미적분학 - 3차원 원통과 이차곡면

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 3차원 두 평면이 교차하는 직선에서는 3차원에서 두 평면이 교차할 때 생기는 직선을 구하는 방법과 점과 평면 사이의 최단거리를 구하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 3차원에서 그릴 수 있는 원통과 이차곡면에 대해서 설명드리도록 하겠습니다. 

 

1. 원통(Cylinder, Rulings)

먼저, 포물선 기둥(parabolic cylinder)부터 보도록 하겠습니다. 예를 들어, $z = x^{2}$과 같은 함수가 있습니다. 이 함수를 잘 보시면 $y$에 대한 제한이 존재하지 않습니다. 따라서, $y$ 축을 따라서 쭉 펼쳐져있을 겁니다. 그리고 임의의 $k$에 대해서 $y = k$로 위 식을 잘라보면 $zx$평면에서 포물선 $z = x^{2}$를 얻을 수 있습니다. 즉, 위 방정식은 $zx$ 평면의 포물선이 $y$축으로 쭉 펼쳐진 모양이라고 볼 수 있겠네요.

 

다음으로 원기둥입니다. 예를 들어 $x^{2} + y^{2} = 1$과 같은 함수가 있습니다. 이 함수를 잘 보시면 $z$에 대한 제한이 존재하지 않기 때문에 포물선 기둥과 마찬가지로 $z$축 방향으로 쭉 펼쳐져있을 겁니다. 그리고 임의의 $k$에 대해서 $y = k$로 위 식을 잘라보면 $xy$평면에서 원 $x^{2} + y^{2} = 1$을 얻을 수 있습니다. 즉, 위 방정식은 $xy$ 평면의 원이 $z$축으로 쭉 펼쳐진 원기둥 모양이라고 볼 수 있습니다. 

 

2. 이차곡면(Quadratic Surface)

 정의1. 이차곡면(Quadratic Surface)

이차곡면은 3개의 변수 $x, y, z$의 최대 차수가 2로 표현되는 방정식으로 가장 일반적인 형태는 아래와 같다. 

 

$$Ax^{2} + By^{2} + Cz^{2} + Dxy + Eyz + Fzx + Gx + Hy + Iz + J = 0$$

 

여기서, $A, B, ..., J$는 임의의 상수이다. 이때, 각 계수에 따라서 아래와 같이 다양한 이차곡면을 얻을 수 있다.