집합론 - 상와 역상

안녕하세요. 지난 포스팅의 집합론 - 함수에서는 함수를 보다 명확하게 정의하기 위해서 대응규칙을 정의하고 합성함수와 함께 특별한 조건을 만족하는 함수들인 단사함수, 전사함수, 전단사함수에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 상(image)와 역상(inverse image)에 대한 이야기를 해보도록 하겠습니다. 

 

 정의1. 상(image)과 역상(inverse image)

1). 함수 $f : A \rightarrow B$와 부분집합 $A_{0} \subset A$가 주어졌다고 가정하자. 집합 $A_{0}$의 모든 원소들을 함수 $f$에 의해 변환시킨 $f(A_{0})$를 함수 $f$에 대한 $A_{0}$의 상이라고 한다. 

 

$$f(A_{0}) = \{b \in B | b = f(a) \text{ for at least one } a \in A_{0}\}$$

 

2). 함수 $f : A \rightarrow B$가 전단사함수이고 부분집합 $B_{0} \subset B$가 주어졌다고 가정하자. 함수 $f$가 전단사함수이기 때문에 역함수 $f^{-1} : B \rightarrow A$가 존재하고 집합 $B_{0}$의 모든 원소들을 함수 $f^{-1}$에 의해 변환시킨 $f^{-1}(B_{0})$를 함수 $f$에 대한 $B_{0}$의 역상이라고 한다. 

 

$$f^{-1}(B_{0}) = \{a \in A | f(a) \in B_{0}\}$$

 

참고자료 및 그림출처

Topology(James Munkres) Ch1. Fundamental Concepts