선형대수학 - 기본행렬연산과 기본행렬

안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 쌍대공간에서는 벡터공간의 쌍대공간을 정의하고 이는 벡터공간 $V$에서 $\mathbf{F}$로의 선형범함수들 (적분, 미분, ...)의 벡터공간임을 알았습니다. 여기서 중요한 점은 쌍대공간의 기저인 쌍대기저는 Dirac-Delta 함수 $\delta$로 정의된다는 것입니다. 뿐만 아니라 이중쌍대공간인 $V^{**}$은 $V$와 같다는 것 역시 증명하였습니다.

 

지금까지 저희는 벡터공간의 정의와 함께 벡터공간을 이루는 기저와 차원에 대해서 알아보았으며 두 벡터공간 사이의 관계인 선형변환과 관련된 다양한 성질들에 대해서 알아보았습니다. 대부분의 학생들은 선형대수학이 행렬을 다루는 학문으로 알고 계실테지만 저희는 아직까지 행렬이라고는 선형변환의 행렬표현밖에 배우지 못했습니다. 이제 본격적으로 행렬을 다루어보도록 하죠. 지금까지 배웠던 주제를 조금 벗어나서 앞으로는 선형 연립방정식의 해를 구하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 이를 위한 첫번째 단계가 기본행렬연산과 기본행렬이 무엇인지 아는 것 입니다. 바로 한번 배워보도록 하죠.

 

 정의1. 기본행렬연산 (Elementart Matrix Operations)

행렬 $A$를 $m \times n$ 크기의 행렬이라고 하자. 다음 3개의 연산은 행렬 $A$의 각 열과 행에 적용할 수 있으며 이를 기본열연산 (Elementary column operation)과 기본행연산 (Elementary row operation)이라고 한다.

 

Type1 : 행렬 $A$의 두 행 또는 열의 위치를 서로 변경한다. 

Type2 : 행렬 $A$의 행 또는 열에 0이 아닌 임의의 스칼라를 곱한다.

Type3 : 행렬 $A$의 행 또는 열에 스칼라를 곱한 뒤 다른 행 또는 열에 더한다.

 

Let $A$ be an $m \times n$ matrix. Any one of the following 3 operations on the row [column] of $A$ is called an elementarty row or column operation.

 

Type1 : Interchanging any two row or column of $A$.

Type2 : Multiplying any row or column by nonzero scalar.

Type3 : Adding any scalar multiple of a row or column of $A$ to another row or column.

 

설명

말로 하면 어려우니 바로 간단한 예시를 들어서 각 타입의 기본행렬연산이 의미하는 바가 무엇인지 살펴보도록 하겠습니다. 행렬 $A$를 아래와 같이 정의하도록 하죠.

 

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & -1 & 3 \\ 4 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$$

 

첫번째 타입의 연산은 임의의 두 행 또는 열의 위치를 변경하는 것입니다. 저는 행렬 $A$의 첫번째 행과 두번째 행의 위치를 바꾸도록 하겠습니다. 

 

$$B = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$$

 

두번째 타입의 연산은 특정 행 또는 열에 0이 아닌 스칼라를 곱하는 것입니다. 저는 행렬 $A$의 두번째 행에 3을 곱해보도록 하겠습니다. 

 

$$C = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 6 & 3& -3 & 9 \\ 4 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$$

 

세번째 타입의 연산은 특정 행 또는 열에 스칼라를 곱한 뒤 다른 행 또는 열에 더하는 것입니다. 저는 행렬 $A$의 세번째 행에 4를 곱한 뒤 첫번째 행에 더하도록 하겠습니다. 

 

$$D = \begin{bmatrix} 17 & 2 & 7 & 12 \\ 6 & 3 & -3 & 9 \\ 4 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$$

 

여기서 한가지 알아야하는 중요한 사실은 기본행렬연산를 적용해 얻은 행렬은 다시 역연산을 통해 기존의 행렬로 복구 가능하다는 것 입니다. 예를 들어 위의 예시에서 $B$ 행렬에서 다시 $A$ 행렬로 변환하기 위해서는 다시 행렬 $B$의 첫번째 행과 두번째 행의 위치를 바꾸면 됩니다. 

 

 정의2. 기본행렬 (Elementary Matrix)

항등행렬 $I_{n}$에 기본행렬연산을 적용해서 얻을 수 있는 모든 행렬은 기본행렬 (Elementart Matrix)라고 한다. 

 

An $n \times n$ elementary matrix is a matrix obtained by performing on elementary operation on $I_{n}$.

 

설명

쉽게 말해 기본행렬은 정의1에서 보았던 모호했던 기본행렬연산의 정의를 행렬로 표현함으로써 더 명확하게 정의하는 방법이라고 보시면 될 거 같습니다. 정의1에서 보았던 동일한 예시의 기본행렬연산의 기본행렬을 얻어보도록 하겠습니다.

 

첫번째 타입의 연산이였던 첫번째 행과 두번째 행의 위치를 변경하는 연산을 항등행렬에 적용해보겠습니다. 

 

$$I_{n} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow E_{1} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$$

 

그리고 행렬 $A$에서 행렬 $B$를 얻기 위해서는 왼쪽에 $E_{1}$을 곱하면 얻을 수 있습니다. 

 

$$E_{1}A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & -1 & 3 \\ 4 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} = B $$

 

동일한 방법으로 두번째 타입의 연산이였던 두번째 행에 3을 곱하는 연산을 항등행렬에 적용해보겠습니다. 

 

$$I_{n} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow E_{2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$$

 

그리고 행렬 $A$에서 행렬 $C$를 얻기 위해서는 왼쪽에 $E_{2}$을 곱하면 얻을 수 있습니다.

 

$$E_{2}A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & -1 & 3 \\ 4 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 6 & 3 & -3 & 9 \\ 4 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} = C $$

 

마지막으로 세번째 타입의 연산이였던 세번째 행에 4를 곱한 뒤 첫번째 행에 더하는 연산을 항등행렬에 적용해보겠습니다. 

 

$$I_{n} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow E_{23 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$$

 

그리고 행렬 $A$에서 행렬 $C$를 얻기 위해서는 왼쪽에 $E_{2}$을 곱하면 얻을 수 있습니다.

 

$$E_{2}A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & -1 & 3 \\ 4 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 & 2 & 7 & 12 \\ 2 & 1 & -1 & 3 \\ 4 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} = D$$

 

 정리1. 

$A \in M_{m \times n}(\mathbf{F})$이고 행렬 $B$는 유한번의 기본행연산을 행렬 $A$에 적용했을 때 얻을 수 있다고 핮. 그러면 $B = EA$를 만족하는 $m \times m$ 크기의 기본행렬 $E$가 존재한다. 

 

 정리2. 

기본행렬은 가역행렬이고 기본행렬의 역행렬은 기본행렬과 동일한 타입의 기본행렬이다. 

 

증명

정리2 증명의 핵심은 선형대수학 - 역변환과 동형사상에서 보았던 역행렬의 정의(정의2)를 적절하게 활용하는 것입니다. 그리 어렵지 않으니 차근차근 증명해보도록 하죠.

 

행렬 $E$를 $n \times n$ 크기의 기본행렬이라고 하자. 이때, 행렬 $E$는 정의에 의해 항등행렬 $I_{n}$에 기본행연산을 적용하여 얻을 수 있다. 그렇다면 행렬 $E$를 얻기 위해 항등행렬 $I_{n}$에 적용했던 기본행연산을 반대로 적용하여 기본행렬 $E$로부터 항등행렬 $I_{n}$을 얻을 수 있다. 이 결과는 기본행렬 $E$에 어떤 기본행연산들을 적용하여 항등행렬을 얻게 되었으며 기본행렬 $E$를 얻기 위해 적용했던 기본행연산을 역순으로 적용했기 때문에 동일한 타입의 기본행연산으로 이루어진 행렬 $\bar{E}$가 존재하므로 $\bar{E}E = I_{n}$이 된다. 따라서 기본행렬 $E$는 가역행렬이고 역행렬은 기본행렬 $E$과 동일한 타입의 연산으로 이루어져 있다. 

 

참고문헌 

Linear Algebra (Stephan. H)