집합론 - 교집합, 공집합, "If ... Then"의 의미

안녕하세요. 지난 포스팅의 집합론 - "or" 의 의미에서는 영어 단어 "or"이 가지는 모호성으로 인해 발생하는 문제가 수학에서도 발생하지 않도록 하기 위해 "or"의 의미를 명확하게 정의하였습니다. 정리하면 임의의 두 명제 $P$와 $Q$에 대해서 $P \text{ or } Q$라는 것은 명제 $P$이거나 명제 $Q$이거나 $P$와 $Q$를 모두(both) 만족하는 것입니다. 그리고 두 집합 $A$와 $B$의 합집합 $A \cup B$의 정의에 대해서도 알아보았습니다. 오늘도 집합론을 본격적으로 공부하기에 앞서 간단한 몇 가지 정의들(교집합, 공집합)을 알아보고 가정-결론으로 구성되는 "If ... Then" 구조문의 의미를 알아보도록 하겠습니다. 

 

 정의1. 교집합(intersection)

임의의 두 집합 $A$와 $B$가 주어졌을 때 $A$와 $B$의 교집합은 $A \cap B = \{x | x \in A \text{ and } x \in B\}$이다. 

 

설명

지난 포스팅에서 영어 단어 "or"에 의해서 두 집합의 합집합 $A \cup B$를 정의할 때 생기는 모호성을 말씀드렸습니다. 그렇다면 교집합 $A \cap B$를 정의할 때는 문제가 발생하지 않을까요? 아쉽게도 문제는 영어 단어 "and"에서 오는 것이 아니라 두 집합에서 동일한 원소 $x$가 존재하지 않을 때 발생합니다. 따라서, 저희는 이 경우에 특별히 정의를 해주어야하죠. 

 

이러한 상황을 해결하기 위해서 일반적으로 공집합(empty set) $\emptyset$이라는 개념을 만들게 되었습니다. 즉, 어떠한 원소도 존재하지 않는 집합을 의미합니다. 따라서, 두 집합 $A$와 $B$ 사이에 공통된 원소 $x$가 존재하지 않는다면 $A \cap B = \emptyset$이라고 쓰고 두 집합은 서로소(disjoint)라고 합니다. 

 

그렇다면 공집합이 없다면 어떤 문제가 발생할까요? 예를 들어, $A \cap B$라고 쓴다는 것은 모든 경우에 항상 최소한 1개 이상의 원소가 있다는 것을 증명해야한다는 것을 의미하고 이후의 다른 명제의 증명을 더욱 어렵게 만들게 되죠. 따라서, 공집합은 별거 없어보이지만 집합론에 있어 아주 중요한 위치를 차지하게 됩니다. 

 

이번에는 $x \in \emptyset$을 생각해보죠. 맞는 말일까요? 이 명제는 틀렸습니다. 왜냐하면 공집합의 정의에 따르면 $\emptyset$은 어떠한 원소 $x$를 포함하지 않기 때문이죠. 근데 임의의 집합 $A$에 대해서 $A \cup \emptyset$과 $A \cap \emptyset$은 어떻게 생각해봐야할까요? 정의를 적용해보겠습니다. 

 

- $A \cup \emptyset = \{x | x \in A \text{ or } x \in \emptyset \}$

- $A \cap \emptyset = \{x | x \in A \text{ and } x \in \emptyset \}$

 

그런데, 애초에 $x \in \emptyset$이라고 쓰는 것 자체가 모순이죠. 이제부터는 이 문제를 해결해보도록 하죠. 일단, 공집합의 의미를 적용해서 문제를 풀어보겠습니다. $A \cup \emptyset$이라는 것은 집합 $A$ 또는 $\emptyset$에 존재하는 모든 원소들을 의미합니다. 그런데 $\emptyset$에는 원소가 존재하지 않기 때문에 $A \cup \emptyset = A$라는 결론을 얻을 수 있죠. 유사한 방법으로 $A \cap \emptyset = \emptyset$이라는 결론도 얻을 수 있습니다.

 

- $A \cup \emptyset = \{x | x \in A \text{ or } x \in \emptyset \} = A$

- $A \cap \emptyset = \{x | x \in A \text{ and } x \in \emptyset \} = \emptyset$

 

이 말은 $\emptyset$의 모든 원소들이 집합 $A$에 속한다는 것을 의미하기 때문에 $\emptyset \subset A$라는 결론을 얻게 됩니다. 이를 좀 더 정확하게 써보겠습니다. 

 

모든 원소 $x$에 대해서, $x$가 공집합 $\emptyset$에 속하면 $x$는 집합 $A$에도 속한다.
For every object $x$, if $x$ belongs to the empty set $\emptyset$, then $x$ is also belongs to the set A.

 

드디어 "If ... Then" 문장 구조가 나오게 되었습니다. 문제는 여기서 발생합니다. 일상 영어에서 임의의 두 명제 $P$와 $Q$에 대해서 $\text{If } P \text{ ,then } Q$라는 것은 가정인 $P$가 참(true)라면 결론인 $Q$ 역시 참(true)라는 것을 의미하죠. 또는 가정 $P$가 거짓(false)라면 결론인 $Q$ 역시 거짓(false)라는 것입니다. 간단한 예를 들어보겠습니다. 

 

"Miss Smith, if any student registered for this course has not taken a course in linear algebra, then he has taken a course in analysis."

 

위 문장에서 Smith는 1. 선형대수학을 수강하지 않은 학생($P$)들은 해석학을 수강($Q$)했거나 2. 선형대수학을 수강한 학생(not $P$)은 해석학을 수강했을 수도 있고 안했을 수도 있음($Q$ or not $Q$)을 알게됩니다. 다른 예시를 보도록 하죠. 

 

"Mr. Jones, if you get a grade below 70 on the final, you are going to flunk this course."

 

위 문장에서 Jones는 1. 기말고사를 70점 아래로 맞으면($P$) 이 수업에서 낙제($Q$)가 되거나 2. 기말고사를 70점 위로 맞으면(not $P$) 이 수업을 통과($Q$)하게 되는 것을 알게 됩니다. 보시면 Jones는 별 문제없이 이해했지만 Smith는 선형대수학을 수강한 학생들에 대해서 해석학의 수강여부에 대한 참/거짓의 판단을 내릴 수 없습니다. 즉, 모호성이 발생하는 것이죠. 

 

임의의 두 명제 $P$와 $Q$에 대해서 $\text{If} P \text{ ,then } Q$에서 $P$를 가정(hypothesis), $Q$를 결론(conclusion)이라고 합니다. 간단한 예를 들어보겠습니다. 여기서 나오는 $x$는 실수라고 가정하겠습니다. 

 

$$\text{If } x > 0 \text{ ,then } x^{3} \neq 0$$

 

위 가정-결론 구조에서 $x > 0$이 가정으로 $P$에 속하고 $x^{3} \neq 0$이 결론으로 $Q$에 속하게 됩니다. 일단, 가정 $P$는 참이라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 다음으로 $x$가 양수라는 가정하에 $x^{3} \neq 0$라는 결론 역시 참이 됩니다. 그리고 저희는 일반적으로 위 명제에서 $P \subset Q$라고 볼 수 있습니다. 간단한 예시로 "남자($P$)는 사람($Q$)이다."를 보시면 남자는 사람의 부분집합이고 전체명제는 참입니다($P \subset Q$). 

 

$$\text{If } x^{2} < 0 \text{ ,then } x = 23$$

 

위 가정-결론 구조에서 $x^{2} < 0$이 가정으로 $P$에 속하고 $x = 23$이 결론으로 $Q$에 속하게 됩니다. 이 명제에서는 가정인 $x^{2} < 0$부터 거짓입니다. 어떠한 실수도 제곱했을 때 음수가 될 수 없죠. 즉, "가정을 만족하는 $x$는 존재하지 않는다."라는 것이기 때문에 가정인 $P$가 곧 공집합이 된다는 것을 의미합니다. 그런데 일반적으로 공집합은 임의의 집합의 부분집합이기 때문에 가정이 거짓이더라도 $P = \emptyset \subset Q$가 되어버립니다. 즉, 가정이 거짓이면 결론이 참이든 거짓이든 전체 명제는 항상 참이 됩니다. 이러한 결론을 공허참(vacuously truth)라고 합니다. 어찌보면 논리적으로 말이 안되는 것 같지만 수학적/논리적으로 생각해보면 맞는 말입니다. 

 

다시 돌아와서, "For every object $x$, if $x$ belongs to the empty set $\emptyset$, then $x$ is also belongs to the set A."라는 문장구조에서는 애초에 가정이 거짓이기 때문에 전체명제는 참이 되는 것 입니다. 따라서, $\emptyset \subset A$라고 할 수 있죠. 

 

참고자료 및 그림출처

Topology(James Munkres) Ch1. Fundamental Concepts