미적분학 - 벡터함수의 미분과 적분

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 벡터함수와 공간곡선에서는 벡터함수와 공간곡선의 정의와 함께 벡터함수의 극한을 구하는 방법과 연속의 정의에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 벡터함수가 주어졌을 때 미적분을 적용하는 방법에 대해서 알아보겠습니다. 

 

 정의1. 벡터함수의 도함수(Derivative of vector function)

벡터함수 $\mathbf{r}$의 도함수 $\mathbf{r}^{'}$은 아래의 극한이 존재한다면 실함수와 동일하게 정의된다. 

 

$$\frac{d\mathbf{r}}{dt} = \mathbf{r}^{'}(t) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\mathbf{r}(t + h) - \mathbf{r}(t)}{h}$$

 

설명

기본적으로 함수의 미분은 함수의 두 점을 통해 얻을 수 있는 기울기에서 시작합니다. 이에 대한 자세한 아이디어는 미적분학 - 미분 개요를 참고해주시길 바랍니다. 벡터함수도 마찬가지입니다. 따라서, 어떤 시간 $t$와 임의의 양수 $h$를 더한 시간 $t + h$에서의 함수값 사이의 기울기를 구해야하겠죠. 따라서, 위 그림과 같이 $\mathbf{r}(t + h)$와 $\mathbf{r}(t)$를 고려해줍니다. 여기서 미적분학 - 벡터에서 보았던 벡터의 뺄셈을 통해 $\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = \mathbf{r}(t + h) - \mathbf{r}(t)$임을 알 수 있죠. 따라서, 시간 $t$에서의 벡터함수의 기울기는 $\frac{\mathbf{r}(t + h) - \mathbf{r}(t)}{h}$가 됩니다. 그리고 $h$를 0으로 접근시킴으로써 저희가 원하는 시간 $t$에서의 미분을 얻을 수 있습니다. 

 

정의1에서 보았듯이 $h \rightarrow 0$을 취해주면 벡터함수 $\mathbf{r}$의 도함수 $\mathbf{r}^{'}$를 얻을 수 있습니다. 이때, 도함수 $\mathbf{r}^{'}$ 역시 벡터이기 때문에 단위 기울기 벡터인 $T(t) = \frac{\mathbf{r}^{'}(t)}{\left|\mathbf{r}^{'}(t)\right|}$를 사용하기도 합니다. 

 

 정리1.

벡터함수 $\mathbf{r}(t) = <f(t), g(t), h(t)>$가 주어지고 각 성분함수 $f, g, h$ 모두 미분가능하다고 할 때, 벡터함수의 도함수 $\mathbf{r}^{'}(t) = <f^{'}(t), g^{'}(t), h^{'}(t)>$이다. 

 

증명

$$\begin{align*} \mathbf{r}^{'}(t) &= \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\mathbf{r}(t + \Delta t) - \mathbf{r}(t)}{\Delta t} \\ &= \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta t}\left(<f(t + \Delta t), g(t + \Delta t), h(t + \Delta t)> - <f(t), g(t), h(t)> \right) \\ &= \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \left<\frac{f(t + \Delta t) - f(t)}{\Delta t}, \frac{g(t + \Delta t) - g(t)}{\Delta t}, \frac{h(t + \Delta t) - h(t)}{\Delta t}\right> \\ &= \left<\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{f(t + \Delta t) - f(t)}{\Delta t}. \lim_{\Delta t} \frac{g(t + \Delta t) - g(t)}{\Delta t}, \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{h(t + \Delta t) - h(t)}{\Delta t}\right> \\ &= <f^{'}(t), g^{'}(t), h^{'}(t) >\end{align*}$$ 

 

예제1. 벡터함수 $\mathbf{r}(t) = <1 + t^{3}, te^{-t}, \sin(2t)>$의 도함수 $\mathbf{r}^{'}$을 구하여라.

정리1에 의해 $\mathbf{r}^{'}(t) = <3t^{2}, e^{-t} - te^{-t}. 2\cos(2t)>$이다. 

 

벡터함수 역시 실함수와 마찬가지로 동일한 미분규칙을 보유하고 있으니 아래의 표를 확인해보시길 바랍니다. 

 

 정리2. 벡터함수의 적분

벡터함수 $\mathbf{r}(t) = <f(t), g(t), h(t)>$가 주어지고 각 성분함수 $f, g, h$ 모두 적분가능하다고 할 때, 벡터함수의 적분은 벡터함수의 각 성분요소의 적분을 한 것과 같다. 

 

$$\int_{a}^{b} \mathbf{r}(t) \; dt = \left<\int_{a}^{b} f(t) \; dt, \int_{a}^{b} g(t) \; dt, \int_{a}^{b} h(t) \; dt\right>$$