미적분학 - 면적분

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 매개변수 곡면에서는 3차원 공간에서 곡면을 매개변수로 표현하는 방법과 곡면과 관련된 다양한 개념들(회전체, 접평면, 곡면의 넓이)을 정리해보았습니다. 오늘은 이어서 면적분 (Surface Integral)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 지금까지 저희는 3차원 곡선 상에서의 적분인 선적분 (Line Integral)을 중점적으로 보았지만 이를 보다 확장하여 3차원 곡면 상에서도 적분을 수행할 수 있습니다. 

 

1. 배경 (Background)

면적분을 이해하기 위해서는 기본적으로 선적분에 대한 개념과 유도과정을 반드시 숙지하고 계셔야하기 때문에 혹시 생각나지 않으시는 분들은 미적분학 - 선적분에서 한번 간단하게 훑어보시고 오시는 것을 추천드립니다. 기본적으로 적분을 하기 위해서는 길이와 넓이가 제일 중요합니다. 예를 들어, 일반적인 단적분에서는 $x$축을 등구간으로 나눈 뒤 구분구적법을 적용하였습니다. 모든 적분의 시초는 이 개념이며 이는 이후에 나왔던 이중적분에서는 넓이에 대한 개념으로 확장되고 삼중적분에서는 부피에 대한 개념으로 확장되었습니다. 이를 더욱 확장하면 고정된 축이 아닌 곡선에서의 적분인 선적분을 수행하게 됩니다. 선적분에서는 매개변수 공간에서 등분된 구간을 기존의 곡선으로 변환하여 호의 길이를 기반으로 적분을 수행하였습니다. 면적분에서도 이는 동일하게 적용되기 때문에 쉽게 이해할 수 있을 것 입니다. 

 

2. 매개변수 곡면 (Parameteric Surface)과 면적분(Surface Integral)

지난 포스팅에서 저희는 곡면 $S$를 표현하는 매개변수 곡면을 아래와 같이 쓰기로 하였습니다. 

 

$$\mathbf{r}(u, v) = x(u, v) \mathbf{i} + y(u, v) \mathbf{j} + z(u, v) \mathbf{k}$$

 

이때, $(u, v) \in D$에서 정의되고 $x, y, z$를 성분함수라고 부르게 되죠. 

 

 

저희는 문제를 간단하게 하기 위해서 $uv$ 평면에 존재하는 정의역을 직사각형 영역이라고 가정하겠습니다. 그리고 해당 영역을 등분하여 가로 $\Delta u$, 세로 $\Delta v$를 갖는 작은 직사각형 영역 $R_{ij}$로 나누도록 하겠습니다. 그리고 이 영역의 표본점을 $(u_{i}^{*}, v_{j}^{*})$라고 하도록 하겠습니다. 

 

 

그리고 매개변수 함수 $\mathbf{r}$에 의해 만들어진 $xyz$ 공간의 곡면을 $S$라고 하면 위와 같이 그릴 수 있습니다. $S_{ij}$를 $uv$ 평면 상의 $R_{ij}$를 변환시킨 작은 곡면이라고 하고 $P_{ij}^{*} = \mathbf{r}(u_{i}^{*}, v_{j}^{*})$라고 정의하도록 하겠습니다. 그러면 함수 $f$를 곡면 $S$ 상에서 적분한 결과를 정리하면 아래와 같죠. 

 

$$\iint_{S} f(x, y, z) \; dS = \lim_{m, n \rightarrow \infty} \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} f(P_{ij}^{*}) \Delta S_{ij}$$ 

 

지금까지 적분에 대한 개념을 이해하셨다면 이 과정은 단순히 선에서 면으로 바뀐 것이기 때문에 쉽게 이해할 수 있습니다. 다음으로 저희가 해야하는 것은 $m, n$을 무한히 키웠을 때 작은 곡면 영역인 $S_{ij}$가 어떻게 변화하는 지 관찰해야합니다. 이는 지금까지 많이 보았듯이 평행사변형을 얻게 되고 해당 영역의 넒이는 아래와 같습니다. 

 

$$\Delta S_{ij} \approx \left| \mathbf{r}_{u} \times \mathbf{r}_{v} \right| \Delta u \Delta v$$

 

이때, $\mathbf{r}_{u} = \frac{\partial x}{\partial u} \mathbf{i} + \frac{\partial y}{\partial u} \mathbf{j} + \frac{\partial z}{\partial u} \mathbf{k}$이고 $\mathbf{r}_{v} = \frac{\partial x}{\partial v} \mathbf{i} + \frac{\partial y}{\partial v} \mathbf{j} + \frac{\partial z}{\partial v} \mathbf{k}$가 입니다. 따라서 적분식을 아래와 같이 바꿔서 쓸 수 있습니다. 

 

$\iint_{S} f(x, y, z) \; dS = \iint_{D} f(\mathbf{r}(u, v)) \left| \mathbf{r}_{u} \times \mathbf{r}_{v} \right| \; dA$

 

예제1. 단위구 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$의 구면 상에서 면적분 $\iint_{S} x^{2} \; dS$를 계산하라.

 

STEP1. 주어진 곡면의 매개변수 표현 찾기

 

주어진 곡면은 3차원 구이기 때문에 미적분학 - 구좌표계에서의 삼중적분을 참고하여 아래와 같이 매개변수 표현을 작성한다.

 

$$\begin{cases} x(\phi, \theta) &= \sin(\phi)\cos(\theta) \\ y(\phi, \theta) &= \sin(\phi)\sin(\theta) \\ z(\phi, \theta) &= \cos(\phi) \end{cases}$$

 

이때, 매개변수 공간의 정의역은 $D = [0, \pi] \times [0, 2\pi]$이다. 

 

$$\mathbf{r}(\phi, \theta) = \sin(\phi)\cos(\theta) \mathbf{i} + \sin(\phi)\sin(\theta) \mathbf{j} + \cos(\phi) \mathbf{k}$$

 

STEP2. 매개변수 곡면의 편미분 사이의 외적의 크기 계산

 

$$\begin{align*} \mathbf{r}_{\phi} \times \mathbf{r}_{\theta} &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial x}{\partial \phi} & \frac{\partial y}{\partial \phi} & \frac{\partial z}{\partial \phi} \\ \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial \theta} \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a\cos(\phi)\cos(\theta) & a\cos(\theta)\sin(\theta) & -a\sin(\phi) \\ -a\sin(\phi)\sin(\theta) & a\sin(\phi)\cos(\theta) & 0 \end{vmatrix} \\ &= a^{2} \sin^{2}(\phi) \sin(\theta) \mathbf{i} a^{2} \sin^{2}(\phi) \sin(\theta) \mathbf{j} + a^{2} \sin^{2}(\phi) \cos(\theta) \mathbf{k} \end{align*}$$

 

따라서, $\left| \mathbf{r}_{\phi} \times \mathbf{r}_{\theta} \right|$를 구할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \left| \mathbf{r}_{\phi} \times \mathbf{r}_{\theta} \right| &= \sqrt{\sin^{4}(\phi)\cos^{2}(\theta) + \sin^{4}(\phi)\sin^{2}(\theta) + \sin^{2}(\phi)\cos^{2}(\phi)} \\ &= \sqrt{\sin^{4}(\phi) + \sin^{2}(\phi) \cos^{2}(\phi)} \\ &= \sqrt{\sin^{2}(\phi)} \\ &= \sin(\phi)\end{align*}$$

 

이때, $0 \le \phi \le \pi$이기 때문에 $\sin(\phi) \ge 0 \Rightarrow \left| \sin(\phi) \right| = \sin(\phi)$이다. 

 

STEP3. 곡면 $S$ 상에서 면적분 계산하기

 

$$\begin{align*} \iint_{S} x^{2} \; dS &= \iint_{D} \left( \sin(\phi)\cos^{2}(\theta) \right) \left| \mathbf{r}_{\phi} \times \mathbf{r}_{\theta} \right| \; dA \\ &= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \sin^{2}(\phi) \cos^{2}(\theta) \sin(\phi) \; d\phi d\theta \\ &= \int_{0}^{2\pi} \cos^{2}(\theta) \; d\theta \int_{0}^{\pi} \sin^{3}(\phi) \; d\phi \\ &= \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2}\left( 1 + \cos(2\theta) \right) \; d\theta \int_{0}^{\pi} \left( \sin(\phi) - \sin(\phi)\cos^{2}(\phi) \right) \; d\phi \\ &= \frac{1}{2}\left[ \theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta) \right]_{0}^{2\pi} \left[ -\cos(\phi) + \frac{1}{3}\cos^{3}(\phi) \right]_{0}^{\pi} \\ &= \frac{4}{3}\pi \end{align*}$$

 

만약, 곡면 $S$가 아래와 같이 이루어져있다고 가정해보겠습니다. 

 

$$\begin{cases} x &= x \\ y &= y \\ z &= g(x, y) \end{cases}$$

 

따라서, 곡면 $S$를 $\mathbf{r}(x, y) = x \mathbf{i} + y \mathbf{j} + g(x, y) \mathbf{k}$와 같이 표현할 수 있습니다. 이제 곡면의 매개변수 표현의 편미분을 계산해보도록 하죠. 

 

$$\begin{align*} \mathbf{r}_{x} &= \mathbf{i} + g_{x}(x, y) \mathbf{k} \\ \mathbf{r}_{y} &= \mathbf{j} + g_{y}(x, y) \mathbf{k}\end{align*}$$

 

다음으로 두 벡터함수들의 외적을 계산해보면 아래과 같습니다. 

 

$$\begin{align*} \mathbf{r}_{x} \times \mathbf{r}_{y} &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & g_{x}(x, y) \\ 0 & 1 & g_{y}(x, y) \end{vmatrix} \\ &= -g_{x}(x, y) \mathbf{i} - g_{y}(x, y) \mathbf{j} + \mathbf{k} \end{align*}$$

 

마지막으로 외적의 크기를 계산해보면 $\left| \mathbf{r}_{x} \times \mathbf{r}_{y} \right| = \sqrt{g_{x}^{2}(x, y) + g_{y}^{2}(x, y) + 1}$이 됩니다. 따라서, 이 경우에 곡면 $S$ 상에서의 면적분은 아래와 같이 할 수 있습니다. 

 

$$\iint_{S} f(x, y, z) \; dS = \iint_{D} f(x, y, g(x, y)) \sqrt{g_{x}^{2}(x, y) + g_{y}^{2}(x, y) + 1} \; dA \tag{1}$$

 

 정리1. 

곡면 $S$가 조각마다 매끄러운(piecewise-smooth) 유한 개의 곡면으로 이루어져있다고 할 때, 즉, $S = S_{1} \cup S_{2} \cup \cdots \cup S_{n}$이고 각 $S_{i}$는 부드러우며 다른 곡면과 만나는 지점은 경계밖에 없다고 가정하면 전체 곡면 $S$ 상에서의 면적분은 부분 곡면 상에서의 면적분의 합과 같다. 

 

$$\iint_{S} f(x, y, z) \; dS = \iint_{S_{1}} f(x, y, z) \; dS + \cdots + \iint_{S_{n}} f(x, y, z) \; dS$$

 

예제2. 곡면 $S$가 원통 곡면 $S_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$과 그 밑면은 $z = 0$ 상에서 $S_{2} : x^{2} + y^{2} \le 1$이고 $S_{3} : z = 1 + x$로 이루어진 곡면이라고 할 때, 곡면 $S$ 상에서 면적분 $\iint_{S} z \; dS$를 계산하라.

 

STEP1. 곡면 $S$를 3차원으로 그리기

 

 

STEP2. 부분 곡면 상에서 면적분 수행하기

 

1). $S_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$

 

곡면 $S_{1}$이 원기둥이기 때문에 매개변수 표현으로 $\theta$와 $z$를 이용해서 표현할 수 있다. 

 

$$\begin{cases} x(\theta, z) &= \cos(\theta) \\ y(\theta, z) &= \sin(\theta) \\ z &= z \end{cases}$$

 

이때, 매개변수 공간의 정의역은 $D = [0, 2\pi] \times [0, 1 + \cos(\theta)]$이다.

 

$$S_{1} : \mathbf{r}(\theta, z) = \cos(\theta) \mathbf{i} + \sin(\theta) \mathbf{j} + z \mathbf{k}$$

 

다음으로 매개변수 곡면의 편미분 사이의 외적의 크기 계산한다. 먼저, $\mathbf{r}$의 편미분을 계산하면 $\mathbf{r}_{\theta} = -\sin(\theta) \mathbf{i} + \cos(\theta) \mathbf{j}$ 이고 $\mathbf{r}_{z} = \mathbf{k}$이므로 두 벡터 사이의 외적을 계산한다. 

 

$$\begin{align*} \mathbf{r}_{\theta} \times \mathbf{r}_{z} &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \\ &= \cos(\theta) \mathbf{i} + \sin(\theta) \mathbf{j} \end{align*}$$

 

따라서, 외적의 크기는 $\left| \mathbf{r}_{\theta} \times \mathbf{r}_{z} \right| = \sqrt{\cos^{2}(\theta) + \sin^{2}(\theta)} = 1$이다. 다음으로 이제 곡면 $S_{1}$ 상에서 면적분을 수행한다. 

 

$$\begin{align*} \iint_{S_{1}} z \; dS &= \iint_{D} z \left| \mathbf{r}_{\theta} \times \mathbf{r}_{z} \right| \; dA \\ &= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1 + \cos(\theta)} z \; dz d\theta \\ &= \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} \left( 1 + \cos(\theta) \right)^{2} \; d\theta \\ &= \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \left[ 1 + 2\cos(\theta) + \frac{1}{2}\left( 1 + \cos(2\theta) \right) \right] \; d\theta \\ &= \frac{1}{2} \left[ \frac{3}{2} \theta + 2\sin(\theta) + \frac{1}{4}\sin(2\theta) \right]_{0}^{2\pi} \\ &= \frac{3}{2}\pi\end{align*}$$

 

2). $S_{2} : x^{2} + y^{2} \le 1$

 

곡면 $S_{2}$는 $z = 0$에 제한되어 있으므로 $\iint_{S_{2}} z \; dS = 0$이다. 

 

3). $S_{3} : z = 1 + x$

 

곡면 $S_{3}$를 아래와 같이 매개변수로 만든다. 

 

$$\begin{cases} x &= x \\ y &= y \\ z &= 1 + x = g(x, y) \end{cases}$$

 

따라서, $S_{3}$ 상에서의 면적분은 수식 (1)과 같이 바꿔서 쓸 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \iint_{S_{3}} z \; dS &= \iint_{D} (1 + x) \sqrt{g_{x}^{2}(x, y) + g_{y}^{2}(x, y) + 1} \; dA \\ &= \iint_{D} (1 + x) \sqrt{1 + 0 + 1} \; dA \\ &= \sqrt{2} \iint_{D} (1 + x) \; dA \end{align*}$$

 

마지막으로 위 식을 적분하기 위해 직교좌표계에서 극좌표계로 변환하여 적분한다. 

 

$$\begin{align*} \iint_{S_{3}} z \; dS &= \sqrt{2} \iint_{D} (1 + x) \; dA \\ &= \sqrt{2} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} (1 + r\cos(\theta)) r \; drd\theta \\ &= \sqrt{2} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} (r + r^{2}\cos(\theta)) \; dr d\theta \\ &= \sqrt{2} \int_{0}^{2\pi} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\cos(\theta) \right) \; d\theta\\ &= \sqrt{2} \left[ \frac{\theta}{2} + \frac{\sin(\theta)}{3} \right]_{0}^{2\pi} \\ &= \sqrt{2}\pi \end{align*}$$

 

STEP3. 각 부분곡면의 면적분 결과를 하나로 합치기

 

$$\begin{align*} \iint_{S} z \; dS &= \iint_{S_{1}} z \; dS + \iint_{S_{2}} z \; dS + \iint_{S_{3}} z \; dS \\ &= \frac{3}{2}\pi + 0 \sqrt{2}\pi \\ &= \left( \frac{3}{2} + \sqrt{2} \right) \pi \end{align*}$$