미적분학 - 새로운 함수 만들기

 안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 수학적 모델링에서는 실생활의 문제를 수학적으로 풀기 위한 모델링의 개념과 이를 위한 다양한 함수들에 대해서 알아보았습니다. 지난 포스팅에서 보았던 선형 함수, 다항 함수, 거듭제곱 함수, 유리 함수, ... 등은 저희가 기초 함수라고 하도록 하겠습니다. 이번에는 기초 함수들을 기반으로 새로운 함수를 만들어보는 기하학적 변환, 함수 간의 대수적 연산, 합성 함수에 대해서 알아보겠습니다.

 

미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다.  

 

1. 기하학적 변환

 함수의 기하학적 변환은 이동(shifting), 늘이기(stretching), 반사(reflecting)을 포함하는 개념입니다. 각각 어떤 결과를얻을 수 있는 지 보도록 하겠습니다. 이러한 변환은 크게 2가지중에 하나입니다. $c > 0$가 있다고 가정했을 때 독립 변수 $x$나 종속 변수 $f(x)$에 $c$로 사칙연산을 하는 방법으로 나눌 수 있습니다. 따라서 $x$에 $c$로 사칙연산을 적용하면 $x$ 방향으로 어떤 변화가 생기고 $f(x)$에는 $y$ 방향으로 어떤 변환가 생길 것입니다. 이 부분은 그림을 보고도 충분히 이해하실 수 있습니다.

 

 먼저, 함수의 이동입니다. 위의 그림과 같이 $c$를 더하거나 뺌으로써 이루어지는 연산입니다. 잘 보시면 $f(x - c)$는 $f(x)$와 비교했을 때 $c$만큼 $x$축으로 평행이동 한 것을 볼 수 있습니다. 그리고 $f(x) + c$는 $c$ 만큼 $y$ 방향으로 평행이동 한 것이죠.

 

 다음으로 함수의 늘이기 및 반사입니다. 위의 그림과 같이 $c$를 곱하거나 나눔으로써 이루어지는 연산입니다. 잘 보시면 $cf(x)$는 $y$ 방향으로 더 늘어난 것을 볼 수 있고 $\frac{1}{c}f(x)$는 $y$ 방향으로 더 압축되었습니다. 위 그림에서는 나오지 않았지만 만약 $f(cx)$를 하게 되면 어떻게 될까요? $f(x)$는 $x$ 방향으로 압축됩니다. 

 

 이를 삼각함수 그래프로 생각해보도록 하겠습니다. $\cos{x}$와 $\cos{2x}$, $\cos{\frac{1}{2}x}$를 비교해보세요. $\cos{2x}$는 $\cos{x}$에 비해서 주기($2\pi \rightarrow \pi$)가 더 빨라졌습니다. 그와는 대조적으로 $\cos{\frac{1}{2}x}$는 주기($2\pi \rightarrow 4\pi$)가 더 느려졌습니다. 

 위 그림과 같이 위의 연산을 통해서 저희가 보았던 기초 함수들에 다양한 변환을 해볼 수 있습니다. 그림을 보시면 제곱근 함수에서 이동, 반사, 늘이기를 통해서 다양한 함수들이 만들어지는 것을 볼 수 있습니다. 

 

2. 함수 조합

다음으로 해볼 수 있는 것은 함수들 간에 사칙연산을 적용하는 방법이 있습니다. 

 

$$\left(f + g\right)(x) = f(x) + g(x)$$

$$\left(f - g\right)(x) = f(x) - g(x)$$

$$\left(fg\right)(x) = f(x)g(x)$$

$$\left(f/g\right)(x) = f(x)/g(x)$$

 

 다만, 여기서 중요하게 고려해야할 것은 바로 정의역입니다. 만약, 함수 $f(x)$와 $g(x)$의 정의역이 다르다면 연산을 어떻게 적용해야할까요? 예를 들어서 $f(x) = x, g(x) = \sqrt{x}$ 사이의 합을 계산한다고 치겠습니다. 그러면 $\text{dom}(f) = \mathbb{R}$이지만 $\text{dom}{g} = \mathbb{R}_{+}$이기 때문에 $\mathbb{R}_{-}$에서는 연산이 불가능합니다. 이러한 문제를 방지하기 위해서 취하는 방법은 연산을 할 때 두 정의역의 교집합에서만 연산하는 것입니다. 즉, 위의 경우에는 $\text{dom}(f) \cap \text{dom}(g) = \mathbb{R} \cap \mathbb{R}_{+} = \mathbb{R}_{+}$에서만 연산을 하는 것이기 때문에 $(f + g)(x) = x + \sqrt{x}$의 정의역은 $\text{dom}(f + g) = \mathbb{R}_{+}$가 됩니다. 

 

 하지만, 함수간의 나눗셈에서는 한가지 더 봐야겠죠? 바로 분모가 0이 되지 않는 구간도 고려해야합니다. 따라서 $\left(f/g\right)$의 정의역은 $\text{dom}(f/g) = \{x \in \text{dom}(f) \cap \text{dom}(g) | g(x) \neq 0\}$이 됩니다. 예를 들어서, $f(x) = \sqrt{x}, g(x) = x^{2} - 4$라고 했을 때 $\left(f/g\right)(x)$의 정의역은 $[0, 2) \cup (2, \infty)$가 됩니다. 2가 빠진 이유는 분모가 0이 되지 않기 위해서 하는 것이고 양수만 고려하는 이유는 분자의 정의역 때문입니다.

 

 다음으로 합성함수(Composition function)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 

 

 정의1.합성함수(Composition function)

두 함수 $f, g$가 주어졌을 때, 합성함수 $f \circ g$는 $(f \circ g)(x) = f(g(x))$로 정의된다.

  합성함수는 $f$의 정의역인 $g$의 치역이 되는 것과 동일합니다. 그래서 이를 그림으로 표현한 것이 바로 위의 그림입니다. 

 

예제1. $f(x) = x^{2}, g(x) = x - 3$이라고 했을 때, $f \circ g$와 $g \circ f$를 구하여라

1). $f \circ g = f(g(x)) = f(x- 3) = (x - 3)^{2}$

2). $g \circ f = g(f(x)) = g(x^{2}) = x^{2} - 3$

 

위의 결과를 보시면 $f \circ g$와 $g \circ f$의 결과가 서로 다름을알 수 있습니다. 

 

연습문제1. 아래의 그림에서 $y = f(x)$가 주어졌을 때 (a). $y = f(x - 4)$, (b). $y = f(x) + 3$, (c). $y = \frac{1}{3}f(x)$, (d). $y = -f(x + 4)$, (e). $y = 2f(x + 6)$과 1 ~ 5번의 그래프를 서로 맞추어라.

 

(a) - 3, (b) - 1, (c) - 4, (d) - 5, (e) - 2

 

연습문제2. 두 함수 $f(x) = x^{3} + 2x^{2}$과 $g(x) = 3x^{2} - 1$가 주어졌을 때, $f + g, f - g, fg$ 그리고 $f / g$를 구하고 각 함수들의 정의역을 구하여라.

1). $(f + g)(x) = f(x) + g(x) = \left(x^{3} + 2x^{2}\right) + \left(3x^{2} - 1\right) = x^{3} + 5x^{2} - 1, D(f + g) = \mathbb{R}$

 

2). $(f - g)(x) = f(x) - g(x) = \left(x^{3} + 2x^{2}\right) - \left(3x^{2} - 1\right) = x^{3} - x^{2} + 1, D(f - g) = \mathbb{R}$

 

3). $(fg)(x) = f(x)g(x) = (x^{3} + 2x^{2})(3x^{2} - 1) = 3x^{5} + 6x^{4} - 2x^{2}, D(fg) = \mathbb{R}$

 

4). $\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x^{3} + 2x^{2}}{3x^{2} - 1}$

이때, $\frac{f}{g}$은 유리함수이기 때문에 이 함수의 정의역은 분모가 0이 되는 지점을 제외시켜야한다. 

 

$$3x^{2} - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$$

 

따라서, $D(f / g) = \{x \in \mathbb{R} | x \neq \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\}$이다. 

 

연습문제3. 두 함수 $f(x) = x + \frac{1}{x}$와 $g(x) = \frac{x + 1}{x + 2}$가 주어졌을 때 (a). $f \circ g$, (b). $g \circ f$, (c). $f \circ f$, (d). $g \circ g$를 구하고 각 합성함수의 정의역을 구하여라.

(a). $f \circ g$

$$\begin{align*} (f \circ g)(x) &= f(g(x)) = f\left(\frac{x + 1}{x + 2}\right) \\ &= \frac{x + 1}{x + 2} + \frac{x + 2}{x + 1} \\ &= \frac{(x + 1)^{2} + (x + 2)^{2}}{(x + 1)(x + 2)} \\ &= \frac{2x^{2} + 6x + 5}{(x + 1)(x + 2)}\end{align*}$$

 

이때, 합성함수가 유리수이기 때문에 분모가 0이 되서는 안된다. 따라서, $D(f \circ g) = \{x \in \mathbb{R} | x \neq -1 \text{ and } x \neq -2\}$이다. 

 

(b). $g \circ f$

$$\begin{align*} (g \circ f)(x) &= g(f(x)) = g\left(x + \frac{1}{x}\right) \\ &= \frac{(x + \frac{1}{x}) + 1}{(x + \frac{1}{x}) + 2} \\ &= \frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + 2x + 1} \\ &= \frac{x^{2} + x + 1}{(x + 1)^{2}} \end{align*}$$

 

이때, 합성함수가 유리수이기 때문에 분모가 0이 되서는 안된다. 따라서, $D(g \circ f) = \{x \in \mathbb{R} | x \neq -1\}$이다. 

 

(c). $f \circ f$

$$\begin{align*} (f \circ f)(x) &= f(f(x)) = f\left(x + \frac{1}{x}\right) \\ &= \left(x + \frac{1}{x}\right) + \frac{1}{x + \frac{1}{x}} \\ &= x + \frac{1}{x} + \frac{x}{x^{2} + 1}\end{align*}$$

 

이때, 합성함수가 유리수이기 때문에 분모가 0이 되서는 안된다. 따라서, $D(f \circ f) = \{x \in \mathbb{R} | x \neq 0\}$이다. 

 

(d). $g \circ g$

$$\begin{align*} (g \circ g)(x) &= g(g(x)) = g\left(\frac{x + 1}{x + 2}\right) \\ &= \frac{\frac{x + 1}{x + 2} + 1}{\frac{x + 1}{x + 2} + 2} \\ &= \frac{x + 1 + x + 2}{x + 1 + 2(x + 2)} \\ &= \frac{2x + 3}{3x + 5}\end{align*}$$

 

이때, 합성함수가 유리수이기 때문에 분모가 0이 되서는 안되고 기존의 함수인 $g(x)$ 역시 정의역이 유지되어야하기 때문에 $g(x)$와 $g(g(x))$의 정의역을 모두 고려한다. 따라서, $D(f \circ f) = \{x \in \mathbb{R} | x \neq -\frac{5}{3} \text{ and } x \neq -2\}$이다. 

 

연습문제4. 세 함수 $f(x) = \sqrt{x - 3}, g(x) = x^{2}, h(x) = x^{3} + 2$가 주어졌을 때, $f \circ g \circ h$를 구하여라.

$$\begin{align*} (f \circ g \circ h)(x) &= f(g(h(x))) \\ &= f(g(x^{3} + 2)) \\ &= f((x^{3} + 2)^{2}) \\ &= \sqrt{(x^{3} + 2)^{2} - 3} \\ &= \sqrt{x^{6} + 4x^{3} + 1} \end{align*}$$

 

연습문제5. 세 함수 (a). $F(x) = (x^{2} + 1)^{10}$, (b). $G(x) = \sqrt[3]{\frac{x}{1 + x}}$, (c). $H(x) = \frac{\tan(t)}{1 + \tan(t)}$가 주어졌을 때 각 함수에서 $f \circ g$의 형태로 만들 수 있는 두 함수 $f$와 $g$를 구하여라.

(a). $f(x) = x^{10}, g(x) = x^{2} + 1 \Rightarrow F(x) = f(x^{2} + 1) = f(g(x)) = (f \circ g)(x)$

(b). $f(x) = \sqrt[3]{x}, g(x) = \frac{x}{x + 1} \Rightarrow G(x) = f\left(\frac{x}{x + 1}\right) = f(g(x)) = (f \circ g)(x)$

(c). $f(x) = \frac{x}{1 + x}, g(x) = \tan(x) \Rightarrow H(x) = f(\tan(x)) = f(g(x)) = (f \circ g)(x)$

 

연습문제6. 두 함수 $f(x) = x + 4$와 $h(x) = 4x - 1$이 주어졌을 때, $h = g \circ f$를 만족하는 함수 $g$를 구하여라.

$$4x - 1 = (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x + 4)$$

 

이때, $x + 4 = t \rightarrow x = t - 4$라고 하자. 

 

$$g(t) = 4(t - 4) - 1 = 4t - 17$$

 

연습문제7. 함수 $g$가 우함수라고 할 때 $h = f \circ g$의 대칭성을 판단하라.

$$h(-x) = (f \circ g)(-x) = f(g(-x)) = f(g(x)) = (f \circ g)(x) = h(x)$$

 

우함수의 정의에 의해 $h$는 우함수이다.

 

연습문제8. 함수 $g$가 기함수라고 할 때 $h = f \circ g$의 대칭성을 함수 $f$가 우함수일 때와 기함수일 때로 나누어 판단하라.

(a). 함수 $f$가 우함수라고 가정하자.

 

$$h(-x) = (f \circ g)(-x) = f(g(-x)) = f(-g(x)) = f(g(x)) = (f \circ g)(x) = h(x)$$

 

우함수의 정의에 의해 $h$는 우함수이다.

 

(b). 함수 $f$가 기함수라고 가정하자.

 

$$h(-x) = (f \circ g)(-x) = f(g(-x)) = f(-g(x)) = -f(g(x)) = -(f \circ g)(x) = -h(x)$$

 

기함수의 정의에 의해 $h$는 기함수이다.

 

연습문제7과 연습문제8의 결과를 정리하면 함수 $g$가 우함수면 $f$와 관계없이 항상 $h = f \circ g$는 우함수이다. 하지만, $g$가 기함수이면 $h$의 대칭성은 $f$의 대칭성과 동일해진다.

 

참고자료 및 그림출처

Calculus(J. Stewart)

 

변경사항

22.06.12: 연습문제1 - 8 추가