미적분학 - 유향곡면

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 면적분에서는 선적분과 유사한 개념의 면적분을 정의하고 예제를 풀어보았습니다. 다만, 지금까지 벡터장이 아닌 단순 곡면에서 면적분을 다루었습니다. 하지만, 벡터장에서 면적분을 정의하기 위해서는 유향곡면이여야하기 때문이죠. 오늘은 유향곡면과 벡터장에서의 면적분을 더 자세하게 알아보도록 하겠습니다. 

 

1. 유향곡면 (oriented surface)

일단, 유향곡면이 무엇인지 이야기하기 위해 무향곡면 (non-oriented surface)가 무엇인지부터 설명해보도록 하겠습니다. 

 

 

위 그림은 무향곡면의 가장 대표적인 곡면인 뫼비우스의 띠 (Mobius strip) 입니다. 흔히들, 안과 밖의 경계가 없는 곡면이라고들 말하죠. 점 $P$에서 시작하여 뫼비우스의 띠를 따라가면 기존 점 $P$의 방향과 반대 방향이 나오게 됩니다. 이와 같이 한쪽면만 존재하는 곡면을 무향곡면이라고 말하도로고 하겠습니다. 

 

그렇다면 유향곡면을 쉽게 알 수 있겠네요. 위 그림과 같이 2개의 면을 가지는 곡면이라고 보시면 이해할 수 있습니다. 위 그림에서 어떤 점을 기준으로 잡고 접평면의 법선벡터를 만든다고 하면 2가지 방향의 법선벡터 ($\mathbf{n}_{1}, \mathbf{n}_{2}$)를 만들 수 있습니다. 이때, 두 법선벡터는 서로 방향만 다르고 크기는 같기 때문에 $\mathbf{n}_{2} = -\mathbf{n}_{1}$을 만족하게 됩니다. 

 

이제 법선벡터를 구해볼 차례입니다. 지금까지 벡터함수를 다르면서 많이 해봤기 때문에 쉽게할 수 있겠죠? 일단, 곡면 $S$의 매개변수 곡면 꼴이 아래와 같이 주어진다고 가정하겠습니다. 

 

$$\begin{cases} x &= x \\ y &= y \\ z &= g(x, y) \end{cases}$$

 

이와 같이 주어졌을 때 임의의 점 $(x, y, z)$에서의 법선벡터는 벡터함수 $\mathbf{r}$의 두 편미분들의 외적이 됩니다. 단, 여기서 저희는 단위 법선벡터를 구한다고 가정하도록 하죠. 

 

$$\mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}_{x} \times \mathbf{r}_{y}}{\left| \mathbf{r}_{x} \times \mathbf{r}_{y} \right|} = \frac{-\frac{\partial g}{\partial x} \mathbf{i} - \frac{\partial g}{\partial y} \mathbf{j} + \mathbf{k}}{\sqrt{1 + \left( \frac{\partial g}{\partial x} \right)^{2} + \left( \frac{\partial g}{\partial y} \right)}} \tag{1}$$

 

이때, 곡면의 방향은 $\mathbf{k}$의 부호에 의해 결정되기 때문에 위의 경우에는 곡면의 윗면으로 방향을 잡게 됩니다. 만약, 곡면이 완전히 다른 두 매개변수 $(u, v)$로 표현된다고 해도 수식 (1)에서 크게 달라지는 것은 없습니다. 

 

$$\mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}_{u} \times \mathbf{r}_{v}}{\left| \mathbf{r}_{u} \times \mathbf{r}_{v} \right|}\tag{2}$$

 

간단한 예시로 반지름이 1인 단위구의 법선벡터를 계산해보도록 하겠습니다. 단위구는 아래와 같이 매개변수 곡면으로 표현될 수 있습니다. 

 

$$\mathbf{r}(\phi, \theta) = \sin(\phi)\cos(\theta) \mathbf{i} + \sin(\phi)\sin(\theta) \mathbf{j} + \cos(\phi) \mathbf{k}$$

 

먼저, 매개변수 곡면 $\mathbf{r}$의 두 편미분 벡터들의 외적을 계산해보도록 하겠습니다. 

 

$$\begin{align*} \mathbf{r}_{\phi} \times \mathbf{r}_{\theta} &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial x}{\partial \phi} & \frac{\partial y}{\partial \phi} & \frac{\partial z}{\partial \phi} \\ \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial \theta} \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \cos(\phi)\cos(\theta) & \cos(\theta)\sin(\theta) & -\sin(\phi) \\ -\sin(\phi)\sin(\theta) & \sin(\phi)\cos(\theta) & 0 \end{vmatrix} \\ &= \sin^{2}(\phi) \sin(\theta) \mathbf{i} \sin^{2}(\phi) \sin(\theta) \mathbf{j} + \sin^{2}(\phi) \cos(\theta) \mathbf{k} \end{align*}$$

 

따라서, 외적의 크기 $\left| \mathbf{r}_{\phi} \times \mathbf{r}_{\theta} \right|$를 구할 수 있습니다. 

 

$$\begin{align*} \left| \mathbf{r}_{\phi} \times \mathbf{r}_{\theta} \right| &= \sqrt{\sin^{4}(\phi)\cos^{2}(\theta) + \sin^{4}(\phi)\sin^{2}(\theta) + \sin^{2}(\phi)\cos^{2}(\phi)} \\ &= \sqrt{\sin^{4}(\phi) + \sin^{2}(\phi) \cos^{2}(\phi)} \\ &= \sqrt{\sin^{2}(\phi)} \\ &= \sin(\phi)\end{align*}$$

 

그러므로, 구면 상에서 임의의 점의 법선벡터를 구할 수 있습니다. 

 

$$\begin{align*} \mathbf{n} &= \frac{\mathbf{r}_{\phi} \times \mathbf{r}_{\theta}}{\left| \mathbf{r}_{\phi} \times \mathbf{r}_{\theta} \right|} \\ &= \sin(\phi)\cos(\theta) \mathbf{i} + \sin(\phi)\sin(\theta) \mathbf{j} + \cos(\phi) \mathbf{k} \\ &= \mathbf{r}(\phi, \theta) \end{align*}$$

 

이때, $\phi \theta$ 평면의 정의역은 $D = [0, \pi] \times [0, 2\pi]$이기 때문에 $\cos(\phi) \ge 0$입니다. 그러므로 $\mathbf{n}$은 구의 윗면으로 향하는 방향이 되는 것이죠. 만약, 반대 방향을 구하고 싶다면 외적의 성질을 이용하면 됩니다. 

 

$$\mathbf{r}_{\theta} \times \mathbf{r}_{\phi} = -\mathbf{r}_{\phi} \times \mathbf{r}_{\theta} = - \mathbf{r}(\phi, \theta)$$

 

일반적으로 구면과 같이 닫힌 곡면을 가지게 될 때 외부로 향하는 법선벡터를 양의 방향, 내부로 향하는 법선벡터를 음의 방향이라고 말하기도 합니다. 

 

2. 벡터장에서의 면적분

 

 

이제 본격적으로 오늘의 메인 주제인 벡터장에서의 면적분을 다루어보도록 하겠습니다. 곡면 $S$과 위 그림과 같이 단위 법선벡터 $\mathbf{n}$을 가지는 유향곡면이라고 하고, 곡면 $S$를 통해서 속도벡터장 $\mathbf{v}(x, y, z)$에 따라서 $\rho(x, y, z)$의 밀도를 가지는 유체가 흘러간다고 가정하겠습니다. 단, 곡면 $S$가 유체의 어떠한 흐름도 방해하지 않는다고 가정하겠습니다. 그러면 단위면적 당 유체의 유량은 $\mathbf{F} = \rho \mathbf{v}$ 입니다. 

 

이제 곡면 $S$를 아주 작은 패치 단위 $S_{ij}$로 나누었다고 가정하겠습니다. 그러면 패치 $S_{ij}$는 거의 평면에 근사할 수 있게 되고 패치 $S_{ij}$에서 법선벡터 $\mathbf{n}$의 방향으로 흐르는 유체의 양을 계산할 수 있습니다. 

 

$$\left( \rho \mathbf{v} \cdot \mathbf{n} \right) A(S_{ij})$$

 

이때, $\rho, \mathbf{v}$ 그리고 $\mathbf{n}$은 각각 패치 $S_{ij}$의 어느 표본점에서 계산됩니다. 이제 면적분의 정의를 적용할 수 있습니다. 

 

$$\iint_{S} \rho \mathbf{v} \cdot \mathbf{n} \; dS = \iint_{S} \rho(x, y, z) \mathbf{v}(x, y, z) \cdot \mathbf{n}(x, y, z) \; dS \tag{3}$$

 

위 결과가 전체 곡면 $S$를 통해 흐르는 전체 유량입니다. 이때, 저희가 $\mathbf{F} = \rho \mathbf{v}$라고 하기로 했죠. 따라서, 수식 (3)은 다시 아래와 같이 쓸 수 있습니다. 

 

$$\iint_{S} \mathbf{F} \cdot \; d\mathbf{S} = \iint_{S} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \; dS \tag{4}$$

 

이 결과를 곡면 $S$ 상에서 벡터장 $\mathbf{F}$의 유동량 적분(integral of flux)라고 부르기도 합니다. 수식 (4)를 해석해보면 곡면 $S$ 상에서 벡터장의 면적분은 곡면 $S$ 상에서 법선벡터에 대한 면적분과 동일하다는 것을 알려주고 있습니다. 만약, 곡면 $S$가 매개변수 곡면 $\mathbf{r}(u, v)$로 주어진다고 가정해보겠습니다. 그러면 수식 (4)을 다시 쓸  수 있습니다. 

 

$$\begin{align*} \iint_{S} \mathbf{F} \cdot \; d\mathbf{S} &= \iint_{S} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \; dS \\ &= \iint_{S} \mathbf{F} \cdot \frac{\mathbf{r}_{u} \times \mathbf{r}_{v}}{\left| \mathbf{r}_{u} \times \mathbf{v} \right|} \; dS \\ &= \iint_{D} \left[ \mathbf{F}(\mathbf{r}(u, v)) \cdot \frac{\mathbf{r}_{u} \times \mathbf{r}_{v}}{\left| \mathbf{r}_{u} \times \mathbf{r}_{v} \right|} \right] \left| \mathbf{r}_{u} \times \mathbf{r}_{v} \right| \; dA \\ &= \iint_{D} \mathbf{F} \cdot \left( \mathbf{r}_{u} \times \mathbf{r}_{v} \right) \; dA \tag{5} \end{align*}$$

이때, $D$는 매개변수 공간인 $uv$ 평면 상의 정의역입니다. 

 

예제1. 단위구 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ 상에서 벡터장 $\mathbf{F}(x, y, z) = z \mathbf{i} + y \mathbf{j} + x \mathbf{k}$의 유동량(flux)를 찾으시오.

 

STEP1. 곡면 $S$의 매개변수 곡면과 두 편미분 벡터의 크기 찾기

 

단위구는 아래와 같이 매개변수 곡면으로 표현될 수 있다. 

 

$$\mathbf{r}(\phi, \theta) = \sin(\phi)\cos(\theta) \mathbf{i} + \sin(\phi)\sin(\theta) \mathbf{j} + \cos(\phi) \mathbf{k}$$

 

이때, $\phi \theta$ 평면의 정의역은 $D = [0, \pi] \times [0, 2\pi]$이다. 그리고, 매개변수 곡면 $\mathbf{r}$의 두 편미분 벡터들의 외적을 계산한다. 

 

$$\begin{align*} \mathbf{r}_{\phi} \times \mathbf{r}_{\theta} &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial x}{\partial \phi} & \frac{\partial y}{\partial \phi} & \frac{\partial z}{\partial \phi} \\ \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial \theta} \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \cos(\phi)\cos(\theta) & \cos(\theta)\sin(\theta) & -\sin(\phi) \\ -\sin(\phi)\sin(\theta) & \sin(\phi)\cos(\theta) & 0 \end{vmatrix} \\ &= \sin^{2}(\phi) \sin(\theta) \mathbf{i} \sin^{2}(\phi) \sin(\theta) \mathbf{j} + \sin^{2}(\phi) \cos(\theta) \mathbf{k} \end{align*}$$

 

STEP2. $\mathbf{F}(\mathbf{r}(\phi, \theta)) \cdot \left( \mathbf{r}_{\phi} \times \mathbf{r}_{\theta} \right)$ 계산하기

 

$$\begin{align*} \mathbf{F}(\mathbf{r}(\phi, \theta)) \cdot \left( \mathbf{r}_{\phi} \times \mathbf{r}_{\theta} \right) &= \cos(\phi)\sin^{2}(\phi)\sin(\theta) + \sin^{3}(\phi)\sin^{2}(\theta) + \sin^{2}(\phi)\cos(\theta)\cos(\theta) \\ &= 2\sin^{2}(\phi)\cos(\phi)\cos(\theta) + \sin^{3}(\phi)\sin^{2}(\theta) \end{align*}$$

 

STEP3. 수식 (5)를 이용해서 면적분 계산

 

$$\begin{align*} \iint_{S} \mathbf{F} \cdot \; d\mathbf{S} &= \iint_{D} \mathbf{F} \cdot \left( \mathbf{r}_{u} \times \mathbf{r}_{v} \right) \; dA \\ &= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} (2\sin^{2}\cos(\phi)\cos(\theta) + \sin^{3}(\phi)\cos^{2}(\theta)) \; d\phi d\theta\\ &= 2\int_{0}^{\pi} \sin^{2}(\phi)\cos(\phi) \; d\phi \int_{0}^{2\pi} \cos(\theta) \; d\theta + \int_{0}^{\pi} \sin^{3}(\phi) \; d\phi \int_{0}^{2\pi} \sin^{2}(\theta) \; d\theta \\ &= 0 + \int_{0}^{\pi} \sin^{3}(\phi) \; d\phi \int_{0}^{2\pi} \sin^{2}(\theta) \; d\theta \\ &= \frac{4}{3}\pi \end{align*}$$

 

이때, 저희는 수식 (5)에서 $z = g(x, y)$로 표현된다고 가정하면 $\mathbf{F}$ 와 $\mathbf{r}_{x} \times \mathbf{r}_{y}$를 직접 계산해서 정리할 수 있습니다. 

 

$$\begin{align*} \iint_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} &= \iint_{D} \mathbf{F} \cdot \left( \mathbf{r}_{x} \times \mathbf{r}_{y} \right) \; dA \\ &= \iint_{D} \left( P\mathbf{i} + Q \mathbf{j} + R \mathbf{k} \right) \cdot \left( -\frac{\partial g}{\partial x} \mathbf{i} - \frac{\partial g}{\partial y} \mathbf{j} + \mathbf{k} \right) \; dA \\ &= \iint_{D} \left( -P \frac{\partial g}{\partial x} - Q \frac{\partial g}{\partial y} + R\right) \; dA \tag{6} \end{align*}$$

 

예제2. 곡면 $S$가 포물면 $z = 1 - x^{2} - y^{2}$과 $z = 0$로 둘러쌓인 경계면이고 벡터함수 $\mathbf{F}(x, y, z) = y \mathbf{i} + x \mathbf{j} + z \mathbf{k}$가 주어졌을 때 면적분 $\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$를 계산하라.

 

STEP1. 곡면 $S$를 3차원으로 그리기

 

 

STEP2. 부분곡면 상에서 면적분 수행하기

 

1). $S_{1} : z = 1 - x^{2} - y^{2}$

 

곡면 $S_{1}$을 우리는 아래와 같이 매개변수로 만들어서 쓸 수 있다. 

 

$$\begin{cases} x &= x \\ y &= y \\ z &= 1 - x^{2} - y^{2} = g(x, y)\end{cases}$$

 

따라서, 수식 (6)을 아래와 같이 적용할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \iint_{S_{1}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} &= \iint_{D} \left(-P \frac{\partial g}{\partial x} - Q \frac{\partial g}{\partial y} + R \right) \; dA \\ &= \iint_{D} \left[ -y(-2x) - x(-2y) + 1 - x^{2} - y^{2} \right] \; dA \\ &= \iint_{D} \left( 1 + 4xy - x^{2} - y^{2} \right) \; dA \\ &= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \left( 1 + 4r^{2}\cos(\theta)\sin(\theta) - r^{2} \right)r \; drd\theta \\ &= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} (r - r^{3} + 4r^{3}\cos(\theta)\sin(\theta)) \; drd\theta \\ &= \int_{0}^{2\pi} \left( \frac{1}{4} + \cos(\theta)\sin(\theta) \right) \; d\theta \\ &= \frac{1}{4}(2\pi) + 0 = \frac{\pi}{2} \end{align*}$$

 

1). $S_{2} : z = 0$

 

곡면 $S_{2}$는 아래쪽을 향하는 방향이기 때문에 곡면 $S_{2}$의 단위법선벡터는 $\mathbf{n} = -\mathbf{k}$이다. 따라서 수식 (6)을 아래와 같이 적용할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \iint_{S_{2}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} &= \iint_{S_{2}} \mathbf{F} \cdot (-\mathbf{k}) \; dS \\ &= \iint_{D} (-z) \; dA \\ &= \iint_{D} 0 \; dA = 0\end{align*}$$

 

STEP3. 각 부분곡면의 면적분 결과를 하나로 합치기

 

$$\begin{align*} \iint_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} &= \iint_{S_{1}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} + \iint_{S_{2}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} \\ &= \frac{\pi}{2} + 0 = \frac{\pi}{2} \end{align*}$$