미적분학 - 매개변수 곡면

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 회전과 발산에서는 벡터함수의 회전과 발산의 정의와 관련된 다양한 정리들에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 매개변수 곡면에 대해서 알아보도록 하죠. 

 

1. 매개변수 곡면 (Parametric Surface)

 

지금까지 저희는 주로 매개변수 곡선 $C$ 상에서 선적분하는 방법에 대해서 중점적으로 다루었습니다. 여기서 한 가지 궁금증은 매개변수 "곡선"이 있다면 매개변수 "곡면"도 정의할 수 있겠죠? 방법은 간단합니다. 매개변수 곡선은 1개의 매개변수 $t$에 의해 결정되는 벡터함수 $\mathbf{r}(t) = x(t) \mathbf{i} + y(t) \mathbf{j}$로 표현될 수 있었습니다. 곡면은 3차원으로 표현되기 때문에 3개의 성분함수 $<x, y, z>$가 필요하겠네요. 보다 일반적인 상황으로 만들기 위해서 각 성분함수의 매개변수가 2개 ($u, v$)로 이루어졌다고 가정하겠습니다. 

 

$$\mathbf{r}(u, v) = x(u, v) \mathbf{i} + y(u, v) \mathbf{j} + z(u, v) \mathbf{k}$$

 

이때, 매개변수 곡면 $\mathbf{r}(u, v)$는 영역 $D$에서 정의되는 벡터함수가 됩니다.

 

 

즉, 위 그림과 같이 $uv$ 평면에서 그려지는 정의역 $D$의 모든 $(u, v)$ 좌표들이 벡터함수 $\mathbf{r}$에 $xyz$ 공간으로 매핑되면 얻어지는 새로운 곡면이 매개변수 곡면이 되는 것 입니다. 

 

$$\mathbf{r}(t) = 2\cos(u) \mathbf{i} + v \mathbf{j} + 2\sin(u) \mathbf{k}$$

 

예를 들어, 위와 같이 정의된 매개변수 곡면이 있다고 가정해보겠습니다. 이 곡면은 $x = 2\cos(u), y = v$ 그리고 $z = 2\sin(u)$로 3개의 성분함수로 구성되는 것을 관찰할 수 있죠. 또한, $x^{2} + z^{2} = (2\cos(u))^{2} + (2\sin(u))^{2} = 4(\cos^{2}(u) + \sin^{2}(u)) = 4$임을 알 수 있습니다. 즉, $xz$ 평면 상에서 매개변수 곡면 $\mathbf{r}(t)$는 중심이 원점이고 반지름이 2인 원을 얻을 수 있습니다. 이제 남은 것은 $y$축을 도입하는 것이죠. 그런데 위 매개변수 곡면에서 $y = v$에서 $v$에 대한 제한은 존재하지 않기 때문에 $xz$평면의 원이 $y$축으로 쭉 뻗어나가는 것을 상상할 수 있습니다. 

 

즉, 매개변수 곡면 $\mathbf{r}$은 위 그림과 같이 생긴 원기둥이 됩니다. 위와 같이 어떤 매개변수 곡면이 주어졌을 때 이를 다시 적절하게 해석하여 $xyz$ 공간 상에서 어떤 도형으로 그려지는 지 분석하는 것은 굉장히 중요하고 어려운 과정입니다. 하지만 이와 반대로 $xyz$ 공간 상에서 매개변수 $(u, v)$ 로 표현되는 식을 찾는 것도 중요한 작업이죠. 

 

$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}$$

 

예를 들어, 위와 같은 식이 주어졌을 때 이를 새로운 매개변수 $(u, v)$를 도입하여 매개변수 곡면으로 만들어서 표현할 수 있을까요? 방법은 간단합니다. 일단, 위 식은 저희가 지금까지 많이 보았던 구면이기 때문에 미적분학 - 구좌표계에서의 삼중적분에서 보았던 좌표변환식을 활용하면 됩니다. 다만, 반지름은 고정되어 있음을 상기해야합니다. 

 

$$\begin{cases} x(u, v) &= a\sin(u)\cos(v) \\ y(u, v) &= a\sin(u)\sin(v) \\ z(u, v) &= a\cos(u) \end{cases}$$

 

그러면 저희가 원하는 매개변수 곡면은 아래와 같이 쓸 수 있겠죠.

 

$$\mathbf{r}(t) = a\sin(u)\cos(v) \mathbf{i} + a\sin(u)\sin(v) \mathbf{j} + a\cos(u) \mathbf{k}$$

 

마지막으로 매개변수 곡면의 정의역까지 확인해야합니다. 각 매개변수는 $0 \le u \le \pi$와 $0 \le v \le 2\pi$로 제한되기 때문에 $uv$ 평면 상에서 직사각형 영역 $D = [0, \pi] \times [0, 2\pi]$에서 정의됩니다. 여기서 중요한 점은 매개변수 곡면으로 표현하는 것은 한 가지 방법만 있는 것이 아닙니다. 

 

$$z = 2\sqrt{x^{2} + y^{2}}$$

 

위와 같은 함수가 있다고 했을 때 매개변수 곡면으로 표현하는 2가지 방법에 대해서 말씀드리겠습니다. 

 

METHOD1. $x$와 $y$를 그대로 도입하기

이 방법이 가장 간단합니다. 단순히 매개변수로 $x, y$를 아래와 같이 두는 것이죠. 

 

$$\begin{cases} x &= x \\ y &= y \\ z &= 2\sqrt{x^{2} + y^{2}}\end{cases}$$

 

이렇게 하면 매개변수 곡면 꼴로 나타낼 수 있습니다. 

 

$$\mathbf{r}(x, y) = x \mathbf{i} + y \mathbf{j} + 2\sqrt{x^{2} + y^{2}} \mathbf{k}$$

 

METHOD2. 완전히 다른 매개변수 $u, v$ 도입하기

이 방법은 조금 까다롭습니다. 주어지는 함수마다 방법이 다르기 때문에 다양한 경험이 필요하죠. 일단, $z = 2\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 같은 경우에는 내부 함수인 $x^{2} + y^{2}$을 잘 보시길 바랍니다. 이 경우에는 주로 원 방정식의 매개변수 함수를 도입합니다. 

 

$$\begin{cases} x(r, \theta) &= r\cos(\theta) \\ y(r, \theta) &= r\sin(\theta) \\ z(r, \theta) &= 2r\end{cases}$$

 

이렇게 하면 매개변수 곡면 꼴로 나타낼 수 있죠. 

 

$$\mathbf{r}(r, \theta) = r\cos(\theta) \mathbf{i} + r\sin(\theta) \mathbf{j} + 2r \mathbf{k} $$

 

이때, 각 매개변수의 제한은 $r \ge 0$ 이고 $0 \le \theta \le 2\pi$이기 때문에 $uv$ 평면 상에서 직사각형 영역 $D = [0, \infty) \times [0, 2\pi]$에서 정의됩니다. 

 

이와 같이 매개변수 곡면으로 표현하는 방법은 다양하기 때문에 문제를 해결하기에 적절한 매개변수 곡면을 찾는 것을 추천드립니다. 이를 위해서는 다양한 문제를 풀어보셔야하죠. 

 

2. 회전체 (Surface of Revolution)

 

회전체는 비교적 매개변수 곡면의 형태로 나타내기 쉽습니다. 예를 들어, $a \le x \le b$에서 $y = f(x) \le 0$인 영역을 $x$축을 중심으로 회전시켜보겠습니다.

 

 

위 그림을 보면서 설명하도록 하죠. 일단, $x$축을 중심으로 회전시켰기 때문에 $x$은 $a \le x \le b$를 제외한 어떠한 제약도 존재하지 않습니다. 이제 저희가 신경써야할 변수는 $y$와 $z$가 되죠. 이때, 중요한 점은 $y = f(x)$를 $x$축을 중심으로 회전시켰다는 점입니다. 따라서, 모든 곡면에서 $x$축까지의 길이는 $f(x)$가 되죠. 저희는 이 사실을 이용할 것입니다. 곡면의 임의의 점 $(x, y, z)$를 표현하기 위해서 각도 $\theta$를 도입하도록 하겠습니다. $\theta$는 회전각도를 의미하게 되는 데 위 그림을 보시면 $y$와 $z$ 모두 이 변수에 대해서 의존적임을 알 수 있습니다. 이제 위 그림에서와 같이 빨간색 실선을 빗면으로 하는 직각삼각형을 생각하면 실선과 곡면이 만나는 점이 $(x, y, z)$가 되기 때문에 $y = f(x)\cos(\theta)$ 그리고 $z = f(x) \sin(\theta)$가 되는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 이때, 매개변수인 $x\theta$ 평면에서의 정의역은 $D = [a, b] \times [0, 2\pi]$가 됩니다. 

 

예제1. 함수 $y = \sin(x)$를 $0 \le x \le 2\pi$에서 $x$축을 중심으로 회전시킨 회전체의 매개변수 곡면 꼴을 구하여라.

$$\begin{cases} x &= x \\ y &= \sin(x)\cos(\theta) \\ z &= \sin(x)\sin(\theta) \end{cases}$$

 

3. 접평면 (Tangent Planes)

 

 

다음으로 저희가 알아볼 것은 매개변수 곡면으로 표현된 곡면 $S$의 접평면을 구해보는 것입니다.

 

$$\mathbf{r}(u, v) = x(u, v) \mathbf{i} + y(u, v) \mathbf{j} + z(u, v) \mathbf{k}$$

 

일단, 매개변수 곡면 $\mathbf{r}$이 위와 같이 주어졌다고 했을 때 점 $P_{0} = \mathbf{r}(u_{0}, v_{0})$에서의 접평면을 구한다고 가정하겠습니다. 미적분학 - 3차원 직선과 평면의 방정식을 참고하시면 평면을 결정하기 위해서는 법선벡터(normal vector)와 하나의 점을 필요로 합니다. 일단, $xyz$ 공간 상에서 매개변수 곡면 $\mathbf{r}(u, v)$의 매개변수인 $(u, v)$에 대한 편미분을 구해줍니다. 

 

$$\begin{align*} \mathbf{r}_{v} &= \frac{\partial x}{\partial v}(u_{0}, v_{0}) \mathbf{i} + \frac{\partial y}{\partial v} (u_{0}, v_{0}) + \frac{\partial z}{\partial v} (u_{0}, v_{0}) \mathbf{k} \\ \mathbf{r}_{u} &= \frac{\partial x}{\partial u}(u_{0}, v_{0}) \mathbf{i} + \frac{\partial y}{\partial u} (u_{0}, v_{0}) + \frac{\partial z}{\partial u} (u_{0}, v_{0}) \mathbf{k} \end{align*}$$ 

 

각 편미분은 모두 점 $P_{0}$에서 곡면 $S$와 접하는 벡터이기 때문에 두 벡터의 외적 $\mathbf{r}_{u} \times \mathbf{r}_{v}$은 저희가 구하려는 접평면의 법선벡터가 됩니다. 이때, $\mathbf{r}_{u} \times \mathbf{r}_{v} \neq 0$이라면 곡면 $S$를 부드러운 곡면(smooth curve)라고 부르게 됩니다. 

 

예제2. 매개변수 곡면 $x = u^{2}, y = v^{2}$ 그리고 $z = u + 2v$가 주어졌을 때 점 $(1, 1, 3)$에서 접평면을 구하여라.

STEP1. 매개변수 곡면의 $(u, v)$에서의 편미분 벡터 계산

$$\begin{align*} \mathbf{r}_{u} &= \frac{\partial x}{\partial u} \mathbf{i} + \frac{\partial y}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial u} \mathbf{k} = 2u \mathbf{i} + \mathbf{k} \\ \mathbf{r}_{v} &= \frac{\partial x}{\partial v} \mathbf{i} + \frac{\partial y}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial v} \mathbf{k} = 2v \mathbf{j} + \mathbf{k} \end{align*}$$ 

 

STEP2. 계산된 두 벡터 $\mathbf{r}_{u}$와 $\mathbf{r}_{v}$의 외적 계산

$$\mathbf{r}_{u} \times \mathbf{r}_{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2u & 0 & 1 \\ 0 & 2v & 2 \end{vmatrix} = -2v \mathbf{i} - 4u \mathbf{j} + 4uv \mathbf{k}$$

 

STEP3. $xyz$ 공간 상의 점 $(1, 1, 3)$에 대응되는 $uv$ 평면의 점 계산

$$\begin{cases} u^{2} &= 1 \\ v^{2} &= 1 \\ u + 2v &= 3 \end{cases}$$

 

위의 연립방정식을 계산했을 때 $u = v = 1$을 얻을 수 있다. 

 

STEP4. $(u, v)$에서의 법선벡터와 점 $P$를 대입해 접평면 결정

점 $(1, 1)$에서의 법선벡터가 $(\mathbf{r}_{u} \times \mathbf{r}_{v})(1, 1) = -2 \mathbf{i} - 4 \mathbf{j} + 4 \mathbf{k}$이기 때문에 점 $(1, 1, 3)$을 지나는 평면은 아래와 같다. 

 

$$-2(x - 1) - 2(y - 1) + 4(z - 3) = 0 \Rightarrow -2x - 2y + 4z + 3 = 0$$

 

4. 곡면의 넓이(Surface Area)

 

 

이제 저희는 매개변수 곡면 $\mathbf{r}$로 주어진 곡면의 넓이를 구해보도록 하겠습니다. 제일 먼저 할 일은 $uv$ 평면 상에서의 직사각형 모양의 영역 $D$를 $u$축과 $v$축에서 각각 $n$등분, $m$등분을  해주는 것입니다. 이때, $u$축의 $i$번째 구간을 $[u_{i - 1}, u_{i}]$라고 하고 $v$축의 $j$번째 구간을 $[v_{j - 1}, v_{j}]$라고 할 때, 각 등구간의 길이는 $\Delta u$와 $\Delta v$가 됩니다. 여기서 저희는 $R_{ij} = [u_{i - 1}, u_{i}] \times [v_{j - 1}, v_{j}]$로 정의되는 작은 직사각형 영역에서 표본점 $(u_{i}^{*}, v_{j}^{*})$를 왼쪽 아래 모서리점으로 선택하도록 하겠습니다. 이제 해당 영역 $R_{ij}$를 매개변수 함수 $\mathbf{r}$로 변환시켰을 때 $xyz$ 공간에 대응되는 곡면의 겉부분을 $S_{ij}$라고 하고 표본점 $(u_{i}^{*}, v_{j}^{*})$의 대응점을 $P_{ij}$라고 하겠습니다.

 

 

저희의 목표는 곡면 $S$의 전체 넓이를 구하기 위해 작은 곡면인 $S_{ij}$로 쪼개어 각 곡면의 모든 넓이를 더하는 것입니다. 그런데 $uv$ 평면 상에서 더욱 잘게 쪼개면 어떻게 될까요? 아마도 해당 곡면의 거의 평면과 같아져서 평행사변형과 같은 모양이 될 것 입니다. 이 과정은 미적분학 - 다중적분의 변수변환법에서 보았던 야코비 유도 과정과 거의 유사합니다. 따라서 결과만 보도록 하죠. 결과적으로 저희는 분홍색 평행사변형의 넓이를 구하면 되는 데 이는 두 벡터 $\Delta u \mathbf{r}^{*}_{u}$와 $\Delta v \mathbf{r}^{*}_{v}$ 사이의 외적의 크기를 구하는 것과 동일합니다. 이때, $\mathbf{r}^{*}_{u} = \mathbf{r}_{u}(u_{i}^{*}, v_{j}^{*})$ 이고 $\mathbf{r}^{*}_{v} = \mathbf{r}_{v}(u_{i}^{*}, v_{j}^{*})$입니다. 

 

따라서, 곡면 $S_{ij}$의 넓이 근사식은 아래와 같습니다. 

 

$$A_{ij} \approx \left| \left( \Delta u  \mathbf{r}^{*}_{u} \right) \times \left( \Delta v \mathbf{r}^{*}_{v} \right) \right| = \left| \mathbf{r}^{*}_{u} \times \mathbf{r}^{*}_{v} \right| \Delta u \Delta v$$

 

곡면 $S$의 넓이 $A$의 근사식은 아래와 같습니다. 

 

$$A \approx = \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} \left| \mathbf{r}^{*}_{u} \times \mathbf{r}^{*}_{v} \right| \Delta u \Delta v$$

 

이제 이 식의 등분을 무한히 많이 하면 이는 실제 곡면의 넓이와 같아지게 됩니다. 

 

$$A = \lim_{n, m \rightarrow \infty} \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} \left| \mathbf{r}^{*}_{u} \times \mathbf{r}^{*}_{v} \right| \Delta u \Delta v = \iint_{D} \left| \mathbf{r}_{u} \times \mathbf{r}_{v} \right| \; dA$$

 

예제3. 3차원 구 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}$의 겉넓이를 구하여라.

STEP1. 주어진 함수의 매개변수 표현 및 매개변수 평면에서의 정의역 찾기

$$\begin{cases} x(\phi, \theta) &= a\sin(\phi)\cos(\theta) \\ y(\phi, \theta) &= a\sin(\phi)\sin(\theta) \\ z(\phi, \theta) &= a\cos(\phi) \end{cases}$$

 

이때, $\phi \theta$ 평면 상에서 정의역은 $D = [0, \pi] \times [0, 2\pi]$이다. 

 

STEP2. 매개변수 함수의 두 접선벡터의 외적의 크기 계산

$$\begin{align*} \mathbf{r}_{\phi} \times \mathbf{r}_{\theta} &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial x}{\partial \phi} & \frac{\partial y}{\partial \phi} & \frac{\partial z}{\partial \phi} \\ \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial \theta} \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a\cos(\phi)\cos(\theta) & a\cos(\theta)\sin(\theta) & -a\sin(\phi) \\ -a\sin(\phi)\sin(\theta) & a\sin(\phi)\cos(\theta) & 0 \end{vmatrix} \\ &= a^{2} \sin^{2}(\phi) \sin(\theta) \mathbf{i} a^{2} \sin^{2}(\phi) \sin(\theta) \mathbf{j} + a^{2} \sin^{2}(\phi) \cos(\theta) \mathbf{k} \end{align*}$$

 

따라서, $\left| \mathbf{r}_{\phi} \times \mathbf{r}_{\theta} \right|$를 구할 수 있다.

 

$$\begin{align*} \left| \mathbf{r}_{\phi} \times \mathbf{r}_{\theta} \right| &= \sqrt{a^{4}\sin^{4}(\phi)\cos^{2}(\theta) + a^{4}\sin^{4}(\phi)\sin^{2}(\theta) + a^{4}\sin^{2}(\phi)\cos^{2}(\phi)} \\ &= \sqrt{a^{4}\sin^{4}(\phi) + a^{4}\sin^{2}(\phi) \cos^{2}(\phi)} \\ &= a^{2}\sqrt{\sin^{2}(\phi)} \\ &= a^{2}\sin(\phi)\end{align*}$$

 

이때, $0 \le \phi \le \pi$이기 때문에 $\sin(\phi) \ge 0 \Rightarrow \left| \sin(\phi) \right| = \sin(\phi)$이다. 

 

STEP3. 수식에 대입하여 곡면의 겉넓이 계산

$$\begin{align*} A &= \iint_{D} \left| \mathbf{r}_{\phi} \times \mathbf{r}_{\theta} \right| \; dA \\ &= \int_{0}^{2\pi}  \int_{0}^{\pi} a^{2}\sin(\phi) \; d\phi d\theta \\ &= a^{2} \int_{0}^{2\pi} 1 \; d\theta \int_{0}^{\pi} \sin(\phi) \; d\phi \\ &= a^{2} (2\pi) 2 = 4\pi a^{2}\end{align*}$$