안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 그린 정리에서는 이변수 함수에서의 미적분학 기본정리(Fundamental Theorem of Calculus; FTC)인 그린 정리(Green's Theorem)에 대해서 알아보았습니다. 그린 정리의 핵심은 어려운 선적분을 곡선이 정의된 영역에서의 단순한 이중적분으로 변환하여 계산하는 것이였습니다. 오늘은 벡터장에서 중요한 개념인 회전(curl)과 발산(divergence)에 대해서 알아보도록 하겠습니다.
정의1. 회전(curl)
3차원 실수공간 $\mathbb{R}^{3}$에서 정의된 벡터함수 $\mathbf{F} = P \mathbf{i} + Q \mathbf{j} + R \mathbf{k}$와 $P, Q$ 그리고 $R$의 편도함수가 모두 존재할 때 벡터함수 $\mathbf{F}$의 회전은 3차원 실수공간 $\mathbb{R}^{3}$에서 아래와 같이 정의된다.
$$\text{curl} \mathbf{F} = \left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial P} {\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathbf{k} \tag{1}$$
설명
저희는 위 회전이라는 개념을 새로운 연산자인 미분연산자(Differential Operator) $\nabla$를 이용해서 표현할 수 있습니다.
$$\nabla = \mathbf{i} \frac{\partial }{\partial x} + \mathbf{j} \frac{\partial }{\partial y} + \mathbf{k} \frac{\partial }{\partial z} \tag{2}$$
이제 간단하게 예시로 함수의 기울기벡터를 미분연산자를 이용해서 표현하면 아래와 같이 쓸 수 있습니다. 즉, 함수 $f$와 미분연산자 $\nabla$ 사이의 내적을 계산하면 됩니다.
$$\nabla f = \mathbf{i} \frac{\partial f}{\partial x} + \mathbf{j} \frac{\partial f}{\partial y} + \mathbf{k} \frac{\partial f}{\partial z} = \frac{\partial f}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \mathbf{k}$$
그렇다면 회전은 미분연산자를 이용해서 어떻게 표현할 수 있을까요? 답은 외적입니다. 미적분학 - 벡터의 외적에서 두 벡터의 외적을 계산하는 방법에 대해서 설명하였습니다. 이 부분에 대한 자세한 설명은 생략하고 바로 계산해보도록 하죠.
$$\begin{align*} \nabla \times \mathbf{F} &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} \\ &= \left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial z}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathbf{k} \\ &= \text{curl} \mathbf{F} \end{align*}$$
예제1. 벡터함수 $\mathbf{F} = <xz, xyz, -y^{2}>$이 주어졌을 때 벡터함수 $\mathbf{F}$의 회전 $\text{curl} \mathbf{F}$를 구하여라.
$$\begin{align*} \text{curl} \mathbf{F} &= \nabla \times \mathbf{F} \\ &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ xz & xyz & -y^{2} \end{vmatrix} \\ &= \left(\frac{\partial (-y^{2})}{\partial y} - \frac{\partial xyz}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial xz}{\partial z} - \frac{\partial (-y^{2})}{\partial z}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial xyz}{\partial x} - \frac{\partial xz}{\partial y}\right) \mathbf{k} \\ &= (-2y-xy) \mathbf{i} + x \mathbf{j} + yz \mathbf{k} \\ &= <-y(x + 2), x, yz>\end{align*}$$
정리1.
함수 $f$가 3차원 실수공간 $\mathbb{R}^{3}$에서 정의된 연속인 이계도 편도함수를 가지는 삼차원 벡터함수라고 할 때, $\text{curl} \left( \nabla f \right) = \mathbf{0}$이다.
설명
정리1의 증명은 간단합니다. 저희는 미분연산자 $\nabla$의 정의와 회전 $\text{curl}$의 정의를 잘 활용하면 위 정리를 쉽게 증명할 수 있죠.
$$\begin{align*} \text{curl} \left( \nabla f \right) &= \nabla \times \left( \nabla f \right) \\ &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} & \frac{\partial f}{\partial z} \end{vmatrix} \\ &= \left(\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial z} - \frac{\partial^{2} f}{\partial z \partial y}\right) \mathbf{i} + \left( \frac{\partial^{2} f}{\partial z \partial x} - \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial z} \right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} \right) \mathbf{k} \\ &= 0 \mathbf{i} + 0 \mathbf{j} + 0 \mathbf{k} = \mathbf{0} \end{align*}$$
마지막에는 미적분학 - 편미분의 정리1(클레로 정리; Clairaut’s Theorem)로 인해서 이계 편도함수의 미분순서가 뒤집혀도 동일하다는 사실을 이용하면 얻을 수 있습니다.
여기서 저희는 미적분학 - 선적분과 미적분학 기본정리에서 보았던 정리3에서 만약 벡터함수 $\mathbf{F}$가 보존장(conservative vector field)이면 $\mathbf{F} = \nabla f$로 표현할 수 있음을 상기할 수 있습니다. 따라서 정리1은 아래와 같이 다실 쓸 수 있습니다.
따름정리1.
벡터장 $\mathbf{F}$가 보존장이면 $\text{curl } \mathbf{F} = 0$이다.
설명
일반적으로 따름정리1의 역은 항상 참이 아니지만 앞으로 소개해드릴 정리는 벡터장 $\mathbf{F}$가 단순연결된 영역 $D$에서 정의되었다면 참임을 알려줍니다.
정리2.
3차원 실수공간 $\mathbb{R}^{3}$에서 정의된 벡터장 $\mathbf{F}$의 각 성분함수가 연속 일계도함수를 가지고 $\text{curl } \mathbf{F} = \mathbf{0}$일 때 벡터장 $\mathbf{F}$는 보존장이다.
예제2. 3차원 실수공간 $\mathbb{R}^{3}$에서 정의된 벡터장 $\mathbf{F}(x, y, z) = y^{2}z^{3} \mathbf{i} + 2xyz^{3} \mathbf{j} + 3xy^{2}z^{2} \mathbf{k}$이 보존장임을 증명하고 $\mathbf{F} = \nabla f$를 만족하는 $f$를 찾아라.
STEP1. 벡터장 $\mathbf{F}$가 보존장임을 증명하기
먼저, 벡터장 $\mathbf{F}$가 단순연결 공간인 3차원 실수공간에서 정의되었으며 각 성분함수가 다항식으로 이루어져있기 때문에 모두 연속인 일계 도함수를 가진다. 다음으로 $\text{curl } \mathbf{F}$를 계산한다.
$$\begin{align*} \text{curl } \mathbf{F} &= \nabla \times \mathbf{F} \\ &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ y^{2}z^{3} & 2xyz \end{vmatrix} \\ &= (6xyz^{2} - 6xyz^{2}) \mathbf{i} + (3y^{2}z^{2} - 3y^{2}z^{2}) \mathbf{j} + (2yz^{3} - 2yz^{3}) \mathbf{k} \\ &= \mathbf{0} \end{align*}$$
$\mathbf{F}$의 정의역이 3차원 실수공간 $\mathbf{R}^{3}$이고 $\text{curl } \mathbf{F} = \mathbf{0}$이기 때문에 정리2에 의해 벡터장 $\mathbf{F}$는 보존장이다.
STEP2. $\mathbf{F} = \nabla f$를 만족하는 $f$를 찾기
벡터장 $\mathbf{F}$가 보존장이기 때문에 $\mathbf{F} = \nabla f$이 성립한다. 따라서 아래의 수식을 얻을 수 있다.
$$\begin{cases} f_{x}(x, y, z) &= y^{2}z^{3} \\ f_{y}(x, y, z) &= 2xyz^{3} \\ f_{z}(x, y, z) &= 3y^{2}z^{2} \end{cases}$$
$x$에 대한 일계 편도함수 $f_{x}$를 $x$에 대해서 편적분한다.
$$f(x, y, z) = xy^{2}z^{3} + g(y, z) \tag{3}$$
다음으로 수식 (3)을 $y$에 대해서 편미분한다.
$$f_{y}(x, y, z) = 2xyz^{3} + g_{y}(y, z) = 2xyz^{3} \Rightarrow g_{y}(y, z) = 0$$
$g(y, z)$를 $y$에 대한 편도함수가 0이기 때문에 $z$에 대한 함수라고 할 수 있으므로 $g(y, z) = h(z)$라고 표현할 수 있다. 이제 수식 (3)을 $z$에 대한 편도함수를 계산한다.
$$f_{z}(x, y, z) = 3xy^{2}z^{2} + h^{'}(z) = 3xy^{2}z^{2} \Rightarrow h^{'}(z) = 0$$
$h(z)$를 도함수가 0이기 때문에 임의의 실수 $k$에 대한 $h(z) = k$인 상수함수라고 할 수 있다.
$$f(x, y, z) = xy^{2}z^{3} + k$$
정의2. 발산(divergence)
3차원 실수공간 $\mathbb{R}^{3}$에서 정의된 벡터함수 $\mathbf{F} = P \mathbf{i} + Q \mathbf{j} + R \mathbf{k}$와 $P, Q$ 그리고 $R$의 편도함수가 모두 존재할 때 벡터함수 $\mathbf{F}$의 발산은 3차원 실수공간 $\mathbb{R}^{3}$에서 아래와 같이 정의된다.
$$\text{div } \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$$
설명
정의1에서 사용했던 미분연산자 $\nabla$를 이용해서 발산을 내적으로 표현할 수 있습니다.
$$\nabla \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = \text{div } \mathbf{F} $$
예제3. 벡터함수 $\mathbf{F}(x, y, z) = <xz, xyz, -y^{2}>$이 주어졌을 때, 벡터함수 $\mathbf{F}$의 발산 $\text{div } \mathbf{F}$를 구하여라.
$$\begin{align*} \text{div } \mathbf{F} &= \nabla \mathbf{F} \\ &= \frac{\partial}{\partial x} (xz) + \frac{\partial}{\partial y} (xyz) + \frac{\partial}{\parital z} (-y^{2}) \\ &= z + xz + 0 = z(x + 1)\end{align*}$$
정리3.
함수 $f$가 3차원 실수공간 $\mathbb{R}^{3}$에서 정의된 연속인 이계도 편도함수를 가지는 삼차원 벡터함수라고 할 때 $\text{div } \text{curl } \mathbf{F} = \mathbf{0}$이다.
설명
정리3의 증명은 정리1과 마찬가지로 $\text{curl}$의 정의와 $\text{div}$의 정의를 적절하게 사용하면 쉽게 증명할 수 있습니다.
$$\begin{align*} \text{div } \text{curl } \mathbf{F} &= \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) \\ &= \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right) + \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right) + \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \\ &= \left( \frac{\partial^{2} R}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^{2} Q}{\partial x \partial z} \right) + \left( \frac{\partial^{2} P}{\partial y \partial z} - \frac{\partial^{2} R}{\partial y \partial x} \right) + \left( \frac{\partial^{2} Q}{\partial z \partial x} - \frac{\partial^{2} P}{\partial z \partial y} \right) \\ &= 0\end{align*}$$
마지막에는 미적분학 - 편미분의 정리1(클레로 정리; Clairaut’s Theorem)로 인해서 이계 편도함수의 미분순서가 뒤집혀도 동일하다는 사실을 이용하면 얻을 수 있습니다.
일반적으로 저희는 미분연산자 $\nabla$를 많이 사용하지만 가끔 미분연산자 $\nabla$를 두번 연속을 계산해야하는 경우가 있습니다. 예를 들어 $\text{div } \left( \nabla f \right) = \nabla \cdot \left( \nabla f \right)$ 같은 경우이죠. 이 경우에는 $\nabla^{2} f$로 축약해서 쓸 수 있습니다. 이와 같은 연산자를 라플라스 연산자(Laplace operator)라고 부릅니다.
$$\nabla^{2} f = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}$$
라플라스 연산자는 스칼라 함수뿐만 아니라 벡터함수 $\mathbf{F} = P \mathbf{i} + Q \mathbf{j} + R \mathbf{k}$에서도 쉽게 계산할 수 있습니다.
$$\nabla^{2} \mathbf{F} = \left( \nabla^{2} P \right) \mathbf{i} + \left( \nabla^{2} Q \right) \mathbf{j} + \left( \nabla^{2} R \right) \mathbf{k}$$
정리4. 그린정리의 벡터형식(Vector form of Green's Theorem)
양의 방향을 가지는 곡선 $C$가 조각별로 부드럽고 단순하게 닫혀있는 곡선이라고 하고 $D$를 곡선 $C$에 의해 제한되는 영역이라고 할 때 영역 $D$를 포함하는 열린 영역에서 정의된 벡터함수 $\mathbf{F} = P \mathbf{i} + Q \mathbf{j}$의 성분함수 $P$와 $Q$가 연속 편도함수를 가진다고 가정하면 아래의 식이 성립한다.
$$\oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_{D} \left( \text{curl} \mathbf{F} \right) \cdot \mathbf{k} \; dA \tag{4}$$
설명
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곡선 $C$의 매개변수 함수 $\mathbf{r}$가 $a \le t \le b$에서 $\mathbf{r}(t) = x(t) \mathbf{i} + y(t) \mathbf{j}$와 같이 표현된다고 가정하겠습니다. 위 그림에서 보시는 것과 같이 곡선 $C$의 기울기 벡터(Tangent Vector)와 법선벡터(normal vector)를 각각 $\mathbf{T}$와 $\mathbf{n}$라고 하겠습니다.
$$\mathbf{T}(t) = \frac{x^{'}(t)}{\left| \mathbf{r}(t) \right|} \mathbf{i} + \frac{y^{'}(t)}{\left| \mathbf{r}(t) \right|} \mathbf{j}$$
$$\mathbf{n}(t) = \frac{y^{'}(t)}{\left| \mathbf{r}(t) \right|} \mathbf{i} - \frac{x^{'}(t)}{\left| \mathbf{r}(t) \right|} \mathbf{j}$$
그러면 저희는 벡터함수 $\mathbf{F}$와 법선벡터 $\mathbf{n}$ 사이의 내적의 곡선 $C$ 상에서의 선적분을 아래와 같이 계산할 수 있습니다.
$$\begin{align*} \oint_{C} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \; ds &= \int_{a}^{b} \left( \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \right) \left| \mathbf{r}^{'}(t) \right| \; dt \\ &+ \int_{a}^{b} \left[\frac{P(x(t), y(t)) y^{'}(t)}{\left| \mathbf{r}^{'}(t) \right|}\right] - \frac{Q(x(t), y(t))x^{'}(t)}{\left| \mathbf{r}^{'}(t) \right|} \left| \mathbf{r}^{'} \right| \\ &= \int_{a}^{b} P(x(t), y(t)) y^{'}(t) \; dt - Q(x(t), y(t)) x^{'}(t) \; dt \\ &= \int_{C} P \; dy - Q \; dx \\ &= \iint_{D} \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\right) \; dA \\ &= \iint_{D} \text{div } \mathbf{F}(x, y) \; dA \end{align*}$$
위 수식은 곡선 $C$ 상에서 벡터함수 $\mathbf{F}$의 법선 벡터에 대한 선적분은 곡선 $C$에 둘러쌓인 영역 $D$ 상에서 벡터함수 $\mathbf{F}$의 발산의 이중적분과 동일하다는 것을 알려줍니다.
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안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 그린 정리에서는 이변수 함수에서의 미적분학 기본정리(Fundamental Theorem of Calculus; FTC)인 그린 정리(Green's Theorem)에 대해서 알아보았습니다. 그린 정리의 핵심은 어려운 선적분을 곡선이 정의된 영역에서의 단순한 이중적분으로 변환하여 계산하는 것이였습니다. 오늘은 벡터장에서 중요한 개념인 회전(curl)과 발산(divergence)에 대해서 알아보도록 하겠습니다.
정의1. 회전(curl)
3차원 실수공간 R3에서 정의된 벡터함수 F=Pi+Qj+Rk와 P,Q 그리고 R의 편도함수가 모두 존재할 때 벡터함수 F의 회전은 3차원 실수공간 R3에서 아래와 같이 정의된다.
curlF=(∂R∂y−∂Q∂z)i+(∂P∂z−∂R∂x)j+(∂Q∂x−∂P∂y)k
설명
저희는 위 회전이라는 개념을 새로운 연산자인 미분연산자(Differential Operator) ∇를 이용해서 표현할 수 있습니다.
∇=i∂∂x+j∂∂y+k∂∂z
이제 간단하게 예시로 함수의 기울기벡터를 미분연산자를 이용해서 표현하면 아래와 같이 쓸 수 있습니다. 즉, 함수 f와 미분연산자 ∇ 사이의 내적을 계산하면 됩니다.
∇f=i∂f∂x+j∂f∂y+k∂f∂z=∂f∂xi+∂f∂yj+∂f∂zk
그렇다면 회전은 미분연산자를 이용해서 어떻게 표현할 수 있을까요? 답은 외적입니다. 미적분학 - 벡터의 외적에서 두 벡터의 외적을 계산하는 방법에 대해서 설명하였습니다. 이 부분에 대한 자세한 설명은 생략하고 바로 계산해보도록 하죠.
∇×F=|ijk∂∂x∂∂y∂∂zPQR|=(∂R∂y−∂Q∂z)i+(∂P∂z−∂R∂z)j+(∂Q∂x−∂P∂y)k=curlF
예제1. 벡터함수 F=<xz,xyz,−y2>이 주어졌을 때 벡터함수 F의 회전 curlF를 구하여라.
curlF=∇×F=|ijk∂∂x∂∂y∂∂zxzxyz−y2|=(∂(−y2)∂y−∂xyz∂z)i+(∂xz∂z−∂(−y2)∂z)j+(∂xyz∂x−∂xz∂y)k=(−2y−xy)i+xj+yzk=<−y(x+2),x,yz>
정리1.
함수 f가 3차원 실수공간 R3에서 정의된 연속인 이계도 편도함수를 가지는 삼차원 벡터함수라고 할 때, curl(∇f)=0이다.
설명
정리1의 증명은 간단합니다. 저희는 미분연산자 ∇의 정의와 회전 curl의 정의를 잘 활용하면 위 정리를 쉽게 증명할 수 있죠.
curl(∇f)=∇×(∇f)=|ijk∂∂x∂∂y∂∂z∂f∂x∂f∂y∂f∂z|=(∂2f∂y∂z−∂2f∂z∂y)i+(∂2f∂z∂x−∂2f∂x∂z)j+(∂2f∂x∂y−∂2f∂y∂x)k=0i+0j+0k=0
마지막에는 미적분학 - 편미분의 정리1(클레로 정리; Clairaut’s Theorem)로 인해서 이계 편도함수의 미분순서가 뒤집혀도 동일하다는 사실을 이용하면 얻을 수 있습니다.
여기서 저희는 미적분학 - 선적분과 미적분학 기본정리에서 보았던 정리3에서 만약 벡터함수 F가 보존장(conservative vector field)이면 F=∇f로 표현할 수 있음을 상기할 수 있습니다. 따라서 정리1은 아래와 같이 다실 쓸 수 있습니다.
따름정리1.
벡터장 F가 보존장이면 curl F=0이다.
설명
일반적으로 따름정리1의 역은 항상 참이 아니지만 앞으로 소개해드릴 정리는 벡터장 F가 단순연결된 영역 D에서 정의되었다면 참임을 알려줍니다.
정리2.
3차원 실수공간 R3에서 정의된 벡터장 F의 각 성분함수가 연속 일계도함수를 가지고 curl F=0일 때 벡터장 F는 보존장이다.
예제2. 3차원 실수공간 R3에서 정의된 벡터장 F(x,y,z)=y2z3i+2xyz3j+3xy2z2k이 보존장임을 증명하고 F=∇f를 만족하는 f를 찾아라.
STEP1. 벡터장 F가 보존장임을 증명하기
먼저, 벡터장 F가 단순연결 공간인 3차원 실수공간에서 정의되었으며 각 성분함수가 다항식으로 이루어져있기 때문에 모두 연속인 일계 도함수를 가진다. 다음으로 curl F를 계산한다.
curl F=∇×F=|ijk∂∂x∂∂y∂∂zy2z32xyz|=(6xyz2−6xyz2)i+(3y2z2−3y2z2)j+(2yz3−2yz3)k=0
F의 정의역이 3차원 실수공간 R3이고 curl F=0이기 때문에 정리2에 의해 벡터장 F는 보존장이다.
STEP2. F=∇f를 만족하는 f를 찾기
벡터장 F가 보존장이기 때문에 F=∇f이 성립한다. 따라서 아래의 수식을 얻을 수 있다.
{fx(x,y,z)=y2z3fy(x,y,z)=2xyz3fz(x,y,z)=3y2z2
x에 대한 일계 편도함수 fx를 x에 대해서 편적분한다.
f(x,y,z)=xy2z3+g(y,z)
다음으로 수식 (3)을 y에 대해서 편미분한다.
fy(x,y,z)=2xyz3+gy(y,z)=2xyz3⇒gy(y,z)=0
g(y,z)를 y에 대한 편도함수가 0이기 때문에 z에 대한 함수라고 할 수 있으므로 g(y,z)=h(z)라고 표현할 수 있다. 이제 수식 (3)을 z에 대한 편도함수를 계산한다.
fz(x,y,z)=3xy2z2+h′(z)=3xy2z2⇒h′(z)=0
h(z)를 도함수가 0이기 때문에 임의의 실수 k에 대한 h(z)=k인 상수함수라고 할 수 있다.
f(x,y,z)=xy2z3+k
정의2. 발산(divergence)
3차원 실수공간 R3에서 정의된 벡터함수 F=Pi+Qj+Rk와 P,Q 그리고 R의 편도함수가 모두 존재할 때 벡터함수 F의 발산은 3차원 실수공간 R3에서 아래와 같이 정의된다.
div F=∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z
설명
정의1에서 사용했던 미분연산자 ∇를 이용해서 발산을 내적으로 표현할 수 있습니다.
∇F=∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z=div F
예제3. 벡터함수 F(x,y,z)=<xz,xyz,−y2>이 주어졌을 때, 벡터함수 F의 발산 div F를 구하여라.
div F=∇F=∂∂x(xz)+∂∂y(xyz)+∂\paritalz(−y2)=z+xz+0=z(x+1)
정리3.
함수 f가 3차원 실수공간 R3에서 정의된 연속인 이계도 편도함수를 가지는 삼차원 벡터함수라고 할 때 div curl F=0이다.
설명
정리3의 증명은 정리1과 마찬가지로 curl의 정의와 div의 정의를 적절하게 사용하면 쉽게 증명할 수 있습니다.
div curl F=∇⋅(∇×F)=∂∂x(∂R∂y−∂Q∂z)+∂∂y(∂P∂z−∂R∂x)+∂∂z(∂Q∂x−∂P∂y)=(∂2R∂x∂y−∂2Q∂x∂z)+(∂2P∂y∂z−∂2R∂y∂x)+(∂2Q∂z∂x−∂2P∂z∂y)=0
마지막에는 미적분학 - 편미분의 정리1(클레로 정리; Clairaut’s Theorem)로 인해서 이계 편도함수의 미분순서가 뒤집혀도 동일하다는 사실을 이용하면 얻을 수 있습니다.
일반적으로 저희는 미분연산자 ∇를 많이 사용하지만 가끔 미분연산자 ∇를 두번 연속을 계산해야하는 경우가 있습니다. 예를 들어 div (∇f)=∇⋅(∇f) 같은 경우이죠. 이 경우에는 ∇2f로 축약해서 쓸 수 있습니다. 이와 같은 연산자를 라플라스 연산자(Laplace operator)라고 부릅니다.
∇2f=∂2f∂x2+∂2f∂y2+∂2f∂z2
라플라스 연산자는 스칼라 함수뿐만 아니라 벡터함수 F=Pi+Qj+Rk에서도 쉽게 계산할 수 있습니다.
∇2F=(∇2P)i+(∇2Q)j+(∇2R)k
정리4. 그린정리의 벡터형식(Vector form of Green's Theorem)
양의 방향을 가지는 곡선 C가 조각별로 부드럽고 단순하게 닫혀있는 곡선이라고 하고 D를 곡선 C에 의해 제한되는 영역이라고 할 때 영역 D를 포함하는 열린 영역에서 정의된 벡터함수 F=Pi+Qj의 성분함수 P와 Q가 연속 편도함수를 가진다고 가정하면 아래의 식이 성립한다.
∮CF⋅dr=∬
설명

곡선 C의 매개변수 함수 \mathbf{r}가 a \le t \le b에서 \mathbf{r}(t) = x(t) \mathbf{i} + y(t) \mathbf{j}와 같이 표현된다고 가정하겠습니다. 위 그림에서 보시는 것과 같이 곡선 C의 기울기 벡터(Tangent Vector)와 법선벡터(normal vector)를 각각 \mathbf{T}와 \mathbf{n}라고 하겠습니다.
\mathbf{T}(t) = \frac{x^{'}(t)}{\left| \mathbf{r}(t) \right|} \mathbf{i} + \frac{y^{'}(t)}{\left| \mathbf{r}(t) \right|} \mathbf{j}
\mathbf{n}(t) = \frac{y^{'}(t)}{\left| \mathbf{r}(t) \right|} \mathbf{i} - \frac{x^{'}(t)}{\left| \mathbf{r}(t) \right|} \mathbf{j}
그러면 저희는 벡터함수 \mathbf{F}와 법선벡터 \mathbf{n} 사이의 내적의 곡선 C 상에서의 선적분을 아래와 같이 계산할 수 있습니다.
\begin{align*} \oint_{C} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \; ds &= \int_{a}^{b} \left( \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \right) \left| \mathbf{r}^{'}(t) \right| \; dt \\ &+ \int_{a}^{b} \left[\frac{P(x(t), y(t)) y^{'}(t)}{\left| \mathbf{r}^{'}(t) \right|}\right] - \frac{Q(x(t), y(t))x^{'}(t)}{\left| \mathbf{r}^{'}(t) \right|} \left| \mathbf{r}^{'} \right| \\ &= \int_{a}^{b} P(x(t), y(t)) y^{'}(t) \; dt - Q(x(t), y(t)) x^{'}(t) \; dt \\ &= \int_{C} P \; dy - Q \; dx \\ &= \iint_{D} \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\right) \; dA \\ &= \iint_{D} \text{div } \mathbf{F}(x, y) \; dA \end{align*}
위 수식은 곡선 C 상에서 벡터함수 \mathbf{F}의 법선 벡터에 대한 선적분은 곡선 C에 둘러쌓인 영역 D 상에서 벡터함수 \mathbf{F}의 발산의 이중적분과 동일하다는 것을 알려줍니다.
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