안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 행렬의 계수에서는 행렬의 계수 (rank)가 무엇인지 정의하고 이를 구하는 방법까지 알아보았습니다. 핵심은 계수란 행렬 내에서 행벡터 또는 열벡터 중에서 선형독립인 벡터의 개수를 의미하고 쉽게 구하기 위해 기본행렬들을 곱해가며 $D$ 행렬꼴로 만드는 것이였습니다. 오늘은 이를 활용해서 역행렬을 구하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 사실상 지난 포스팅의 내용만 이해하신다면 쉽게 알 수 있습니다. 정의1. 첨가행렬 (Augmented Matrix) 행렬 $A$와 $B$를 각각 $m \times n$ 그리고 $m \times p$ 크기를 가지는 행렬이라고 하자. 첨가행렬 $(A | B)$는 $m \times (n + p)$ 크기의 행렬로 두 행렬 $A$와 $B$..
안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 기본행렬연산과 기본행렬에서는 행렬 내에서 행 또는 열간의 연산 타입을 정의하고 이를 행렬로 표현하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 중요한 점은 기본행렬은 가역행렬이라는 점 입니다. 오늘은 이를 활용해서 행렬의 계수 (rank)를 구하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 행렬의 계수 (Rank of Matrix) $A \in M_{m \times n}(\mathbf{F})$라고 하자. 행렬 $A$의 계수 (rank)는 행렬 $A$에 대응되는 좌곱셈변환 $L_{A} : \mathbf{F}^{n} \rightarrow \mathbf{F}^{m}$의 계수로 정의된다. $$\text{rank}(A) = \text{rank}(L_{A})$$ If $A \in M..
안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 쌍대공간에서는 벡터공간의 쌍대공간을 정의하고 이는 벡터공간 $V$에서 $\mathbf{F}$로의 선형범함수들 (적분, 미분, ...)의 벡터공간임을 알았습니다. 여기서 중요한 점은 쌍대공간의 기저인 쌍대기저는 Dirac-Delta 함수 $\delta$로 정의된다는 것입니다. 뿐만 아니라 이중쌍대공간인 $V^{**}$은 $V$와 같다는 것 역시 증명하였습니다. 지금까지 저희는 벡터공간의 정의와 함께 벡터공간을 이루는 기저와 차원에 대해서 알아보았으며 두 벡터공간 사이의 관계인 선형변환과 관련된 다양한 성질들에 대해서 알아보았습니다. 대부분의 학생들은 선형대수학이 행렬을 다루는 학문으로 알고 계실테지만 저희는 아직까지 행렬이라고는 선형변환의 행렬표현밖에 배우지 못했습..
안녕하세요. 오늘은 지금까지 배웠던 적분과 관련된 다양한 계산문제들을 풀어보는 시간을 가져보도록 하겠습니다. 만약, 모르는 부분이 있다면 아래의 링크를 참조하시고 다시 풀어보시길 권장드립니다. 5. 적분 (Integrals) 미적분학 - 영역 문제 (Keyword : 영역 문제, 적분 개요) 미적분학 - 적분 정의와 계산 그리고 정적분의 성질 (Keyword : 적분 정의, 구분구적법, 정적분, 리만적분, 적분 계산, 중간점 규칙, 정적분의 성질, 정적분의 선형성) 미적분학 - 미적분학 기본정리 (Keyword : 미적분학 기본정리, Fundamental Theorem of Calculus, FTC) 미적분학 - 부정적분 (Keyword : 부정적분, 적분 상수) 미적분학 - 치환적분 (Keyword :..
안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 기저와 차원에서는 앞으로 끊임없이 나올 기저와 차원에 대한 개념과 다양한 정리들에 대해서 알아보았습니다. 여기서 저희가 주의해야할 점은 지금까지 확인했던 기저 및 차원의 특성은 "유한" 벡터공간에서만 다루었습니다. 오늘은 이를 확장하여 무한 벡터공간에서도 기저가 존재함을 보이도록 하겠습니다. 오늘 최종적으로 증명할 명제는 아래와 같습니다. 모든 벡터공간은 기저를 가진다. 이 명제를 증명하기 위해서는 몇 가지 단계가 필요합니다. 먼저, 새로운 개념인 "극대성"을 도입하여야 하죠. 정의1. 극대성 (Maximality) $\mathcal{F}$를 집합족 (family of set)이라고 하자. 그리고 $\mathcal{F}$의 멤버 $\mathcal{M}$이 $\ma..
안녕하세요. 오늘은 지금까지 배웠던 미분과 관련된 더욱 다양한 문제들을 풀어보는 시간을 갖도록 하겠습니다. 만약, 모르시는 부분이 있다면 아래의 링크들을 참조하고 다시 풀어보시길 바랍니다. 3. 미분 규칙 (Differentiation Rules) 미적분학 - 다항함수와 지수함수의 미분 (Keyword : 다항함수의 미분, 지수함수의 미분) 미적분학 - 곱의 미분과 몫의 미분 (Keyword : 곱의 미분, 몫의 미분) 미적분학 - 삼각함수 미분 (Keyword : $\sin$ 함수 미분, $\cos$ 함수 미분, \tan$ 함수 미분, $\sec$ 함수 미분, $\csc$ 함수 미분, $\cot$ 함수 미분) 미적분학 - 연쇄 법칙 (Keyword : 연쇄 법칙, 합성함수의 미분) 미적분학 - 음함수의..
안녕하세요. 미적분학 관련 포스팅은 모두 끝났지만 앞으로 몇 가지 보충할 주제가 있으면 쓰기로 했기 때문에 오늘은 쌍곡선 함수 (Hyperbolic Function)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 쌍곡선 함수 (Hyperbolic Functions) 1). $\sinh(x) = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}$ 2). $\cosh(x) = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}$ 3). $\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} = \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}$ 4). $\text{csch}(x) = \frac{1}{\sinh(x)} = \frac{2}{e^{x} - e^{-x}}$ 5). $\text{sech}..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 발산정리를 마지막으로 미적분학 관련 포스팅을 마무리 하였습니다. 해당 포스팅의 원하시는 주제에 맞는 포스팅으로 바로 이동할 수 있는 목차입니다. 편하게 이용하시길 바랍니다. 1. 함수와 수학적 모델 (Functions and Mathematical Model) 미적분학 - 함수 (Keyword : 함수의 정의, 정의역, 공역, 치역, 함수의 대칭성, 함수의 증감) 미적분학 - 수학적 모델 (Keyword : 수학적 모델, 선형함수, 다항함수, 멱함수, 유리함수, 무리함수, 대수함수, 삼각함수, 지수함수, 로그함수, 초월함수) 미적분학 - 새로운 함수 만들기 (Keyword : 함수의 평행이동, 스케일 변환, 함수의 사칙연산, 합성함수) 미적분학 - 지수함수 (Key..
