미적분학 - 벡터의 내적

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 벡터의 성분에서는 벡터를 좌표평면 상에 표현하는 방법과 그에 따른 성질에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 벡터하면 빼놓을 수 없는 중요한 연산인 내적(inner product)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 

 

 정의1. 내적(inner product, dot product, scalar product)

두 벡터 $\mathbf{a} = <a_{1}, a_{2}, a_{3}>$와 $\mathbf{b} = <b_{1}, b_{2}, b_{3}>$가 주어졌다고 하자. 이때, 두 벡터 $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ 사이의 내적은 아래와 같이 정의된다. 

 

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}$$

 

만약, 두 벡터가 2차원 상의 벡터라면 아래와 같다. 

 

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2}$$

 

 정리1. 내적의 성질

세 벡터 $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$와 임의의 스칼라 $c$가 있다고 하자. 

 

1. $\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = \left|\mathbf{a}\right|^{2}$

2. 교환법칙(commutative law) : $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$

3. 분배법칙(distributive law) : $\mathbf{a} \cdot \left(\mathbf{b} + \mathbf{c}\right) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$

4. $\left(c\mathbf{a}\right) \cdot \mathbf{b} = c(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) = a \cdot (c\mathbf{b})$

5. $\mathbf{0} \cdot \mathbf{a} = \mathbf{0}$

 

 정리2. 두 벡터 사이의 내적 계산법

두 벡터 $\mathbf{a}$와 $\mathbf{b}$가 있고 두 벡터가 이루는 각도를 $\theta$라고 하자. 그러면 두 벡터의 내적을 아래와 같이 구할 수 있다. 

 

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \left|\mathbf{a}\right|\left|\mathbf{b}\right|\cos(\theta)$$

 

증명

 

위와 같은 그림을 고려한다. 이때, 코사인 삼각법에 의해서 아래와 같은 등식을 얻을 수 있다. 

 

$$\left|AB\right|^{2} = \left|OA\right|^{2} + \left|OB\right|^{2} - 2\left|OA\right|\left|OB\right|\cos(\theta)$$

 

여기서, $\left|OA\right| = \left|\mathbf{a}\right|, \left|OB\right| = \left|\mathbf{b}\right|, \left|AB\right| = \left|\mathbf{a} - \mathbf{b}\right|$임을 상기한다. 따라서, 위의 등식을 아래와 같이 쓸 수 있다. 

 

$$\left|\mathbf{a} - \mathbf{b}\right|^{2} = \left|\mathbf{a}\right|^{2} + \left|\mathbf{b}\right|^{2} - 2\left|\mathbf{a}\right|\left|\mathbf{b}\right|\cos(\theta)$$

 

이때, 정리1의 법칙들을 사용하여 좌항을 아래와 같이 정리가능하다. 

 

$$\begin{align*} \left|\mathbf{a} - \mathbf{b}\right|^{2} &= \left(\mathbf{a} - \mathbf{b}\right) \cdot \left(\mathbf{a} - \mathbf{b}\right) \\ &= \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} - 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} \\ &= \left|\mathbf{a}\right|^{2} + \left|\mathbf{b}\right|^{2} - 2\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \end{align*}$$

 

따라서, 기존의 식을 다시 정리할 수 있다.

 

$$\begin{align*} &\left|\mathbf{a} - \mathbf{b}\right|^{2} = \left|\mathbf{a}\right|^{2} + \left|\mathbf{b}\right|^{2} - 2\left|\mathbf{a}\right|\left|\mathbf{b}\right|\cos(\theta) \\ \Rightarrow& \left|\mathbf{a}\right|^{2} + \left|\mathbf{b}\right|^{2} - 2\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \left|\mathbf{a}\right|^{2} + \left|\mathbf{b}\right|^{2} - 2\left|\mathbf{a}\right|\left|\mathbf{b}\right|\cos(\theta) \\ \Rightarrow& \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \left|\mathbf{a}\right|\left|\mathbf{b}\right|\cos(\theta)\end{align*}$$

 

 따름정리2-1. 두 벡터 사이의 각도

두 벡터 $\mathbf{a}$와 $\mathbf{b}$가 있고 두 벡터가 이루는 각도를 $\theta$라고 하자.

 

$$\cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\left|\mathbf{a}\right| \left|\mathbf{b}\right|}$$

 

 정의2. 직교성(Orthogonality)

두 벡터 $\mathbf{a}$와 $\mathbf{b}$가 $\theta = 0$이라면 두 벡터는 서로 직교(Orthogonal)한다.