집합론 - 확장된 합집합과 교집합

안녕하세요. 지난 포스팅의 집합론 - 차집합과 집합론의 규칙에서는 차집합의 정의와 분배법칙, 그리고 드모르간의 법칙을 증명해보았습니다. 지금까지 저희가 보았던 집합 연산 (합집합, 교집합, 차집합)에서는 2개의 집합 사이의 연산이였습니다. 하지만 오늘은 $n$개의 집합 사이의 연산들로 확장해보도록 하겠습니다. 

 

일단, 시작하기 전에 집합의 모임(Collections of Sets)에 대한 이야기를 해보도록 하죠. 종종 저희는 집합에 대한 이야기를 할 때 집합 그 자체를 포함시키는 집합이 존재하는 지에 대한 의문을 품고는 합니다. 이와 같이 집합 $A$를 포함하는 새로운 집합 $\mathcal{A}$가 있다고 할 때 저희는 이 집합을 모임이라고 합니다. 

 

집합의 모임이라고 하더라도 다양하게 정의할 수 있겠죠. 특히, 그 중에서 유명한 모임은 멱집합(Power set) $\mathcal{P}(A)$입니다. 집합 $A$의 멱집합 $\mathcal{P}(A)$는 집합 $A$에 의해 만들어지는 모든 부분집합을 포함하는 집합입니다. 예를 들어, $A = \{a, b, c\}$가 있다고 했을 때, 집합 $A$의 부분집합을 구해보겠습니다.

 

$$\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{b, c\}, \{a, c\}, \{a, b, c\}$$

 

그리고 멱집합이 이 부분집합들을 모두 포함하는 집합이 되는 것이죠.

 

$$\mathcal{P}(A) = \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{b, c\}, \{a, c\}, \{a, b, c\}\}$$

 

잘보시면 집합 $A \in \mathcal{P}(A)$임을 볼 수 있죠. 

 

 정의1. 확장된 합집합과 교집합

집합 $\mathcal{A}$를 집합의 모임이라고 했을 때, 집합 $\mathcal{A}$에 속하는 집합들의 합집합과 교집합은 아래와 같이 정의된다. 

 

$$\bigcup_{A \in \mathcal{A}} A = \{x | x \in A \text{ for at least one } A \in \mathcal{A}\}$$

$$\bigcap_{A \in \mathcal{A}} A = \{x | x \in A \text{ for every } A \in \mathcal{A}\}$$

 

참고자료 및 그림출처

Topology(James Munkres) Ch1. Fundamental Concepts