미적분학 - 발산 정리

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 스토크스의 정리에서는 그린 정리의 일반화 버전인 스토크스의 정리에 대한 특별한 경우의 증명에 대해서 알아보고 예제를 풀어보았습니다. 오늘은 미적분학 관련 마지막 포스팅으로 발산 정리 (Divergence Theorem)을 알아보도록 하겠습니다. 

 

미적분학 - 회전과 발산에서 그린 정리를 벡터장 버전으로 작성했던 것을 기억하시나요?

 

$$\int_{C} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \; ds = \iint_{D} \text{div } \mathbf{F}(x, y) \; dA$$

 

여기서 곡선 $C$는 영역 $D$의 경계선으로 양의 방향성을 가지게 됩니다. 이 정리를 3차원으로 확장하면 아래와 같이 쓸 수 있습니다. 

 

$$\iint_{S} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \; dS = \iiint_{E} \text{div } \mathbf{F}(x, y, z) \; dV$$

 

여기서 곡면 $S$는 입체공간 $E$의 경계면입니다. 이 정리를 발산정리라고 하죠. 이를 좀 더 엄밀하게 정리해보도록 하죠.

 

 정리1. 발산 정리 (Divergence Theorem; Gauss's Theorem)

$E$를 단순 입체공간, $S$를 입체공간 $E$의 양의 방향을 가지는 경계면이라고 하자. $\mathbf{F}$를 각 성분함수가 $E$를 포함하는 열린 공간에서 연속인 편도함수를 가지는 벡터장이라고 할 때 아래의 식이 성립한다. 

 

$$\iint_{S} \mathbf{F} \cdot \; d\mathbf{S} = \iiint_{E} \text{div } \mathbf{F}(x, y, z) \; dV \tag{1}$$

 

설명

그린 정리와 발산 정리의 유사점이 보이시나요? 그린 정리는 선적분과 이중적분 사이의 관계를 설명하고 발산 정리를 한차원 더 높혀 면적분과 삼중적분 사이의 관계를 설명해주는 정리입니다. 해석해보면 어떤 입체 $E$를 통과하는 벡터장 $\mathbf{F}$의 유량 (flux)는 입체 $E$에서 벡터장 $\mathbf{F}$의 발산의 삼중적분과 동일하다는 뜻입니다.

 

이번에는 발산 정리를 증명해보도록 하죠. 일단 수식 (1)의 우항을 먼저 정리해보겠습니다. 벡터장 $\mathbf{F}$가 3차원 공간에서 정의되었기 때문에 $\mathbf{F} = P \mathbf{i} + Q \mathbf{j} + R \mathbf{k}$라고 쓸 수있습니다. 그리고 조건에 의해 각 성분함수 $P, Q, R$들은 모두 정의역에서 연속인 편도함수를 가지게 되죠. 따라서, 벡터장 $\mathbf{F}$의 발산을 계산할 수 있습니다. 

 

$$\text{div } \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \tag{2}$$

 

따라서, 수식 (2)의 양변에 영역 $E$에 대해서 삼중적분을 적용할 수 있습니다. 

 

$$\iiint_{E} \text{div } \mathbf{F}  = \iiint_{E} \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) \; dV = \iiint_{E} \frac{\partial P}{\partial x} \; dV + \iiint_{E} \frac{\partial Q}{\partial y} \; dV + \iiint_{E} \frac{\partial R}{\partial z} \; dV \tag{3}$$

 

우항은 어느정도 마무리된거 같으니 좌항을 정리해보도록 하겠습니다. $\mathbf{n}$을 곡면 $S$의 단위법선벡터 (unit normal vector)라고 하겠습니다. 그러면 발산 정리의 좌항은 아래와 같이 쓸 수 있습니다. 

 

$$\begin{align*} \iint_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} &= \iint_{S} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \; dS \\ &= \iint_{S} (P \mathbf{i} + Q \mathbf{j} + R \mathbf{k} ) \cdot \mathbf{n} \; dS \\ &= \iint_{S} P \mathbf{i} \cdot \mathbf{n} \; dS + \iint_{S} Q \mathbf{j} \cdot \mathbf{n} \; dS + \iint_{S} R \mathbf{k} \cdot \mathbf{n} \; dS \end{align*}$$

 

이제 저희가 증명해야하는 것은 아래와 같습니다. 

 

$$\begin{cases} \iint_{S} P \mathbf{i} \cdot \mathbf{n} \; dS &= \iiint_{E} \frac{\partial P}{\partial x} \; dV \\ \iint_{S} Q \mathbf{j} \cdot \mathbf{n} \; dS &= \iiint_{E} \frac{\partial Q}{\partial y} \; dV \\ \iint_{S} R \mathbf{k} \cdot \mathbf{n} \; dS &= \iiint_{E} \frac{\partial R}{\partial z} \; dV \end{cases} \tag{4}$$

 

수식 (4)를 증명하기 위해서 저희는 영역 $E$가 아래와 같은 모양을 가진다고 가정하겠습니다. 

 

$$E = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} | (x, y) \in D, u_{1}(x, y) \le z \le u_{2}(x, y)\}$$

 

이때, 영역 $D$는 영역 $E$를 $xy$ 평면으로 사영시켰을 때 얻을 수 있는 영역이라고 하겠습니다. 수식 (4)에서는 하나의 식만 증명하면 다른 수식들도 동일한 방법을 이용해서 증명할 수 있기 때문에 마지막 방정식만 증명해보도록 하겠습니다. 일단, 좌항인 삼중적분을 한번 정리해볼 수 있습니다. 

 

$$\iiint_{E} \frac{\partial R}{\partial z} \; dV = \iint_{D} \left[ \int_{u_{1}(x, y)}^{u_{2}(x, y)} \frac{\partial R}{\partial z}(x, y, z) \; dz \right] \; dA \tag{5}$$

 

따라서, 미적분학 기본정리에 의해서 아래와 같이 쓸  수 있죠. 

 

$$\iiint_{E} \frac{\partial R}{\partial z} \; dV = \iint_{D} \left[ R(x, y, u_{2}(x, y)) - R(x, y, u_{1}(x, y)) \right] \; dA $$

 

다음으로 저희는 우항을 변형해야하는 데 기본적으로 우항은 면적분이기 때문에 그림을 그려봐야합니다. 

 

 

저희는 영역 $E$가 위 그림과 같이 생겼다고 가정을 하였죠. 그러면 곡면 $S$는 크게 3개의 곡면으로 이루어지게 됩니다. 곡면의 바닥부분인 $S_{1}$, 곡면의 윗부분인 $S_{2}$, 마지막으로 곡면의 옆면인 $S_{3}$입니다. 저희는 미적분학 - 면적분을 공부할 때 부드러운 작은 곡면들로 이루어진 큰 곡면의 면적분은 각각의 작은 곡면들의 면적분의 합과 같다고 하였기 때문에 각 작은 곡면들의 면적분을 계산해야합니다. 

 

$$\iint_{S} R \mathbf{k} \cdot \mathbf{n} dS = \iint_{S_{1}} R \mathbf{k} \cdot \mathbf{n} \; dS + \iint_{S_{2}} R \mathbf{k} \cdot \mathbf{n} \; dS + \iint_{S_{3}} R \mathbf{k} \cdot \mathbf{n} \; dS $$

 

1). $\iint_{S_{3}} R \mathbf{k} \cdot \mathbf{n} \; dS$

 

해당 곡면에서의 면적분은 간단합니다. 왜냐하면 두 벡터 $\mathbf{k}$와 $\mathbf{n}$은 서로 수직관계를 가지기 때문에 미적분학 - 벡터의 내적에서 보았듯이 두 벡터의 내적은 0이 됩니다. 따라서 해당 곡면에서의 면적분은 0이죠. 

 

$$\iint_{S_{3}} R \mathbf{k} \cdot \mathbf{n} \; dS = 0$$

 

2). $\iint_{S_{2}} R \mathbf{k} \cdot \mathbf{n} \; dS$

 

곡면 $S_{2}$는 $(x, y) \in D$에서 $z = u_{2}(x, y)$를 만족하게 됩니다. 이때, 곡면의 방향은 양의 방향을 가진다고 하겠습니다. 따라서, 저희는 아래와 같이 쓸 수 있죠. 

 

$$\iint_{S_{2}} R \mathbf{k} \cdot \mathbf{n} \; dS = \iint_{D} R(x, y, u_{2}(x, y)) \; dA $$

 

3). $\iint_{S_{1}} R \mathbf{k} \cdot \mathbf{n} \; dS$

 

곡면 $S_{1}$는 $(x, y) \in D$에서 $z = u_{1}(x, y)$를 만족하게 됩니다, 여기서 곡면의 방향은 음의 방향을 가지기 때문에 곡면 $S_{2}$와 방향을 맞추기 위해서 음수를 취해주어야합니다. 따라서, 저희는 아래와 같이 쓸 수 있죠.

 

$$\iint_{S_{1}} R \mathbf{k} \cdot \mathbf{n} \; dS = -\iint_{D} R(x, y, u_{1}(x, y)) \; dA $$

 

이제 각 작은 곡면의 면적분의 결과를 하나로 정리해주면 됩니다. 

 

$$\begin{align*} \iint_{S} R \mathbf{k} \cdot \mathbf{n} dS &= \iint_{S_{1}} R \mathbf{k} \cdot \mathbf{n} \; dS + \iint_{S_{2}} R \mathbf{k} \cdot \mathbf{n} \; dS + \iint_{S_{3}} R \mathbf{k} \cdot \mathbf{n} \; dS \\ &= \iint_{D} R(x, y, u_{2}(x, y)) \; dA - \iint_{D} R(x, y, u_{1}(x, y)) \; dA \\ &= \iint_{D} \left[ R(x, y, u_{2}(x, y)) - R(x, y, u_{1}(x, y)) \right] \; dA  \end{align*} \tag{6}$$

 

수식 (5)와 (6)의 결과로 인해 수식 (4)의 마지막 방정식이 증명됩니다. 이와 동일한 방법으로 다른 수식도 증명할 수 있습니다. 그러면 발산 정리의 증명은 끝나게 되죠. 

이렇게 지금까지 총 100개가 넘는 미적분학 관련 포스팅을 마무리 하도록 하겠습니다. 이후에 추가적으로 올라오는 미적분학 관련 포스팅의 아마 없을겁니다. 하지만, 그 동안 포스팅했던 게시글 중 추가적인 연습문제 및 증명을 추가하여 보강할 생각이입니다. 혹시라도 제가 생각했을 때 재밌는 미적분학 주제가 생각난다면 가끔 추가적으로 게시하도록 하겠습니다. 지금까지 봐주셔서 감사합니다!! 질문과 지적은 언제든지 환영입니다.