안녕하세요. 지난 포스팅의 집합론 - 교집합, 공집합, "If ... Then"의 의미에서는 교집합의 정의를 시작으로 이로인해 발생되는 모순을 해결하기 위한 공집합의 도입을 순서대로 보았습니다. 하지만, 공집합을 도입하더라도 없어지지 않는 모순을 제거하는 공허참(Vacuously True)에 대해서 알아보았습니다. 결론적으로 공허참이란 가정-결론 문장($\text{If } P \text{ ,then } Q$)에서 가정 $P$가 거짓이면 결론의 참/거짓에 관계없이 전체명제를 참으로 하자라는 것 입니다. 오늘은 가정-결론 문장($\text{If } P \text{ ,then } Q$)에서 새로운 명제를 만드는 대우(contraposition), 역(converse), 그리고 부정(Negation)에 대해서 알아보겠습니다.
정의1. 대우(contraposition)
명제 $\text{If } P \text{ ,then } Q$의 대우는 $\text{If not } Q \text{ ,then not } P$로 정의된다.
설명
명제의 대우란 쉽게 기존 명제의 결론을 부정한 뒤 가정으로, 가정을 부정한 뒤 결론으로 만들어 내는 새로운 명제입니다. 예시 명제를 보겠습니다. 여기서 나오는 모든 $x$는 실수입니다.
$$\text{If } x > 0 \text{ ,then } x^{3} \neq 0 \tag{1}$$
위 명제에서 가정 명제 $P$는 "$x > 0$"이고 결론 명제 $Q$는 "$x^{3} \neq 0$"입니다. 따라서, 결론 명제 $Q$를 부정하면 $x^{3} = 0$을 얻고 가정 명제 $P$를 부정하면 $x \le 0$을 얻을 수 있습니다. 따라서, 새로운 대우명제는 아래와 같죠.
$$\text{If } x = 0 \text{ ,then } x \le 0 \tag{2}$$
그리고 기존명제 (1)와 대우명제 (2)가 모두 참이라는 것을 쉽게 수 있죠. 다른 명제를 보도록 하겠습니다.
$$\text{If } x^{2} < 0 \text{ ,then } x = 23 \tag{3}$$
위 명제에서 가정 명제 $P$는 "$x^{2} < 0$"이고 결론 명제 $Q$는 "$x = 23$"입니다. 따라서, 결론 명제 $Q$를 부정하면 $x \neq 23$을 얻고 가정 명제 $P$를 부정하면 $x^{2} \ge 0$을 얻을 수 있습니다. 따라서, 새로운 대우명제는 아래와 같죠.
$$\text{If } x \neq 23 \text{ ,then } x \ge 0 \tag{4}$$
이번에도 기존명제 (3)와 대우명제 (4)가 모두 참이라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 이를 통해서 저희는 기존의 명제가 참이면 기존명제의 대우 역시 참이라는 사실을 알 수 있습니다.
정리1.
명제 $\text{If } P \text{ ,then } Q$가 참이면 기존명제의 대우인 $\text{If not } Q \text{ ,then not } P$ 역시 참이다.
보조정리1.
명제 $\text{If } P \text{ ,then } Q$는 $\text{not } P \text{ or } Q$과 논리적 동치이다.
증명(보조정리1)
이를 증명하기 위해 $\text{If } P \text{ ,then } Q$에 대한 진리표를 작성한다.
| $P$ | $Q$ | $\text{If } P \text{ ,then } Q$ |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
다음으로, $\text{not } P \text{ or } Q$에 대한 진리표를 작성한다.
| $P$ | $\text{not } P$ | $Q$ | $\text{not } P \text{ or } Q$ |
| T | F | T | T |
| T | F | F | F |
| F | T | T | T |
| F | T | F | T |
두 진리표가 동일하기 때문에 명제 $\text{If } P \text{ ,then } Q$는 $\text{not } P \text{ or } Q$과 논리적 동치이다.
증명(정리1)
명제 $\text{If } P \text{ ,then } Q$이 주어졌다고 하자. 보조정리1에 의해 명제 $\text{If } P \text{ ,then } Q$는 $\text{not } P \text{ or } Q$과 논리적 동치이다.
$$\begin{align*} \text{If } P \text{ ,then } Q &\Leftrightarrow \text{not } P \text{ or } Q \\ &\Leftrightarrow \text{not } P \text{ or } \text{not}\left(\text{not } Q\right) \\ &\Leftrightarrow \text{not}\left(\text{not } Q\right) \text{ or } \text{not } P \\ &\Leftrightarrow \text{If not } Q \text{, then not } P \end{align*}$$
따라서, 전체명제 $\text{If } P \text{ ,then } Q$가 참이든 거짓이든 대우명제 $\text{If not } Q \text{ ,then not } P$는 기존명제와 동일하게 참 또는 거짓이기 때문에 정리1은 증명된다.
수학의 증명에 있어 많은 경우에 직접적으로 명제를 증명하기 어렵습니다. 따라서, 대우명제를 증명하여 기존명제가 참 또는 거짓임을 증명하는 대우증명법이 아주 많이 사용되는 편이기 때문에 꼭 숙지하시길 바랍니다.
정의2. 역(converse)
명제 $\text{If } P \text{ ,then } Q$의 역은 $\text{If } P \text{ ,then } Q$로 정의된다.
설명
명제의 역이라는 것은 단순히 가정과 결론은 뒤바꾼 것이 됩니다. 예를 들어, (1)번 명제의 가정과 결론을 뒤집어보겠습니다.
$$\text{If } x^{3} \neq 0 \text{ ,then } x > 0 \tag{5}$$
기존명제의 역인 역명제는 거짓임을 알 수 있습니다. 즉, 기존명제가 참이라고 해서 역이 참은 아닙니다. 거짓일수도 있죠. 위 명제에서는 $x < 0$일 수도 있기 때문에 거짓이 됩니다. 만약, 기존명제와 그 역이 모두 참이라면 두 명제가 논리적으로 동등하다고 보고 $P \iff Q$라고 씁니다.
정의3. 부정(negation)
명제 $P$의 부정은 $\text{not} P$로 정의된다.
설명
명제의 부정이라는 것은 기존의 명제의 의미가 완전히 반대가 되도록 만드는 것입니다. 예를 들어보겠습니다. $X$를 전체집합, $A$를 $X$의 부분집합
$$\text{For every } x \in A, \text{statement } P \text{ holds.} \tag{6}$$
(6)번 명제의 부정을 어떻게 구할 수 있을까요? 명제를 보시면 $A$에 속하는 모든 원소 $x$에 대해서 $P$가 성립한다고 하였습니다. 그렇다면 이를 부정하면 $A$에 속하는 적어도 하나의 원소는 $P$가 성립하지 않는다고 할 수 있겠네요.
$$\text{For at least one } x \in A, \text{statement } P \text{ does not hold.} \tag{7}$$
참고자료 및 그림출처
Topology(James Munkres) Ch1. Fundamental Concepts
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