안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 그린 정리에서는 이변수 함수에서의 미적분학 기본정리(Fundamental Theorem of Calculus; FTC)인 그린 정리(Green's Theorem)에 대해서 알아보았습니다. 그린 정리의 핵심은 어려운 선적분을 곡선이 정의된 영역에서의 단순한 이중적분으로 변환하여 계산하는 것이였습니다. 오늘은 벡터장에서 중요한 개념인 회전(curl)과 발산(divergence)에 대해서 알아보도록 하겠습니다.
정의1. 회전(curl)
3차원 실수공간 $\mathbb{R}^{3}$에서 정의된 벡터함수 $\mathbf{F} = P \mathbf{i} + Q \mathbf{j} + R \mathbf{k}$와 $P, Q$ 그리고 $R$의 편도함수가 모두 존재할 때 벡터함수 $\mathbf{F}$의 회전은 3차원 실수공간 $\mathbb{R}^{3}$에서 아래와 같이 정의된다.
$$\text{curl} \mathbf{F} = \left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial P} {\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathbf{k} \tag{1}$$
설명
저희는 위 회전이라는 개념을 새로운 연산자인 미분연산자(Differential Operator) $\nabla$를 이용해서 표현할 수 있습니다.
$$\nabla = \mathbf{i} \frac{\partial }{\partial x} + \mathbf{j} \frac{\partial }{\partial y} + \mathbf{k} \frac{\partial }{\partial z} \tag{2}$$
이제 간단하게 예시로 함수의 기울기벡터를 미분연산자를 이용해서 표현하면 아래와 같이 쓸 수 있습니다. 즉, 함수 $f$와 미분연산자 $\nabla$ 사이의 내적을 계산하면 됩니다.
$$\nabla f = \mathbf{i} \frac{\partial f}{\partial x} + \mathbf{j} \frac{\partial f}{\partial y} + \mathbf{k} \frac{\partial f}{\partial z} = \frac{\partial f}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \mathbf{k}$$
그렇다면 회전은 미분연산자를 이용해서 어떻게 표현할 수 있을까요? 답은 외적입니다. 미적분학 - 벡터의 외적에서 두 벡터의 외적을 계산하는 방법에 대해서 설명하였습니다. 이 부분에 대한 자세한 설명은 생략하고 바로 계산해보도록 하죠.
$$\begin{align*} \nabla \times \mathbf{F} &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} \\ &= \left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial z}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathbf{k} \\ &= \text{curl} \mathbf{F} \end{align*}$$
예제1. 벡터함수 $\mathbf{F} = <xz, xyz, -y^{2}>$이 주어졌을 때 벡터함수 $\mathbf{F}$의 회전 $\text{curl} \mathbf{F}$를 구하여라.
$$\begin{align*} \text{curl} \mathbf{F} &= \nabla \times \mathbf{F} \\ &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ xz & xyz & -y^{2} \end{vmatrix} \\ &= \left(\frac{\partial (-y^{2})}{\partial y} - \frac{\partial xyz}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial xz}{\partial z} - \frac{\partial (-y^{2})}{\partial z}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial xyz}{\partial x} - \frac{\partial xz}{\partial y}\right) \mathbf{k} \\ &= (-2y-xy) \mathbf{i} + x \mathbf{j} + yz \mathbf{k} \\ &= <-y(x + 2), x, yz>\end{align*}$$
정리1.
함수 $f$가 3차원 실수공간 $\mathbb{R}^{3}$에서 정의된 연속인 이계도 편도함수를 가지는 삼차원 벡터함수라고 할 때, $\text{curl} \left( \nabla f \right) = \mathbf{0}$이다.
설명
정리1의 증명은 간단합니다. 저희는 미분연산자 $\nabla$의 정의와 회전 $\text{curl}$의 정의를 잘 활용하면 위 정리를 쉽게 증명할 수 있죠.
$$\begin{align*} \text{curl} \left( \nabla f \right) &= \nabla \times \left( \nabla f \right) \\ &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} & \frac{\partial f}{\partial z} \end{vmatrix} \\ &= \left(\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial z} - \frac{\partial^{2} f}{\partial z \partial y}\right) \mathbf{i} + \left( \frac{\partial^{2} f}{\partial z \partial x} - \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial z} \right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} \right) \mathbf{k} \\ &= 0 \mathbf{i} + 0 \mathbf{j} + 0 \mathbf{k} = \mathbf{0} \end{align*}$$
마지막에는 미적분학 - 편미분의 정리1(클레로 정리; Clairaut’s Theorem)로 인해서 이계 편도함수의 미분순서가 뒤집혀도 동일하다는 사실을 이용하면 얻을 수 있습니다.
여기서 저희는 미적분학 - 선적분과 미적분학 기본정리에서 보았던 정리3에서 만약 벡터함수 $\mathbf{F}$가 보존장(conservative vector field)이면 $\mathbf{F} = \nabla f$로 표현할 수 있음을 상기할 수 있습니다. 따라서 정리1은 아래와 같이 다실 쓸 수 있습니다.
따름정리1.
벡터장 $\mathbf{F}$가 보존장이면 $\text{curl } \mathbf{F} = 0$이다.
설명
일반적으로 따름정리1의 역은 항상 참이 아니지만 앞으로 소개해드릴 정리는 벡터장 $\mathbf{F}$가 단순연결된 영역 $D$에서 정의되었다면 참임을 알려줍니다.
정리2.
3차원 실수공간 $\mathbb{R}^{3}$에서 정의된 벡터장 $\mathbf{F}$의 각 성분함수가 연속 일계도함수를 가지고 $\text{curl } \mathbf{F} = \mathbf{0}$일 때 벡터장 $\mathbf{F}$는 보존장이다.
예제2. 3차원 실수공간 $\mathbb{R}^{3}$에서 정의된 벡터장 $\mathbf{F}(x, y, z) = y^{2}z^{3} \mathbf{i} + 2xyz^{3} \mathbf{j} + 3xy^{2}z^{2} \mathbf{k}$이 보존장임을 증명하고 $\mathbf{F} = \nabla f$를 만족하는 $f$를 찾아라.
STEP1. 벡터장 $\mathbf{F}$가 보존장임을 증명하기
먼저, 벡터장 $\mathbf{F}$가 단순연결 공간인 3차원 실수공간에서 정의되었으며 각 성분함수가 다항식으로 이루어져있기 때문에 모두 연속인 일계 도함수를 가진다. 다음으로 $\text{curl } \mathbf{F}$를 계산한다.
$$\begin{align*} \text{curl } \mathbf{F} &= \nabla \times \mathbf{F} \\ &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ y^{2}z^{3} & 2xyz \end{vmatrix} \\ &= (6xyz^{2} - 6xyz^{2}) \mathbf{i} + (3y^{2}z^{2} - 3y^{2}z^{2}) \mathbf{j} + (2yz^{3} - 2yz^{3}) \mathbf{k} \\ &= \mathbf{0} \end{align*}$$
$\mathbf{F}$의 정의역이 3차원 실수공간 $\mathbf{R}^{3}$이고 $\text{curl } \mathbf{F} = \mathbf{0}$이기 때문에 정리2에 의해 벡터장 $\mathbf{F}$는 보존장이다.
STEP2. $\mathbf{F} = \nabla f$를 만족하는 $f$를 찾기
벡터장 $\mathbf{F}$가 보존장이기 때문에 $\mathbf{F} = \nabla f$이 성립한다. 따라서 아래의 수식을 얻을 수 있다.
$$\begin{cases} f_{x}(x, y, z) &= y^{2}z^{3} \\ f_{y}(x, y, z) &= 2xyz^{3} \\ f_{z}(x, y, z) &= 3y^{2}z^{2} \end{cases}$$
$x$에 대한 일계 편도함수 $f_{x}$를 $x$에 대해서 편적분한다.
$$f(x, y, z) = xy^{2}z^{3} + g(y, z) \tag{3}$$
다음으로 수식 (3)을 $y$에 대해서 편미분한다.
$$f_{y}(x, y, z) = 2xyz^{3} + g_{y}(y, z) = 2xyz^{3} \Rightarrow g_{y}(y, z) = 0$$
$g(y, z)$를 $y$에 대한 편도함수가 0이기 때문에 $z$에 대한 함수라고 할 수 있으므로 $g(y, z) = h(z)$라고 표현할 수 있다. 이제 수식 (3)을 $z$에 대한 편도함수를 계산한다.
$$f_{z}(x, y, z) = 3xy^{2}z^{2} + h^{'}(z) = 3xy^{2}z^{2} \Rightarrow h^{'}(z) = 0$$
$h(z)$를 도함수가 0이기 때문에 임의의 실수 $k$에 대한 $h(z) = k$인 상수함수라고 할 수 있다.
$$f(x, y, z) = xy^{2}z^{3} + k$$
정의2. 발산(divergence)
3차원 실수공간 $\mathbb{R}^{3}$에서 정의된 벡터함수 $\mathbf{F} = P \mathbf{i} + Q \mathbf{j} + R \mathbf{k}$와 $P, Q$ 그리고 $R$의 편도함수가 모두 존재할 때 벡터함수 $\mathbf{F}$의 발산은 3차원 실수공간 $\mathbb{R}^{3}$에서 아래와 같이 정의된다.
$$\text{div } \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$$
설명
정의1에서 사용했던 미분연산자 $\nabla$를 이용해서 발산을 내적으로 표현할 수 있습니다.
$$\nabla \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = \text{div } \mathbf{F} $$
예제3. 벡터함수 $\mathbf{F}(x, y, z) = <xz, xyz, -y^{2}>$이 주어졌을 때, 벡터함수 $\mathbf{F}$의 발산 $\text{div } \mathbf{F}$를 구하여라.
$$\begin{align*} \text{div } \mathbf{F} &= \nabla \mathbf{F} \\ &= \frac{\partial}{\partial x} (xz) + \frac{\partial}{\partial y} (xyz) + \frac{\partial}{\parital z} (-y^{2}) \\ &= z + xz + 0 = z(x + 1)\end{align*}$$
정리3.
함수 $f$가 3차원 실수공간 $\mathbb{R}^{3}$에서 정의된 연속인 이계도 편도함수를 가지는 삼차원 벡터함수라고 할 때 $\text{div } \text{curl } \mathbf{F} = \mathbf{0}$이다.
설명
정리3의 증명은 정리1과 마찬가지로 $\text{curl}$의 정의와 $\text{div}$의 정의를 적절하게 사용하면 쉽게 증명할 수 있습니다.
$$\begin{align*} \text{div } \text{curl } \mathbf{F} &= \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) \\ &= \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right) + \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right) + \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \\ &= \left( \frac{\partial^{2} R}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^{2} Q}{\partial x \partial z} \right) + \left( \frac{\partial^{2} P}{\partial y \partial z} - \frac{\partial^{2} R}{\partial y \partial x} \right) + \left( \frac{\partial^{2} Q}{\partial z \partial x} - \frac{\partial^{2} P}{\partial z \partial y} \right) \\ &= 0\end{align*}$$
마지막에는 미적분학 - 편미분의 정리1(클레로 정리; Clairaut’s Theorem)로 인해서 이계 편도함수의 미분순서가 뒤집혀도 동일하다는 사실을 이용하면 얻을 수 있습니다.
일반적으로 저희는 미분연산자 $\nabla$를 많이 사용하지만 가끔 미분연산자 $\nabla$를 두번 연속을 계산해야하는 경우가 있습니다. 예를 들어 $\text{div } \left( \nabla f \right) = \nabla \cdot \left( \nabla f \right)$ 같은 경우이죠. 이 경우에는 $\nabla^{2} f$로 축약해서 쓸 수 있습니다. 이와 같은 연산자를 라플라스 연산자(Laplace operator)라고 부릅니다.
$$\nabla^{2} f = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}$$
라플라스 연산자는 스칼라 함수뿐만 아니라 벡터함수 $\mathbf{F} = P \mathbf{i} + Q \mathbf{j} + R \mathbf{k}$에서도 쉽게 계산할 수 있습니다.
$$\nabla^{2} \mathbf{F} = \left( \nabla^{2} P \right) \mathbf{i} + \left( \nabla^{2} Q \right) \mathbf{j} + \left( \nabla^{2} R \right) \mathbf{k}$$
정리4. 그린정리의 벡터형식(Vector form of Green's Theorem)
양의 방향을 가지는 곡선 $C$가 조각별로 부드럽고 단순하게 닫혀있는 곡선이라고 하고 $D$를 곡선 $C$에 의해 제한되는 영역이라고 할 때 영역 $D$를 포함하는 열린 영역에서 정의된 벡터함수 $\mathbf{F} = P \mathbf{i} + Q \mathbf{j}$의 성분함수 $P$와 $Q$가 연속 편도함수를 가진다고 가정하면 아래의 식이 성립한다.
$$\oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_{D} \left( \text{curl} \mathbf{F} \right) \cdot \mathbf{k} \; dA \tag{4}$$
설명
곡선 $C$의 매개변수 함수 $\mathbf{r}$가 $a \le t \le b$에서 $\mathbf{r}(t) = x(t) \mathbf{i} + y(t) \mathbf{j}$와 같이 표현된다고 가정하겠습니다. 위 그림에서 보시는 것과 같이 곡선 $C$의 기울기 벡터(Tangent Vector)와 법선벡터(normal vector)를 각각 $\mathbf{T}$와 $\mathbf{n}$라고 하겠습니다.
$$\mathbf{T}(t) = \frac{x^{'}(t)}{\left| \mathbf{r}(t) \right|} \mathbf{i} + \frac{y^{'}(t)}{\left| \mathbf{r}(t) \right|} \mathbf{j}$$
$$\mathbf{n}(t) = \frac{y^{'}(t)}{\left| \mathbf{r}(t) \right|} \mathbf{i} - \frac{x^{'}(t)}{\left| \mathbf{r}(t) \right|} \mathbf{j}$$
그러면 저희는 벡터함수 $\mathbf{F}$와 법선벡터 $\mathbf{n}$ 사이의 내적의 곡선 $C$ 상에서의 선적분을 아래와 같이 계산할 수 있습니다.
$$\begin{align*} \oint_{C} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \; ds &= \int_{a}^{b} \left( \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \right) \left| \mathbf{r}^{'}(t) \right| \; dt \\ &+ \int_{a}^{b} \left[\frac{P(x(t), y(t)) y^{'}(t)}{\left| \mathbf{r}^{'}(t) \right|}\right] - \frac{Q(x(t), y(t))x^{'}(t)}{\left| \mathbf{r}^{'}(t) \right|} \left| \mathbf{r}^{'} \right| \\ &= \int_{a}^{b} P(x(t), y(t)) y^{'}(t) \; dt - Q(x(t), y(t)) x^{'}(t) \; dt \\ &= \int_{C} P \; dy - Q \; dx \\ &= \iint_{D} \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\right) \; dA \\ &= \iint_{D} \text{div } \mathbf{F}(x, y) \; dA \end{align*}$$
위 수식은 곡선 $C$ 상에서 벡터함수 $\mathbf{F}$의 법선 벡터에 대한 선적분은 곡선 $C$에 둘러쌓인 영역 $D$ 상에서 벡터함수 $\mathbf{F}$의 발산의 이중적분과 동일하다는 것을 알려줍니다.
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