집합론 - "or"의 의미

안녕하세요. 지난 포스팅의 집합론 - 소개에서는 집합론이 수학이라는 학문에서 차지하는 비중이 크다는 것과 몇 가지 중요한 기호($\in, \notin, \subset, \nosubset$)들을 보았습니다. 또한 집합을 표현하는 방법에는 크게 2가지로 원소나열법(tabular form)과 조건제시법(set builder form)으로 나뉜다고 말씀드렸습니다. 위 방법들 중 특히 조건제시법은 수많은 원소를 포함하는 집합을 표현하는 데 있어 필수적인 개념이기 때문에 반드시 알아놓으셔야합니다. 오늘은 약간 논리적인 이야기로 "or"이 수학에서 어떤 의미를 내포하는 지 알아보도록 하겠습니다. 

 

 정의1. 합집합(Union)

임의의 두 집합 $A$와 $B$가 주어졌을 때 $A$와 $B$의 합집합은 $A \cup B = \{x | x \in A \text{ or } x \in B\}$로 정의된다. 

 

아니,,, 분명 오늘 "or"의 믜미를 설명해준다고 했는 데 왜 갑자기 합집합의 정의를 들이밀고 시작할까요? 그 이유는 합집합의 자체가 "or"로 정의되기 때문입니다. 이제 잠깐 $x \in A \text{ or } x \in B$가 어떤 의미인지 생각해보도록 하죠. 

 

일반적으로 "or"은 굉장히 모호한 표현입니다. 크게 두 가지 의미가 있죠. 임의의 두 명제 $P$와 $Q$가 있다고 하겠습니다. 여기서 $P \text{ or } Q$는 두 가지 의미를 지니게 됩니다. 

 

1). $P$가 성립하거나 $Q$가 성립하거나 $P$와 $Q$ 모두(both) 성립한다. 

2). $P$가 성립하거나 $Q$는 성립하지만 $P$와 $Q$ 모두(both) 성립하지 않는다. 

 

즉, $P \text{ or } Q$에 모호성이 발생하는 이유는 두 명제 $P$와 $Q$가 동시에 성립할 수도 있고 성립하지 않을 수도 있기 때문입니다. 실제로 두 가지 영어문장을 보시고 어떤 모호성이 발생하는 지 생각해보도록 하죠. 

 

"Miss Smith, every student registered for this course has taken either a course in linear algebra or a course in analysis."

 

이 문장에서 Smith 선생님의 수업을 듣는 학생들은 선형대수학(linear algebra) 또는 해석학(analysis)를 수강했음을 알 수 있습니다. 따라서, 이 학생들은 3가지로 나뉠 수 있겠죠. 선형대수학만 들은 학생(1번 그룹), 해석학만 들은 학생(2번 그룹), 또는 모두 들은 학생(3번 그룹)입니다. 이번에는 다른 문장을 보도록 하죠. 

 

"Mr. Jones, either you get a grade of at least 70 on the final exam or you will flunk this course."

 

이 문장에서는 명제를 크게 2가지로 나눌 수 있습니다. 

 

- $P$ : you get a grade of at least 70 on the final exam.

- $Q$ : you will flunk this course.

 

그리고 $P \text{ or } Q$ 구조이기 때문에 두 명제가 동시에 만족한다고 가정하면 기말고사에서 최소한 70점을 맞고 해당 수업을 낙제해버리는 것이 됩니다. 어우,,, 낙제할 점수가 아닌데 낙제가 되어버린 Jones이기 때문에 굉장히 슬퍼할 겁니다. 따라서 이 경우에는 두 명제가 동시에 성립해서는 안되겠죠. 

 

위 예제에서 보셨다싶이 실생활의 영어에서 "or"은 크게 2가지 의미로 쓰일 수 있습니다. 하지만 수학에서는 이러한 모호성은 제거되어야합니다. 따라서, 약속을 하게 되죠. 수학에서 $P \text{ or } Q$란 "$P$가 성립하거나 $Q$가 성립하거나 $P$와 $Q$ 모두(both) 성립한다."를 채택합니다. 따라서, $A \cup B$를 정의하는 데 모호성이 없어지죠. 

 

$$x \in A \cup B$$

 

위의 명제를 통해서 저희는 원소 $x$가 집합 $A$에만 들어가거나 집합 $B$에만 들어가거나 집합 $A$와 $B$ 동시에 들어간다는 것을 알 수 있죠. 

 

참고자료 및 그림출처

Topology(James Munkres) Ch1. Fundamental Concepts