미적분학 - 그린 정리

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 선적분과 미적분학 기본정리에서는 선적분과 관련된 다양한 정리들에 대해서 알아보았습니다. 이 정리들은 오늘 알아볼 그린 정리(Green's Theorem)의 기본이 되기 때문에 숙지하셔야하는 정리들입니다. 오늘은 그린 정리를 알아보고 간단한 케이스에서의 그린 정리를 증명해보도록 하겠습니다. 

 

 정리1. 그린 정리(Green's Theorem)

양의 방향을 가지는 곡선 $C$가 조각별로 부드럽고 단순하게 닫혀있는 곡선이라고 하고 $D$를 곡선 $C$에 의해 제한되는 영역이라고 할 때 영역 $D$를 포함하는 열린 영역에서 $P$와 $Q$가 연속 편도함수를 가진다고 가정하면 아래의 식이 성립한다. 

 

$$\int_{C} P dx + Q dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial x}\right) \; dA$$

 

설명

어떤 곡선이 주어지고 방향성이 존재한다고 가정하면 곡선은 시계방향/반시계방향의 방향성을 가지게 됩니다. 저희는 이를 각각 음의 방향, 양의 방향이라고 말을 하도록 하죠. 위 그림에서는 왼쪽 곡선이 양의 방향을 가지는 곡선이고 오른쪽 곡선이 음의 방향을 가지는 곡선입니다. 추가적으로 가끔 아래의 기호를 만나게 될 수도 있습니다. 

 

$$\oint_{C} P \; dx + Q \; dy$$

 

위 기호는 곡선 $C$에서의 선적분을 명시하기 위한 표기로 강조하는 기호라고 생각하시면 됩니다. 따라서, 저희는 그린 정리를 선적분 기호를 도입해서 아래와 같이 쓸 수 있겠죠. 

 

$$\iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial x}\right) \; dA = \oint_{\partial D} P dx + Q dy \tag{1}$$

 

이때, $\partial D$는 영역 $D$의 경계를 의미합니다. 즉, 곡선 $C$와 동일하기 때문에 달라지는 것은 없습니다. 그린 정리는 미적분학 - 미적분학 기본정리의 두번째 수식과 매우 유사한 점이 많습니다. 

 

$$\int_{a}^{b} F^{'}(x) \; dx = F(b) - F(a)$$

일단, 그린 정리와 위 수식의 왼쪽식을 보도록 하겠습니다. 두 정리 모두 도함수를 적분하는 형태이죠. 그린 정리는 $\frac{\partial Q}{\partial y} - \frac{\partial P}{\partial x}$를 적분하고 미적분학 기본정리는 $F^{'}$를 적분하고 있습니다. 그리고 오른쪽식은 모두 기존 함수들의 경계면에 대한 식을 계산하게 됩니다. 미적분학 기본정리에서는 1차원에서 적분을 수행하기 때문에 구간 $[a, b]$의 경계는 $\{a, b\}$이죠. 따라서, 두 식 모두 경계면에서의 계산을 포함하게 됩니다. 이와 같이 그린 정리는 1차원적인 미적분학 기본정리를 2차원으로 확장하는 정리라고 생각하시면 편할 거 같습니다. 

 

그린 정리는 일반화된 영역에 대한 증명은 많이 어렵습니다. 따라서, 특별한 케이스에서의 그린 정리를 증명해보도록 하죠. 저희는 특별히 영역 $D$를 단순 영역(simple region)이라고 가정하겠습니다. 그리고 목표는 식 (1)을 증명하는 것이죠. 그런데 단순하게 생각했을 때 왼쪽식과 오른쪽식에서 $P$에 관련된 식과 $Q$와 관련된 식을 각각 성립하는 것을 증명하면 쉽게 풀릴거 같습니다. 

 

$$\int_{C} P \; dx = -\iint_{D} \frac{\partial P}{\partial y} \; dA \tag{2}$$

$$\int_{C} Q \; dy = \iint_{D} \frac{\partial Q}{\partial x} \; dA \tag{3}$$

 

두 수식 (2)와 (3)이 매우 유사한 것을 볼 수 있죠. 따라서, 하나의 수식을 증명하면 다른 수식 역시 유사한 논리를 이용해서 쉽게 증명할 수 있습니다. 저희는 수식 (2)를 증명해보도록 하겠습니다. 단순 영역 $D$에서 정의된다고 가정하겠습니다. 

$$D = \{(x, y) | a \le x \le b, g_{1}(x) \le y \le g_{2}(x) \}$$

 

여기서 $g_{1}$과 $g_{2}$는 연속함수입니다. 따라서 저희는 영역 $D$에서 아래와 같이 이중적분을 계산할 수 있습니다. 

 

$$\int_{D} \frac{\partial P}{\partial y} \; dA = \int_{a}^{b} \int_{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)} \frac{\partial P}{\partial y} \frac{\partial P}{\partial y} (x, y) \; dydx = \int_{a}^{b} \left[P(x, g_{2}(x)) - P(x, g_{1}(x))\right] \; dx \tag{4}$$

 

수식 (4)에서 마지막 수식으로 변환할 때 저는 미적분학 기본정리 Part2를 적용하였습니다. 어차피 단변수 적분이였기 때문에 쉽게 적용을 할 수 있죠. 다음으로 선적분을 해주어야겠죠. 저희는 미적분학 - 선적분에서 보았던 조각난 곡선들의 선적분은 각 곡선의 선적분의 합으로 계산할 수 있음을 활용하도록 하겠습니다. 

 

$$\int_{C} P \; dx = \int_{C_{1}} P \; dx + \int_{C_{2}} P \; dx + \int_{C_{3}} \; P \; dx + \int_{C_{4}} P \; dx \tag{5}$$

 

일단, 수식 (5)에서 곡선 $C_{2}$와 $C_{4}$에서의 선적분을 계산해보도록 하겠습니다. 위 곡선들에서의 선적분은 $x$ 방향에서 어떠한 변화도 없이 $y$ 축에 대한 변화만 존재하기 때문에 $dx = 0$이고 이는 $\int_{C_{2}} P \; dx = \int_{C_{4}} P \; dx = 0$입니다. 

 

$$\begin{align*} \int_{C} P \; dx &= \int_{C_{1}} P \; dx + \int_{C_{2}} P \; dx + \int_{C_{3}} \; P \; dx + \int_{C_{4}} P \; dx \\ &= \int_{C_{1}} P \; dx + \int_{C_{3}} P \; dx \end{align*} \tag{6}$$

 

이제 남은 것은 곡선 $C_{1}$와 $C_{3}$에서의 선적분을 계산하는 것 입니다. 먼저, 곡선 $C_{1}$ 상에서의 선적분부터 계산해보도록 하죠. 저희는 곡선 $C_{1}$을 $a \le x \le b$에 대해서 $x = x$ 그리고 $y = g_{1}(x)$라고 둠으로써 매개변수 곡선으로 만들 수 있습니다. 따라서, 곡선 $C_{1}$ 상에서의 선적분은 아래와 같이 계산할 수 있죠. 

 

$$\int_{C_{1}} P(x, y) \; dx = \int_{a}^{b} P(x, g_{1}(x)) \; dx$$

 

다음으로 곡선 $C_{3}$ 상에서의 선적분을 계산해보도록 하죠. 일단, 곡선 $C_{1}$과 $C_{2}$의 방향이 반대이기 때문에 두 곡선의 방향을 맞춰주기 위해서 $-C_{3}$ 상에서의 적분을 계산해도록 하겠습니다. 그러면 곡선 $-C_{3}$를 $a \le x \le b$에 대해서 $x = x$ 그리고 $y = g_{2}(x)$라고 둠으로써 매개변수 곡선으로 만들 수 있습니다. 따라서, 곡선 $-C_{3}$ 상에서의 선적분은 아래와 같이 계산할 수 있죠. 

 

$$\int_{C_{3}} P(x, y) \; dx = -\int_{-C_{3}} P(x, y) \; dx = -\int_{a}^{b} P(x, g_{2}(x)) \; dx$$

 

이제 모든 결과를 수식 (6)에 대입해서 계산해보겠습니다. 

 

$$\begin{align*} \int_{C} P \; dx &= \int_{C_{1}} P \; dx + \int_{C_{2}} P \; dx + \int_{C_{3}} \; P \; dx + \int_{C_{4}} P \; dx \\ &= \int_{C_{1}} P \; dx + \int_{C_{3}} P \; dx \\ &= \int_{a}^{b} P(x, g_{1}(x)) \; dx - \int_{a}^{b} P(x, g_{2}(x)) \; dx \\ &= \int_{a}^{b} \left[P(x, g_{1}(x)) - P(x, g_{2}(x))\right] \; dx \end{align*} \tag{7} $$

 

결과를 보시면 두 수식 (4)와 (7)이 동일하기 때문에 아래와 같이 쓸 수 있죠. 

 

$$\int_{D} \frac{\partial P}{\partial y} \; dA = \int_{a}^{b} \left[P(x, g_{2}(x)) - P(x, g_{1}(x))\right] \; dx = \int_{C} P \; dx $$

 

따라서, 수식 (2)가 증명됩니다. 이와 유사한 논리를 이용해서 수식 (3) 역시 증명할 수 있습니다. 그러면 두 수식을 더하면 수식 (1) 역시 증명되기 때문에 단순 영역 $D$에서의 그린 정리는 증명됩니다. 보다 일반화된 증명은 이후에 시간이 되면 추가적으로 포스트 하도록 하겠습니다. 

 

예제1. 곡선 $C$가 3개의 직선 $C_{1} : (0, 0) \rightarrow (1, 0)$, $C_{2} : (1, 0) \rightarrow (0, 1)$ 그리고 $C_{3} : (0, 1) \rightarrow (0, 0)$으로 이루어졌다고 할 때 $\int_{C} x^{4} \; dx + xy \; dy$를 계산하라.

STEP1. 곡선 $C$와 이로 만들어지는 영역 $D$를 그림으로 그린다. 

 

STEP2. 그린 정리를 적용해 적분을 계산한다. 

$P(x, y) = x^{4}$ 그릭고 $Q(x, y) = xy$라고 할 때 두 함수 $P$와 $Q$ 모두 영역 $D$에서 연속함수이다. 따라서, 그린 정리를 적용하면 선적분을 아래와 같이 단순한 이중적분으로 변환할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \int_{C} x^{4} \; dx + xy \; dy &= \iint_{D} \left(\frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x}\right) \\ &= \int_{0}^{1} \int_{0}^{1 - x} (y - 0) \; dydx \\ &= \int_{0}^{1} \left[\frac{1}{2}y^{2}\right]_{0}^{1 - x} \; dx \\ &= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (1 - x)^{2} \; dx \\ &= -\frac{1}{6} \left[(1 - x)^{3}\right]_{0}^{1} \\ &= \frac{1}{6}\end{align*}$$