집합론 - 소개

안녕하세요. 오늘은 수학의 새로운 주제인 집합론(Set Theory)와 함께 시작해보도록 하겠습니다. 혹시 수학이 과학의 언어라는 말을 들어보셨나요? 특히, 물리학은 수학 없이는 존재하지 못할 정도로 수학의 영향력이 아주 강력합니다. 이와 비슷한 말로 집합론은 수학의 언어라는 말이 있을 정도로 현대 수학의 모든 곳에는 집합론의 기본 개념이 녹아있습니다. 특히, 위상수학(Topology)는 집합론 없이는 절대 이야기 할 수 없는 내용이죠. 이와 같이 집합론은 현대 수학에서 굉장히 중요한 부분을 차지하고 있기 때문에 본격적으로 수학 전공을 공부하기 위해서는 집합론은 필수입니다. 앞으로 다양한 수학 관련 포스팅을 게재할 예정입니다. 이를 위해서는 집합론을 빼놓고 이야기할 수 없었습니다. 그래서 오늘은 간단한 집합의 정의와 기호들만 알아보도록 하겠습니다. 오늘 설명드릴 기호들과 정의는 앞으로 계속 쓰일 것 들이니 꼭 숙지해주셔야합니다. 

 

먼저, 수학에서 집합을 표기할 때는 영어 대문자($A, B, C, ...$)로 표기합니다. 하지만, 집합의 원소를 표기할 때는 영어 소문자($a, b, c, ...$)를 사용하죠. 그리고 어떤 원소가 집합에 "속한다(belong)"라는 것을 표기할 때는 $\in$을 사용합니다. 이 표기는 아마 지금까지 제가 미적분학을 게시하면서 많이 보셨을 겁니다. 

 

$$a \in A$$

 

따라서 정의에 따르면 위의 외계어 같은 기호들은 원소 $a$가 집합 $A$에 속한다는 것을 의미합니다. 만약 속하지 않으면 $\notin$을 사용하여 표기합니다. 

 

$$a \notin A$$

 

위 기호는 원소 $a$가 집합 $A$에 속하지 않는다는 것을 의미하죠. 그리고 $=$라는 기호는 동등한 대상을 표기할 때 사용하겠습니다. 예를 들어, $a = b$라는 것은 $a$와 $b$가 서로 동일한 대상이라는 것을 의미하죠. 더 간단한 예시로는 $\frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5$입니다. 세 개의 숫자는 모두 동일한 것이죠. 그래서 $=$ 기호를 이용할 수 있습니다. 그와 반면에 두 대상이 다르다면 $\neq$ 기호를 사용할 수 있습니다. 예를 들어, 집합 $A$는 양의 실수의 집합, 집합 $B$는 0을 포함하는 양의 실수의 집합이라고 하면 두 집합은 서로 다릅니다. 왜냐하면 집합 $B$가 원소 $0$을 포함하고 있기 때문이죠. 따라서, $A \neq B$입니다. 

 

다음으로 부분집합(subset)이라는 개념이 있습니다. 이는 집합 사이의 관계를 나타내는 말로 $\subset$ 기호를 이용해서 표현합니다. , $A \subset B$는 집합 $A$의 원소가 집합 $B$에 모두 포함된다는 것을 의미합니다. 단, 여기서 낚이면 안될점이 있습니다. 여러분도 한번 생각해보시길 바랍니다. 집합 $A$의 원소가 집합 $B$에 모두 포함된다고 해서 100% 다르다고 말할 수 있을까요? 포함된다고는 할 수 있겠지만 다르다고는 할 수 없습니다. 예를 들어, $A = \{a, b, c\}$이고 $B = \{a, b, c\}$라고 하면 집합 $A$의 원소들 모두 집합 $B$에 속합니다. 하지만, 집합 $B$의 원소들 역시 집합 $A$에 속하는 것을 볼 수 있죠. 따라서, 두 집합은 같습니다. 여기에서 저희는 "두 집합 $A, B$가 같다"라는 것은 $A \subset B$이고 $A \supset B$와 동치임을 알 수 있습니다. 앞으로 어떤 두 집합이 같음을 증명할 때는 서로 포함관계에 있음을 증명해주어야합니다. 다만, 집합 $A$가 집합 $B$에 포함되지만 서로 다른 집합일 경우에는 $A \subsetneq B$라고 표기하고 집합 $A$를 집합 $B$의 진부분집합(proper subset)이라고 합니다. 

 

집합을 표기하는 데도 두 가지 방법이 있습니다. 첫번째 방법은 $A = \{a, b, c\}$와 같이 원소를 직접적으로 나열하는 원소나열법(tabular form)이라고 합니다. 두번째 방법은 집합의 원소가 어떤 조건을 만족하는 지 작성하는 조건제시법(set builder form)이라고 합니다. 원소나열법의 한계는 이후에 보겠지만 수많은 원소를 지니는 집합을 표현하기에는 불가능합니다. 하지만, 조건제시법은 어떤 조건을 만족하는 원소들의 모임이기 때문에 무한히 많은 원소를 지닌 집합도 쉽게 표현할 수 있죠. 예를 들어, 짝수인 집합을 표현하기 위해서 조건제시법을 사용할 수 있습니다. 

 

$$A = \{x | x \text{ is an even integer}\}$$

 

당분간은 집합론의 정말 간단한 개념들(합집합, 교집합, 차집합, 명제의 대우와 역, 부정)만 보도록 하겠습니다. 해당 개념들을 제대로 익혀놓지 않으면 이후에 나올 개념들을 이해하는 것이 굉장히 힘들어지니 넘겨짚으시면 안되고 하나하나 이해하고 넘어가시길 바랍니다.

 

참고자료 및 그림출처

Topology(James Munkres) Ch1. Fundamental Concepts