집합론 - 데카르트 곱

안녕하세요. 지난 포스팅의 집합론 - 확장된 합집합과 교집합에서는 기존에는 2개 또는 3개의 집합들 사이의 연산만 수행하였지만 이를 임의의 개수의 집합들의 연산으로 확장을 해보았습니다. 지금까지 저희는 새로운 집합을 만드는 방법으로 합집합, 교집합, 차집합에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 새로운 연산인 집합의 데카르트 곱(cartesian product)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 

 

 정의1. 데카르트 곱(cartesian product)

임의의 두 집합 $A$와 $B$에 대해서 두 집합의 데카르트 곱 $A \times B$은 집합 $A$의 원소 $a$와 집합 $B$의 원소 $b$의 순서쌍(ordered pair) $(a, b)$으로 만들어지는 집합이다. 

 

$$A \times B = \{(a, b) | a \in A \text{ and } b \in B\}$$

 

설명

이때, 데카르트 곱의 정의에 따르면 순서쌍이라고 했기 때문에 $(a, b) \neq (b, a)$가 됩니다. 이 말은 데카르트 곱에서는 교환법칙이 성립하지 않는다는 것이기 때문에 이 점 유의하시면 됩니다. 

 

이로써 집합론을 배우기 위한 기초단계는 모두 배웠습니다. 다음 포스팅부터는 몇 가지 연습문제와 함께 심화된 내용으로 찾아뵙겠습니다. 

 

참고자료 및 그림출처

Topology(James Munkres) Ch1. Fundamental Concepts