집합론 - 함수

안녕하세요. 지난 포스팅의 집합론 - 데카르트 곱에서는 두 개의 집합을 이용해서 새로운 집합을 구성하는 데카르트 곱(Cartesian Product)에 대해서 아주 간단하게 알아보았습니다. 지금까지는 정말 집합론의 기본적인 개념들만 배웠기 때문에 이제부터는 이를 활용할 수 있는 방법에 대해서 말해보고자 합니다. 저희는 이를 함수(function)로 시작해보겠습니다. 

 

저희는 함수에 대한 내용을 미적분학 - 함수에서 아주 간단히 다루어보았습니다. 해당 포스팅에서의 정의에 따르면 함수란 정의역 $D$의 원소 $x$가 공역의 어떤 원소로 대응되는 규칙(Rule)을 의미한다고 하였습니다. 그리고 저희는 이전부터 강조했지만 수학자들이 가장 싫어하는 것은 모호한 표현입니다. 대응 규칙(Rule of Assignment)은 수학적으로 어떻게 정의할 수 있을까요? 

 

 정의1. 대응 규칙(Rule of Assignment)

대응 규칙은 임의의 두 집합 $C$와 $D$의 데카르트 곱 $C \times D$의 부분집합 $r$이고 집합 $C$의 각 원소가 $r$에 속하는 최대 하나의 순서쌍의 첫번째 좌표로 나타나는 속성을 지닌다. 이때, $C \times D$의 부분집합 $r$이 대응 규칙이 되기 위해서는 

 

$$\left[(c, d) \in r \text{ and } (c, d^{'}) \in r\right] \Rightarrow \left[d = d^{'}\right]$$

 

를 만족해야한다. 

 

A rule of assignment is a subset $r$ of the cartesian product $C \times D$ of two sets, having the property that each element of $C$ appears as the first coordinate of at most one ordered pair belonging to $r$.

Thus, a subset r of C × D is a rule of assignment if

 

$$\left[(c, d) \in r \text{ and } (c, d^{'}) \in r\right] \Rightarrow \left[d = d^{'}\right]$$

 

설명

위와 같이 $r$이 어떤 대응 규칙으로써 정의가 되었을 때 집합 $C$의 원소 $c$가 집합 $D$의 원소 $d$로 대응된다는 것을 $(c, d) \in r$로 표현한 것입니다. 이로써, 대응 규칙 $r$의 정의역(domain)을 $r$의 모든 첫번째 좌표를 포함하는 집합 $C$의 부분집합이라고 볼 수 있고, 대응 규칙 $r$의 상 집합(image set)을 $r$의 모든 두번째 좌표를 포함하는 집합 $D$의 부분집합이라고 정의할 수 있게 됩니다. 

 

$$\text{domain } r = \{c | \exists d \in D \text{ s.t. } (c, d) \in r\}$$

$$\text{image } r = \{d | \exists c \in C \text{ s.t. } (c, d) \in r\}$$

 

 정의2. 함수(functions)

함수 $f$는 대응 규칙 $r$으로 $r$의 상 집합을 포함하는 집합 $B$과 함께 정의된다. 대응 규칙 $r$의 정의역 $A$는 함수 $f$의 정의역, 대응 규칙 $r$의 상 집합은 함수 $f$의 상 집합, 그리고 $B$는 함수 $f$의 치역(range)로 정의된다. 

 

만약 함수 $f$가 정의역 $A$와 치역 $B$를 가지고 있다면 함수 $f$를 아래와 같이 작성할 수 있다. 

 

$$f : A \rightarrow B$$

A function $f$ is a rule of assignment $r$ , together with a set $B$ that contains the image set of $r$. The domain $A$ of the rule $r$ is also called the domain of the function $f$ ; the image set of $r$ is also called the image set of $f$ ; and the set $B$ is called the range of $f$.

If $f$ is a function having domain $A$ and range $B$, we express this fact by writing

 

$$f : A \rightarrow B$$

 

위의 정의에 따라서 저희는 앞으로 함수에 대한 설명을 할 때 정의역과 치역, 그리고 대응 규칙을 설명해주어야합니다. 예를 들어, 어떤 함수 $f$를 정의한다고 가정해보죠.

 

Let $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ be the function such that $f(x) = x^{3} + 1$.

 

여기서 정의역과 치역은 모두 $\mathbb{R}$이고 대응 규칙은 $f(x) = x^{3} + 1$이 됩니다. 

 

 정의3. 제약(Restriction)

함수 $f : A \rightarrow B$에 대해서 정의역 $A$의 부분집합 $A_{0}$이 주어졌을 때 함수 $f$의 $A_{0}$에 대한 제약은 $a \in A_{0}$의 모든 원소들이 치역 $B$로의 매핑으로 $\{(a, f(a)) | a \in A_{0}\}$로 정의되고 $f | A_{0}$로 표기한다. 

 

 

If $f : A \rightarrow B$ and if $A_{0}$ is a subset of $A$, we define the restriction of $f$ to $A_{0}$ to be the function mapping $A_{0}$ into $B$ whose rule is

$$\{(a, f(a)) | a \in A_{0}\}$$

 

It is denoted by $f |A_{0}$, which is read “ $f$ restricted to $A_{0}$.”

 

예제1. $\mathbb{R}$을 실수전체 집합, $\bar{\mathbb{R}}_{+}$를 음이 아닌 양의 실수집합이라고 하고 4가지 함수를 고려하겠습니다. 

 

$$\begin{align*} &f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \text{ defined by } f(x) = x^{2} \\ &g : \bar{\mathbb{R}}_{+} \rightarrow \mathbb{R} \text{ defined by } g(x) = x^{2} \\ &h : \mathbb{R} \rightarrow \bar{\mathbb{R}}_{+} \text{ defined by } h(x) = x^{2} \\ &k : \bar{\mathbb{R}}_{+} \rightarrow \bar{\mathbb{R}}_{+} \text{ defined by } k(x) = x^{2} \end{align*}$$

 

각 함수들은 모두 동일한 대응 규칙 $(x, x^{2})$을 지니고 있지만 제약이 걸려있기 때문에 모두 다른 결과를 보여주게 됩니다. 

 

 정의4. 합성함수(Composite Functions)

임의의 두 함수 $f : A \rightarrow B$와 $g : B \rightarrow C$가 주어졌을 때, 두 함수의 합성함수 $g \circ f : A \rightarrow C$는 $(g \circ f)(a) = g(f(a))$로 정의된다. 

 

 

위 그림은 합성함수의 예시를 추상적으로 보여주고 있습니다. 함수 $f$는 정의역으로 $A$ 그리고 치역으로 $B$를 가진다고 가정하고 함수 $g$는 정의역으로 $B$ 그리고 치역으로 $C$를 가진다고 가정해보겠습니다. 그러면 두 함수의 합성함수 $g \circ f$라는 것은 기존의 함수 $f$의 정의역이 합성함수의 정의역이 되고 함수 $g$의 치역이 합성함수의 치역이 되는 것 입니다. 합성함수를 구하는 다양한 예제는 미적분학 - 새로운 함수 만들기를 참조해주시길 바랍니다. 

 

예제2. 두 함수 $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$이 $f(x) = 3x^{2} + 2$와 $g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$이 $g(x) = 5x$로 정의될 때 두 함수의 합성함수 $g \circ f$와 $f \circ g$를 구하여라.

 

1). $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(3x^{2} + 2) = 5(3x^{2} + 2) = 15x^{2} + 10$

 

2). $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(5x) = 3(5x)^{2} + 2 = 75x^{2} + 2$

 

 정의5. 단사함수(injective function), 전사함수(surjective function), 전단사함수(bijective function)

1). 함수 $f : A \rightarrow B$에서 $a, a^{'} \in A$인 두 원소에 대해서 $f(a) = f(a^{'})$일 때 $a = a^{'}$를 만족하면 함수 $f$를 단사함수라고 한다. 

 

2). 함수 $f : A \rightarrow B$에서 $b \in B$에 대해서 $b = f(a)$를 만족하는 $a \in A$가 적어도 하나 존재하면 함수 $f$를 전사함수라고 한다. 

 

3). 함수 $f : A \rightarrow B$가 단사함수이면서 전사함수이면 전단사함수 또는 일대일 대응이라고 한다. 

 

이때, 함수 $f$가 전단사함수이면 정의역이 $B$이고 치역이 $A$가 되는 함수 $f$의 역함수(inverse function) $f^{-1}$이 존재합니다. 그리고 임의의 $b \in B$에 대해서 $f^{-1}(b) = a \in A$라고 쓰고 이는 $f(a) = b$와 동일합니다. 

 

참고자료 및 그림출처

Topology(James Munkres) Ch1. Fundamental Concepts