선형대수학 - 기저와 차원

 안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 선형 종속과 독립에서는 체 $\mathbf{F}$상에서 정의된 벡터공간 $V$의 부분집합 $S$의 원소인 벡터들이 선형적으로 독립인지 종속인지 알아보았습니다. 오늘은 선형대수학에서 자주 나오는 개념인 기저(basis)와 차원(dimension)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 

 

 정의 1. 기저 (Basis)

어떤 체 $\mathbf{F}$에 대한 벡터공간 $V$가 주어졌을 때 어떤 벡터들의 집합 $\beta$가 선형독립이고 $\text{span}(\beta) = V$이면 $\beta$는 $V$의 기저(basis)이다. 

만약, $V = \{0\}$이면 공집합 $\phi$는 $\{0\}$의 기저이다.

 

A basis $\beta$ for a vector space $V$ is a linearly independent subset of $V$ that generates $V$. If $V = \{0\}$, then $\emptyset$ is a basis for $\{0\}$.

 

설명

어떤 벡터공간의 기저라는 것은 두 가지 조건 (선형독립, 선형생성)을 동시에 만족하는 부분집합을 의미합니다. 예를 들어서, $e_{i} = (0, 0, \dots, 1, \dots, 0)$로서 $i$번째 좌표만 1이고 나머지는 0인 벡터를 고려해보겠습니다. 그리고 이러한 벡터들의 집합 $S = \{e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}\}$이 $\mathbf{F}^{n}$의 기저가 됨을 증명해보겠습니다.

 

일단, 집합 $S$가 선형독립임을 증명해야겠죠? 선형대수학 - 선형종속과 독립에서 보았던 예제들을 이용하면 됩니다. 먼저, 집합 $S$와 계수 $a_{1}, \dots, a_{n} \in \mathbf{F}$의 선형결합을 고려해보도록 하겠습니다. 

 

$$a_{1}e_{1} + a_{2}e_{2} + \cdots + a_{n}e_{n} = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) = \mathbf{0}$$

 

이 방정식을 만족하는 계수는 오직 0 밖에 없으므로 집합 $S$가 선형독립입니다. 다음으로 집합 $S$의 선형생성이 $\mathbf{F}^{n}$과 동일함을 증명해야합니다. 즉, $\text{span}(S) = \mathbf{F}^{n}$이죠. 이 역시, 선형대수학 - 선형결합의 정의3을 참조하면 됩니다. $(x_{1}, \dots, x_{n}) \in \mathbf{F}^{n}$을 임의의 원소라고 할 때 아래와 같이 두도록 하겠습니다. 

 

$$a_{1}e_{1} + a_{2}e_{2} + \cdots + a_{n}e_{n} = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$$

 

이때, 저희는 $a_{1} = x_{1}, a_{2} = x_{2}, \dots, a_{n} = x_{n}$이라고 두면 선형생성을 통해 $\mathbf{F}^{n}$의 임의의 원소를 만들 수 있기 때문에 $\text{span}(S) = \mathbf{F}^{n}$ 입니다. 따라서, 집합 $S$는 선형독립이면서 $\text{span}(S) = \mathbf{F}^{n}$을 만족하므로 $\mathbf{F}^{n}$의 기저가 됩니다. 이와 같은 기본적인 기저를 표준기저 (standard basis)라고 합니다. 다음 Remark1은 대표적인  벡터공간에서의 표준기저들을 알려주고 있습니다. 

 

Remark1

1). $S = \{e_{1}, \dots, e_{n}\}$은 $\mathbf{F}^{n}$의 표준기저이다.

2). $S = \{E^{ij} | 1 \le i \le m, 1 \le j \le n \}$은 $M_{m \times n}(\mathbf{F})$의 표준기저이다. 이때, $E^{ij}$는 $i$번째 행과 $j$번째 열만 1일 행렬이다. 

3). $S = \{1, x, x^{2}, \dots, x^{n}\}$은 $P_{n}(\mathbf{F})$의 표준기저이다. 

4). $S = \{1, x, x^{2}, \dots\}$은 $P(\mathbf{F})$의 표준기저이다. 

 

여기서 잘 보시면 4)이 조금 특이하다고 느끼실겁니다. 왜냐하면 1), 2), 3)는 모두 유한개의 원소를 가지는 기저이지만, 4)만 유일하게 무한개의 원소를 가지는 집합이기 때문이죠. 이와 같이 기저는 꼭 유한할 필요는 없습니다. 오늘 포스팅에서는 주로 유한집합을 주로 다루지만 다음 포스팅에서는 이를 확장하여 무한집합에 대한 성질들을 분석해보도록 하겠습니다. 

 

예제1. $V = \mathbb{R}^{2}$이고 $S = \{(1, 1), (1, -1)\} \subset V$라고 할 때 $S$는 $V$의 기저이다.

1). $\mathbf{u}_{1} = (1, 1)$ 이고 $\mathbf{u}_{2}= (1, -1)$이라고 하자. $a_{1}, a_{2} \in \mathbb{R}$이라고 할 때, $a_{1}\mathbf{u}_{1} + a_{2}\mathbf{u}_{2} = \mathbf{0}$이라고 가정하자.

 

$$\begin{align*} a_{1}\mathbf{u}_{1} + a_{2}\mathbf{u}_{2} &= (a_{1}, a_{1}) + (a_{2}, -a_{2}) \\ &= (a_{1} + a_{2}, a_{1} - a_{2}) = (0, 0)\end{align*}$$

 

따라서 아래의 연립방정식을 얻을 수 있다. 

 

$$\begin{align*} a_{1} + a_{2} &= 0 \\ a_{1} - a_{2} &= 0 \end{align*}$$

 

그러므로 $a_{1}= a_{2} =0$이기 때문에 $S$는 선형독립이다.

 

2). $S$의 선형 생성공간 $\text{span}(S) = V = \mathbb{R}^{2}$을 만족하는 지 증명한다. 

 

$$\begin{align*} \text{span}(S) &= x(1, 1) + y(1, -1) \\ &= (x + y, x - y) = (a, b)\end{align*}$$

 

위와 같이 식을 정의했을 때, $x = \frac{1}{2}(a + b), y = \frac{1}{2}(a - b)$라고 하면 $\mathbb{R}^{2}$ 상의 임의의 좌표 $(a, b)$를 생성할 수 있기 때문에 $S$는 $\mathbb{R}^{2}$를 생성한다. 

 

1), 2)에 의해서 $S$는 $V = \mathbb{R}^{2}$의 기저이다. 

 

 정리1. 

어떤 체 $\mathbf{F}$에 대한 벡터공간 $V$와 $V$의 부분집합 $\beta = \{u_{1}, \dots, u_{n}\}$가 주어졌다고 하자. 그러면 $\beta$가 $V$의 기저가 되는 것은 각 $v \in V$에 대해서 $\beta$의 벡터의 유일한 선형결합으로 표현되는 것과 동치이다. 즉, 모든 $v \in V$에 대해서 유일한 스칼라 $a_{1}, \dots, a_{n} \in \mathbf{F}$가 존재하여 $v = a_{1}u_{1} + \cdots + a_{n}u_{n}$가 성립하는 것이다. 

 

증명

정리1은 동치명제이기 때문에 양방향에 대한 증명이 필수입니다. 

 

1). ($\Rightarrow$) : $\beta$가 벡터공간 $V$의 기저라고 하자. 기저의 정의에 의해 $V = \text{span}(\beta)$이므로 $v \in  \text{span}(\beta)$를 선택한다. 따라서, 벡터 $v$는 기저 $\beta$의 선형결합으로 표현될 수 있다. 여기서, $v$의 선형결합 표현식이 두 가지가 있다고 가정하자. 즉, 두 개의 계수쌍 $(a_{1}, \dots, a_{n})$과 $(b_{1}, \dots, b_{n})$이 존재하여 벡터 $v$를 아래와 같이 표현할 수 있다. 

 

$$a_{1}u_{1} + \cdots + a_{n}u_{n} = v = b_{1}u_{1} + \cdots + b_{n}u_{n} $$

 

따라서, 아래와 같이 작성할 수 있다. 

 

$$0 = (a_{1} - b_{1})u_{1} + \cdots + (a_{n} - b_{n})u_{n}$$

 

여기서, 기저의 정의에 의해 $\beta$가 선형독립이므로 위 표현식을 만족하는 계수쌍은 오직 0이다. 따라서, $a_{1} - b_{1} = 0, \dots, a_{n} - b_{n} = 0$이므로 $a_{1} = b_{1}, \dots, a_{n} = b_{n}$이다. 그러므로, $v$는 $\beta$의 벡터의 유일한 선형결합 표현이 존재한다. 

 

2). ($\Leftarrow$) : 모든 $v \in V$에 대해서 $\beta$의 벡터의 유일한 선형결합 표현이 존재한다고 하자. 증명해야하는 것은 $\text{span}(\beta) = V$라는 것과 $\beta$가 선형독립이라는 것이다. 먼저, $\text{span}(\beta) = V$임을 증명하도록 한다. 한편, 선형대수학 - 선형결합의 정리2에 의해 $\text{span}(\beta) \subseteq V$이므로 $V \subseteq \text{span}(\beta)$만 증명하면 된다. 임의의 $v \in V$를 선택하면 가정에 의해 유일한 계수쌍 $a_{1}, \dots, a_{n}$와 $\beta$의 벡터의 선형결합으로 $v = a_{1}u_{1} + \cdots + a_{n}v_{n}$과 같이 표현할 수 있다. 이는 벡터 $v$가 선형결합으로 표현되었다는 의미이므로 $v \in \text{span}(\beta)$이다. 따라서, $V \subseteq \text{span}(\beta)$이다.

 

마지막으로 $\beta$가 선형독립임을 증명해야한다. 귀류법을 적용하기 위해 $a_{1}u_{1} + \cdots + a_{n}u_{n} = 0$을 만족하는 비자명계수쌍 $a_{1}, \dots, a_{n}$이 존재한다고 가정하자 (즉, 선형종속이다.). 하지만, 이는 비자명계수쌍과 자명계수쌍이 동시에 존재하기 때문에 유일한 선형결합 표현이 존재한다는 가정에 모순이다. 따라서, $\beta$는 선형독립이다. 

 

따라서, 1)과 2)에 의해 정리1은 성립한다.

 

 정리2.

유한집합 $S$에 의해 벡터공간 $V$가 생성되면 $S$의 어떤 부분집합은 $V$의 부분집합이므로 $V$는 유한 기저를 갖는다. 

 

증명

정리2는 벡터공간 $V$가 유한집합으로 생성되기만 하면 더 작은 집합의 기저가 존재할수있다는 것입니다. 이 정리는 2가지 경우 ($S$가 공집합인 경우, 아닌 경우)로 나누어 증명해야합니다. 

 

1). $S = \emptyset$ 또는 $S = \{0\}$이라고 하면 $S$는 $V = \{0\}$을 생성하고 $S$의 부분집합 $\emptyset$은 $V$의 기저로 유한개의 기저를 갖는다. 

 

2). $S$가 0이 아닌 벡터 $u_{1}$을 가진다고 하자. 그러면 $\{u_{1}\}$은 선형독립이다. 그리고, 새로운 벡터 $u_{2}, u_{3}, \dots, u_{k}$를 선택할 때 $\beta = \{u_{1}, u_{2}, \dots, u_{k}\} \subset S$가 선형독립이 되는 벡터들만 선택한다고 하자. 

 

GOAL : $\beta$는 $V$의 기저이다. 

 

여기서, $\text{span}(S) = V$이므로 $\text{span}(\beta) = S$라면 벡터공간 $V$는 집합 $\beta$로부터 만들어질 수 있다. 따라서, $\text{span}(\beta) = S$임을 증명하는 것으로 충분하다. 

 

a). $\text{span}(\beta) \subseteq S$ : 선형대수학 - 선형결합의 정리2에 의해 $\text{span}(\beta) \subseteq S$이다. 

 

b). $S \subseteq \text{span}(\beta)$ : $u \in S$인 임의의 벡터 $u$를 선택한다. 이때, $u \in \beta$라면 자명하게 $u \in \text{span}(\beta)$이다. 따라서, $u \notin \beta$라고 가정하자. 이때, $\beta$를 설계한 방법에 의해서 $\beta \cup \{u\}$는 선형종속일 수 밖에 없다. 따라서, 선형대수학 - 선형종속과 독립의 정리2에 의해 $u \in \text{span}(\beta)$이다. 

 

a)와 b)에 의해 $\text{span}(\beta) = S$이고 이는 $\text{span}(\beta) = V$와 동치이다. 또한, $\beta$가 선형독립이기 때문에 $\beta$는 $V$의 기저이고 $S$의 부분집합이므로 $\beta$는 유한하다. 마지막으로 $S$의 모든 케이스에 대해서 증명하였으므로 정리2는 성립한다. 

 

간단한 예시로 집합 $S = \{(2, -3, 5), (8, -12, 20), (1, 0, -2), (0, 2, -1), (7, 2, 0)\}$을 보도록 하겠습니다. $\text{span}(S) = \mathbb{R}^{3}$라는 사실은 생략하도록 하겠습니다. 사실, 정리2에서 가장 중요한 것은 집합 $S$가 주어졌을 때 기저 $\beta$를 어떻게 설계했는지 입니다. 잘 보시면 일단, $S$에서 영벡터가 아닌 어떤 집합을 가져온 뒤 선형독립이 되도록 하는 원소들을 하나씩 추가하는 과정이 존재합니다. 이는 선형대수학 - 선형종속과 독립의 정리2에 의해 $\beta$의 원소들로 새로운 원소가 선형결합으로 표현되지 않는 것과 동치입니다. 저희는 이와 같이 기저를 설계하면 됩니다. 집합 $S$에서 영벡터가 아닌 어떤 원소를 하나 선택해보도록 하죠. $(2, -3, 5)$를 $\beta$에 추가하도록 하겠습니다.

 

$$\beta = \{(2, -3, 5)\}$$

 

그러면 남은 4개의 원소들 중 $(2, -3, 5)$로 표현되지 않는 벡터를 하나 찾아야합니다. $(8, -12, 20) = 4(2, -3, 5)$이기 때문에 제외하도록 하죠. 그런데 $(1, 0, -2)$는 $(2, -3, 5)$로 표현되지 않기 때문에 $\beta$에 추가하도록 하죠. 

 

$$\beta = \{(2, -3, 5), (1, 0, -2)\}$$

 

이제, 4번째 원소인 $(0, 2, -1)$을 보도록 하죠. $\beta$ 내의 두 원소로 $(0, 2, -1)$로 표현하는 방법은 없습니다. 따라서, $(0, 2, -1)$을 추가하더라도 $\beta$는 선형독립이기 때문에 추가할 수 있죠. 

 

$$\beta = \{(2, -3, 5), (1, 0, -2), (0, 2, -1)\}$$

 

이제, 마지막 벡터 $(7, 2, 0)$만 남았습니다. 하지만, $(7, 2, 0) = 2(2, -3, 5) + 3(1, 0, -2) + 4(0, 2, -1)$이기 때문에 $(7, 2, 0)$을 $\beta$에 추가하면 선형종속이기 때문에 추가할 수 없습니다. 따라서, 최종 $\beta$는 아래와 같습니다. 

 

$$\beta = \{(2, -3, 5), (1, 0, -2), (0, 2, -1)\}$$

 

실제로 $\beta$는 $S$보다 더 적은 벡터로 구성되어 있고 $\text{span}(\beta) = \mathbb{R}^{3}$이면서 $\beta$는 선형독립이므로 $\beta$는 $\mathbb{R}^{3}$의 기저입니다. 이와 같이 정리가 중요한 경우도 있지만 증명과정에서 사용했던 테크닉이 중요한 경우도 많기 때문에 모든 정리의 증명은 직접 한번씩 손으로 써보시고 이해하시는 걸 추천드립니다. 

 

 정리3. Replacement Theorem

벡터공간 $V$가 $n$개의 벡터를 가지는 집합 $G$에 의해 만들어지고 $m$개의 벡터를 가지는 $V$의 부분집합 $L$이 선형독립이라고 하자. 그러면 $m \le n$이고 $n - m$개의 벡터를 가지고 $L \cup H$가 $V$를 생성하는 $G$의 부분집합 $H$이 존재한다. 

 

증명

저희가 선형대수학을 배우면서 거의 처음으로 이름이 붙은 정리가 나왔습니다. 그만큼 중요하고 증명하기 조금 어려운 정리죠. Replacement Theorem의 증명은 수학적 귀납법 (mathematical induction)으로 수행할 수 있습니다. 수학적 귀납법을 이용한 증명과정은 아래와 같습니다. 

 

1). $m = 0$일 때 정리가 성립함을 증명

2). $m = k$일 때 정리가 성립한다고 가정

3). $m = k + 1$일 때 $m = k$에서 사용한 가정을 활용해서 증명

 

위 과정을 이용해서 증명해보도록 하겠습니다. 참고로 Replacement Theorem는 $m$에 대한 수학적 귀납법을 적용합니다. 

 

1). $m = 0$일 때 정리가 성립함을 증명

 

$m = 0$이라고 하면 집합 $L$의 원소의 개수가 0개 이므로 $L = \emptyset$이다. 이때, $L \cup H = H$이고 $H = G$라고 두면 $\text{span}(H) = V$이므로 정리3이 성립한다. 

 

2). $m = k$일 때 정리3이 성립한다고 가정

 

$m = k$일 때 정리3이 성립한다고 가정하면 벡터공간 $V$가 $n$개의 벡터를 가지는 집합 $G$에 의해 만들어지고 $k$개의 벡터를 가지는 $V$의 부분집합 $L$이 선형독립이라고 하자. 그러면 $k \le n$이고 $n - k$개의 벡터를 가지고 $L \cup H$가 $V$를 생성하는 $G$의 부분집합 $H$이 존재한다. 

 

3). $m = k + 1$일 때 $m = k$에서 사용한 가정을 활용해서 증명

 

먼저, $L = \{v_{1}, v_{2}, \dots, v_{k}, v_{k + 1}\}$로 총 $k + 1$개의 벡터로 이루어진 선형독립 집합이라고 하자. 이때, 문제의 가정에 의해 $L$은 $V$의 부분집합이다. 여기서, $\{v_{1}, v_{2}, \dots, v_{m}\} \subset L$이고 선형대수학 - 선형종속과 독립의 따름정리2-1에 의해 $\{v_{1}, \dots, v_{m}\}$은 선형독립이다. 게다가, $m = k$일 때 정리3이 성립함을 가정하였음으로 $m \le n$과 집합 $G$의 $n - k$개의 벡터를 원소로 가지는 부분집합 $\{u_{1}, \dots, u_{n -k}\}$이 존재하여 $\{v_{1}, \dots, v_{m}\} \cup \{u_{1}, \dots, u_{n -k}\}$이 벡터공간 $V$를 생성한다. 주목할 점은 $v_{k + 1} \in V$이므로 이는 집합 $\{v_{1}, \dots, v_{k}\} \cup \{u_{1}, \dots, u_{n- k}\}$의 선형결합으로 표현할 수 있다.

 

$$v_{k + 1} = a_{1}v_{1} + \cdots + a_{k}v_{k} + b_{1}u_{1} + \cdots + b_{n - k}u_{n - k}$$

 

이때, $n - k = 0$이라고 가정하면 선형대수학 - 선형종속과 독립의 정리2에 의해 $v_{k + 1} \in \text{span}(L)$이므로 $L$은 선형종속이다. 하지만, 이는 문제의 가정에 모순이므로 $n > k$임을 알 수 있다. 또한, $m$은 벡터의 개수이므로 $n \ge k+1$임을 얻을 수 있다. (첫번째 결론 증명)

 

다음으로 $v_{k + 1}$의 선형결합에서 계수쌍 $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n-k}$ 들 중 적어도 하나는 0이 아니다. 이를 간단하게 증명해보자. $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n-k}$ 모두 0이라고 가정하면 $v_{k + 1} = a_{1}v_{1} + \cdots + v_{k + 1}$이므로 $v_{k + 1} \in \text{span}(L)$이다. 이는 동일하게 선형대수학 - 선형종속과 독립의 정리2에 의해 $L$은 선형종속이다. 이는 문제의 가정에 모순이므로 계수쌍 $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n-k}$ 들 중 적어도 하나는 0이 아니다. 그리고 계수가 0이 아닌 쌍의 벡터를 편의 상 $u_{1}$이라고 하자. 그러면 아래와 같이 식을 정리할 수 있다. 

 

$$u_{1} = (-b_{1}^{-1}a_{1})v_{1} + \cdots + (-b_{1}^{-1}a_{k})v_{k} + (-b_{1}^{-1})v_{k+1} + (-b_{1}^{-1}b_{2})u_{2} + \cdots + (-b_{1}^{-1}b_{n - k})u_{n - k}$$

 

여기서, $H = \{u_{2}, \dots, u_{n - k}\}$이라고 하면 $u_{1} \in \text{span}(L \cup H)$이다. 그리고 이 과정을 모든 벡터에 대해서 적용하면 $\{v_{1}, \dots, v_{k}, u_{1}, \dots, u_{n- k}\} \subseteq \text{span}(L \cup H)$이다. 또한, $\{v_{1}, \dots, v_{k}, u_{1}, \dots, u_{n- k}\}$이 벡터공간 $V$를 생성한다고 하였으므로 $\text{span}(L \cup H) = V$이다. 그리고 $G$의 부분집합 $H$가 $(n - k) - 1 = n - (k + 1)$개의 원소를 가지고 있으므로 정리3은 $m = k + 1$일 때도 성립하므로 수학적 귀납법에 의해 정리3은 성립한다. 

 

 따름정리3-1.

벡터공간 $V$가 유한기저를 가진다고 하면 $V$의 모든 기저는 동일한 개수의 벡터를 가진다. 

 

증명

저희가 어떤 벡터공간의 기저를 찾았다고 할 때 다른 기저들이 가지고 있는 벡터의 개수를 알 수 있을까요? 정답은 모두 같은 개수의 벡터를 가지고 있다는 것입니다. 따름정리3-1에서는 이를 알려주고 있습니다. 저희는 Replacement Theorem을 이용해서 따름정리3-1을 증명할 수 있습니다. 

 

$\beta$가 벡터공간 $V$에 대한 $n$개의 벡터를 포함하는 유한기저라고 하자. 그리고 $\gamma$를 $V$의 다른 기저라고 하자. 이때, $\gamma$가 $n$개보다 더 많은 개수의 벡터 $m$개를 가지고 있다고 하자. 그러면 $\gamma$에서 정확히 $n + 1$개의 벡터를 가지는 부분집합 $S$를 고려하자. 이때, 집합 $S$는 선형대수학 - 선형종속과 독립의 따름정리2-1에 의해 선형독립이고 $\beta$는 $V$를 생성하므로 Replacement Theorem에 의해 $n + 1 \ge n$이다. 이는 모순이므로 $\gamma$는 유한하고 $m \ge n$이다. 여기서, $\beta$와 $\gamma$의 역할을 바꾸어 $m \le n$임을 증명하면 $m = n$임을 알 수 있다. 

 

 정의2. 차원 (Dimension)

어떤 체 $\mathbf{F}$에 대한 벡터공간 $V$가 주어졌을 때 $\beta$가 $V$의 기저라고 하자. 벡터공간 $V$의 차원(dimension) $\text{dim}(V) = \text{dim}_{\mathbf{F}}(V) = $ #$\beta= n$이다. 

 

A vector space is called finite-dimensional if it has a basis consisting of a finite number of vectors. The unique number of vectors in each basis for $V$ is called the dimension of $V$, and is denoted by $\text{dim}(V)$. A vectpr space that is not finite-dimensional is called infinite-dimensional.

 

설명

간단하게 예를 들어서 설명해보도록 하겠습니다. $V = \mathbb{R}^{2}$라고 할 때, 예제1에서 저희가 $S = \{(1, 1), (1, -1)\}$이 $V$의 기저임을 보였습니다. 따라서 $S = \beta$가 되므로 $\text{dim}(V) = $ #$\beta = 2$가 됩니다. 따라서 $V$의 차원은 2라는 것을 알 수 있죠. 즉, 저희는 어떤 벡터공간 $V$의 차원을 알기위해서는 해당 벡터공간의 기저를 먼저 찾은 뒤 기저를 구성하는 원소의 개수를 세기만 하면 됩니다. 

 

Remark2.

1). $\{0\}$의 기저는 $\emptyset$이므로 $\text{dim}(\{0\}) = 0$이다.

2). $\mathbf{F}^{n}$의 기저는 $\{e_{1}, \dots, e_{n}\}$이므로 $\text{dim}(\mathbf{F}^{n}) = n$이다. 

3). $M_{m \times n}(\mathbf{F})$의 기저는 $\{E^{ij} | 1 \le i \le m, 1 \le j \le n \}$은 $M_{m \times n}(\mathbf{F})$이므로 $\text{dim}(M_{m \times n}) = mn$이다. 

4). $P_{n}(\mathbf{F})$의 기저는 $\{1, x, x^{2}, \dots, x^{n}\}$이므로 $\text{dim}(P_{n}(F)) = n + 1$이다. 

 

 따름정리3-2.

벡터공간 $V$가 $\text{dim}(V) = n$을 만족한다고 하면 아래의 명제들은 참이다. 

 

(a). 벡터공간 $V$를 생성하는 임의의 유한생성집합은 최소한 $n$개의 벡터를 포함하고 $n$개의 벡터를 가지는 벡터공간 $V$의 생성집합은 $V$의 기저이다.

(b). 벡터공간 $V$의 임의의 선형독립이고 $n$개의 벡터를 가지는 부분집합은 벡터공간 $V$의 기저이다.

(c). 벡터공간 $V$의 모든 선형독립인 부분집합은 벡터공간 $V$의 기저로 확장할 수 있다.

 

증명

$\beta$를 벡터공간 $V$의 기저라고 하자. 

 

(a). $G$를 벡터공간 $V$의 유한생성집합이라고 하자. 그러면 정리2에 의해 $G$의 부분집합 $H$는 벡터공간 $V$의 기저이다. 또한, 따름정리3-1에 의해서 부분집합 $H$는 $n$개의 벡터를 가지므로 $G$는 최소한 $n$개 이상의 벡터를 포함한다. 게다가, $G$가 $n$개의 벡터를 포함한다고 가정하면 $H = G$이므로 $G$는 $V$ 기저이다. 

 

(b). $L$을 $n$개의 벡터를 포함하고 선형독립인 $V$의 부분집합이라고 하자. 정리3(Replacement Theorem)에 의해서 $\text{span}(L \cup H) = V$를 만족하는 $\beta$의 부분집합 $H$가 존재한다. 이때, $L$과 $\beta$의 벡터의 개수가 모두 0이므로 $H$는 공집합이다. 그러므로 $\text{span}(L) = V$이고 집합 $L$은 선형독립이므로 $L$은 $V$의 기저이다. 

 

(c). $L$을 $m$개의 벡터를 포함하고 선형독립인 $V$의 부분집합이라고 하자. 정리3(Replacement Thoerem)에 의해서 $\text{span}(L \cup H) = V$를 만족하는 $\beta$의 부분집합 $H$가 존재한다. 이때, $H$의 벡터의 개수는 $n - m$개이다. 따라서, $L \cup H$가 최대로 가질 수 있는 벡터의 개수는 $n$개이다. 하지만, (a)에 의해 $L \cup H$는 많아봐야 $n$개의 벡터를 가지므로 $L \cup H$의 벡터의 개수는 $n$개이다. 따라서, $L \cup H$는 $V$의 기저이다. 

 

 정리4. 

$W$가 유한차원 벡터공간 $V$의 부분공간이라고 하자. 그러면 $W$는 유한차원이고 $\text{dim}(W) \le \text{dim}(V)$이다. 이때, $\text{dim}(W) = \text{dim}(V)$이면 $W = V$이다. 

 

증명

$\text{dim}(V) = n$이라고 하자. 

 

1). $W = \{0\}$이면 $W$는 유한차원이고 $\text{dim}(W) = 0 \le n$이다. 

 

2). $W$가 영벡터가 아닌 벡터 $x_{1}$을 포함하면 $\{x_{1}\}$은 선형독립이다. 이때, $\{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}\}$가 선형독립을 이루도록 하는 $x_{2}, \dots, x_{k} \in W$를 선택한다. 그러면 $\{x_{1}, \dots, x_{k}\}$는 $V$를 생성하므로 $V$의 기저이다. 또한, $\text{dim}(W) = k \le n$이다. 

 

3). $\text{dim}(W) = n$이라고하면 $W$의 기저는 선형독립이고 $n$개의 벡터를 가지는 $V$의 부분집합이다. 이때, 따름정리3-1에 의해 이 기저 역시 $V$의 기저이므로 $W = V$이다. 

 

저희는 정리4를 통해서 벡터공간과 부분공간 사이의 차원에 대한 관계성을 알게 되었습니다. 간단한 예시를 보도록 하죠. $\mathbf{F}^{5}$의 부분공간 $W$를 아래와 같이 정의하도록 하겠습니다. 

 

$$W = \{(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}) \in \mathbf{F}^{5} | a_{1} + a_{3} + a_{5} = 0, a_{2} = a_{4}\}$$

 

그러면 부분공간 $W$의 기저는 $\beta = \{(1, 0, 0, 0, -1), (1, 0, 0, -1, 0), (0, 1, 0, 1, 0)\}$입니다. 따라서, $\text{dim}(W) = 3 < 5 = \text{dim}(\mathbf{F}^{5})$임을 알 수 있죠. 

 

이번에는 행렬을 보도록 하죠. $M_{n \times n}(\mathbf{F})$의 부분공간 $W$를 모든 대각행렬의 집합이라고 하면 $W$의 기저는 $\beta = \{E^{11}, E^{22}, \dots, E^{nn}\}$입니다. 따라서, $\text{dim}(W) = n < n^{2} = \text{dim}(M_{n \times n}(\mathbf{F}))$이죠. 

 

 따름정리4-1. 

$W$를 유한차원 벡터공간 $V$의 부분공간이면 $W$의 임의의 기저는 $V$의 기저로 확장가능하다.

 

증명

집합 $S$를 $W$의 기저라고 하자. $S$는 $V$의 선형독립인 부분집합이므로 따름정리3-2에 의해 $S$는 벡터공간 $V$의 기저로 확장가능하다. 

 

 정리5. 라그랑주 보간식 (Lagrangian Interpolation Formula)

$i = 0, 1, \dots, n$에 대해서 $g(c_{i}) = b_{i}$라고 하면 $g(x)$는 아래와 같이 적을 수 있다.

$$g(x) = \sum_{i = 0}^{n} b_{i} \prod_{j = 0, j \neq i}^{n} \frac{x - c_{j}}{c_{i} - c_{j}}$$

즉, $f_{i} = \begin{cases} 1 &\text{if } i = j \\ 0 &\text{if } i \neq j \end{cases}$라고 할 때, 

$$g(x) = \sum_{i = 0}^{n} g(c_{i})f_{i}(x)$$

라고 적을 수 있으며 $\{f_{0}(x), f_{1}(x), \dots, f_{n}(x)\}$는 $P_{n}$의 기저가 된다. 

 

참고문헌 

Linear Algebra (Stephan. H)