선형대수학 - 극대 선형독립 부분집합

안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 기저와 차원에서는 앞으로 끊임없이 나올 기저와 차원에 대한 개념과 다양한 정리들에 대해서 알아보았습니다. 여기서 저희가 주의해야할 점은 지금까지 확인했던 기저 및 차원의 특성은 "유한" 벡터공간에서만 다루었습니다. 오늘은 이를 확장하여 무한 벡터공간에서도 기저가 존재함을 보이도록 하겠습니다. 오늘 최종적으로 증명할 명제는 아래와 같습니다. 

 

모든 벡터공간은 기저를 가진다. 

 

이 명제를 증명하기 위해서는 몇 가지 단계가 필요합니다. 먼저, 새로운 개념인 "극대성"을 도입하여야 하죠.

 

 정의1. 극대성 (Maximality)

$\mathcal{F}$를 집합족 (family of set)이라고 하자. 그리고 $\mathcal{F}$의 멤버 $\mathcal{M}$이 $\mathcal{F}$의 멤버 중에서 $\mathcal{M}$을 포함하는 멤버가 존재하지 않고 오직 $\mathcal{M}$만 자기자신을 포함하는 멤버라면 $\mathcal{M}$을 $\mathcal{F}$의 극대 (maximal)라고 한다. 

 

Let $\mathcal{F}$ be a family of sets. A member $\mathcal{M}$ of $\mathcal{F}$ is called maximal if $\mathcal{M}$ is contained in no member of $\mathcal{F}$ other than $\mathcal{M}$ itself.

 

설명

일단, 극대성이라는 말을 이해하기 위해서는 집합족이라는 단어부터 이해해야겠죠? 간단하게 생각하시면 집합이란 원소들의 모임을 의미합니다. 집합족은 집합들의 모임을 의미합니다. 즉, 집합족의 원소는 집합이 되는 것이죠. 따라서, $\mathcal{F}$란 집합들을 원소로 갖는 모임을 의미합니다. 

 

간단한 예시를 들어보도록 하겠습니다. $S = \{1, 2, 3\}$의 멱집합 (power set)을 만들어보면 아래와 같이 구성할 수 있습니다. 

 

$$\mathcal{P}(S) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 3\}, \{1, 2, 3\}\}$$

 

$\{1\}$이 $\mathcal{P}(S)$의 극대이기 위해서는 $\{1\}$이 다른 멤버들에 포함되어있으면 안됩니다. 하지만, $\{1\}$은 $\{1, 2\}, \{1, 3\}, \{1, 2, 3\}$의 부분집합이기 때문에 극대가 아닙니다. 따라서, 오직 $\{1, 2, 3\}$만 $\mathcal{P}(S)$의 극대임을 알 수 있죠. 

 

 정의2. 사슬 (Chain)

집합 $\mathcal{C}$의 모임의 두 집합 $A$와 $B$에 대해서 $A \subseteq B$ 또는 $B \subseteq A$를 만족하면 집합 $\mathcal{C}$의 모임을 사슬이라고 부른다. 

 

A collection of sets $\mathcal{C}$ is called a chain (or nest or tower) if for each pair of sets $A$ and $B$ in $\mathcal{C}$, either $A \subseteq B$ or $B \subseteq A$.

 

설명

사슬을 쉽게 이해하는 방법은 집합의 모임 안에서 집합 간 포함관계가 잘 정의되어 있다고 보시면 될 거 같습니다. 저희는 앞으로 극대라는 개념을 활용해야합니다. 따라서, 극대의 정의를 활용을 할 필요가 있는데요, 이를 위해서는 집합의 모임 안에 멤버들끼리 포함관계가 잘 정의가 되어야 어떤 집합이 극대인지 알 수 있겠죠? 이제 저희는 정의1과 정의2를 기반으로 새로운 정리를 만들어볼 수 있습니다. 

 

 정리1. Maximal Principle

$\mathcal{F}$를 집합족이라고 하자. 만약 각 사슬 $\mathcal{C} \subseteq \mathcal{F}$에 대해서 $\mathcal{C}$를 포함하는 $\mathcal{F}$의 멤버가 존재한다면 $\mathcal{F}$는 극대 멤버를 가진다. 

 

설명

Maximal Principle은 집합족의 극대 멤버의 존재성을 보장하는 정리입니다. 저희는 이를 기반으로 새로운 정의를 생각해볼 수 있죠. 

 

 정의3. 극대 선형독립 부분집합 (Maximal Linearly Independent Subset)

집합 $S$를 벡터공간 $V$의 부분집합이라고 하자. $S$의 부분집합 $B$가 아래의 두 조건을 만족하면 극대 선형독립 부분집합 (Maximal Linearly Independent Subset)이라고 한다. 

 

1). $B$는 선형독립이다. 

2). $B$를 포함하는 $S$의 유일한 선형독립인 부분집합은 $B$뿐이다. 

 

Let $S$ be a subset of a vector space $V$. A maximal linearly independent subset of $S$ is a subset of $S$ satisfying both of the following conditions : 

 

1). $B$ is linearly independent.

2). The only lineart independent subset of $S$ that contains $B$ is $B$ itself. 

 

설명

극대 선형독립 부분집합의 두번째 정의를 잘 보시면 극대의 정의와 유사한 것을 볼 수 있습니다. 이제 저희가 해야할 것은 저희가 정의한 극대 선형독립 부분집합이 사실 벡터공간의 기저와 동일한 것임을 보여야합니다. 먼저, 벡터공간 $V$의 기저 $\beta$는 극대 선형독립 부분집합임은 쉽게 보일 수 있습니다. 일단, $\beta$의 정의에 의해 선형독립이기 때문에 조건 1)은 만족합니다. $v \in V$이고 $v \notin \beta$인 벡터 $v$를 선택하도록 하겠습니다. 그러면 $\beta$는 $V$의 기저이기 때문에 $\text{span}(\beta) = V$이므로 $v \in \text{span}(\beta)$입니다. 이는 선형대수학 - 선형종속과 독립의 정리2에 의해 $\beta \cup \{v\}$가 선형종속임을 알려줍니다.  따라서, $\beta$를 포함하는 선형독립인 $V$의 부분집합은 존재하지 않는다는 의미이기 때문에 조건 2)도 만족합니다. 따라서, $\beta$는 극대 선형독립 부분집합이죠. 남은 것은 극대 선형독립 부분집합이 기저임을 보이는 것입니다. 

 

 정리2. 

$V$를 벡터공간, 그리고 $S$를 벡터공간 $V$의 생성집합이라고 하자. 만약, $\beta$가 $S$의 극대 선형독립 부분집합이라고 할 때 $\beta$는 $V$의 기저이다.

 

증명

정리2의 증명은 기저의 정의를 증명하는 과정으로 진행됩니다. 

 

$\beta$가 $S$의 극대 선형독립 부분집합이라고 하자. $\beta$는 선형독립이기 때문에 $\text{span}(\beta) = V$임을 증명하는 것으로 $\beta$가 $V$의 기저임을 증명할 수 있다. 또한, 선형대수학 - 기저와 차원에서 정리2의 증명 과정에서 사용했던 논리를 이용하면 $\text{span}(\beta) = V$를 증명하는 것은 $\text{span}(\beta) = S$를 증명하는 것과 동치이다. 이때, 선형대수학 - 선형결합의 정리2에 의해 $\text{span}(\beta) \subseteq S$이므로 최종적으로 $S \subseteq \text{span}(\beta)$임을 증명하면 $\beta$가 기저임을 증명할 수 있다. 

 

귀류법을 사용하기 위해 $v \in S$이지만 $v \notin \text{span}(\beta)$가 존재한다고 가정하자. 즉, $S \notin \text{span}(\beta)$라고 하자. 그러면 선형대수학 - 선형결합의 정리2에 의해 $\beta \cup \{v\}$가 선형독립이다. 하지만, 이는 $\beta \subset (\beta \cup \{v\})$이므로 $\beta$의 극대 선형독립 부분집합이라는 가정에 모순이다. 이는 $S \notin \text{span}(\beta)$라는 결론 부정으로부터 왔으므로 $S \subseteq \text{span}(\beta)$이다. 따라서, $\text{span}(\beta) = S$이므로 $\text{span}(\beta) = V$를 만족한다. 이는 $\beta$는 기저의 조건을 만족한다는 뜻이므로 $\beta$는 $V$의 기저이다. 

 

Remark1

벡터공간의 부분집합이 기저인 것과 극대 선형독립 부분집합인 것은 서로 동치이다. 

 

저희는 Remark1을 기반으로 처음에 저희의 목표였던 명제를 아래와 같이 바꾸어서 증명하면 됩니다. 

 

모든 벡터공간은 극대 선형독립 부분집합을 가진다. 

 

이제 마지막 정리입니다. 저희는 이를 통해 모든 벡터공간은 기저가 존재함을 보일 수 있죠!

 

 정리3. 

$S$가 벡터공간 $V$의 선형독립인 부분집합이라고 하자. 그러면 $S$를 포함하는 $V$의 부분집합은 극대 선형독립 부분집합이다. 

 

증명

정리3의 증명은 Maximal Principle의 조건을 사용할 수 있는지 증명하는 과정입니다. 

 

$\mathcal{F}$를 $V$의 $S$를 포함하는 선형독립 부분집합의 집합족이라고 하자. 이제, $\mathcal{F}$가 극대를 가짐을 보이면 된다. 이를 위해서 사슬 $\mathcal{C}$가 $\mathcal{F}$에 있을 때, $\mathcal{C}$의 각 멤버들의 합집합인 $U$가 우리가 원하는 $\mathcal{F}$의 극대 선형독립 부분집합임을 보여야한다. 

 

이때, 사슬 $\mathcal{C}$는 벡터공간 $V$의 $S$를 포함하는 부분집합으로 구성되어있기 때문에, $S \subseteq U \subseteq V$이다. 따라서, $U$가 선형독립 집합임을 증명하기만 하면 된다. 이를 위해, $a_{1}u_{1} + \cdots + a_{n}u_{n} = 0$을 만족하는 $u_{1}, \dots, u_{n} \in U$와 스칼라 $a_{1}, \dots, a_{n}$를 선택한다. 여기서, 집합 $U$는 $\mathcal{C}$의 각 멤버들의 합집합이므로 $u_{i} \in A_{i}$인 $\mathcal{C}$의 멤버 $A_{i}$가 존재한다. 그런데, 정의2에 의해 사슬 $\mathcal{C}$ 안에서는 항상 집합 간에 포함관계가 성립하므로 어떤 멤버는 다른 집합들을 전부 포함해야한다. 편의상 다른 집합들을 전부 포함하는 멤버를 $A_{k}$라고 하자. 따라서, 모든 $i = 1, \dots, n$에 대해서 $u_{i} \in A_{k}$이다. 여기서 $A_{k}$는 $\mathcal{C}$의 멤버이므로 선형독립이다. 따라서, $a_{1}u_{1} + \cdots + a_{n}u_{n} = 0$을 만족하는 계수쌍은 오직 0 뿐이다. 즉, $a_{1} = a_{2} = \cdots = a_{n} = 0$이다. 이는 집합 $U$가 선형독립임을 의미한다. 

 

따라서, Maximal Principle에 의해서 집합족 $\mathcal{F}$는 극대원소 $U$를 가진다. 이 집합은 극대 선형독립 부분집합이므로 정리3은 증명된다. 

 

정리3에 의해서 모든 벡터공간은 극대 선형독립 부분집합을 가지기 때문에 Remark1에 의해 모든 벡터공간은 기저를 갖게 됩니다. 

 

참고문헌 

Linear Algebra (Stephan. H)