선형대수학 - 좌표변환 행렬

 안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 역변환과 동형사상에서는 어떤 체 $\mathbf{F}$에 대한 벡터공간 $V$와 $W$가 주어졌을 때, 선형변환 $T : V \rightarrow W$가 주어졌을 때, 가역변환 (invertible transformation) $T^{-1} : W \rightarrow V$의 정의와 변환을 구성하는 두 벡터공간 $V$와 $W$ 사이의 관계인 동형사상 (isomorphism)에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 약간 다른 주제로 넘어가서 좌표변환 행렬에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 

 

 일단 좌표변환의 필요성부터 설명할 필요가 있겠네요. 예를 들어서 $2x^{2} - 4xy + 5y^{2} = 1$이라는 복잡한 형태의 방정식이 있다고 가정하겠습니다. 그리고 저희는 아래와 같이 새로운 좌표계 $x^{'}, y^{'}$를 정의하도록 하겠습니다. 

 

$$\begin{cases} x &= \frac{2}{\sqrt{5}}x^{'} - \frac{1}{\sqrt{5}}y^{'} \\ y &= \frac{1}{\sqrt{5}} x^{'} + \frac{2}{\sqrt{5}} y^{'} \end{cases}$$

 

 그러면 저희는 새로운 좌표계에서 $(x^{'})^{2} + 6(y^{'})^{2} = 1$로 간단하게 표현할 수 있습니다. 즉, 좌표변환은 저희가 보았을 때 복잡한 형태의 식을 간단하게 만들 수 있는 좋은 도구로 쓸 수 있습니다. 이제 이를 선형대수학과 연결지어서 생각하기 위해서 $x^{'}y^{'}$ 좌표계를 구성하는 기저부터 생각해보면 $\beta^{'} = \{\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}, \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}\}$임을 알 수 있습니다.

 

 이는 쉽게 확인할 수 있는 데, 저희가 선형변환을 배웠으니 확인해보도록 하겠습니다. $T : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$일 때, $T(\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}) = \begin{bmatrix} \frac{2}{\sqrt{5}} & -\frac{1}{\sqrt{5}} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$라고 정의하도록 하겠습니다. 그러면 정의역의 기저는 $\beta = \{\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\}$이기 때문에 각 기저의 원소를 선형변환 $T$로 변환시키면 이는 $R(T)$의 기저, 즉 $\beta^{'}$를 구성하게 됩니다. 이는 선형대수학 - 선형변환, 영공간, 치역의 정리2에 의해 확인할 수 있습니다. 

 

$$T(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}) = \begin{bmatrix} \frac{2}{\sqrt{5}} & -\frac{1}{\sqrt{5}} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$$

$$T(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}) = \begin{bmatrix} \frac{2}{\sqrt{5}} & -\frac{1}{\sqrt{5}} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}$$

 

 따라서 $x^{'}y^{'}$ 좌표계의 기저가 $\beta^{'} = \{\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}, \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}\}$ 되는 것 입니다. 

 

 정리1.

어떤 체 $\mathbf{F}$에 대한 유한 벡터공간 $V$에 대한 기저 $\beta, \beta^{'}$와 $Q = \left[I_{V}\right]_{\beta^{'}}^{\beta}$를 정의하자. 그러면 아래의 두 개의 명제가 성립한다. 

1). $Q$는 가역이다. 
2). 임의의 벡터 $v \in V$에 대해서 $[v]_{\beta} = Q[v]_{\beta^{'}}$이다. 

 

증명

두 명제에 대한 증명은 아주 간단하게 할 수 있습니다.

 

1). $Q$는 가역이다. 

 

선형대수학 - 역변환과 동형사상의 정리3에 의해서 $I_{V}$가 가역이기 때문에 $Q$도 가역이다.

 

2). 임의의 벡터 $v \in V$에 대해서 $[v]_{\beta} = Q[v]_{\beta^{'}}$이다. 

 

임의의 $v \in V$에 대해서 아래의 식이 성립한다. 

$$[v]_{\beta} = [I_{V}(v)]_{\beta} = [I_{V}]_{\beta^{'}}^{\beta} [v]_{\beta^{'}} = Q[v]_{\beta^{'}}$$

 

 

정리1에서 정의된 $Q = \left[I_{V}\right]_{\beta}^{\beta^{'}}$를 좌표변환 행렬 (Change of Coordinate Matrix)이라고 부릅니다. 일단, 정리1.2)를 보면 $\beta^{'}$ 좌표계는 $Q$에 의해 $\beta$ 좌표계로 변환하는 것을 볼 수 있습니다. 만약, 역행렬 $Q^{-1}$를 왼쪽에 곱한다면 $\beta$ 좌표계에서 $\beta^{'}$ 좌표계로 변환되겠죠. 간단한 예시를 들어보도록 하겠습니다. $\mathbb{R}^{2}$ 공간에서 두 기저 $\beta = \{(1, 1), (1, -1)\}$ 그리고 $\beta^{'} = \{(2, 4), (3, 1)\}$을 고려해보겠습니다. 두 기저 $\beta$와 $\beta^{'}$가 $\mathbb{R}^{2}$의 기저라는 것은 이제 쉽게 증명할 수 있기 때문에 생략하도록 하겠습니다. 이때, 저희는 $\beta$를 기준으로 하는 좌표계에서 $\beta^{'}$을 기준으로 하는 좌표계로 변환을 하고 싶습니다. 이를 위해서는 $Q$를 구해야하죠. 즉, 새로운 좌표계의 기저 $\beta^{'}$가 기존 좌표계의 기저 $\beta$로 어떻게 표현되는 지 알면 됩니다.

 

$$\begin{cases} &(2, 4) = 3 \cdot (1, 1) - 1 \cdot (1, 1) \\ &(3, 1) = 2(1, 1) + 1(1, 1)  \end{cases}$$

 

따라서, $Q = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$입니다. 

 

 정리2.

어떤 체 $\mathbf{F}$에 대한 유한 벡터공간 $V$에 대한 선형변환 $T$, 기저 $\beta, \beta^{'}$가 있다고 하자. 그리고 $\beta^{'}$에서 $\beta$로 변환하는 좌표행렬 변환 $Q = [I_{V}]_{\beta^{'}}^{\beta}$가 주어지면 $[T]_{\beta^{'}} = Q^{-1}[T]_{\beta}Q$이다. 

 

증명

행렬 $I$를 $V$에 대한 항등변환이라고 했을 때, $TI = IT = T$가 성립한다. 이때, 

 

$$Q[T]_{\beta^{'}} = [I]_{\beta^{'}}^{\beta}[T]_{\beta^{'}}^{\beta} = [T]_{\beta^{'}}^{\beta} = [IT]_{\beta_{'}}^{\beta} = [T]_{\beta^{'}}^{\beta}[I]_{\beta^{'}}^{\beta} = [T]_{\beta}Q$$

 

이고 정리1에 의해 $Q$에 역행렬이 존재하므로 $[T]_{\beta^{'}} = Q^{-1}[T]_{\beta}Q$가 성립한다.

 

 정의 1. 닮음 (Similarity)

행렬 $A$와 $B$가 $M_{n \times n}(\mathbf{F})$에서 정의된 행렬이라고 가정하자. $B = Q^{-1}AQ$를 만족하는 가역행렬 $Q$가 존재하면 행렬 $B$가 $A$와 유사(similar)하다. 

 

Let $A$ and $B$ be matrices in $M_{n \times n} (\mathbf{F})$. We say that $A$ is similar to $B$ if there exists an invertible matrix $Q$ such that $B = Q^{-1}AQ$.

 

설명

정의1에 의하면 정리2의 $[T]_{\beta}$와 $[T]_{\beta^{'}}$ 역시 닮음 관계에 놓인 행렬이라는 것을 알 수 있습니다. 닮음의 형태를 가지는 행렬은 앞으로 선형대수학에서 굉장히 많이 나올예정입니다. 심지어 응용분야인 최적화이론 및 영상처리에서도 꾸준히 나오죠. 따라서, 개념을 알고 가시면 좋을 거 같습니다.

 

참고문헌 

Linear Algebra (Stephan. H)