선형대수학 - 쌍대공간

안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 좌표행렬 변환에서는 좌표계을 변환하는 과정과 선형변환 사이의 관계, 그리고 행렬의 닮음(similarity) 관계에 대해서 설명하였습니다. 오늘은 쌍대공간(Dual Space)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 

 

기본적으로 어떤 체 $\mathbf{F}$에 대한 벡터공간 $V$ 사이에서 정의된 선형변환 $T : V \rightarrow \mathbf{F}$에서 $\text{dim}(F) = 1$이라면 이러한 $T$를 $V$에 대한 선형 범함수(linear functional)라고 합니다. 그리고 일반적으로 $f, g, h, \dots$와 같은 기호로 표기하죠. 

 

가장 대표적인 예로 적분이라는 연산은 선형 범함수의 대표적인 예시입니다. $V$를 $[0, 2\pi]$에서 연속 실함수들의 벡터공간이라고 할 때, $g \in V$를 선택하도록 하겠습니다. 그러면 $h : V \rightarrow \mathbb{R}$은 아래와 같이 정의할 수 있습니다. 

 

$$h(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} x(t)g(t) dt$$

 

이때, $g(x) = \sin{(nt)}$ 또는 $g(x) = \cos{(nt)}$라고 한다면 $h(x)$는 $x$의 $n$차 푸리에 계수(Fourier Coefficient)라고 합니다. 

 

다른 예시로 대각합(trace)도 있습니다. $V = M_{n \times n}(\mathbf{F})$라고 했을 때, $f(A) = tr(A)$로 정의되는 $f : V \rightarrow \mathbf{F}$이죠. 뿐만 아니라, 어떤 벡터 $\mathbf{x}$가 주어졌을 때 $i$번째 좌표값만 선택하는 함수 역시 선형범함수의 예시입니다. 예를 들어 $V$를 유한벡터공간, $\beta = \{\mathbf{x}_{1}, \dots, \mathbf{x}_{n}\}$를 벡터공간 $V$의 순서기저라고 하겠습니다. 이제 각 $i = 1, \dots, n$에 대해서 $f_{i}(\mathbf{x}) = a_{i}$라고 정의하도록 하죠. 이때, 각 $a_{i}$가 결정되는 방법은 선형대수학 - 선형변환의 행렬표현에서 보았던 정의2(좌표벡터)를 참고하시면 됩니다. 즉, $f_{i}$라는 함수는 $\beta$를 기준으로 $\mathbf{x}$를 표현하는 $i$번째 좌표를 선택하는 거라고 할 수 있죠. 

 

$$[\mathbf{x}]_{\beta} = \begin{bmatrix} a_{1} \\ \vdots \\ a_{n} \end{bmatrix}$$

 

추후에 설명드리겠지만 $f_{i}$는 이번 주제에서 가장 중요한 선형범함수이기 때문에 꼭 기억해주셔야합니다.

 

 정의1. 쌍대공간 (Dual Spaces)

어떤 체 $\mathbf{F}$에 대한 벡터공간 $V$에 대해서 $V$의 쌍대공간(Dual Space) $V^{*}$는 벡터공간 $\mathcal{L}(V, \mathbf{F})$으로 정의된다. 

 

For a vector space $V$ over $\mathbf{F}$, we define the dual spaces of $V$ to be the vector space $\mathcal{L}(V, \mathbf{F})$, denoted by $V^{*}$.

 

설명

 즉, 쌍대공간 $V^{*}$는 $V$에서의 모든 벡터합과 스칼라곱을 만족하는 선형변환들의 벡터공간임을 의미합니다. 일단, 새로운 벡터공간을 하나 정의했으니 $V^{*}$의 차원을 계산해보도록 하겠습니다. $V$가 유한 벡터공간이라고 했을 때 아래와 같이 쓸 수 있습니다. 

 

$$\text{dim}(V^{*}) = \text{dim}(\mathcal{L}(V, \mathbf{F})) = \text{dim}(V) \cdot \text{dim}(\mathbf{F}) = \text{dim}(V)$$

 

 따라서, 쌍대공간의 차원은 기존 벡터공간의 차원과 동일합니다. 이때, 선형대수학 - 역변환과 동형사상의 정리2에 의해 $\text{dim}(V) = \text{dim}(V^{*})$ 이기 때문에 $V$와 $V^{*}$은 서로 동형입니다. 마지막으로 이중 쌍대공간 $V^{**}$이 $V$와 동일하다는 것을 이후 정리를 통해서 보이도록 하겠습니다. 

 

 정리1

어떤 체 $\mathbf{F}$에 대한 기저 $\beta = \{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}\}$를 가지는 유한 벡터공간 $V$가 있다고 가정하자. $i = 1, 2, \dots, n$에 대해서 $f_{i}$를 $\beta$에 대한 $i$번째 좌표함수(coordinate function)라고 하고 $\beta^{*} = \{f_{1}, f_{2}, \dots, f_{n}\}$이라고 할 때, $\beta^{*}$는 쌍대공간 $V^{*}$의 기저이고 임의의 $f \in V^{*}$에 대해서 $f = \sum_{i = 1}^{n} f(x_{i})f_{i}$이다. 

 

증명

정리1을 유심히 보면 어디서 많이 본거 같은 꼴입니다. 다시 선형대수학 - 기저와 차원으로 돌아가서 생각해보면 저희가 $\mathbf{x} \in V$의 어떤 벡터는 $V$의 기저 $\beta$의 선형결합으로 표현할 수 있음을 증명하였습니다 (정리1). 

 

$$\mathbf{x} \in V \Rightarrow \mathbf{x} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i}x_{i}$$ 

 

여기서 $\beta = \{x_{1}, \dots, x_{n}\}$은 벡터공간 $V$의 기저입니다. 그런데 이를 정리1과 비교해보면 꽤나 유사한 것을 볼 수 있습니다. 다른 점은 쌍대공간의 벡터인 선형범함수 $f$ 하나 선택했을 때 기저처럼 보이는 $\beta^{*}$를 통해서 표현할 수 있다는 것 입니다 ($\beta^{*}$가 추후에 쌍대공간의 기저로 정의됩니다. ). 즉, 기존의 벡터공간에서 지녔던 기저의 성질을 쌍대공간에서도 적용해보려는 시도입니다.

 

두 가지의 증명이 필요합니다. 첫번째는 $\beta^{*}$가 실제로 쌍대공간 $V^{*}$의 기저라는 것과 두번째는 임의의 $f \in V^{*}$에 대해서 $f = \sum_{i = 1}^{n} f(\mathbf{x}_{i})f_{i}$라는 것을 증명해야합니다. 

 

$\text{dim}(V^{*}) = \text{dim}(V) = n$이므로 선형대수학 - 기저와 차원의 따름정리3-2.(b)에 의해서 $n$개의 원소를 가지는 $\beta^{*}$는 쌍대공간 $V^{*}$의 기저이다. 따라서, $f \in V^{*}$에 대해서 $f = \sum_{i = 1}^{n} f(\mathbf{x}_{i})f_{i}$임을 증명하면 된다. 이를 증명하는 것은 쌍대공간의 기저들의 선형결합이 다른 함수들을 만들지 않음을 보이면 된다. 즉, 같은 좌표벡터에 대해서 동일한 함수 $f$를 생성하면 되는 것이다. $g = \sum_{i = 1}^{n} f(x_{i})f_{i}$라고 하자. 따라서 $1 \le j \le n$에 대해서 아래와 같이 수식을 전개할 수 있다. 여기서 주의해야할 점은 $g$와 $f$ 모두 선형함수라는 점이다. 따라서, 최종적으로 $f = g$임을 보이기 위해서는 $V$의 임의의 벡터를 넣었을 때 동일한 결과가 나온다는 것을 보이면 된다. 

 

$$\begin{align*} g(x_{j}) &= \left( \sum_{i = 1}^{n} f(x_{i})f_{i} \right)(x_{j}) \\ &= \sum_{i = 1}^{n} f(x_{i})f_{i}(x_{j}) \\ &= \sum_{i = 1}^{n} f(x_{i})\delta_{ij} = f(x_{j}) \end{align*}$$

 

 $V$의 임의의 벡터 $x_{j}$에 대해 $g(x_{j}) = f(x_{j})$가 성립하므로 선형대수학 - 선형변환, 영공간, 치역의 따름정리6-1에 의해 $f = g$이다. 

 

 정의2. 쌍대기저 (Dual Basis)

정리1의 쌍대공간 $V^{*}$의 기저 $\beta = \{f_{1}, f_{2}, \dots, f_{n}\}$가 $f_{i}(x_{j}) = \delta_{ij}$을 만족하면 $\beta$의 쌍대기저(dual basis)라고 한다. 

 

Using the notation of Thm1, we call the ordered basis $\beta^{*} = \{f_{1}, \dots, f_{n}\}$ of $V^{*}$ that satisfies $f_{i}(x_{j}) = \delta_{ij}$ for $1 \le i, j \le n$ the dual basis for $V^{*}$.

 

설명

간단한 예시를 들어보도록 하겠습니다. $\beta = \{(2, 1), (3, 1)\}$을 2차원 실수공간 $\mathbb{R}^{2}$의 순서기저라고 하겠습니다. 이제 쌍대공간 $V^{*}$의 기저가 $\beta^{*} = \{f_{1}, f_{2}\}$로 주어진다고 가정하겠습니다. 이때, $f_{1}$과 $f_{2}$는 모두 선형함수이기 때문에 쌍대공간의 기저를 구한다는 것은 어떤 선형함수인지 구하는 것과 동일한 의미를 가지게 됩니다. 

 

먼저, $f_{1}$을 구해보도록 하죠. 

 

$$\begin{cases} &1 = f_{1}(2, 1) = f_{1}(2e_{1} + e_{2}) = 2f_{1}(e_{1}) + f_{1}(e_{2}) \\ &0 = f_{1}(3, 1) = f_{1}(3e_{1} + e_{2}) = 3f_{1}(e_{1}) + f_{1}(e_{2}) \end{cases}$$

 

이는 $f_{1}(e_{1}) = -1$ 그리고 $f_{1}(e_{2}) = 3$임을 알 수 있습니다. 따라서, $f_{1}(x, y) = -x + 3y$임을 알 수 있죠. 다음으로 $f_{2}$를 구해보도록 하겠습니다. 

 

$$\begin{cases} &0 = f_{2}(2, 1) = f_{2}(2e_{1} + e_{2}) = 2f_{2}(e_{1}) + f_{2}(e_{2}) \\ &1 = f_{2}(3, 1) = f_{2}(3e_{1} + e_{2}) = 3f_{2}(e_{1}) + f_{2}(e_{2}) \end{cases}$$

 

이는 $f_{2}(e_{1}) = 1$ 그리고 $f_{2}(e_{2}) = -2$임을 알 수 있습니다. 따라서, $f_{2}(x, y) = x - 2y$임을 알 수 있죠. 따라서, 쌍대기저는 $\beta^{*} = \{f_{1}, f_{2}\} = \{-x + 3y, x - 2y\}$가 됩니다. 즉, 벡터공간 $V$의 기저만 주어지면 이에 대응되는 쌍대기저는 쉽게 찾을 수 있습니다. 

 

 정리2

어떤 체 $\mathbf{F}$에 대한 $\beta, \gamma$를 기저로 가지는 유한 벡터공간 $V, W$가 있다고 하자. 선형변환 $T : V \rightarrow W$에 대해서 모든 $g \in W^{*}$에 대해 $T^{t}(g) = gT$로 정의되는 변환 $T^{t} : W^{*} \rightarrow V^{*}$는 $[T^{t}]_{\gamma^{*}}^{\beta^{*}} = \left([T]_{\beta}^{\gamma}\right)^{t}$를 만족하는 선형변환이다. 

 

증명

선형대수학 - 역변환과 동형사상에서 저희는 선형변환의 행렬표현의 역행렬이 곧 역변환과 동일하다는 것을 보였습니다. 그런데 행렬의 가장 중요한 연산 중 전치행렬이 있었습니다 (선형대수학 - 부분공간 정의2 참조). 그렇다면 선형변환의 행렬표현의 전치행렬은 무엇을 의미할까요? 정리2에서는 쌍대공간 사이의 변환과 동일하다는 것을 보여주고 있습니다. 즉, 저희는 쌍대공간 사이의 변환을 알기 위해 힘들게 두 개의 벡터공간 $V$와 $W$의 쌍대기저를 알아낸 뒤 쌍대공간 사이의 선형변환의 행렬표현을 구하지 않아도 됩니다. 그냥 바로 주어진 선형변환의 행렬표현을 계산한 뒤 전치행렬을 구하면 되는 것이죠. 굉장히 편리한 정리라고 할 수 있습니다. 

 

정리2는 두 가지의 증명이 필요합니다. 첫번째는 $T^{t}$가 선형이라는 것과 두번째는 $[T^{t}]_{\gamma^{*}}^{\beta^{*}} = \left([T]_{\beta}^{\gamma}\right)^{t}$이죠. 

 

1). $T^{t}$가 선형변환이다. 

 

$T^{t}$가 선형변환임을 증명하기 위해 임의의 두 벡터 $g_{1}, g_{2} \in W^{*}$와 스칼라 $c \in \mathbf{F}$를 선택한다. 이를 위해 먼저, 임의의 $x_{j} \in V$를 선택한다. 

 

$$\begin{align*} T^{t}(cg_{1} + g_{2})(x_{j}) &= \left((cg_{1} + g_{2})T\right)(x_{j}) \\ &= (cg_{1} + g_{2})(T(x_{j})) \\ &= (cg_{1})(T(x_{j})) + g_{2}(T(x_{j})) \\ &= c(g_{1}T(x_{j})) + g_{2}(T(x_{j})) \\ &= c(g_{1}T)(x_{j}) + (g_{2}T)(x_{j}) \\ &= (cg_{1}T + g_{2}T)(x_{j}) \\ &= (cT^{t}(g_{1}) + T^{t}(g_{2}))(x_{j}) \end{align*}$$

 

따라서, $T^{t}(cg_{1} + g_{2}) = cT^{t}(g_{1}) + T^{t}(g_{2})$를 만족하므로 $T^{t}$는 선형변환이다. 

 

2). $[T^{t}]_{\gamma^{*}}^{\beta^{*}} = \left([T]_{\beta}^{\gamma}\right)^{t}$

 

두 벡터공간 $V$와 $W$의 기저를 각각 $\beta = \{\mathbf{x}_{1}, \dots, \mathbf{x}_{n}\}$ 그리고 $\gamma = \{y_{1}, \dots, y_{m}\}$이라고 하자. 그리고 각 벡터공간에 대응되는 쌍대공간의 기저를 각각 $\beta^{*} = \{\mathrm{f}_{1}, \dots, \mathrm{f}_{n}\}$ 그리고 $\gamma^{*} = \{\mathrm{g}_{1}, \dots, \mathrm{g}_{m}\}$이라고 하자. 또한, 편의를 위해 $A = \left[T\right]_{\beta}^{\gamma}$라고 하자. 최종적으로 우리는 $\left[T^{t}\right]_{\gamma^{*}}^{\beta^{*}}$의 행렬표현식을 구하고자 한다. 이를 위해서 $T^{t}(g_{j})$를 벡터공간 $V$의 쌍대기저 $\beta^{*}$로 표현하는 방법을 찾아야한다. 우리는 정리1에 의해서 쌍대공간의 임의의 벡터들이 쌍대기저의 선형결합으로 표현될 수 있음을 증명하였으므로 아래와 같이 쓸 수 있다. 

 

$$T^{t}(g_{j}) = g_{j}T = \sum_{s = 1}^{n} (g_{j}T)(x_{s})f_{s}$$

 

따라서, $\left(\left[ T^{t} \right]_{\gamma^{*}}^{\beta^{*}}\right)_{ij}$는 아래와 같이 구할 수 있다. 

 

$$\begin{align*}  (\mathrm{g}_{j}T)(\mathbf{x}_{j}) &= \mathrm{g}_{j}\left(T(\mathbf{x}_{j})\right) \\ &= \mathrm{g}_{j} \left( \sum_{k = 1}^{m} A_{ki}y_{k} \right) \\ &= \sum_{k = 1}^{m} A_{ki}\mathrm{g}_{j}(y_{k}) \\ &= \sum_{k = 1}^{m} A_{ki}\delta_{jk} = A_{ji}\end{align*}$$

 

 

예제1. 선형변환 $T : P_{1}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^{2}$가 $T(p(x)) = (p(0), p(2))$와 같이 정의되었다고 하자. 그리고 $\beta, \gamma$를 각각 $P_{1}(\mathbb{R})$과 $\mathbb{R}^{2}$의 표준기저라고 했을 때, $[T]_{\beta}^{\gamma} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$가 된다. 이때, $[T^{t}]_{\gamma^{*}}^{\beta^{*}}$를 구하여라.

 

$P_{1}(\mathbb{R})$의 기저 $\beta$에 대한 쌍대기저를 $\beta^{*} = \{f_{1}, f_{2}\}$ 그리고 $\mathbb{R}^{2}$의 기저 $\gamma$에 대한 쌍대기저를 $\gamma^{*} = \{g_{1}, g_{2}\}$라고 하자. 이때, $\left[T^{t}\right]_{\gamma^{*}}^{\beta^{*}} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d\end{bmatrix}$라고 했을 때, $T^{t}(g_{1}) = af_{1} + cf_{2}$가 된다.  

 

$$T^{t}(g_{1})(1) = (af_{1} + cf_{2})(1) = af_{1}(1) + cf_{2}(1) = a(1) + c(0) = a$$

$$T^{t}(g_{1})(1) = g_{1}(T(1)) = g_{1}(1, 1) = 1$$

 

따라서 $a = 1$이다. 유사한 방식으로 $c = 0, b = 1, d = 2$임을 알 수 있다. 그러므로 

 

$$\left[T^{t}\right]_{\gamma^{*}}^{\beta^{*}} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$$

 

이다. 이때, $\left[T^{t}\right]_{\gamma^{*}}^{\beta^{*}} = \left([T]_{\beta}^{\gamma} \right)^{t}$임을 알 수 있다. 

 

 오늘 저희가 마지막으로 증명할것은 $V$와 $V^{**}$는 본질적으로 같다는 것 입니다. 이를 위해서는 $V$와 $V^{**}$ 사이의 어떠한 동형사상도 두 벡터공간의 기저에 영향을 받지 않음을 증명해주어야 합니다. 

 

 임의의 벡터 $x \in V$에 대해서 $\hat{x} : V^{*} \rightarrow \mathbf{F}$를 $f \in V^{*}$일 때 $\hat{x}(f) = f(x)$라고 정의하도록 하겠습니다. 이제 저희가 해주어야하는 것은 $x \leftrightarrow \hat{x}$가 짝이 이루어지게 하는 $V$와 $V^{*}$ 사이의 동형사상을 찾아야합니다. 

 

 보조정리1

어떤 체 $\mathbf{F}$에 대한 유한 벡터공간 $V$와 원소 $x \in V$가 주어졌다고 하자. 모든 $f \in V^{*}$에 대해서 $\hat{x}(f) = 0$이면 $x = 0$이다.

 

증명

해당 명제의 대우를 증명한다. 

 

"$x \neq 0$이면 $\hat{x} \neq 0$을 만족하는 $f \in V^{*}$가 존재한다."

 

$V$의 기저 $\beta = \{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}\}$이 주어졌을 때 $x_{1} = x$라고 하자. 그러면 $\{f_{1}, f_{2}, \dots, f_{n}\}$이 $\beta$의 쌍대기저라고 할 때 정의에 의해 $f_{1}(x_{1}) = 1$이기 때문에 $f = f_{1}$이고 이는 $f$의 존재성을 증명하였기 때문에 대우는 참이다. 

 

 정리3

어떤 체 $\mathbf{F}$에 대한 유한 벡터공간 $V$과 $\psi : V \rightarrow V^{**}$를 $\psi(x) = \hat{x}$라고 정의하자. 이때, $\psi$는 $V$와 $V^{**}$ 사이의 동형사상이다. 

 

증명

$\psi$가 동형사상임을 증명하기 위해 $\psi$가 선형 가역 변환임을 보인다. 

 

1). 임의의 벡터 $x, y \in V$와 스칼라 $c \in \mathbf{F}$에 주어졌을 때, 임의의 $f \in V^{*}$에 대해서 우리는 $f$가 선형변환이라는 것과 $\hat{x}(f) = f(x)$로 가정했기 때문에 아래와 같이 쓸 수 있다. 

 

$$\psi(cx + y)(f) = f(cx + y) = cf(x) + f(y) = c\hat{x}(f) + \hat{y}(f) = (c\hat{x} + \hat{y})(f)$$

 

따라서, $\psi(cx + y) = c\hat{x} + \hat{y} = c\psi(x) + \psi(y)$이기 때문에 $\psi$는 선형이다. 

 

2). $\psi(x)$가 $V$의 쌍대공간 $V^{*}$에서 $x \in V$에 대해서 영함수라고 하자. 그러면 모든 $f \in V^{*}$에 대해서 $\hat{x}(f) = 0$임을 의미하고 보조정리1에 의해 $x = 0$이다. 따라서 $\psi$는 단사함수이다. 

 

3). 이전에 쌍대공간 $V^{*}$와 벡터공간 $V$의 차원은 동일함을 증명하였기 때문에 $\psi$는 전사함수이다. 

 

2), 3)에 의해서 $\psi$는 전단사 함수이고 1)에 의해 $\psi$는 동형사상이다. 

 

 따름정리3-1

$V$를 쌍대공간 $V^{*}$를 가지는 유한차원의 벡터공간이라고 할 때 $V^{*}$의 모든 순서기저는 $V$의 어떤 순서기저들의 쌍대기저이다. 

 

증명

$\beta^{*} = \{\mathrm{f}_{1}, \dots, \mathrm{f}_{n}\}$을 쌍대공간 $V^{*}$의 순서기저라고 하자. 정리1과 정리3에 의해 $V^{*}$의 기저에 대해 $V^{**}$의 쌍대기저가 존재한다. 즉, $\delta_{ij} = \hat{x}_{i}(\mathrm{f}_{j}) = \mathrm{f}_{j}(x_{i})$이므로 $\beta^{*} = \{\mathrm{f}_{1}, \dots, \mathrm{f}_{n}\}$은 $\{\mathbf{x}_{1}, \dots, \mathbf{x}_{n}\}$의 쌍대기저이다. 

 

참고문헌 

Linear Algebra (Stephan. H)