안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 라그랑주 승수법에서는 제약조건 하에서 함수의 최댓값 및 최솟값을 구하는 라그랑주 승수법(Method of Lagrange Multiplier)에 대해서 알아보았습니다. 지금까지는 다변수 함수의 미분과 관련된 내용만 보았습니다. 오늘부터는적분과 관련된 내용을 알아보도록 하죠. 다만, 이제부터는 변수가 여러 개가 있기 때문에 다중적분(Multiple Integral)을 수행하게 됩니다. 전체적으로 단변수 함수의 적분을 이해해야하기 때문에 차근차근 알아보도록 하죠. 1. 단변수 함수의 정적분(Definite Integration of Unit Variable Function) 이 부분에 대한 내용은 미적분학 - 영역 문제와 미적분학 - 적분 정의에서 자세하게 알아보았습니..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 다변수 함수의 최대최소에서는 다변수 함수가 정의된 정의역 내에서 최댓값과 최솟값을 구하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 다변수 함수와 함께 특별한 제약조건(constraint)이 포함되었을 때 다변수 함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 방법인 라그랑주 승수법(Method of Lagrange Multiplier)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 라그랑주 승수법의 기본 개념을 이해하기 위해 위 그림을 함께 설명하도록 하겠습니다. 여기서 $y = f(x, y)$의 다변수 함수가 주어졌다고 가정하겠습니다. 그리고 $f(x, y) = C$로 이어진 분홍선 선 그래프는 함수 $y = f(x, y)$의 등고선을 의미합니다. 이제부터 저희가 원하는 것은 $g(x, y) = ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 기울기벡터에서는 다변수 함수에서 정의되는 기울기벡터에 대해서 알아보았습니다. 뿐만 아니라 정리1에서 방향미분을 기울기벡터를 통해서 구할 수 있다는 것과 정리2에서 방향미분의 최대값은 방향벡터 $\mathbf{u}$와 기울기벡터 $\nabla f$가 동일한 방향을 가르킬 때 임을 알게되었고 이를 통해서 $\left|\nabla f\right|$가 최대값임을 알게 되었습니다. 오늘은 다변수 함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 지역최댓값(local maximum)과 지역최솟값(local minimum) 다변수 함수 $f$가 주어졌을 때 점 $(a, b)$ 근방의 $(x, y)$에 대해서 $f(a, b) \ge f(x, y)$를 ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 방향미분에서는 함수 $f$가 주어졌을 때 점 $(x_{0}, y_{0})$에서 벡터 $\mathbf{u} = $로의 방향미분 $D_{\mathbf{u}} f(x, y)$를 구하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 여기서 방향미분은 기존에 보았던 편미분 $f_{x}$와 $f_{y}$의 일반화된 미분임을 알게 되었습니다. 오늘은 이어서 기울기벡터(Gradient)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 기울기벡터(Gradient) 함수 $f$가 $(x, y)$에 대한 이변수 함수일 때 함수 $f$의 기울기벡터는 $\nabla f(x, y) = $로 정의된다. 예제1. 함수 $f(x, y) = \sin(x) + e^{xy}$일 때 기울기벡터를 구하여라. 더보기 $$\beg..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 다변수 함수의 연쇄법칙에서는 다변수 함수가 주어졌을 때 3가지 버전의 연쇄법칙에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 방향미분(Directional Derivative)의 정의에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 방향미분(Directional Derivative) 함수 $f(x, y)$의 점 $(x_{0}, y_{0})$에서 벡터 $\mathbf{u} = $로의 방향미분은 극한이 존재한다면 아래와 같이 정의된다. $$D_{\mathbf{u}} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_{0} + ha, y_{0} + hb) - f(x_{0}, y_{0})}{h}$$ 설명 일단 방향미분을 설명하기 위해서 일반적으로 저희가 보았던 편미분의 식을 보도록..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 다변수 함수의 미분가능성에서는 다변수 함수의 편미분이 존재한다고 해서 미분이 가능하지 않다는 점과 미분가능성에 대한 명확한 정의 그리고 전미분(total derivative)에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 다변수 함수의 연쇄법칙에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 미적분학 - 연쇄법칙에서 보았던 단변수 함수의 연쇄법칙을 상기해보도록 하겠습니다. 두 함수 $y = f(x)$와 $x = g(t)$가 주어지고 두 함수 모두 미분가능하다고 할 때 $\frac{dy}{dt}$를 구해보겠습니다. $$\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \frac{dx}{dt}$$ 위 수식을 잘 보시면 변수 $x$에 대한 미분 $dx$를 분모와 분자에 추가한 것을 볼 수 있습니다..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 접평면과 선형근사에서는 일변수 함수의 선형근사의 개념을 다변수 함수로 확장하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 다변수 함수의 미분가능성에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 미분가능성(Differentiability) 함수 $z = f(x, y)$가 있다고 했을 때 $\Delta z = f_{x}(a, b)\Delta x + f_{y}(a, b)\Delta y + \epsilon_{1} \Delta x + \epsilon_{2} \Delta y$으로 표현된다면 함수 $f$는 점 $(a, b)$에서 미분가능하다. 설명 다변수 함수의 미분가능성에 대해서 설명하기 위해 간단한 예시를 들어보도록 하겠습니다. 일단, 함수 $z = f(x, y)$가 연속이라고 가정하..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 편미분에서는 편미분의 정의와 다변수 함수가 연속이라면 변수의 순서를 바꾸어 편미분하여도 동일한 결과를 준다는 클레로 정리(Clairaut's Theorem)에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 미적분학 - 선형근사에서도 보았던 개념을 다변수 함수에 그대로 적용해보는 시간을 가져보도록 하겠습니다. 1. 접평면(Tangent plane) 먼저, 접평면에 대해서 설명드리도록 하겠습니다. 이와 동일한 개념으로 2차원에서는 접선(Tangent line)이 있습니다. 3차원으로 차원으로 올라가면서 선이 평면으로 바뀐 거 밖에 없으니 쉽게 이해하실 수 있습니다. 일단 곡면 $S$가 $z = f(x, y)$로 표현된다고 가정하겠습니다. 이때, 함수 $f$는 연속인 일계 도함수를 가지..
