미적분학 - 벡터의 외적

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 벡터의 방향각과 사영에서는 벡터의 내적 공식을 통해 방향각과 사영에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 두 벡터를 연산하는 다른 방법인 외적(outer product)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 

 

 정의1. 벡터의 외적(Outer product)

두 벡터 $\mathbf{a} = <a_{1}, a_{2}, a_{3}>$와 $\mathbf{b} = <b_{1}, b_{2}, b_{3}>$가 있다고 하자. 그러면 두 벡터 $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ 사이의 외적은 아래와 같이 계산된다. 

 

$$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = <a_{2}b_{3} - a_{3}b_{2}, a_{3}b_{1} - a_{1}b_{3}, a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1}>$$

 

이때, 외적은 기호 $\times$에 의해 cross product로 불리거나 외적의 결과가 벡터이기 때문에 벡터 곱(vector product)라고도 불린다. 

 

설명

내적과 외적의 가장 큰 차이점은 연산 결과가 각각 스칼라와 벡터인 것입니다. 그리고 외적 공식이 흘깃 봤을 때는 복잡해 보일 수 있습니다. 하지만, 앞으로 제가 소개해드릴 방법을 활용하면 쉽게 계산할 수 있습니다. 이를 위해서 먼저 행렬식(Determinant)에 대해서 알아보아야합니다. 행렬식이란 임의의 행렬로부터 얻어지는 결과로서 역행렬 존재의 유무를 판별하는 역할을 합니다. 오늘은 이 행렬식을 이용해서 외적을 쉽게 계산할 수 있습니다. 일단, 2차 정사각행렬 $A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$을 고려해보겠습니다.

 

$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \Rightarrow \text{det}(A) = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc $$

 

간단한 예시로 $\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -6 & 4 \end{vmatrix} = 2 \cdot 4 - 1 \cdot (-6) = 8 + 6 = 14$입니다. 이번에는 3차 정사각행렬 $A \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$을 생각해보도록 하겠습니다. 

 

$$A = \begin{bmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{bmatrix}$$

 

생각보다 복잡해보입니다. 하지만, 저희가 알고 있는 정보는 2차 정사각행렬의 행렬식을 구하는 방법밖에 모르기 때문에 이를 활용해서 계산할 수 밖에 없죠. 이에 대한 자세한 설명은 나중에 선형대수학을 포스팅할 때 말씀드리도록 하겠습니다. 

 

$$\text{det}(A) = \begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{vmatrix} = a_{1} \begin{vmatrix} b_{2} & b_{3} \\ c_{2} & c_{3}\end{vmatrix} - a_{2}\begin{vmatrix} b_{1} & b_{3} \\ c_{1} & c_{3} \end{vmatrix} + a_{3}\begin{vmatrix} b_{1} & b_{2} \\ c_{1} & c_{2} \end{vmatrix}$$

 

저희는 3차 정사각행렬의 행렬식을 구하는 방법만 알면 이제 외적을 쉽게 계산할 수 있습니다. 일단, $a_{1} = \mathbf{i}, a_{2} = \mathbf{j}, a_{3} = \mathbf{k}$라고 두겠습니다. 즉, 첫번째 행의 각 요소를 단위벡터로 쓴것입니다. 다음으로 두번째 열에는 첫번째 벡터의 성분을 나열하고, 세번째 열에는 두번째 벡터의 성분을 나열하면 됩니다. 그러면 아래와 같이 쓸 수 있겠죠?

 

$$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{vmatrix} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3}\end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{vmatrix}$$

 

그리고 바로 직전에 보았던 2차 정사각행렬의 행렬식을 구하는 것을 적용하면 동일한 결과를 얻을 수 있다는 것을 볼 수 있습니다. 

 

예제1. 두 벡터 $\mathbf{a} = <1, 3, 4>$와 $\mathbf{b} = <2, 7, -5>$ 사이의 외적을 구하여라.

$$\begin{align*} \mathbf{a} \times \mathbf{b} &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 3 & 4 \\ 2 & 7 & -5 \end{vmatrix} \\ &= \mathbf{i} \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 7 & -5 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & -5 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 7 \end{vmatrix} \\ &= (-15 - 28)\mathbf{i} - (-5 - 8)\mathbf{j} + (7 - 6)\mathbf{k} \\ &= -43\mathbf{i} + 13\mathbf{j} + \mathbf{k} \\ &= <-43, 13, 1>\end{align*}$$

 

 정리1. 

벡터 $\mathbf{a} = <a_{1}, a_{2}, a_{3}>$가 주어졌을 때, $\mathbf{a} \times \mathbf{a} = \mathbf{0}$이다.

 

증명

$$\begin{align*} \mathbf{a} \times \mathbf{a} &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \end{vmatrix} \\ &= \mathbf{i} \begin{vmatrix} a_{2} & a_{3} \\ a_{2} & a_{3}\end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} a_{1} & a_{3} \\ a_{1} & a_{3} \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} \\ a_{1} & a_{2} \end{vmatrix} \\ &= (a_{2}a_{3} - a_{3}a_{2}) \mathbf{i} - (a_{1}a_{3} - a_{3}a_{1})\mathbf{j} + (a_{1}a_{2} - a_{2}a_{1})\mathbf{k} \\ &= 0 \cdot \mathbf{i} - 0 \cdot \mathbf{j} + 0 \cdot \mathbf{k} \\ &= \mathbf{0} \end{align*}$$

 

 정리2. 

외적 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$는 두 벡터 $\mathbf{a}$와 $\mathbf{b}$와 모두 직교한다.

 

 정리3. 

$\theta$를 두 벡터 $\mathbf{a}$와 $\mathbf{b}$가 서로 이루는 각도라고 할 때, $\left|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\right| = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin(\theta)$이다. 

 

 따름정리3-1.

두 벡터 $\mathbf{a}$와 $\mathbf{b}$가 서로 평행하면 $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{0}$이다. 

 

위 정리들 말고도 외적과 관련된 다양한 성질들이 있으니 꼭 참고바랍니다.