = f(t), y = g(t), z = h(t)$를 만족하는 점들의 자취 $C$를 공간곡선이라고 한다.